흔들림(수학)

수학에서, 흔들림(quiber)은 두 꼭지점 사이의 루프와 여러 화살표가 허용되는 방향 그래프이다.그것들은 표현 이론에서 일반적으로 사용된다: 진동자의 표현 V는 진동자의 각 정점 x에 벡터 공간 V(x)를 할당하고 각 화살표 a에 선형 지도 V(a)를 할당한다.

범주 이론에서, 떨림은 범주의 기초 구조라고 이해될 수 있지만, 구성이나 동일 형태론의 지정은 없다.즉, Cat에서 Quiv까지 건망증이 심한 펑터가 있습니다.왼쪽 인접은 프리 펑터이며, 쿼터에서 대응하는 프리 카테고리를 만듭니다.

정의.

진동자 δ는 다음과 같이 구성됩니다.

• δ의 정점 집합 V
• δ의 가장자리 집합 E
• 두 가지 함수: 에지의 시작 또는 소스를 제공하는 E → V와 에지의 대상을 제공하는 또 다른 함수 t: E → V.

이 정의는 다중 문자 정의와 동일합니다.

진동수의 형태론은 다음과 같이 정의된다.$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle V}$,${\displaystyle E}$ ,${\displaystyle s}$ ,${\displaystyle }$t$$) { $displaystyle \Gamma$= ($V$ ,$E$ ,$s$ , $t$) $and$ ${\displaystyle {(}^{}}$ ( ${\displaystyle =}$ ( $e$ , E${\displaystyle {}^{}}$ , s$t$ , t${\displaystyle {\prime }^{}}$) { $displaystyle$ \Gamma ' = ($V$ ,$E$ , s , t )$}$의 경우 두 개의 쿼버입니다.$V' 및$ ${\displaystyle m_{}}$e : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ { $displaystyle m$_ { $e$} :다음$다이어그램이 이동$하도록 E\to E$'}$을(으)

그것은,

${\displaystyle m_{v}\display s=s'\display m_{e}}$

그리고.

$\displaystyle m_{v}\display t=t'\display m_{e}$

범주이론의 정의

위의 정의는 집합론에 기초한다; 범주이론 정의는 이것을 자유진동으로부터 집합의 범주까지의 함수로 일반화한다.

자유 떨림(Walking quiber, Kronecker quiber, 2-Kronecker quiber 또는 Kronecker 카테고리라고도 함) Q는 두 개의 물체와 네 개의 형태소를 가진 범주입니다.개체는 V와 E입니다.4개의 형태소는 s: E → V, t: E → V, 그리고 동일 형태소 id_V: V → V_E, id: E → E이다.즉, 자유 떨림은

$\displaystyle E\;{\begin{matrix}s\[-6pt]\rightarrows\[-4pt]t\end{matrix}\;V}$

그러면 진동자는 펑터 δ: Q → Set이 됩니다.

보다 일반적으로 카테고리 C의 진동수는 펑터 δ: Q → C이다.C의 쿼버 범주 Quiv(C)는 펑터 범주이다.

• 객체는 함수 δ: Q → C,
• 형태론은 함수들 사이의 자연스러운 변환이다.

Quiv는 반대 범주^op Q의 프리히브의 범주입니다.

경로 대수

δ가 흔들림인 경우, δ의 경로는 a의 머리가_i+1 i = 1, ..., n-1의 경우 a의 꼬리인_i 화살표_n a_n−1…a의₃₂₁ 시퀀스이며, 오른쪽에서 왼쪽으로 경로를 연결하는 규칙을 사용합니다.

