원의 삼각함수와 유사한 하이퍼볼라의 수학적 함수
"Hyperbolic curve"는 여기서 리디렉션된다. 기하학적 곡선은 하이퍼볼라 를 참조하십시오.
수학 에서 쌍곡선 함수 는 일반적인 삼각함수 와 유사하지만 원보다 는 하이퍼볼라 를 사용하여 정의된다. 점(cos t , sint )단위 반지름을 가진 원 을 형성하듯이, 점(cosh t , sinht )단위 하이퍼볼라 의 오른쪽 절반을 형성한다. 또한 sin(t ) 과 cos(t ) 의 파생상품이 cos(t ) 와 –sin(t )인 것처럼 sinh(t ) 와 cosh(t ) 의 파생상품도 cosh(t ) 와 +sinh(t )이다.
쌍곡선 함수는 쌍곡선 기하학 에서 각도와 거리의 계산에서 발생한다. 그것들은 또한 많은 선형 미분 방정식 (예: Catrene 을 정의하는 방정식), 입방정식 , 그리고 카르테시아 좌표 에 있는 라플레이스의 방정식 의 해법에서도 발생한다. 라플레이스의 방정식 은 전자기 이론 , 열 전달 , 유체 역학 , 특수 상대성 등 물리학 의 많은 분야에서 중요하다.
기본 쌍곡선 함수는 다음과 같다.[1]
쌍곡 사인 "신" (/ /),[2] 쌍곡선 코사인 "코시" (/ //),[3] 여기서 파생된 항목:[4]
쌍곡 탄젠트 "tanh"(/ /),[5] 쌍곡선 코섹트 "csch" 또는 "코섹" (// [3] 쌍곡선 제분제 "sech"(/ /),[6] 쌍곡선 코탄젠트 (/",/),[7] [8] 파생 삼각함수에 대응한다.
역 쌍곡선 함수 는 다음과 같다.
영역 쌍곡선 사인 "arsinh"("sinh−1 ", "asinh" 또는 "arcsinh"라고도 함)[9] [10] [11] 영역 쌍곡선 코사인 "cosh" (또한 "cosh−1 ", "acosh" 또는 "arccosh"로 표시됨)등등. 단위 하이퍼볼락스 2 y 2 = 1 지점 (코시 a , sinha a 는 레이, 하이퍼볼라 및 x축 사이의 두 배 영역이다. X 축 아래의 하이퍼볼라 점의 경우 면적이 음수로 간주된다(삼각계(원형) 함수와 비교한 애니메이션 버전 참조). 쌍곡선 함수는 쌍곡선 각도 라고 불리는 실제 주장 을 취한다. 쌍곡선 각도의 크기 는 쌍곡선 부분 의 두 배 넓이다. 쌍곡선 기능은 이 부문을 덮고 있는 직각 삼각형의 다리 로 정의할 수 있다.
복잡한 분석 에서 쌍곡 함수는 사인 및 코사인 상상의 부분으로 발생한다. 쌍곡사인과 쌍곡사인은 전체 함수다. 결과적으로, 다른 쌍곡선 함수는 전체 복잡한 평면에서 용형 이다.
바이 린데만- Weierstrass 정리, 쌍곡함수는 논쟁의 모든 0이 아닌 대수적 값 에 대한 초월적 값 을 가진다.[12]
쌍곡기능은 1760년대에 빈첸초 리카티 와 요한 하인리히 램버트 에 의해 독립적으로 도입되었다.[13] Riccati는 Sc. Cc. 시누스/코시누스 서큘라레 )를 원형 함수를 가리키기 위해, Sh. 와 . 시누스/코시누스 쌍곡선 )를 쌍곡 함수를 가리켰다. 램버트는 그 이름들을 채택했지만, 오늘날 사용되는 약어로 바꾸었다.[14] 개인 의 취향 에 따라 sh , ch, th, cth 라는 약어도 현재 사용되고 있다.
정의들 쌍곡선 함수를 정의하는 데는 여러 가지 동등한 방법이 있다.
