쌍분포함수

쌍 분포 함수는 주어진 체적 내에 포함된 입자 쌍 사이의 거리 분포를 설명한다.^[1] 수학적으로 a와 b가 유체의 두 입자인 경우, ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle a\stackrel{}{}{}_{}}$( r${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ $){\displaystyle g_{ab}({\vec{r}})$로 표시된 a에 대한 b의 쌍분포 함수는 a로부터 $거리{\displaystyle \stackrel{}{}}$ r${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$에서 입자 b를 찾을 확률이며$$, a는 좌표의 원점으로 한다.

개요

쌍분배 함수는 매질 내 물체의 분포를 설명하기 위해 사용된다(예를 들어 상자 내 오렌지 또는 가스 실린더 내 질소 분자). 매체가 동질(즉, 모든 공간 위치가 동일한 특성을 갖는 경우)이면 어느 위치에서나 물체를 찾을 수 있는 확률 밀도가 동일하다${\displaystyle \stackrel{}{.}}$ $r{\displaystyle \stackrel{}{}}$ → ${\$ :

${\displaystyle p(}$ ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle$ p$({\vec{r}})=1/V$

여기서 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) 용기의 볼륨이다. 반면에 주어진 위치에서 물체 쌍을 찾을 가능성(즉, 두 신체 확률 밀도)은 균일하지 않다. 예를 들어, 단단한 공의 쌍은 최소한 공의 직경으로 분리되어야 한다. 쌍분포함수 $g{\displaystyle (}$ ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ →${\displaystyle {\stackrel{}{}\prime }^{}}$) ${\displaystyle g({\vec{r},{\vec{r}}})$는 2체 확률밀도함수를 총 개체 수 $N{\displaystyle }$ ${\displaysty$ N$}$및 용기$$ 크기로 스케일링하여 얻는다.

${\$$V^{2}{\frac {N-1}{N}}}$.

컨테이너에 있는 물체의 수가 큰 일반적인 경우, 이것은 다음을 간단히 제공한다.

${\$$V^{2$

단순 모델 및 일반 특성

가능한 가장 간단한 쌍 분포 함수는 모든 물체 위치가 상호 독립적이라고 가정하여 다음을 제공한다.

${\displaystyle \mathrm{g}}$( ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle$ g$({\vec{r}=1$

여기서 $r{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$는 개체 쌍 간의 분리입니다$$. 그러나 이것은 물체 사이에 필요한 최소 분리를 설명하지 않기 때문에 위에서 설명한 것처럼 단단한 물체의 경우 부정확하다. 구멍 보정(HC) 근사치는 더 나은 모델을 제공한다.

${\displaystyle g(r)={\displaystyle{case}0,&r<b,\1,&r\geq {}b\end{case},}$

여기서 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은(는) 물체 중 하나의 직경이다.

HC 근사치는 희박하게 포장된 물체에 대한 합리적인 설명을 제공하지만, 조밀한 패킹을 위해 분해된다. 이것은 각각의 공이 이웃에 닿도록 동일한 하드 볼로 가득 찬 상자를 고려함으로써 설명될 수 있다. 이 경우 상자 안의 모든 공은 $정확히{\displaystyle }$ r${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle r=nb}$의 거리로 분리되며 여기서$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 양의 정수다. 따라서 단단한 구체에 의해 완전히 채워진 볼륨에 대한 쌍 분포는 다음과 같은 형태의 Dirac 델타 함수 집합이다.

${\displaystyle g}$( ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$( r${\displaystyle }$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle g(r)=\sum \sum$ \$cHB _${i$}\cHB(r-ib)}$.

마지막으로, 큰 거리에 의해 분리된 한 쌍의 물체가 서로의 위치에 영향을 미치지 않는다는 점에 유의할 수 있다(용기가 완전히 채워지지 않은 경우). 그러므로

${\displaystyle \underset{}{im}}$ r${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle g}$( r${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lim$\lim \$lim$ \lim $_{r\to \inft }g(r)=1$

일반적으로 패킹 밀도 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 따라 쌍 분배 함수는 희박하게 포장된(HC 근사치) 모델과 조밀하게 포장된(델타 함수) 모델 사이의 어딘가에서 형태를 취하게 된다$.$

방사분포함수

특히 실용적으로 중요한 것은 방향과 무관한 방사상 분포함수다. 무정형 물질(유리, 폴리머)과 액체의 원자 구조를 설명하는 주요 기술자다. 방사형 분포 함수는 푸리에 변환을 수행하여 광 산란이나 X선 분말 회절과 같은 물리적 측정에서 직접 계산할 수 있다.

Statistical Mechanics에서 PDF는 표현으로 제공된다.

${\displaystyle g_{ab}(r)={\frac {1}{N_{a}N_{b}}}\sum \limits _{i=1}^{N_{a}}\sum \limits _{j=1}^{N_{b}}\langle \delta (\vert \mathbf {r} _{ij}\vert -r)\rangle }$

적용들

박막쌍배분 함수

박막이 전자 장치처럼 정렬되지 않은 경우, 해당 재료 또는 구성의 변형률과 구조 속성을 보기 위해 쌍 분포를 사용한다. 그들은 대량이나 결정체 형태로 이용될 수 없는 이런 성질을 가지고 있다. 게세2의 흐트러진 박막의 국소 구조를 볼 수 있는 방사형 분포의 방법이 있다.그러나 이 방법의 창작자들은 무질서한 영화의 중간 질서를 보다 잘 볼 수 있는 방법이 필요하다고 주장했다. 박막쌍배분함수(tfPDF)를 만들면 장애와 같은 중요한 세부사항을 볼 수 있는 재료의 중거리 순서에 대한 통계적 분포를 사용한다. 이 기법에서는 산란법의 2D 데이터가 통합되어 푸리에가 그 재료의 결합 확률을 보여주는 1D 데이터로 변환된다. TFPDF는 전송 전자 현미경과 같은 다른 특성화 방법과 함께 사용할 때 가장 잘 작동한다. 개발 방법론이 개발되고 있지만, 신뢰할 수 있는 특성화 기법을 통해 TFPDF는 완전한 구조-재산 관계를 제공할 수 있다.

참고 항목

• 고전 지도 하이퍼넷트 체인 방식

참조

피셔 콜브리, 비엔엔스톡, 푸오스, 마르쿠스 체육 B(1988) 38, 12388

젠슨, K. M. 빌린지, S. J. (2015) IUCrJ, 2(5), 481-489.