라쿠나리 함수

분석에서, 열전함수(Lacunary series)라고도 하는 열전함수는 전력 시리즈에 의해 정의되는 수렴 반지름 외부 어디에서도 분석적으로 지속할 수 없는 분석함수다.lacunary라는 단어는 갭 또는 빈자리를 의미하는 lacuna (lap. lacunae)에서 유래되었다.

열상 함수의 첫 번째 알려진 예는 팽창에 대한 0이 아닌 계수 사이의 큰 간격 또는 열상(lacunae)을 가진 Taylor 시리즈를 포함한다.보다 최근의 조사는 또한 0이 아닌 계수들 사이의 유사한 격차를 가진 푸리에 시리즈에 관심을 집중시켰다.현대 용어로는 테일러 시리즈나 푸리에 시리즈를 지칭할 수 있는 라쿠나리 시리즈가 약간 모호하다.

간단한 예

${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cap }$[ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\$)}을$($를) 두십시오$.$ 간단한 전원 시리즈로 정의한 다음 함수를 고려하십시오.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{n^{a^{n}}}{a^{a^{a^{a^{3}}+z^{a^{4}}}}}}}$

파워 시리즈는 어떤 오픈 도메인 z < 1에서나 균일하게 수렴된다.이것은 f를 z < 1. 그래서 f는 오픈 유닛 디스크에서 분석적인 것으로 절대적으로 절대적으로 수렴되는 기하학적 시리즈와 비교함으로써 증명할 수 있다.그럼에도 불구하고, f는 유닛 원의 모든 점에서 특이점을 가지고 있으며, 다음의 논거가 증명하듯이 오픈 유닛 디스크 밖에서 분석적으로 계속할 수 없다.

분명히 f는 z = 1에 특이점을 가지고 있는데, 그 이유는

${\displaystyle f(1)=1+1+1+\cdots \,}$

서로 다른 시리즈야그러나 z가 비현실적일 수 있도록 허용되면, 그 이후부터 문제가 발생한다.

${\displaystyle f\left(z^{a}\right)=f(z)-z\qquad f\left(z^{a^{2}}\right)=f(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)=f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)=f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}}$

f는 z^a = 1일 때, z = 1일 때, 그리고^a2 z = 1일 때도 특이성을 가지고 있음을 알 수 있다. 위의 방정식으로 제시한 유도에 의해 f는 모든 자연수 n에 대한 통일의 a번째ⁿ 뿌리 각각에 특이성을 가져야 한다.그러한 모든 점들의 집합은 단위 원에 밀도가 높기 때문에 연속적인 확장에 의해 단위 원의 모든 점들은 f의 특이점이 되어야 한다.^[1]

기초적인 결과

분명히 간단한 예에서 진일보한 인수는 특정 시리즈를 구성하여 열상 함수를 정의할 수 있다는 것을 보여준다.그다지 분명하지 않은 것은 z의 힘 사이의 간격이 훨씬 더 느리게 확장될 수 있고, 그 결과의 시리즈는 여전히 빈틈없는 기능을 규정할 것이라는 점이다.이 개념을 좀더 정확하게 하기 위해서는 몇 가지 추가 표기법이 필요하다.

우리는 쓴다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{}a_{k}z^{{k}^{k}}=\sum _{n=1}^{n=1}{n}z^{n}\,},}$

여기서 b_n = a인_k 경우 n = λ_k, b_n = 0이 아닌 경우.두 번째 시리즈의 계수 b가_n 모두 0인 스트레칭은 계수의 열상이다.단조롭게 증가하는 양의 자연수 {λ_k}의 순서는 f(z)의 파워 시리즈에 있는 z의 힘을 명시한다.

