홈런햄 콕스(마테마틱스

홈런햄 콕스
태어난	1857년 7월 15일 윔블던, 서리
죽은	1918년 5월 27일(1918-05-27) (60세) 알라하바드

홈런햄 콕스 (1857–1918)는 영국의 수학자였다.^[1][2]

인생

그는 홈런햄 콕스(1821–1897)의 아들이자 해롤드 콕스의^[3] 동생으로 톤브리지 스쿨(1870–75)에서 교육을 받았다.케임브리지 트리니티 칼리지에서 그는 B를 졸업했다.1880년에 4번째 랭글러로 A, 1883년에 MA.그는 1881년에 친구가 되었다.그의 여동생 마가렛은 그를 종종 완전히 생각에 잠기는 사람이라고 묘사했다.^[4]그는 에이미 콕스와 결혼했다.^[5]후에 그들은 헤어졌고 그녀는 1907년에 러시아에서 가정교사로 일하기 시작했다.^[6]

콕스는 물리학에 대수학을 응용한 4편의 논문을 썼고, 1885년 산술에 관한 책으로 수학 교육에 눈을 돌렸다.그의 산술 원리는 2진수, 소수, 순열을 포함했다.^{[c 1]}

무어 중앙대학에서 수학을 가르치기로 계약한 콕스는 1891년부터 1918년 사망할 때까지 우타르프라데시 주의 알라하바드에 거주하게 되었다.그는 에이미 콕스와 결혼했고, 에이미 콕스는 딸 우슐라 콕스를 낳았다.^[5]

비유클리드 기하학 연구

1881–1883년 그는 비유클리드 기하학에 관한 논문을 발표했다.^{[c 2][c 3][c 4][c 5]}

예를 들어, 1881년 논문 (1881년과 1882년 두 파트로 출판된)^{[c 2][c 3]}에서 그는 현재 빌헬름 킬링 (1879년)과 앙리 푸앵카레 (1881)에 의해 도입된 하이퍼볼로이드 모델의 Weierstrass 좌표라고 불리는 쌍곡 기하학에 대한 동종 좌표를 기술했다.Like Poincaré in 1881, Cox wrote the general Lorentz transformations leaving invariant the quadratic form ${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$, and in addition also for ${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$. He also formulated the Lorentz boost which he de194페이지의 쌍곡면에서는 원점의 이전으로 간주된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=x\cosh p-z\sinh p\\Z&=-x\sinh p+z\cosh p\end{aligned}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{aligned}x&=X\cosh p+Z\sinh p\\z&=X\sinh p+Z\cosh p\end{aligned}}}$

비슷한 공식은 1874년 구스타프 폰 에스케리히가 사용했는데, 콕스는 186페이지에서 언급하고 있다.비유클리드 기하학, 쿼터니언 및 외부 대수학을 다루는 그의 1882/1883년^{[c 4][c 5]} 논문에서 그는 쌍곡면 내 점 P에서 점 Q로의 이전을 기술하는 다음과 같은 공식을 86페이지에 제공했다.

${\displaystyle {\reasoned}QP^{-1}&=\cosh \theta +\iota \sinh \theta \\QP^{-1}&=e^{\iota \theta }\ended}\quad (\iota ^{2}=1)}$

together with ${\displaystyle \cos \theta +\iota \sin \theta }$ with ${\displaystyle \iota ^{2}=-1}$ for elliptic space, and ${\displaystyle 1-\iota \theta }$ with ${\displaystyle \iota ^{2}=0}$ for parabolic space.88페이지에서, 그는 이 모든 사례들을 쿼터니언 배수로 식별했다.변종 $\iota {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \iota ^{2}=1}$는 현재 쌍곡수라고 불리며, 왼쪽의 전체 표현은 쌍곡선 버시버로 사용할 수 있다.그 후, 그 논문은 알프레드 노스 화이트헤드(1898)에 의해 다음과 같이 기술되었다.^[7]

Homberham Cox는 2차원 및 3차원 이상의 쌍곡 기하학에 적용되는 Clliford의 Biquaternions와 유사한 선형 대수[cf. 22]를 구성한다.그는 또한 타원체와 쌍곡선 공간에서의 거리 공식의 표현에 그라스만의 내적 곱셈의 적용가능성을 지적하고 힘의 계통 계통 이론에 적용한다.그의 논문 전체가 가장 시사적이다.

콕스 체인

1891년 Cox는 3차원의 유클리드 기하학에서 일련의 이론들을 발표했다.

(i) 3차원의 공간에서는 점 0을 통과하여 a, b, c, d, e, ...을 통과한다.

(ii) 각 두 평면은 0부터 0까지 일직선으로 교차한다.그러한 각 선에서 점은 무작위로 취해진다.평면 a와 b의 교차선에 있는 점을 점 아브라고 한다.

(iii) a, b, c 세 평면은 bc, ac, ab 세 점을 부여한다.이것들이 평면을 결정한다.비행기 abc라고 불릴 것이다.따라서 평면 a, b, c, abc는 정점 bc, ac, abb, 0으로 4면체를 형성한다.

(iv) a, b, c, d 4개의 평면은 abc, abd, acd, bcd 4개의 평면을 제공한다.이것들은 한 점에서 만난다는 것을 증명할 수 있다.그것을 abcd라고 불러라.

(v) a, b, c, d, e 5개 평면은 abcd와 같은 5점을 부여한다.이것들은 비행기에 놓여 있다는 것을 증명할 수 있다.비행기 abcde라고 불러.

(vi) a, b, c, d, e, f 6개의 평면은 abcde와 같은 6개의 평면을 준다.이것들은 한 점에서 만난다는 것을 증명할 수 있다.그것을 abcdef라고 불러라.무기한으로.^{[c 6]}

그 정리는 둘 다 무한한 정리 사슬이기 때문에 클리포드의 원 정리들과 비교되어 왔다.1941년 리치몬드는 콕스의 체인이 우월하다고 주장했다.

콕스의 관심은 그라스만의 아우스데농슬레르(Ausdehnslehre)의 어플리케이션 발견에 있었다. 그리고 그는 그 끝을 위해 체인을 사용한다.현재의 어떤 지오미터(평면에 있는 콕스의 원 속성의 많은 부분이 약간 인위적으로 보이지는 않아야 한다)는 것은 우주에서의 점과 평면에 대한 그의 형상이 그것에서 유래한 평면에 있는 원의 형상보다 단순하고 더 근본적이라는 데 동의할 것이다.그러나 두 개의ⁿ 원의 이 수치는 의심할 여지 없이 클리포드에 대한 콕스의 체인의 우월성을 보여준다; 후자의 경우 전자의 원의 절반이 포인트로 줄어들 때 특별한 경우에 포함된다.콕스의 2개의ⁿ 원은 기초적인 방법으로 얻을 수 있다.^[8]

H. S. M. Coxeter는 선 아브에 있는 임의의 점을 약 0에 교차하는 임의의 구와 교환함으로써 클리포드의 정리를 도출했다.평면 a, b, c, ...는 평면 안에 입체적으로 투영될 수 있는 원형으로 이 구체와 교차한다.그러면 콕스의 평면 언어는 클리포드의 원으로 번역된다.^[9]

1965년에 Cox의 처음 세 가지 이론은 Coxeter의 교과서 기하학 입문에서 증명되었다.^[10]

작동하다

참조

참고 문헌 목록