라구에르 평면

수학에서 라구에르 비행기는 뫼비우스 비행기, 라구에르 비행기, 민코프스키 비행기 등 3종류의 벤츠 평면 중 하나이다.라구에르 비행기는 프랑스의 수학자 에드몽 니콜라스 라구에르(Edmond Nicolas Laguerre)의 이름을 따서 명명되었다.

고전적 라구에르 평면은 실제 부속 평면에서 $곡선{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c},$ 즉 파라볼라와 선의 발생 행동을 설명하는 입사 구조다.구조를 단순화하기 위해, 어떤 곡선${\displaystyle }$y = ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle bx}$ + $c에 대해$, $포인트$$({\displaystyle ,,\mathrm{}}$$,,$ ∞, ∞, $∞,$ ∞,$$∞) {\$displaystyle (\inful,a)}$을 추가한다$$.이 완성의 또 다른 장점은 완성된 포물선/라인의 평면 기하가 실린더의 평면 단면 기하학과 이형적이라는 것이다(아래 참조).

클래식 리얼 라구에르 평면

원래 고전적인 라구에르 평면은 실제 유클리드 평면에서 방향 선과 원의 기하학적 구조로 정의되었다( 참조).여기서는 고전적인 라구에르 평면의 포물선 모델을 선호한다.

다음을 정의한다.

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\mathbb {R} ^{2}\cup (\{\infty \}\times \mathbb {R} ),\ \infty \notin \mathbb {R} ,}$ the set of points, ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:$$=\\{\{(x,y)\in \mathb {R} ^{2$}\$mid$y=$ax^{2}+bx+c\}\cp \mid a,b,c\in \$mathb {$R}}}}$ 사이클 집합$$.

발생 구조$({\displaystyle P,}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle \in }$) ${\displaystyle({\mathcal{P},{\mathcal{Z},\in$)를 고전적인 라구에르 평면이라고 한다$$.

포인트 세트는 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}에$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 복사본($$그림 참조).임의의 파라볼라/라인 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle$ y$=ax^{2}+bx+c}$은${\displaystyle (}$는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (\infuly,a)}$의 추가 포인트를 얻는다$$$.$

x 좌표가 같은 점은 ${\displaystyle {}^{}}$ $y{\displaystyle }$= x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle c}$를 사용하여 연결할 수 없음$(\backslash$$displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ .따라서 우리는 다음을 정의한다.

${\displaystyle A}$= ${\displaystyle B}$ ${\$$displaystyle A$$,B}$이(가) 평행이거나 $A$ ${\displaystyle A}$과$($$와{\displaystyle }$) B ${\$displaystyle A}을$$(를) 포함하는 주기가 없는 경우 두 점 $A{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$ ${\$$displaystystyle A$$,B$$}$이($가$)가$$ 평행이 된다$.$

For the description of the classical real Laguerre plane above two points ${\displaystyle (a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})}$ are parallel if and only if ${\displaystyle a_{1}=b_{1}}$. ${\displaystyle \parallel }$ is an equivalence relation, similar to the parallelity of줄들

발병률이 구조(P, Z, ∈){\displaystyle({{P}},{{Z}\mathcal}\mathcal ,\in)}:다음 속성을 가진다.

Limma:

• 아무거나 3가지 지점 A, B, C{A, B, C\displaystyle}, pairwise 평행하지 않고 있지만, 정확히 한번의 사이클 z{z\displaystyle}A, B, C{A, B, C\displaystyle}다.
• P{P\displaystyle}과 사이클 z{z\displaystyle}어떤 점에 관해서 딱 한 P점′∈ z{\displaystyle P'\in z}가 P∥ P′{\displaystyle P\parallel P의}이다.
• 사이클 z{z\displaystyle}는 P점 ∈ z{\displaystyle P\in z}과 어떤 지점은 P평행하지 않다 Q∉은 z{\displaystyle Q\notin z}{P\displaystyle}딱 한번의 사이클 z′P를 통해{\displaystyle z'}, z∩ z와 Q{P,Q\displaystyle}′){P}{\displaystyle z\cap z' 있다.=\{P\}}, 즉 Pz{z\displaystyle}와 z′{\displaystyle z'}터치 서로{P\displaystyle}.

