매우 정규 그래프

순서 13의 창백한 그래프, 매개변수 srg(13,6,2,3)가 있는 강력 정규 그래프.

그래프 이론에서 강하게 규칙적인 그래프는 다음과 같이 정의된다.G = (V, E)를 v 정점과 도 k를 갖는 정규 그래프로 한다.G는 다음과 같은 정수와 μ가 있으면 강하게 규칙적이라고 한다.

각각의 인접한 두 꼭지점에는 공통적인 이웃이 있다.
두 개의 비인접 정점마다 μ의 공통 이웃이 있다.

이런 종류의 그래프는 때때로 srg(v, k, λ, μ)라고 한다.1963년 R.C. Bose에 의해 강하게 규칙적인 그래프가 도입되었다.^[1]

일부 저자들은 정의를 사소한 것으로 만족시키는 그래프, 즉 하나 이상의 동일한 크기의 전체 그래프와 이들의 보완인 ^[2]^[3]동일한 크기의 독립된 집합이 있는 완전한 다중 사이트 그래프를 제외한다.

srg(v, k, λ, μ)의 보완도 강하게 규칙적이다.srg(v, v - k - 1, v - 2k + μ, v - 2k + μ)이다.

강한 정규 그래프는 μ가 0이 아닐 때마다 직경이 2인 거리 정규 그래프다.λ = 1일 때마다 국소 선형 그래프다.

특성.

매개 변수 간의 관계

srg(v, k, μ, μ)의 4개 매개변수는 독립적이지 않으며 다음 관계를 준수해야 한다.

(v-k-1)\mu =k(k-\buffda -1)

위와 같은 관계는 다음과 같은 계수논증을 통해 매우 쉽게 도출될 수 있다.

그래프의 정점이 세 가지 수준으로 놓여 있다고 상상해 보십시오.레벨 0에서 루트로 정점을 선택하십시오.그리고 그것의 이웃들은 레벨 1에 있고, 다른 모든 꼭지점들은 레벨 2에 있다.
레벨 1의 정점은 뿌리와 직접 연결되기 때문에 뿌리와 공통인 다른 이웃이 있어야 하며, 이러한 공통의 이웃도 레벨 1에 있어야 한다.각 꼭지점에는 도 k가 있으므로 레벨 2의 노드에 연결하기 위해 $k-\lambda -1$ 1 $k-\lambda -1$ 마다 k - $k-\lambda -1$ - 1 $k-\lambda -1$ 개의 $k-\lambda -1$ 가장자리가 남아 있다.따라서 레벨 1과 레벨 2 사이에 $k(k-\lambda -1)$ - $k(k-\lambda -1)$ - $k(k-\lambda -1)$ ) ${\displaystyle k(k-\lambda -1)$ 에지가 $k(k-\lambda -1)$ 있다.
레벨 2의 정점은 뿌리와 직접 연결되지 않으므로 뿌리와 함께 μ의 공통 이웃이 있어야 하며, 이러한 공통 이웃은 모두 레벨 1이어야 한다.레벨 2에는 $(v-k-1)$ ( $(v-k-1)$ - $(v-k-1)$ - 1 $(v-k-1)$ ) ${\displaystyle (v-k-1)$ 정점이 $(v-k-1)$ 있으며, 레벨 1에서는 각각 μ 노드에 연결된다.따라서 레벨 1과 레벨 2 사이의 에지 수는 $(v-k-1)\mu$ ( $(v-k-1)\mu$ - $(v-k-1)\mu$ - $(v-k-1)\mu$ ) $(v-k-1)\mu$ $(v-k-1)\mu$ 이다 $(v-k-1)\mu$
수준 1과 수준 2 사이의 가장자리에 대한 두 식을 동일시하면 다음과 같은 관계가 나타난다.

인접 행렬

정체성 행렬을 나타내고 J가 순서 v의 행렬, 둘 다 하나의 행렬을 나타내도록 하자.강한 정규 그래프의 인접 행렬 A는 두 방정식을 만족한다.첫 번째:

AJ=JA=kJ,

그것은 규칙성 요건의 사소한 재작성이다.이것은 k가 전원 고유 벡터와 인접 행렬의 고유값임을 보여준다.두 번째는 2차 방정식이고

A^{2}=kI+\lambda {A}+\mu(J-I-A)

강한 규칙성을 나타내는 거야왼쪽의 ij-th 요소는 i에서 j까지의 2단계 경로의 수를 제공한다.RHS의 첫 번째 용어는 i에서 i까지의 자기 경로, 즉 k 엣지(k 엣지)를 바깥쪽으로 그리고 뒤로 이동시키는 횟수를 제공한다.두 번째 학기는 i와 j가 직접 연결되었을 때 2단계 경로의 수를 준다.세 번째 항은 i와 j가 연결되지 않았을 때 상응하는 값을 준다.세 가지 경우는 상호 배타적이고 집단적으로 완전하기 때문에 단순한 가법적 평등이 뒤따른다.

