프라임 제타 함수

수학에서 프라임 제타 함수는 글라이셔(1891년)가 연구한 리만 제타 함수의 아날로그다. ( s ) > ${\displaystyle \Re>$1}에 수렴하는 다음과 같은 무한 시리즈로 정의된다

${\displaystyle P(s)=\sum _{p\,\in \mathrm {\,primes} }{\frac {1}{p^{s}}}={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots .}$

특성.

Riemann zeta 함수 ζ에 대한 오일러 제품은 다음을 함축한다.

${\displaystyle \log \zeta(s)=\sum _{n>0}{\frac {P(ns)}{n}}}$

Möbius 역전이 주는 것

${\displaystyle P(s)=\sum _{n}\mu(n){\frac {\log \zeta(ns)}{n}}}$

s가 1로 가면 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle }$s )${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{s}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\$\log \$left({\frac {1}{s-1}\rig)}$이 있다$.$이것은 디리클레 밀도의 정의에 사용된다.

은 p()> 0$(\displaystyle \Re(s)>0$에 대한 P(s)의 연속성을 제공하며, s는 ns가 극(ns가 1보다 크거나 같은 제곱이 없는 숫자일 경우 ns = 1만), 또는 리만 제타 함수 ζ().$\Re {\displaystyle \mathrm{}(s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Re(s)=0}$ 선은 이 선의 모든 점에 가까운 특이점 군집으로서 자연적인 경계다$$.

시퀀스를 정의하는 경우

${\displaystyle a_{n}=\p^{k}\mid n}{p^{k}\mid{p^{k}}\prod_{p^{k}\mid \mid n}{\frac {1}{1}{k!}}}$

그때

${\displaystyle P(s)=\log \sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

(Exponentation은 이것이 Li의 Lemma 2.7과 동등하다는 것을 보여준다.)

프라임 제타 함수는 아르틴의 상수(上水)에 의해 작용하는 것과 관련이 있다.

${\displaystyle \ln C_{\mathrm {Artin} }=-\sum _{n=2}^{\flac{(L_{n}-1)P(n){n}}}}}}}$

여기서 L은_n 루카스의 n번째 번호다.^[1]

구체적인 값은 다음과 같다.

s	근사치 P	OEIS
1	${\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{1}{1}:{1}{3}}+{{1}{5}}+{1}{7}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots to \inflt.}$[2]
2	$0{\displaystyle 0{.}}45224{\text{{}74200{\text{}}}}}}{}}}{}}}}$	OEIS: A085548
3	${\displaystyle 0{.}17476{\text{}}}}{}26392{\text{{}}}}}}{}99443{\text{{}}}}}}$	OEIS: A085541
4	$0{\displaystyle 0{.}}07699{\text{}}}}}{}31397{\text{}}}}}{}64246{\text{}}}}}$	OEIS: A085964
5	$0{\displaystyle 0{.}}03575{\text{{}50174{\text{}}}{}83924{\text{{}}}}$	OEIS: A085965
9	$0{\displaystyle 0{.}}00200{\text{{}}}}}44675{\text{}}}}74962{\text{{}}}}$	OEIS: A085969

분석

적분

$pole{\displaystyle }$= $[\displaystyle s=1}$의 폴은 복잡한 평면의 분기 절단에 대한 논의를 시작하지 않고 어떤 유한한 정수로 양호한 하한을 정의하는 것을 금지하기$$ 때문에 prime zeta 함수에 대한 적분은 보통 무한대에 고정된다.

${\displaystyle \int_{s}^{s}^{\p(t)\,dt=\sum _{p}{p^{s}\log p}}}}}}$

주목할 만한 값은 다시 합계가 천천히 수렴되는 값이다.

s	대략적인 값 $\sum {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{p}}$ ${\displaystyle 1}$/${\displaystyle }$( p ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ p${\displaystyle }$) ${\displaystyle \sum _{p}1/(p^{s}\log p)}$	OEIS
1	${\displaystyle 1.63661632\ldots }$	OEIS: A137245
2	${\displaystyle 0.50778218\ldots }$	OEIS: A221711
3	${\displaystyle 0.22120334\ldots }$
4	${\displaystyle 0.10266547\ldots }$

파생상품

첫 번째 파생상품은

${\displaystyle P'\equiv {\frac {d}{ds}}P=-\sum _{p}{p}{p^{p^}}}}}}}}}$

흥미로운 값은 다시 합계가 천천히 수렴되는 값이다.

s	${\displaystyle \mathrm{대략적}}$인 값 $P{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle P's}$	OEIS
2	${\displaystyle -0.493091109\ldots }$	OEIS: A136271
3	${\displaystyle -0.150757555\ldots }$	OEIS: A303493
4	${\displaystyle -0.0607633\ldots }$	OEIS: A303494
5	${\displaystyle -0.026838601\ldots }$	OEIS: A303495

일반화

거의 프라임 제타 기능

리만 제타 함수는 정수에 대한 역동력의 합이고 프라임 제타는 소수 역동력의 합이므로, k-primes($k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 곱이 반드시 구별되는 것은 아님$$)는 다음과 같은 종류의 중간합계를 정의한다.

