콤팩트 객체(수학)

수학에서, 정밀하게 제시된 물체 또는 유한한 제시의 물체라고도 하는 콤팩트한 물체는 특정한 정밀도 조건을 만족하는 범주에 속하는 물체들이다.

정의

모든 필터링된 콜리미트(직접 한계라고도 함)를 허용하는 범주 C의 객체 X를 펑터(functor)의 경우 콤팩트(compact)라고 부른다.

\operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot )):C\to \mathrm {Sets} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)

여과된 콜리미트(즉, 자연도)로 통근하다.

\operatorname {colim} \operatorname {Hom} _{C}(X,Y_{i})\to \operatorname {Hom} _{C}(X,\operatorname {colim}) _{i}Y_{i}}

C에서 $Y_{i}$ 객체 $Y_{i}$ $Y_{i}$ {\ $displaystyle Y_{i}}$ 의 필터링된 시스템에 대한 바이어싱이다.^[1]왼쪽의 여과된 콜리밋의 요소는 $X\to Y_{i}$ X → Y $X\to Y_{i}$ {\ $displaystyle$ X $\to Y_{i$ 일부 i에 대해 위의 지도에 대한 과부하율은 $X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}$ X $X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}$ → $X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}$ i $X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}$ Y $X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}$ Y $X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}$ {\ $displaystyle X\to \operatorname {colim} _{i}$ 을 요구하는 양에 해당한다.일부 $X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}$ $Y_{i}$ 에 대한 $Y_$ ${$ $i}$ $요인$ {\displaystyle $Y_{i$

이 용어는 아래에 언급된 토폴로지에서 발생하는 예에 의해 동기가 부여된다.몇몇 저자들은 또한 대수학 범주와 더 밀접하게 관련된 용어를 사용한다.아다메크&로지크(1994)는 콤팩트 오브젝트 대신 정밀하게 제시된 오브젝트라는 용어를 사용한다.가시와라&샤피라(2006)는 이것을 유한한 표현의 대상이라고 부른다.

∞-카테고리에서의 콤팩트함

위의 형태 집합이 C의 매핑 공간으로 대체되는 경우(그리고 필터링된 콜리밋은 sometimes 범주적 의미로 이해되며 때로는 필터링된 호모토피 콜리밋이라고도 함) C가 ∞ 범주인 경우에도 동일한 정의가 적용된다.

삼각형 범주의 압축성

모든 공정을 허용하는 삼각형 범주 C의 경우, Neeman(2001) 은 다음과 같은 경우 압축할 객체를 정의한다.

\operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot )):C\to \matrm {Ab} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)

복류로 통근하다이 개념과 이상의 관계는 다음과 같다:C가 모든 여과된 콜리미트를 인정하는 안정적 ∞ 범주의 호모토피 범주로 발생한다고 가정한다.(이 조건은 대체로 만족하지만 자동은 만족하지 않는다.그러면 C의 물체는 ∞ 범주의 의미로 콤팩트한 경우에만 니만의 의미에서 콤팩트하다.그 이유는 안정적인 ∞-category에서는 $\operatorname {Hom} _{C}(X,-)$ $\operatorname {Hom} _{C}(X,-)$ $\operatorname {Hom} _{C}(X,-)$ $\operatorname {Hom} _{C}(X,-)$ , $\operatorname {Hom} _{C}(X,-)$ - $\operatorname {Hom} _{C}(X,-)$ ) ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,-)$ 이 한계이므로 항상 $\operatorname {Hom} _{C}(X,-)$ 유한 콜리밋으로 통근하기 때문이다.그런 다음 여과된 콜리밋의 표시를 무한 결합체의 등가제(유한 콜리밋)로 사용한다.

예

집합 범주의 콤팩트한 물체는 정확히 유한 집합이다.

링 R의 경우, R-모듈 범주에 있는 콤팩트한 물체는 정밀하게 표시된 R-모듈이다.특히 R이 필드라면 콤팩트한 물체는 유한차원 벡터 공간이다.