반대로 인접 행렬이 위의 두 조건을 모두 만족하고 완전하거나 널(null) 그래프가 아닌 그래프는 강한 정규 그래프다.^[4]

아이겐값

그래프의 인접 행렬에는 정확히 세 개의 고유값이 있다.

k, 다중성이 1인 경우(위 그림 참조)
${\frac {1}{2}}\left[(\lambda -\mu )+{\sqrt {(\lambda -\mu )^{2}+4(k-\mu )}}\,\right],$ whose multiplicity is ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[(v-1)-{\frac {2k+(v-$ $1)(\lambda -\mu )}{\sqrt {(\lambda -\mu )^{2}+4(k-\mu )}}\오른쪽]}$
${\frac {1}{2}}\left[(\lambda -\mu )-{\sqrt {(\lambda -\mu )^{2}+4(k-\mu )}}\,\right],$ whose multiplicity is ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[(v-1)+{\frac {2k+(v-$ $1)(\lambda -\mu )}{\sqrt {(\lambda -\mu )^{2}+4(k-\mu )}}\오른쪽]}$

승수는 정수여야 하므로 이들의 표현은 소위 크레인 조건과 관련된 v, k, μ, μ, λ의 값에 추가적인 제약을 제공한다.

$2k+(v-1)(\lambda -\mu )\neq 0$ + $2k+(v-1)(\lambda -\mu )\neq 0$ ( $2k+(v-1)(\lambda -\mu )\neq 0$ - $2k+(v-1)(\lambda -\mu )\neq 0$ ) ( $2k+(v-1)(\lambda -\mu )\neq 0$ - $2k+(v-1)(\lambda -\mu )\neq 0$ ) $2k+(v-1)(\lambda -\mu )\neq 0$ 0 $2k+(v-1)(\lambda -\mu )\neq 0$ 의 정수 고유값이 동일하지 $2k+(v-1)(\lambda -\mu )\neq 0$ 않은 정규 그래프.

대칭적인 회의 행렬과의 연관성 때문에 $2k+(v-1)(\lambda -\mu )=0$ + $2k+(v-1)(\lambda -\mu )=0$ ( $2k+(v-1)(\lambda -\mu )=0$ - $2k+(v-1)(\lambda -\mu )=0$ = 0 $2k+(v-1)(\lambda -\mu )=0$ 에 해당하는 강력한 정규 그래프를 회의 그래프라고 한다 $2k+(v-1)(\lambda -\mu )=0$ .매개 변수가 다음과 같이 감소함

\probname {v-g} \left(v, {\frac {1}{1}{1}(v-1){\frac {1}{4}(v-1)\right)).

반대로 고유값이 3개만 있는 연결된 정규 그래프는 매우 정규적이다.^[5]

