순서형 정의 가능한 집합
Ordinal definable set수학 세트 이론에서, 세트 S는 비공식적으로 1차 공식에 의해 한정된 수의 서수로 정의될 수 있는 경우 서수로 정의할 수 있다고 한다.순서형 정의 가능한 세트는 괴델(1965)에 의해 도입되었다.
이 비공식 정의의 단점은 모든 1차 공식에 대해 정량화를 요구한다는 것인데, 이는 집합 이론의 언어로 공식화할 수 없다.그러나 그렇게 공식화할 수 있는 정의를 말하는 데는 다른 방법이 있다.만약 ordinals α1의 수집은 이 접근 방법은 집합 S공식적으로 정의할 수 있는 서수,..., αn은 S∈ Vα 1{\displaystyle S\in V_{\alpha_{1}}}과 S{S\displaystyle}V의 요소로 정의될 수 있는 그런 α 1{\displaystyle V_{\alpha_{1}}}일차 공식에 의해 φ을 α2, 정의된다...., 파라메터로서n α.여기서 는 폰 노이만 계층 구조에서 순서형 α에1 의해 색인화된 집합을 나타낸다.즉, S는 ((S, α2...)과 같은 독특한 물체라는 것이다.αn)은 V 에 걸쳐 있는 정량자로 고정한다
모든 서수 정의 가능한 집합의 클래스는 OD로 표시되며, 반드시 전이되는 것은 아니며 확장성의 공리를 충족하지 못할 수 있으므로 ZFC의 모델이 될 필요는 없다.세트는 서수적으로 정의될 수 있고 그것의 전이성 폐쇄의 모든 요소들이 서수적으로 정의될 수 있는 경우 유전적으로 정의된다.유전 서열 정의 가능한 집합의 종류는 HOD로 표시되며, ZFC의 전이 모델이며, 정의 가능한 순서가 있다.모든 세트는 서수적으로 정의될 수 있고, 따라서 유전적으로 서수적으로 정의될 수 있다는 것은 집합 이론의 공리와 일치한다.이 상황이 가지고 있는 주장을 V = OD 또는 V = HOD라고 한다.V = L에서 따르며, 우주의 (정의 가능한) 질서정연한 존재에 해당한다.그러나 V = HOD를 표현하는 공식이 HOD 내에서 참일 필요는 없다는 점에 유의하십시오. HOD 내에서 HOD에 대한 공식의 해석은 훨씬 더 작은 내부 모델을 산출할 수 있기 때문이다.
HOD는 기본적으로 알려진 모든 대형 추기경들을 수용할 수 있는 내부 모델이라는 점에서 유용한 것으로 밝혀졌다.예를 들어 초소형 카디널스를 수용할 수 있는 핵심 모델이 아직 구축되지 않았기 때문에 핵심 모델의 상황과 대비된다.
참조
- Gödel, Kurt (1965) [1946], "Remarks before the Princeton Bicentennial Conference on Problems in Mathematics", in Davis, Martin (ed.), The undecidable. Basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions, Raven Press, Hewlett, N.Y., pp. 84–88, ISBN 978-0-486-43228-1, MR 0189996
- Kunen, Kenneth (1980), Set theory: An introduction to independence proofs, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