유사한 결과는 정해진 준거형 등가 법칙에 따른 연산에 의해 주어진 대수적 구조의 모든 범주에 적용된다.이러한 범주들은 품종이라 불리며, 로베레 이론을 이용하여 체계적으로 연구될 수 있다.어떤 Lawverage 이론 T의 경우, T 모델의 범주 Mod(T)가 있으며, Mod(T)의 콤팩트한 물체는 정밀하게 제시된 모델이다.예를 들어: T가 집단의 이론이라고 가정하자.그러면 Mod(T)는 그룹의 범주이고, Mod(T)의 콤팩트한 개체는 정밀하게 제시된 그룹이다.

R-modules의 $D(R-{\text{Mod}})$ $D(R-{\text{Mod}})$ D $D(R-{\text{Mod}})$ - $D(R-{\text{Mod}})$ Mod ) {\ $displaystyle$ D $(R-{\$ text ${Mod$ }})에 있는 콤팩트한 개체는 정확히 완벽한 콤플렉스다.

콤팩트한 위상학적 공간은 위상적 공간의 범주에 있는 컴팩트한 객체가 아니다.대신에 이것들은 정확히 이산 위상으로부터 부여받은 유한한 집합이다.^[2]위상에서의 콤팩트함과 위의 범주적 개념의 콤팩트함 사이의 연결고리는 다음과 같다:고정 위상학적 $공간$ X ${\displaystyle X$ 에 $대해$ X ${\displaystyle {\text{Open}(X)$ 의 ${\text{Open}}(X)$ 개체가 X ${\displaysty X}($ 그리고 형태론으로서의 포함)인 Open ${\text{Open}}(X)$ 범주가 있다. ${\text{Open}}(X)$ $X$ ${\displaystyle X$ $}$ 이( $가$ ) Open ${\text{Open}}(X)$ ( ${\text{Open}}(X)$ ) ${\displaystyle {\text{Open}(X$ 에서 개체로 압축된 $X$ 경우에만 X ${\displaystystyle X$ $}$ 이(가) 압축 위상학적 공간인 것이다 $X$ .

$C$ ${\displaystyle C$ ${\text{PreShv}}(C)$ 이(가) 범주인 $C$ 경우 사전 예열된 ${\text{PreShv}}(C)$ ( ${\text{PreShv}}(C)$ ) ${\displaystyle {\text{PreShv}(C)}($ 즉, $C^{op}$ $C^{op}$ $C^{op}$ ${\$ 에서 $C^{{op}}$ set까지의 functors 범주) 범주에는 모든 콜리미트가 있다.The original category $C$ is connected to ${\text{PreShv}}(C)$ by the Yoneda embedding $h_{(-)}:C\to {\text{PreShv}}(C),X\mapsto h_{X}:=\operatorname {Hom} (-,X)$ . For any object ${\displaystyl$ $C$ $C$ 의 $X$ e X $C$ $h_{X}$ $h_{X}$ ${\$ 은( ${\text{PreShv}}(C)$ ( $){\displaystyle{preShv}(C)})$ 의 콤팩트 객체다 $h_{X}$ .

유사한 맥락에서 $C$ $C$ 범주는 ${\text{Ind}}(C)$ ( ${\text{Ind}}(C)$ ) ${\text$ 범주의 전체 하위 범주로 간주할 $C$ 수 있다. $C$ $C$ 에서 Ind $}(C)}$ 개의 ind-objects $C$ 이 더 큰 범주의 개체로 간주되는 $C$ $C$ 의 $C$ 모든 개체는 소형이다.실제로 ${\text{Ind}}(C)$ ( C ${\text{Ind}}(C)$ ) ${\displaystyle {\text{$ $Ind}(C)}$ 은(는) $C$ 하게 C ${\displaystyle$ C $}($ ${\text{Ind}}(C)$ 더 정확히 말하면 ${\text{Ind}}(C)$ ( C ${\text{Ind}}(C)$ ) ${\displaystyle {\text{)$ 의 객체임 ${\text{Ind}}(C)$ . $Ind}(C)}$ ${\text{Ind}}(C)$ .