K가 필드일 경우, 진동대수 또는 경로대수 K δ는 진동자 내의 모든 경로(길이 θ 0)를 기저로서 갖는 벡터 공간(진동자 δ의 각 정점 i에 대해 길이 0의 단순한 경로_i e를 포함)과 경로의 연계에 의해 주어진 곱셈으로 정의된다.첫 번째의 끝 정점이 두 번째의 시작 정점과 같지 않기 때문에 두 개의 경로를 연결할 수 없는 경우, 그 곱은 0으로 정의됩니다.이것은 K에 대한 연관대수를 정의한다.이 대수는 진동이 정점이 완전히 많은 경우에만 단위 요소를 가집니다.이 경우 KΩ 위의 모듈은 자연스럽게 Ω의 표현으로 식별됩니다.만약 흔들림이 무한히 많은 정점을 갖는다면, K $\underset{}{\Omega }$은 e $F_{}$ : $=$ $\underset{}{}$ ${\$ $F_{}$ 1 v \ $textstyle$ e_${$에 $의해{}_{}$ 주어진 대략적인 항등식을 갖는다.$F:=\sum$ _${v\in$ F$}1_$${v}.$ 여기서 F는 δ의 정점 집합의 유한 부분 집합에 걸쳐 있습니다.

만약 흔들림이 확실히 많은 정점과 화살표를 가지고 있고, 어떤 경로의 끝 정점과 시작 정점이 항상 구별된다면(즉, Q는 지향성 주기를 가지지 않는다), K δ는 K 위의 유한 차원 유전 대수이다.반대로, 만약 K가 대수적으로 닫힌다면, K 위의 모든 유한 차원, 유전, 연관 대수는 그것의 Ext 떨림의 경로 대수와 모리타 등가이다.

흔들림의 표현

흔들림 Q의 표현은 Q의 각 정점에 대한 R모듈의 연관성과 화살표마다 각 모듈 간의 형태론이다.

Q의 모든 정점 x에 대해 V(x) = 0이면 흔들림 Q의 표현 V는 사소한 것이라고 한다.

진동자 Q의 표현 사이의 형태론 f:V → Vθ는 x에서 y Vθ(a)f(x) = f(y)V(a) = f(a) = f(e)의 각 화살표에 대해 V의 제곱을 형성하는 선형 지도 f(x) : V(x) → Vθ(x)의 집합이다.f(x)가 진동자 내의 모든 정점 x에 대해 반전 가능한 경우 형태론 f는 동형사상이다.이러한 정의에 따라 떨림의 표현은 범주를 형성합니다.

V와 W가 흔들림 Q의 표현인 경우, 이러한 $표현들$의 직접${\displaystyle \mathrm{합인}}$ V$(\displaystyle$ V$\oplus$W$)$는 $)$ (${\displaystyle x)}$ $=$ (${\displaystyle x))}$ W${\displaystyle }$($x)$ \$displaystyle$ (V\oplus W$)(X)$로 ${\displaystyle \mathrm{정의}}$됩니다.ar 매핑 V(a) 및 W(a)

표현은 0이 아닌 표현의 직접합과 동형이면 분해할 수 있다고 한다.

떨림 표현에 대한 범주적 정의도 제공할 수 있다.흔들림 자체는 범주로 간주할 수 있으며, 여기서 정점은 객체이고 경로는 형태입니다.그러면 Q의 표현은 이 범주에서 유한 차원 벡터 공간 범주까지의 공변 함수일 뿐입니다.Q의 표현 형태론은 대응하는 함수들 사이의 정확히 자연스러운 변환이다.

유한 진동자 δ(정점과 가장자리가 완전히 많은 진동자)의 경우, KΩ를 경로 대수라고 합니다.e는_i 정점 i에서의 사소한 경로를 나타냅니다.그런 다음 시작 정점 i를 갖는 경로의 선형 조합으로 구성된 투영 KΩ-모듈 KΩe_i 정점 i에 연관시킬 수 있다.이것은 i에서 시작하는 경로와 다른 정점에서 0으로 시작하는 경로의 각 정점에 K의 복사본을 배치하여 얻은 δ의 표현에 해당한다.K 의 2 개의 카피를 결합하는 각 엣지에 ID 맵을 관련짓습니다.

관계가 흔들리다.

하나의 진동수 내의 일부 정사각형의 교환성을 강제하기 위해 일반화는 관계와의 진동수(결합 진동수라고도 함)의 개념입니다.흔들림 Q상의 관계는 Q로부터의 경로의 K선형 조합이다.관련성이 있는 진동수는 Q가 $진동자$이고, 패스대수의 이상인 I$display$ K$$ K $gam$ K$gam$ Gamma $}$ a$$ K i 。몫 KΩ/I는 (Q, I)의 경로 대수이다.

