갈로아 기하학
Galois geometry
갈로아 기하학(19세기 프랑스 수학자 에바리스 갈로아)은 유한장(또는 갈로아장)[1]에 대한 대수적 해석적 기하학과 관련된 유한기하학의 한 분야이다.좀 더 좁게는, 갈로아 기하학은 유한한 [2]필드 위에 투영된 공간으로 정의될 수 있다.
연구 대상에는 유한 필드 상의 아핀 및 투영 공간 및 그 안에 포함된 다양한 구조가 포함됩니다.특히, 아크, 타원형, 초이형, 유니탈, 블로킹 세트, 타원형, 캡, 스프레드 및 비확정 기하학에서 발견된 구조의 모든 유한 유사체.유한 필드에 걸쳐 정의된 벡터 공간은 특히 건설 방법에서 중요한 역할을 합니다.
유한 필드에 투영 공간
표기법
투영기하학의 일반적인 표기법이 가끔 사용되기는 하지만, PG(n, q)에 의해 유한장 위의 투영 공간을 나타내는 것이 더 일반적이다. 여기서 n은 "기하" 차원이고 q는 유한장(또는 갈로아장) GF(q)의 순서이며, 이는 소수 또는 소수여야 한다.
위 표기법에서 기하학적 치수는 선이 1차원, 평면이 2차원, 점이 0차원 등인 시스템을 말합니다.이 차원 개념이 벡터 공간에 사용되는 개념(즉, 기준 요소의 수)과 다르기 때문에 때로는 기하학적 대신 투영형이라는 용어를 사용하는 수식어가 필요합니다.통상, 같은 이름의 2개의 다른 개념을 가지는 것은 문맥상 다른 영역에서는 큰 어려움을 일으키지 않지만, 이 주제에서는 벡터 공간과 투영 공간 모두 중요한 역할을 하고 있어 혼란이 발생할 가능성이 높다.벡터 공간 개념은 때때로 대수적 [3]차원이라고 불린다.
건설
V = V(n + 1, q)는 유한장 GF(q)에 대해 정의된 (표준) 차원 n + 1의 벡터 공간을 나타낸다.투영 공간 PG(n, q)는 V의 모든 양의 (대칭) 차원 벡터 부분 공간으로 구성된다.구성을 보는 다른 방법은 PG(n, q)의 점을 동등성 관계 하에서 V의 비제로 벡터의 동등성 클래스로 정의하는 것이다.그런 다음 점 세트의 선형 독립성 정의를 사용하여 점으로부터 하위 공간이 구축됩니다.
서브스페이스
대수치수 d+V의 벡터 부분공간은 기하치수 d의 PG(n, q)의 (투영) 부분공간이다.투영 부분 공간에는 공통 기하학적 이름이 지정됩니다. 점, 선, 평면 및 솔리드는 각각 0, 1, 2 및 3차원 부분 공간입니다.전체 공간은 n차원 부분 공간이며, (n - 1)차원 부분 공간을 하이퍼플레인(또는 프라임)이라고 합니다.
벡터 공간 V(n, q)에서 대수 차원 d의 벡터 부분 공간의 수는 가우스 이항 계수에 의해 주어진다.
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\d\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{d-1})}{(q^{d}-1)(q^{d}-q)\cdots (q^{d}-q^{d-1})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad40c07409387b38aad64e11b5ea7cb4d852436)
따라서 PG(n, q)의 k차원 투영 서브스페이스의 수는 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)(q^{n+1}-q)\cdots (q^{n+1}-q^{k})}{(q^{k+1}-1)(q^{k+1}-q)\cdots (q^{k+1}-q^{k})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df9bcb577341ff84e410d8f0f439a4b2602a52e)
따라서 예를 들어, PG(3,2)의 줄 수(k = 1)는 다음과 같다.
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]_{2}={\frac {(2^{4}-1)(2^{4}-2)}{(2^{2}-1)(2^{2}-2)}}={\frac {(15)(14)}{(3)(2)}}=35.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11360f91d8d69a939485f90410bd7af558cf85bd)
따라서 P = PG(n, q)의 총 포인트 수(k = 0)는 다음과 같다.
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)}{(q-1)}}=q^{n}+q^{n-1}+\cdots +q+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bf67ee929a0c9ebc71890be1d1af761e83876e)
이것은 또한 P의 하이퍼플레인 수와 같다.
P점을 통과하는 라인 수는 n - + n - + +q + { q^{ + +1}로 계산할 수 있으며, 이는 고정점을 [4]통과하는 하이퍼플레인 수도 있습니다.