비예시

비 컴팩트 X에 있는 아벨리아 그룹의 집합 파생 범주

비 컴팩트 위상학적 $공간$ X $X$ 에 $D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}}))$ 대한 아벨리아 그룹 $D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}}))$ ( $D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}}))$ ; $D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}}))$ ) ${\displaystyle$ D $({\text{Sh})(X;{\text{Ab})}$ 의 무한 파생 범주에서 일반적으로 콤팩트하게 생성된 범주는 아니다 $X$ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ 에 대한 일부 증거는 오픈 커버 U ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ = ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ { ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ ${\$ $X$ ${\displaysty X$ 의 비컴팩트성을 사용하여 절대 유한 서브 커버로 정제할 수 없음)를 고려하여 지도를 취함으로써 찾을 수 있다.

$\phi \in {\text{홈}}{\mathcal{F}^{\bullet },{\underset {i\in I}{\text{colim}}\mathb {Z} _{U_{i}}}}}}}}$

for some ${\mathcal {F}}^{\bullet }\in {\text{Ob}}(D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}})))$ . Then, for this map $\phi$ to lift to an element

$\psi \in {i\in I}{\text{colim}}{\text{Hom}({\mathcal{F}^{\bullet }}}}\mathb {Z} _{U_{i}})}}}}}}$

$\mathbb {Z} _{U_{i}}$ 되지 $\mathbb {Z} _{U_{i}}$ $\mathbb {Z} _{U_{i}}$ Z $\mathbb {Z} _{U_{i}}$ U i {\ $displaystyle \mathb {Z} _{U_{$ i}}}을(를) 통해 고려해야 할 것이다 $\mathbb {Z} _{U_{i}}$ 이를 증명하려면 $X$ ${\displaystyle X$ 의 일부 컴팩트 부분 집합에서 모든 컴팩트 객체가 지지하고 있음을 보여준 다음 이 부분 집합이 비어 있어야 한다.^[3]

Artin 스택에 있는 준조립형 피복의 파생 범주

For algebraic stacks ${\mathfrak {X}}$ over positive characteristic, the unbounded derived category $D_{qc}({\mathfrak {X}})$ of quasi-coherent sheaves is in general not compactly generated, even if ${\mathfrak {X}}$ is quasi-compact and quasi-separated.^[4] 사실 대수적 $B\mathbb {G} _{a}$ B $B\mathbb {G} _{a}$ a ${\$ B\ $mathb {G} _{a}$ 에 대해서는 0 객체 이외에는 콤팩트 객체가 없다 $B\mathbb {G} _{a}$ ${\mathfrak {X}}$ X ${\$ 에 다음과 같은 $G$ 스태빌라이저 $그룹$ G $G$ 이 ${\mathfrak {X}}$ (가) 있는 경우 이 관찰은 다음 정리까지 일반화할 수 있다.

$G$ $G$ 은(는) 양성 특성의 필드 $k$ $k$ $k$ 에 대해 정의됨 $G$
${\overline {G}}=G\otimes _{k}{\overline {k}}$ = ${\overline {G}}=G\otimes _{k}{\overline {k}}$ ${\overline {G}}=G\otimes _{k}{\overline {k}}$ k $"{\$ 에 부분군 이형성이 $\mathbb {G} _{a}$ $\mathbb {G} _{a}$ {\ $displaysty \mathb {G} _{a}}}}}$ 에 ${\overline {G}}=G\otimes _{k}{\overline {k}}$ 있다.

그러면 $D_{qc}({\mathfrak {X}})$ $D_{qc}({\mathfrak {X}})$ ( $D_{qc}({\mathfrak {X}})$ ) ${\displaystyle D_{qc}({\mathfrak {X})$ 에 있는 유일한 콤팩트 개체가 0개 개체다 $D_{qc}({\mathfrak {X}})$ .특히 범주는 압축적으로 생성되지 않는다.