이제 하다마르의 정리가 명시될 수 있다.^[2]만약

${\displaystyle \liminf _{k\to \inflt }{\fracta _{k}{\flockda _{k-1}}}1+\property \,}$

여기서 Δ > 0은 임의의 양의 상수로서, f(z)는 그 수렴 원 밖에서 계속할 수 없는 열상 함수다.즉, {(} 시퀀스는_k f(z)가 열상 함수가 되려면 2만큼^k 빨리 자라지 않아도 된다(1 + Δ)^k 어떤 기하급수만큼 빨리 자라기만 하면 된다.λ이_k 이렇게 빨리 자라는 시리즈는 하다마드 틈새를 포함하고 있다고 한다.오스트로우스키-하다마르 갭 정리를 참조한다.

라쿠나리 삼각형계 전동차

수학자들은 또한 열전삼차계의 특성들을 연구했다.

${\displaystyle S((\lambda _{k})_{k},\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k},\theta ,\omega )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta +\omega )\,}$

λ이_k 멀리 떨어져 있는 것을 위하여.여기서 계수 a는_k 실제 숫자다.이러한 맥락에서, 관심은 거의 모든 곳에서 삼각계열의 정합성을 보장하기에 충분한 기준(즉, 각도 θ과 왜곡인자 Ω의 거의 모든 값에 대해)에 집중되어 왔다.

• 콜모고로프는 만일 시퀀스 { sequence}이(가_k) 하다마드 갭을 포함하고 있다면, 시리즈_k S(θ, ω, Ω)는 거의 모든 곳에서 융합(배기)된다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infit }a_{k}^{2}}$

수렴하다

• 지그문트는 같은 조건에서 a의_k 이 제곱합이 다이버전트 시리즈일 때 S(λ_k, θ, Ω)는 통합 가능한 함수를 나타내는 푸리에 시리즈가 아니라는 것을 보여주었다.^[3]

통일된 견해

열전원 시리즈와 열전삼전계 시리즈에 대한 조사에 동기를 부여하는 근본적인 질문에 대한 더 큰 통찰력은 위의 간단한 예를 다시 살펴봄으로써 얻을 수 있다.그 예에서 우리는 기하학적 시리즈를 사용했다.

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\\nft }z^{n}\,}$

간단한 예가 오픈 유닛 디스크에서 분석 기능을 정의함을 입증하기 위한 Weierstrass M-테스트.

기하계열 자체는 z = 1일 때를 제외하고 닫힌 단위 디스크의 모든 곳에 수렴하는 분석 기능을 정의하는데, 여기서 g(z)는 단순한 극을 가진다.^[4]그리고, z = e^iθ 단위의 점들이기 때문에 기하학 계열은

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{}e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{n=1}^{n=1}\ft(\cos n\theta +i\sin \right)\,},},}$

특정한 z, z = 1. 이런 관점에서 열문 시리즈를 연구하는 수학자들은 다음과 같은 질문을 하고 있다.그 결과 수학적 물체가 매끄러운 용적함수에서 무질서한 행동의 원시적 형태를 보이는 어떤 것으로 변형되기 전에 - 큰 부분을 잘라내고 계수를 ≠ 1로_k 도입함으로써 - 기하학적 시리즈를 얼마나 왜곡해야 하는가?

참고 항목

• 분석적 연속성
• 스졸렘 만델브로이트
• 베누이트 만델브로트
• 만델브로트 세트
• 파브리 갭 정리
• 오스트로우스키-하다마르 갭 정리

메모들

참조

• 후쿠야마 가쓰시와 다카하시 시게루, 미국수학회의 의사록 127 #2 페이지 599–608(1999), "라쿠나리 시리즈의 중앙 한계 정리"
• 스졸렘 맨델브로트와 에드워드 로이 세실 마일스, 라이스 연구소 팜플렛, 제14권 #4 페이지 261–284(1927), "Lacunary Functions".
• E. T. Whittaker와 G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, 4판, Cambridge University Press, 1927.

외부 링크

• 후쿠야마와 다카하시, 1999년 AMS로부터 라쿠나리 시리즈의 중앙 한계 정리라는 제목의 논문(PDF)
• Mandelbrojt와 Miles, 1927년 Rice University에서 Lacunary Functions라는 제목의 논문(PDF).
• Lacunary 기능에 대한 MathWorld 기사