예

길이 5의 주기는 srg(5, 2, 0, 1)이다.
피터슨 그래프는 srg(10, 3, 0, 1)이다.
Clebsch 그래프는 srg(16, 5, 0, 2)이다.
슈리칸데 그래프는 거리 변환 그래프가 아닌 srg(16, 6, 2, 2)이다.
n × n 제곱 루크의 그래프, 즉 균형 잡힌 완전 양분 그래프 K의_n,n 선 그래프는 srg(n², 2n - 2, n - 2, 2)이다.n = 4에 대한 모수는 슈리칸데 그래프의 모수와 일치하지만 두 그래프는 이형성이 아니다.
전체 그래프 K의_n 선 그래프는 ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ ( ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ ( ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ ) ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ , ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ ( ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ n ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ - 2 ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ ) ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ , ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ - ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ , ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$ ) ${\$ 입니다 ${\textstyle \operatorname {srg} \left({\binom {n}{2}},2(n-2),n-2,4\right)}$
창 그래프는 srg(28, 12, 6, 4)로 K의₈ 선 그래프와 같지만 이 네 개의 그래프는 이형성이 없다.
일반화 사각형 GQ(2, 4)의 선 그래프는 srg(27, 10, 1, 5)이다.사실 모든 일반화된 순서(s, t)의 쿼드랭글은 위트에게 srg(s + 1)(st + 1) s(t + 1) s(t + 1) s - 1, t + 1)라는 강력한 정규 그래프를 제공한다.
슐래플리 그래프는 srg(27, 16, 10, 8)이다.^[6]
호프만-싱글턴 그래프는 srg(50, 7, 0, 1)이다.
Sims-Gewirtz 그래프는 (56, 10, 0, 2)이다.
M22 그래프라 불리는 메스너 그래프는 srg(77, 16, 0, 4)이다.
브루워-헤이머스 그래프는 srg(81, 20, 1, 6)이다.
Higman-Sims 그래프는 srg(100, 22, 0, 6)이다.
Local McLaughlin 그래프는 srg(162, 56, 10, 24)이다.
카메론 그래프는 srg(231, 30, 9, 3)이다.
Berlekamp-van Lint-Si델 그래프는 srg(243, 22, 1, 2)이다.
맥러플린 그래프는 srg(275, 112, 30, 56)이다.
순서 q의 창백한 그래프는 srg(q, (q - 1)/2, (q - 5)/4, (q - 1)/4)이다.q = 5로 가장 작은 Paley 그래프는 5주기(위)이다.
자가 계산 호 변환 그래프는 매우 정규적이다.

강하게 규칙적인 그래프는 그래프와 그 보어가 모두 연결되어 있으면 원시 그래프를 원시 그래프라고 한다.위의 모든 그래프는 원시적이며, 그렇지 않으면 μ = 0 또는 μ = k가 된다.

콘웨이의 99그래프 문제는 srg(99, 14, 1, 2)의 건설을 요구한다.이러한 파라미터를 가진 그래프가 존재하는지 여부는 알 수 없으며, 존 호튼 콘웨이는 이 문제의 해결책에 대해 1,000달러의 상금을 내걸었다.^[7]

삼각형이 없는, 무어 및 측지 그래프

λ = 0인 강력 정규 그래프는 삼각형이 자유롭다.3개 정점 이하에 대한 전체 그래프와 모든 완전한 초당적 그래프 외에 위에 열거된 7개 그래프(펜타곤, 피터슨, 클레브슈, 호프만-싱글턴, 게위츠, 메스너-M22, 히그만-심스)가 유일하게 알려져 있다.λ = 0, μ = 1인 강력 정규 그래프는 둘레가 5인 무어 그래프다.다시 위에 주어진 세 개의 그래프(펜타곤, 피터슨, 호프만-싱글턴), 매개변수(5, 2, 0, 1)와 (10, 3, 0, 1)와 (50, 7, 0, 1)만이 알려져 있다.무어 그래프를 산출할 수 있는 다른 가능한 매개변수 집합은 (3250, 57, 0, 1)밖에 없다. 그러한 그래프가 존재하는지, 존재하는지 여부는 알 수 없으며, 존재한다면 그것이 고유한지 여부도 알 수 없다.^[8]

보다 일반적으로 $\mu =1$ = $\mu =1$ ${\displaystyle \mu$ =1}을 $($ 를) 갖는 모든 강력 정규 그래프는 측지 그래프로서 $\mu = 1$ , 두 꼭지점마다 고유한 미가중 최단 경로를 갖는 그래프다.^[9] $\mu =1$ = $\mu =1$ ${\displaystyle \mu =$ 1}을 $($ 를) 갖는 강하게 알려진 유일한 정규 그래프는 무어 그래프다 $\mu =1$ . $\lambda =1$ 그래프가 $\lambda =1$ = 1 $\lambda =1$ 인 것은 가능하지 않지만 (400, 21, 2, 1)와 같은 다른 파라미터 조합은 아직 배제되지 않았다. $\mu =1$ = $\mu =1$ ${\displaystyle \mu =$ 1}을 $($ 를) 갖는 강력한 $\mu =1$ 정규 그래프의 특성에 대한 연구가 진행 중이지만,^[10]^[11] 더 이상 존재하는지 또는 그 수가 유한한지조차 알 수 없다.^[9]