지수 정의 지수함수 의 측면에서:[1] [4]
쌍곡선 사인: 지수함수의 홀수 부분 , 즉, 징징거리다 x = e x − e − x 2 = e 2 x − 1 2 e x = 1 − e − 2 x 2 e − x . {\displaystyle \sinh x={\frac {e^}-e^{-x}}{2}}:{\frac {e^{2x}-1}}={\frac {1-e^{-2x}}}}}}}} 쌍곡선 코사인: 지수함수의 짝수 부분 , 즉, 코쉬 x = e x + e − x 2 = e 2 x + 1 2 e x = 1 + e − 2 x 2 e − x . {\displaystyle \cosh x={\frac{e^}+e^{-x}}{2}}:{\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}}}}}}} 쌍곡선 탄젠트: 태닝을 하다 x = 징징거리다 x 코쉬 x = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {\displaystyle \tanh x={\sinh x}{\cosh x}}}{\frac {e^}-e^{-x}}{e^{x}}}{-x}}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{e^}+1}+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 쌍곡선 코탄젠트: x 0 의 경우, 나무늘보 x = 코쉬 x 징징거리다 x = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 {\displaystyle \coth x={\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}}{-x}}}={\frac {e^{e^}+1}{e^{2x}-1}:1}} 쌍곡선 제분제: 바느질하다 x = 1 코쉬 x = 2 e x + e − x = 2 e x e 2 x + 1 {\displaystyle \e^name {sech} x={\frac {1}{\cosh x}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}={\frac {2e^{e^}}+1}}}}}} 쌍곡선 코세컨트: x 0 의 경우, csch x = 1 징징거리다 x = 2 e x − e − x = 2 e x e 2 x − 1 {\displaystyle \csch}x={\frac {1}{\sinh x}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}={\frac {2e^{x}}}{e^{e^}-1}:{2x}-1}}}}}} 미분 방정식 정의 쌍곡선 함수는 미분 방정식 의 해법으로 정의할 수 있다. 쌍곡선 사인 및 코사인(cosine)은 시스템의 고유한 솔루션(s , c )
c ′ ( x ) = s ( x ) s ′ ( x ) = c ( x ) {\displaystyle {\displaysty}c'(x)&=s(x)\s's(x)&=c(x)\end{arged}}} s (0) 0 및 c (0) 1 인 경우.
(The initial conditions s ( 0 ) = 0 , c ( 0 ) = 1 {\displaystyle s(0)=0,c(0)=1} ( a e x + b e − x , a e x − b e − x ) {\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}
sinh(x ) 와 cosh( x ) 도 f ″(x ) = f (x x , f 0) = 쌍곡 코사인 경우 f ′(0 ) = 0 , f ) = 1 이다.
복합 삼각 정의 쌍곡선 함수는 다음과 같은 복잡한 인수를 가진 삼각함수 에서도 추론할 수 있다.
쌍곡선 사인:[1] 징징거리다 x = − i 죄를 짓다 ( i x ) \displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)} 쌍곡선 코사인:[1] 코쉬 x = cas ( i x ) \displaystyle \cosh x=\cos(ix)} 쌍곡선 탄젠트: 태닝을 하다 x = − i 햇볕에 그을리다 ( i x ) \displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)} 쌍곡선 코탄젠트: 나무늘보 x = i 요람을 달다 ( i x ) \displaystyle \cots x=i\display(ix)} 쌍곡선 제분제: 바느질하다 x = 초 ( i x ) {\displaystyle \vmsname {sech} x=\sec(ix)} 쌍곡선 코섹트: csch x = i csc ( i x ) {csch} x=i\csc(ix)} 여기 2 i 는 i = -1 을 갖는 가상 단위 다.
위의 정의는 오일러의 공식 을 통한 지수적 정의와 관련이 있다(아래 복잡한 숫자에 대해서는 § 쌍곡선 함수 참조).
특성 지정 속성 쌍곡선 코사인 쌍곡선 코사인의 곡선 아래 면적(한정된 간격에 걸쳐)은 항상 해당 구간에 해당하는 호 길이와 동일하다는 것을 알 수 있다.[15]
면적 = ∫ a b 코쉬 x d x = ∫ a b 1 + ( d d x 코쉬 x ) 2 d x = 호 길이 {\displaystyle {\text1}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{1+\left\frac{d}}}}{dx}}}}\dx={\text{nectorn3}길이. }}}
쌍곡 탄젠트 쌍곡선 탄젠트는 f = = 1 - f f 0) = 0 의 미분방정식 에 대한 (유일)[16] [17]
유용한 관계 쌍곡선 함수는 많은 정체성을 만족시키며, 이들 모두 삼각형 정체성 과 형태가 유사하다. 사실, 오즈번의 rule[18]주들이 완전히 적분 요강의 관점에서 확대함으로써θ{\theta\displaystyle}에 대한 삼각 정체성, 쌍곡선 정체성에 2θ{2\theta\displaystyle}, 3θ{3\theta\displaystyle}또는θ{\theta\displaystyle}과φ{\displaystyle \varphi}, 변환할 수 있습니다.wergild. sine과 cosine의 s, sine을 sinh로, coshine을 cosh로 바꾸고, 2 sinh의 제품을 포함하는 모든 용어의 기호를 바꾼다.
홀수 및 짝수 함수:
징징거리다 ( − x ) = − 징징거리다 x 코쉬 ( − x ) = 코쉬 x {\displaystyle {\signed}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end}}
따라서 다음과 같다.
태닝을 하다 ( − x ) = − 태닝을 하다 x 나무늘보 ( − x ) = − 나무늘보 x 바느질하다 ( − x ) = 바느질하다 x csch ( − x ) = − csch x {\displaystyle {\csch}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\\cothdex)&=-\chothname {sech}(-x)&=\cschname {csch}-=\csechname {csch}x}-=-ended{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
따라서, cosh sech x 는 짝수 함수 다. 다른 것들은 홀수 함수다.