고전적인 Moebius 평면의 구체 모델과 유사하게 고전적인 Laguerre 평면에 대한 실린더 모델이 있다.

${\displaystyle (P}$, ${\displaystyle Z\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \in }$) ${\displaystyle({\mathcal {P},{\mathcal {Z},\in )}$은(는) R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 있는 원형 실린더의 평면 단면 기하학과는 이형이다.$$

The following mapping ${\displaystyle \Phi }$ is a projection with center ${\displaystyle (0,1,0)}$ that maps the x-z-plane onto the cylinder with the equation ${\displaystyle u^{2}+v^{2}-v=0}$, axis ${\displaystyle (0,{\tfrac {1}{2}},..)}$ and radius ${\displaystyle r=}$${\displaystyle$

${\displaystyle \Phi :\ (x,z)\오른쪽 화살표({\frac {x}{1+x^{2)}}},{\frac {x^{2}}:{1+x^{2}}}}},{\frac {z}{1+x^{2}}}=(u,v,w)\ .}$

• 포인트${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$) ${\디스플레이$ 스타일 ($0,1,a)}($원통에서 중심을 통과하는 선)는 이미지로 나타나지 않는다.
• ${\displaystyle \Phi }$ projects the parabola/line with equation ${\displaystyle z=ax^{2}+bx+c}$ into the plane ${\displaystyle w-a=bu+(a-c)(v-1)}$. So, the image of the parabola/line is the plane section of the cylinder with a non perpendicular plane and hence a circle/점 ${\displaystyle \mathrm{없는}}$ 타원(0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$) ${\디스플레이$ 스타일$(0,1,a$ 포물선/라인 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\디스플레이$ 스타일 $z=ax^{2}+a}$가 (수평) 원에 매핑되어 있다$$.
• $선$(a$=0)$은 중심(0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0}$)을 통과하는$$ 원/$엘립스$와 ${\displaystyle \mathrm{포물선}(0,}$ ${\displaystyle 1}$,$$0$)$을 포함하지 $않는$ 원/$엘립스$에 매핑된다$.$

라구에르 평면의 공리

위의 보조정리법은 다음과 같은 정의를 내린다.

$L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle :=(P,}$ ${\displaystyle Z,}$ $){\displaystyle {\mathcal{L}:=({\mathcal{P},{\mathcal{$$Z}})$가 포인트 $세트{\displaystyle \mathcal{}}$ P ${\$$mathcal$$}$와 사이클 ${\displaystyle \mathcal{}}$ Z ${\displaystycal {Z}$을 갖는 발생 구조가 되도록$$ 한다$.$
${\displaystyle A}$= ${\displaystyle B}$ ${\$$displaystyle A$$,B}$이(가) 평행이거나 $A$ ${\displaystyle A}$과$($$와{\displaystyle }$) B ${\$displaystyle A}을$$(를) 포함하는 주기가 없는 경우 두 점 $A{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$ ${\$$displaystystyle A$$,B$$}$이($가$)가$$ 평행이 된다$.$
${\displaystyle \mathcal{L}}$ ${\$은(는) 다음과 같은 공리가 유지되는 경우 Laguerre 평면이라고 한다$$.

B1:$$$A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ C ${\displaystyle A,$${\displaystyle B}$$,C}$이(가) 평행하지 않은${\displaystyle }경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle A,}$ B,$$C {\$displaystyle A,B,$C}을(를$$) $포함$하는 사이클$$z {\$displaystyle z}$이(가) 정확히 하나 있다$.$

B2: $모든{\displaystyle }$ 점 P ${\displaystyle P}$ 및 $사이클$ z ${\displaystyle z}$에 대해 $정확히{\displaystyle }$ 한 $점{\displaystyle {}^{}}$ P${\displaystyle }$${\displaystyle {\prime }^{}}$ ′ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \in }$ ∈ z ${\$ $z$$\}$이(가) 있음$$

B3: For any cycle ${\displaystyle z}$, any point ${\displaystyle P\in z}$ and any point ${\displaystyle Q\notin z}$ that is not parallel to ${\displaystyle P}$ there is exactly one cycle ${\displaystyle z'}$ through ${\displaystyle P,Q}$ with ${\displaystyle z\ca$$p'z'=\{P$

$예{\displaystyle }$: $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ $및{\displaystyle {}^{}}$ z$$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ z$'}$은(는) P ${\displaystyle P}$에서 서로 터치한다$.$

B4: 모든 사이클에는 최소 3개의 지점이 포함되어 있다.적어도 한 사이클은 있다.사이클에 있지 않은 지점이 적어도 4개 있다.