This theorem applies, for example, to $G=GL_{n}$ by means of the embedding $\mathbb {G} _{a}\to GL_{n}$ sending a point $x\in \mathbb {G} _{a}(S)$ to the identity matrix plus $x$ at the ${\displays$ 첫 번째 행의 $tyle n}$ -th $n$ 열

압축적으로 생성된 범주

대부분의 범주에서 콤팩트하다는 조건이 상당히 강하기 때문에 대부분의 물체는 콤팩트하지 않다. $범주$ $C$ ${\$ $displaystyle C}$ 에서 어떤 물체가 콤팩트 개체의 필터링된 콜리밋으로 표현될 수 있는 경우 범주 $C$ C {\displaystyle C}이 $($ 가) 압축된다. 예를 들어 $C$ 벡터 공간 V는 유한 차원(즉, 콤팩트) 하위 공간의 필터링된 콜리밋이다.따라서 벡터 공간의 범주는 (고정된 필드에 걸쳐) 압축적으로 생성된다.

압축적으로 생성되고 모든 콜리미트를 허용하는 범주를 액세스 가능한 범주라고 한다.

이중화 가능한 객체와의 관계

품행이 좋은 텐서 제품을 사용하는 범주 C의 경우(더 공식적으로, C는 단면체 범주여야 함), 어떤 종류의 미세성을 부과하는 또 다른 조건, 즉 물체가 이중화될 수 있는 조건이 있다.C의 단면체 단위가 콤팩트하면, 모든 이중화 가능한 물체도 콤팩트하다.예를 들어 R은 R-모듈로서 콤팩트하기 때문에 이 관찰을 적용할 수 있다.실제로 R-modules 범주에서 이중화할 수 있는 개체는 정밀하게 제시된 투영 모듈이며, 특히 소형이다.∞ 범주의 맥락에서, 이중화 가능성과 소형 물체는 더 밀접하게 연결되는 경향이 있는데, 예를 들어, R-모듈 복합체의 ∞ 범주에서, 소형 및 이중화 가능 물체는 일치한다.이중화 가능하고 컴팩트한 물체가 합의하는 이것과 더 일반적인 예는 벤-즈비, 프랜시스 & 나들러(2010)에서 논의된다.

참조

^ 루리(2009, §5.3.4)
^ 아다메크 & 로지크슈(1994년, 1장).A)
^ Neeman, Amnon. "On the derived category of sheaves on a manifold". Documenta Mathematica. 6: 483–488.
^ Hall, Jack; Neeman, Amnon; Rydh, David (2015-12-03). "One positive and two negative results for derived categories of algebraic stacks". arXiv:1405.1888 [math.AG].

Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (1994), Locally presentable and accessible categories, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511600579, ISBN 0-521-42261-2, MR 1294136
Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010), "Integral transforms and Drinfeld centers in derived algebraic geometry", Journal of the American Mathematical Society, 23 (4): 909–966, arXiv:0805.0157, doi:10.1090/S0894-0347-10-00669-7, MR 2669705, S2CID 2202294

Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Categories and sheaves, Springer Verlag, doi:10.1007/3-540-27950-4, ISBN 978-3-540-27949-5, MR 2182076
Lurie, Jacob (2009), Higher topos theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 170, Princeton University Press, arXiv:math.CT/0608040, ISBN 978-0-691-14049-0, MR 2522659

[1] 루리(2009, §5.3.4)

[2] 아다메크 & 로지크슈(1994년, 1장).A)

[3] Neeman, Amnon. "On the derived category of sheaves on a manifold". Documenta Mathematica. 6: 483–488.

[4] Hall, Jack; Neeman, Amnon; Rydh, David (2015-12-03). "One positive and two negative results for derived categories of algebraic stacks". arXiv:1405.1888 [math.AG].

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