퀘이버 품종

모든 정점에 할당된 벡터 공간의 치수가 주어진다면, 그 떨림의 모든 표현을 특정 치수로 특징짓는 다양성을 형성할 수 있고 안정성 조건을 고려할 수 있다.이것들은 킹(1994)에 의해 건설된 떨림 종류를 제공한다.

가브리엘 정리

이 섹션에서는 2020년 9월에 폐지된 인라인 상위 참조를 사용한다. 가능하다면 이 문서의 개선에 협조해 주십시오.(2022년 7월) (이 템플릿메시지를 삭제하는 방법과 타이밍에 대해 학습합니다)

만약 그것이 분해할 수 없는 표현의 동형성 클래스를 확실히 많이 가지고 있다면, 진동수는 유한형이다.가브리엘(1972)은 유한형의 모든 제곱수와 분해할 수 없는 표현들을 분류했다.더 정확히 말하면, 가브리엘의 정리는 다음과 같다.

1. (연결된) 떨림은 (화살표의 방향이_n 무시될 때) 기본 그래프가 ADE 다이킨₆₇ 다이어그램 중 하나인 경우에만_n8 유한 유형이다.
2. 분해할 수 없는 표현은 Dynkin 다이어그램의 루트 시스템의 긍정적인 뿌리와 일대일 대응 관계에 있습니다.

Dlab & Ringel(1973)은 유한 차원 반단순 리 대수의 모든 다이킨 도표가 발생하는 가브리엘 정리의 일반화를 발견했다.

「 」를 참조해 주세요.

• ADE 분류
• 접착제 카테고리
• 그래프 대수
• 그룹링
• 발생 대수
• 떨림도
• 흔들림의 반불변
• 토릭 품종
• 파생 비가환 대수 기하학 - Quivers는 파생 비가환 스킴의 데이터를 인코딩하는 데 도움이 됩니다.

레퍼런스

책들

Kirillov, Alexander (2016), Quiver Representations and Quiver Varieties, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-2307-0

강의 노트

• Crawley-Boevey, William, Lectures on Representations of Quivers (PDF), archived from the original on 2017-08-20{{citation}}: CS1 maint: bot: 원래 URL 상태를 알 수 없습니다(링크).
• 토릭 지오메트리에서의 떨림 표현

조사.

• 진동자 표현의 미세한 모듈리 공간으로서의 투영 토릭 변종

원천

• Derksen, Harm; Weyman, Jerzy (February 2005), "Quiver Representations" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 52 (2)
• Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1973), On algebras of finite representation type, Carleton Mathematical Lecture Notes, vol. 2, Department of Mathematics, Carleton Univ., Ottawa, Ont., MR 0347907
• Crawley-Boevey, William (1992), Notes on Quiver Representations (PDF), Oxford University
• Gabriel, Peter (1972), "Unzerlegbare Darstellungen. I", Manuscripta Mathematica, 6 (1): 71–103, doi:10.1007/BF01298413, ISSN 0025-2611, MR 0332887에라타
• King, Alastair (1994), "Moduli of representations of finite-dimensional algebras", Quart. J. Math., 45 (180): 515–530, doi:10.1093/qmath/45.4.515
• Savage, Alistair (2006) [2005], "Finite-dimensional algebras and quivers", in Francoise, J.-P.; Naber, G. L.; Tsou, S.T. (eds.), Encyclopedia of Mathematical Physics, vol. 2, Elsevier, pp. 313–320, arXiv:math/0505082, Bibcode:2005math......5082S
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88218-7
• 베른슈테인, I. N.; 겔프랜드, I. M.; 포노마레프, V. A., "콕서터 펑터, 그리고 가브리엘의 정리"(러시아어), Uspekhi Mat. Nauk 28(1973년), No. 2(170년), 19~33년.번스타인 웹사이트 번역.
• nLab의 떨림