$A{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$$,$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$이(가) A$,B$인 $사이클$ $z{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ ${\displaystyle z}$$}$이(가$)$ 있는 경우 4개의 지점이 순환된다$.$

관계$$ $\parallel {\displaystyle }$ ${\displaystyle \parallel$} 및 axiom B2의 정의로부터 우리는 다음과 같이 얻는다.

보조정리: 관계 $\parallel {\displaystyle }$ ${\displaystyle \parallel$}은$($는) 동등성 관계다.

고전적인 라구에르 평면의 실린더 모델에 따라 다음과 같은 변성법을 도입한다.

a) $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P\mathcal{}}$ ${\$에 대해 $P{\displaystyle \stackrel{}{}}$: ${\displaystyle :=}${${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \parallel }$ ${\displaystyle Q}$} ${\displaystyle {\overline {P}:$$=\{Q\in {\mathcal {P}\\P\\\$P${\displaystyle \stackrel{}{\backslash }}$$parallel$ Q$\backslash \}$b) 동등성 클래스 $P{\displaystyle \stackrel{}{}}${\$displaystyle {\overline{P}}$을(를) 제너레이터라고 한다$$.

고전적인 Laguere 평면의 경우 발전기는 y축(평면 모델)에 평행한 선 또는 실린더의 선(공간 모델)이다.

선형 기하학과의 연결은 다음 정의에 의해 주어진다.

Laguerre 평면 L ${\displaystyle :=}$( ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle \in }$) ${\displaystyle {\mathcal {L}:=({\mathcal {P},{\mathcal {Z},\in )}$에 대해 로컬$$ 구조를 정의한다.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus \{{\overline {P}}\},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\ \ P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{{\overline {Q}}\ \ Q\in {\mathcal {P}}\setminus \{{\overline {P}}\},\in )}$

P 지점의 잔여물이라고 불러야 해

고전적인 라귀에르 평면 A의 평면 모델에서 $∞{\$는 실제$$ 아핀 평면 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\$ 일반적으로 우리는 다음과 같이 한다.

정리:라구에르 평면의 모든 잔여물은 아핀 평면이다.

그리고 라구에르 평면의 등가 정의:

정리:$P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 동등성 관계${\displaystyle }$with ${\displaystyle \parallel }$과(와) 함께 발생 구조는 임의의 $지점{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P$}에$$ 대해 ${\displaystyle {잔류물}_{}}$ A P ${\$_{$P}$이 아핀 평면인$$ 경우에만 Laguerre이다.

유한 라구에르 평면

다음 발생 구조는 라구에르 평면의 "최소 모델"이다.

${\displaystyle {\mathcal{P}:=\{A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}\,}$

${\displaystyle {\mathcal{Z}:=\\{A_{i},B_{j},C_{k}\}\\,j,k=1,2\}\,}$

${\displaystyle A_{1}\병렬 A_{2},\B_{1}\병렬 B_{2},\C_{1}\병렬 C_{2}\ .}$

따라서 ${\displaystyle P\mathcal{}}$= ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle {\mathcal {P} =6}$ 및 ${\displaystyle Z}$ = ${\displaystyle 8}$. ${\displaystyle {\mathcal {Z}$= $8\}$

유한한 Laguerre 평면의 경우, P< {\$displaystyle${\$mathcal$ {$P} <\infully })$를 얻는다

Lemma: For any cycles ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ and any generator ${\displaystyle {\overline {P}}}$ of a finite Laguerre plane ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ we have:

${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle z{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle P\stackrel{\text{'}}{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z_{1}$ = $z_{2}$ = ${\overline{P} +1$

For a finite Laguerre plane ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ and a cycle ${\displaystyle z\in {\mathcal {Z}}}$ the integer ${\displaystyle n:= z -1}$ is called order of ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.

콤비네이터틱스로부터 우리는 얻는다.