U와 W를 갈로아 형상 P = PG(n, q)의 부분 공간이라고 가정한다.교집합 U w W는 P의 부분 공간이지만 집합 이론 결합은 그렇지 않을 수 있다.이들 서브스페이스의 결합은 <U, W>로 나타나며 U와 W를 모두 포함하는 P의 최소 서브스페이스입니다.이 두 서브스페이스의 결합 및 교차 치수는 다음 공식에 의해 관련된다.
좌표
고정기준에 관하여 V의 모든 벡터는 GF(q)의 요소의 (n+1)-튜플에 의해 일의적으로 표현된다.투영 점은 벡터의 동등성 클래스이므로 동일한 점에 해당하는 여러 개의 다른 좌표가 있습니다.단, 각각이0이 아닌 스칼라 배수이기 때문에 이들 모두 서로 관련되어 있습니다.이로 인해 투영 공간의 점을 나타내는 데 사용되는 균질 좌표의 개념이 생겨났습니다.
역사
지노 파노는 갈로아 기하학 분야의 초기 작가였다.1892년 [5]그의 글에서, 투영 [6]n-공간에 대한 그의 일련의 공리들의 독립성을 증명하는 것에 대해, 그는 제4 고조파 점을 갖는 것의 결과가 그것의 켤레와 같다고 생각했다.이를 통해 15개의 점, 35개의 선 및 15개의 평면을 가진 유한한 3차원 공간에 7개의 점 및 7개의 선이 구성되며, 각 선은 3개의 [5]: 114 점만을 포함합니다.이 공간의 모든 평면은 7개의 점과 7개의 선으로 구성되어 있으며 현재는 Fano 평면이라고 알려져 있습니다.Fano는 계속해서 임의의 차원과 주요 질서의 갈로아 기하학을 묘사했다.
조지 콘웰은 1910년 커크먼의 여학생 문제의 해답을 갈로아 장 GF(2)[7] 위의 3차원 투영 기하학인 PG(3,2)의 스큐 선 집합의 분할로 특징지을 때 갈로아 기하학을 초기에 적용했다.특성 0의 장에 걸친 공간에서의 선 기하학 방법과 유사하게 Conwell은 PG(5,2)의 플뤼커 좌표를 사용하고 PG(3,2)의 선을 나타내는 점을 클라인 4차원의 점으로 식별했다.
1955년에 Beniamino Segre는 q 홀수로 난형을 특징지었다.세그르의 정리는 홀수 차수의 갈로아 기하학에서 모든 타원형이 원뿔형이라고 말한다.이 결과는 종종 갈로아 기하학을 중요한 연구 분야로 확립한 것으로 여겨진다.1958년 국제수학콩그레스(International Mathematical Congress)에서 세그르는 당시까지 알려진 갈로아 기하학의 결과 조사를 발표했다.
「 」를 참조해 주세요.
메모들
- ^ 스프링어링크
- ^ 갈로아 기하학으로 알려진 유한체상의 투영공간(Hirschfeld & Thas 1992년)
- ^ 대수적 차원에 대해 순위라는 용어를 사용하는 작가들이 있다.이것을 자주 하는 저자들은 기하학적 차원을 논할 때 차원을 사용한다.
- ^ Beutelspacher & Rosenbaum 1998, 24-25페이지
- ^ a b Fano, G. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche, 30: 106–132
- ^ Colino, Conte & Verra 2013, 6페이지
- ^ 조지 M.콘웰(1910) "3공간 PG(3,2)와 그 그룹", 수학연보 11:60-76 doi:10.2307/1967582
레퍼런스
- Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry / From Foundations to Applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
- Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro (2013). "On the life and scientific work of Gino Fano". arXiv:1311.7177.
- De Beule, Jan; Storme, Leo (2011), Current Research Topics in Galois Geometry, Nova Science Publishers, ISBN 978-1-61209-523-3
- Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries Over Finite Fields, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850295-1, emphasizing dimensions one and two.
{{citation}}: CS1 유지보수: 포스트스크립트(링크) - Hirschfeld, J. W. P. (1985), Finite Projective Spaces of Three Dimensions, Oxford University Press, ISBN 0-19-853536-8, dimension 3.
{{citation}}: CS1 유지보수: 포스트스크립트(링크) - Hirschfeld, J. W. P.; Thas, J. A. (1992), General Galois Geometries, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853537-9, treating general dimension.
{{citation}}: CS1 유지보수: 포스트스크립트(링크)