참고 항목

메모들

^ https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103035734, R. C. Bose, 강력 정규 그래프, 부분 기하학 및 부분 균형 설계, Pacific J. Math 13 (1973) 389–419 (p. 122)
^ Brower, Andries E; 해머, Willem H. Spectrum of Graphs. 페이지 101 웨이백 머신에 2012-03-16 보관
^ Godsil, Chris; Royle, Gordon.대수 그래프 이론.Springer-Verlag New York, 2001, 페이지 218.
^ Cameron, P.J.; van Lint, J.H. (1991), Designs, Graphs, Codes and their Links, London Mathematical Society Student Texts 22, Cambridge University Press, p. 37, ISBN 978-0-521-42385-4
^ Godsil, Chris; Royle, Gordon.대수 그래프 이론.Springer-Verlag, 2001년 뉴욕, Lema 10.2.1.
^ Weisstein, Eric W., "Schläfli graph", MathWorld
^ Conway, John H., Five $1,000 Problems (Update 2017) (PDF), Online Encyclopedia of Integer Sequences, retrieved 2019-02-12
^ Dalfó, C. (2019), "A survey on the missing Moore graph", Linear Algebra and its Applications, 569: 1–14, doi:10.1016/j.laa.2018.12.035, hdl:2117/127212, MR 3901732
^ ^a ^b Blokhuis, A.; Brouwer, A. E. (1988), "Geodetic graphs of diameter two", Geometriae Dedicata, 25 (1–3): 527–533, doi:10.1007/BF00191941, MR 0925851
^ Deutsch, J.; Fisher, P. H. (2001), "On strongly regular graphs with $\mu =1$ ", European Journal of Combinatorics, 22 (3): 303–306, doi:10.1006/eujc.2000.0472, MR 1822718
^ Belousov, I. N.; Makhnev, A. A. (2006), "On strongly regular graphs with $\mu =1$ and their automorphisms", Doklady Akademii Nauk, 410 (2): 151–155, MR 2455371

참조

A.E. 브루어, A.M. 코헨, A.E.Neumaier(1989), 거리 정규 그래프.뉴욕 주 베를린: 스프링거-베를라크.ISBN 3-540-50619-5, ISBN 0-387-50619-5
크리스 고딜과 고든 로일(2004), 대수 그래프 이론.뉴욕: 스프링거-베를라크.ISBN 0-387-95241-1

외부 링크

[1] ttps://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103035734, R. C. Bose, 강력 정규 그래프, 부분 기하학 및 부분 균형 설계, Pacific J. Math 13 (1973) 389–419 (p. 122)

[2] Brower, Andries E; 해머, Willem H. Spectrum of Graphs. 페이지 101 웨이백 머신에 2012-03-16 보관

[3] Godsil, Chris; Royle, Gordon.대수 그래프 이론.Springer-Verlag New York, 2001, 페이지 218.

[4] Cameron, P.J.; van Lint, J.H. (1991), Designs, Graphs, Codes and their Links, London Mathematical Society Student Texts 22, Cambridge University Press, p. 37, ISBN 978-0-521-42385-4

[5] Godsil, Chris; Royle, Gordon.대수 그래프 이론.Springer-Verlag, 2001년 뉴욕, Lema 10.2.1.

[6] Weisstein, Eric W., "Schläfli graph", MathWorld

[7] Conway, John H., Five $1,000 Problems (Update 2017) (PDF), Online Encyclopedia of Integer Sequences, retrieved 2019-02-12

[8] Dalfó, C. (2019), "A survey on the missing Moore graph", Linear Algebra and its Applications, 569: 1–14, doi:10.1016/j.laa.2018.12.035, hdl:2117/127212, MR 3901732

[bb-9] Blokhuis, A.; Brouwer, A. E. (1988), "Geodetic graphs of diameter two", Geometriae Dedicata, 25 (1–3): 527–533, doi:10.1007/BF00191941, MR 0925851

[10] Deutsch, J.; Fisher, P. H. (2001), "On strongly regular graphs with $\mu =1$ ", European Journal of Combinatorics, 22 (3): 303–306, doi:10.1006/eujc.2000.0472, MR 1822718

[11] Belousov, I. N.; Makhnev, A. A. (2006), "On strongly regular graphs with $\mu =1$ and their automorphisms", Doklady Akademii Nauk, 410 (2): 151–155, MR 2455371

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자동화에 의해 정의된 그래프 패밀리
거리 변환의	→	거리 규칙의	←	매우 규칙적인.
↓
대칭(대칭 변환)	←	t-변환, $t \geq 2$		꼬불꼬불한
↓
_{(연결된 경우)} 정점 및 에지 변환	→	가장자리-변환적이고 규칙적인	→	가장자리-변환성
↓		↓		↓
정점 변환의	→	정칙의	→	_{(양립할 경우)} 복엽의
↑
케이리 그래프	←	무궤도적		비대칭의

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