Lema: $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle :=}$( ${\displaystyle P,Z\mathcal{}}$,${\displaystyle )}$ $){\displaystyle${\$mathcal{L}:=({\mathcal{P},{\mathcal{Z},\in$)}를 Laguerre$$—$순서$의 n ${\displaystyn$그러면.

a) any residue ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}}$ is an affine plane of order ${\displaystyle n\quad ,}$ b) ${\displaystyle {\mathcal {P}} =n^{2}+n,}$ c) ${\displaystyle {\mathcal {Z}} =n^{3}.$$}$

미켈리안 라구에르 비행기

Moebius 비행기와는 달리, $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 임의 $필드{\displaystyle }$ K$${\$displaystyle K}$로 대체하는 것과 같이$,$ 항상 Laguerere 평면의 예로 이어진다.

정리:$필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$의 경우

${\displaystyle {\mathcal{P}}:$$=K^{2}\$${\displaystyle \mathrm{cup}}$ $}$${\displaystyle }$(${\displaystyle }${ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \times }$ K ) ,${\displaystyle \text{∞}\mathrm{}}$ ${\displaystyle \notin }$ K ${\displaystyle (\\\notin K}),\ \infort \notin K}$,

${\displaystyle {\mathcal$$=\\{\{(x,y)\in$ K$^{2}\ \ y=ax^{2}+bx+$c\}\c\$cp \{(\fty,a)\}\c\$ a$,b,c\in$ K$\}}}}$발생$$ 구조

${\displaystyle {\mathcal{\l}}(K):$$=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ is a Laguerre plane with the following parallel relation: ${\displaystyle (a_{1},a_{2})\parallel (b_{1},b_{2})}$ if and only if ${\displaystyle a_{1}=b_{1}}$.

뫼비우스 비행기와 유사하게 미켈 정리의 라구에르 버전에는 다음과 같은 것이 있다.

미켈의 정리:Laguerre 평면 $L{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle {\mathcal{L}(K)}$의 경우 다음이$$ 참이다.

평행하지 않은 8쌍의 점 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 8 ${\$가 5면 점들이 컨실리 4배와 일치하도록 큐브의 정점에 할당될 수 있는 경우, 점의 여섯 번째 4배 역시 컨실리컬이다.

(그림에서 더 나은 개요를 위해 포물선 대신 원이 그려짐)

미켈의 정리의 중요성은 v. d. Waerden, Smid, Chen에 기인하는 다음과 같은 정리에 나타나 있다.

정리:라귀에르 평면 $L{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle {\mathcal{L}}(K)$만이 미켈의 정리를 만족한다$$.

마지막 정리 $L{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle {\mathcal{L}}(K)}$을(를) "미켈리안 라구에르 평면"이라고 한다$$.

라구에르 평면의 최소 모델은 미켈리안이다.$K{\displaystyle }$= ${\displaystyle G}$ F${\displaystyle (2}$) ${\displaystyle$ ${\mathcal{{$$L}(K)}$과($$필드$$${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystyle \{0,1\$displaystyle \}).$$

적절한 입체 투영을 통해 $L{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle K}$ )${\displaystyle {\mathcal{L}(K)}$이(가) $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$ 위에 있는 4중 실린더의 평면 섹션의 기하학적 구조와 이형성이 있음을$$ 알 수 있다$.$

오보이드 라구에르 평면

미켈리안이 아닌 많은 라구에르 비행기가 있다(아래 웹링크 참조).미켈리안 라구에르 평면과 가장 유사한 클래스는 난형 라구에르 평면이다.난형 라구에르 평면은 원뿔이 아닌 타원형을 사용하여 구성된 원통면의 평면 단면 기하학이다.타원형은 2차적 집합이며 투영면에서 비 퇴행 원뿔과 동일한 기하학적 특성을 가지고 있다: 1) 선은 0, 1 또는 2개의 점으로 타원형을 교차하고 2) 어느 지점에서나 고유한 탄젠트가 있다.실제 평면의 단순한 타원형은 결과가 원뿔이 아닌 것처럼 서로 다른 타원 두 개를 적절히 접착하여 구성할 수 있다.유한한 경우에도 난자가 존재한다(이차 집합 참조).

참고 항목

• 라구에르 변환

참조

외부 링크

• 수학 백과사전 속의 벤츠 비행기
• 강의 노트 Planar Circle Geometries, Moebius-, Laguerre- 및 Minkowski Planes 소개