${\displaystyle P_{k}\equiv \sum _{n:\오메가(n)=k}{\frac {1}{n^{s}}}}}}}}}$

여기서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 주요 요인의 총 수입니다.

k	s	대략적인 값 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle P_{k}s}$	OEIS
2	2	${\displaystyle 0.140760434\ldots }$	OEIS: A117543
2	3	${\displaystyle 0.02380603347\ldots }$
3	2	${\displaystyle 0.03851619298\ldots }$	OEIS: A131653
3	3	${\displaystyle 0.00304936208\ldots }$

리만 제타 $함수{\displaystyle }$eta{\$displaystyle \zeta }$의 분모에 있는 각 정수는 리만 제타 $함수$를 P ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle k}$의 값으로 분류할$$ 수 있으며$,$ 이 $값$은 다음과 같다$.$ 제타 함수를 P k ${\$

${\displaystyle \zeta(s)=1+\sum _{k=1,2,\ldots }P_{k}s}$

Dirichlet 시리즈(일부 형식 매개 변수 u)가 만족한다는 것을 알기 때문에

${\displaystyle P_{\Oomega}(u,s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {u^{\Oomega(n)}}}}{n^{s}}}}=\p\in \mathb {P}}}\좌측(1-up^{-s}\오른쪽)^{-1},}$

오른쪽 측면 유형의 생성 함수가 있는 대칭 다항식 변형에 수식을 사용할 수 있다.즉, ${\displaystyle {우리}_{}}$는 P ${\displaystyle k{}_{}}$(${\displaystyle }$s )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ P ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle u}$ ${\displaystyle ,s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle h}$ (${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots )}$ ${\displaystyle P_{k}=[u^{k}]$라는 계수형 정체성을 가지고 있다.$P_{\Omega }(u,s)=h(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$ when the sequences correspond to ${\displaystyle x_{j}:=j^{-s}\chi _{\mathbb {P} }(j)}$ where ${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$ denotes the characteristic function of the primes.뉴턴의 신분을 이용해서, 우리는 이 합계에 대한 일반적인 공식을 가지고 있다.

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n}\atop {k_{1},\ldots, k_{n}\geq 0}\prod _{i=1}{p(is)}\frac {p.^{k_{i}}}{k_{i}!\cdot i^{k_{i}}}\오른쪽]=-[z^{n}]\log(1-\sum _{j\geq 1}{\frac{P(js)^{j}}{j}}\right).}$

특별한 경우에는 다음과 같은 명시적 확장이 포함된다.

${\displaystyle {\reasoned}P_{1}(s)&=P(s)\\P_{2}&={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(P)^{2}+P(2s)\오른쪽)\\\\P_{3}&={\frac {1}{6}}\왼쪽(P)^{3}+3P(2s)+2P(3s)\오른쪽)\\P_{4}&={\frac {1}{24}}\왼쪽(P)^{4}+6P^{2}P(2s)+3P(2s)^{2}+8P(3s)+6P(4s)\오른쪽.\end{정렬}}}$

Prime modulo zeta

동일한 모듈로 클래스에 있는 모든 프리타임에 걸쳐 합을 구성하는 것은 디리클레 L 기능의 감소인 더 많은 유형의 무한 시리즈를 도입한다.

참고 항목

• 프리타임의 왕복 합계의 차이

참조

• Merrifield, C. W. (1881). "The Sums of the Series of Reciprocals of the Prime Numbers and of Their Powers". Proceedings of the Royal Society. 33 (216–219): 4–10. doi:10.1098/rspl.1881.0063. JSTOR 113877.
• Fröberg, Carl-Erik (1968). "On the prime zeta function". Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT). 8 (3): 187–202. doi:10.1007/BF01933420. MR 0236123. S2CID 121500209.
• Glaisher, J. W. L. (1891). "On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers". Quart. J. Math. 25: 347–362.
• Mathar, Richard J. (2008). "Twenty digits of some integrals of the prime zeta function". arXiv:0811.4739 [math.NT].
• Li, Ji (2008). "Prime graphs and exponential composition of species". J. Comb. Theory A. 115 (8): 1374–1401. arXiv:0705.0038. doi:10.1016/j.jcta.2008.02.008. MR 2455584. S2CID 6234826.
• Mathar, Richard J. (2010). "Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli". arXiv:1008.2547 [math.NT].

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Prime Zeta Function". MathWorld.