아치형 x = 아르코쉬의 ( 1 x ) 아크슈 x = 아르진 ( 1 x ) 아코스의 x = 아르탄 ( 1 x ) {\displaystyle {\regated}\propertiesname {arsech} x&=\frac {1}{x}\right)\\ \\\cHB 이름 {arcsch}x&=\frac {1}{x}\오른쪽)\ \\cHBNAME}x&=\cHNAME {artanh} \lefts\frac {1}{x}\right}\ended{aigned}}}}
쌍곡선 사인 및 코사인 만족:
코쉬 x + 징징거리다 x = e x 코쉬 x − 징징거리다 x = e − x 코쉬 2 x − 징징거리다 2 x = 1 {\displaystyle {\cHBFF}\cosh x+\sinh x&=e^}\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\cosh ^{2}x-=1\end}}}}}}
마지막은 피타고라스 삼각측량 정체성 과 유사하다.
한 사람도 가지고 있다.
바느질하다 2 x = 1 − 태닝을 하다 2 x csch 2 x = 나무늘보 2 x − 1 {\displaystyle {\regated}\cschname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x&=\cothname {csch} ^{2}x-1\end}}}}}
다른 기능들을 위해.
인수합계
징징거리다 ( x + y ) = 징징거리다 x 코쉬 y + 코쉬 x 징징거리다 y 코쉬 ( x + y ) = 코쉬 x 코쉬 y + 징징거리다 x 징징거리다 y 태닝을 하다 ( x + y ) = 태닝을 하다 x + 태닝을 하다 y 1 + 태닝을 하다 x 태닝을 하다 y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}} 특히 코쉬 ( 2 x ) = 징징거리다 2 x + 코쉬 2 x = 2 징징거리다 2 x + 1 = 2 코쉬 2 x − 1 징징거리다 ( 2 x ) = 2 징징거리다 x 코쉬 x 태닝을 하다 ( 2 x ) = 2 태닝을 하다 x 1 + 태닝을 하다 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}
또한:
징징거리다 x + 징징거리다 y = 2 징징거리다 ( x + y 2 ) 코쉬 ( x − y 2 ) 코쉬 x + 코쉬 y = 2 코쉬 ( x + y 2 ) 코쉬 ( x − y 2 ) {\displaystyle {\signed}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \lefts\frac {x+y}{2} }}}\cosh \lefts\frac {x-y}{2}}\오른쪽)\ \cosh x+\cosh y&=2\cosh \lefts\frac {x+y}{2 }}}\cosh \lefts\frac {x-y}{2}}\오른쪽)\\\end{aigned}}}
감산식
징징거리다 ( x − y ) = 징징거리다 x 코쉬 y − 코쉬 x 징징거리다 y 코쉬 ( x − y ) = 코쉬 x 코쉬 y − 징징거리다 x 징징거리다 y 태닝을 하다 ( x − y ) = 태닝을 하다 x − 태닝을 하다 y 1 − 태닝을 하다 x 태닝을 하다 y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
또한:[19]
징징거리다 x − 징징거리다 y = 2 코쉬 ( x + y 2 ) 징징거리다 ( x − y 2 ) 코쉬 x − 코쉬 y = 2 징징거리다 ( x + y 2 ) 징징거리다 ( x − y 2 ) {\displaystyle {\signed}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \lefts\frac {x+y}{2} }}\오른쪽)\sinh \왼쪽 \frac {x-y}{2}}\오른쪽)\ \cosh x-\cosh y&=2\sinh \lefts\frac {x+y}{2 }}\오른쪽)\sinh \왼쪽 \frac {x-y}{2}}\오른쪽)\\\end{정렬}}}
반인수식
징징거리다 ( x 2 ) = 징징거리다 x 2 ( 코쉬 x + 1 ) = sgn x 코쉬 x − 1 2 코쉬 ( x 2 ) = 코쉬 x + 1 2 태닝을 하다 ( x 2 ) = 징징거리다 x 코쉬 x + 1 = sgn x 코쉬 x − 1 코쉬 x + 1 = e x − 1 e x + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right) &={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2} }}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}
여기서 sgn 은 부호함수 다.
x [20] 0이면
태닝을 하다 ( x 2 ) = 코쉬 x − 1 징징거리다 x = 나무늘보 x − csch x {\displaystyle \tanh \left\frac {x}{2}}\오른쪽)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}=\coth x-\cschname {csch}x}
정사각형
징징거리다 2 x = 1 2 ( 코쉬 2 x − 1 ) 코쉬 2 x = 1 2 ( 코쉬 2 x + 1 ) {\displaystyle {\cosh{x+1)\sinh ^{2}x&={{1}{1}{{1}x-1)\\\cosh ^{2}x&={1}{1}{1}{cosh 2x+1)\end{aged}}}}}}}
불평등 다음 불평등은 통계에 유용하다: cosh ≤ e t 2 {\ displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq ^{t^{2}/2}}
두 기능의 테일러 시리즈를 용어별로 비교해 보면 증명할 수 있다.
로그의 역함수
아르진 ( x ) = ln ( x + x 2 + 1 ) 아르코쉬의 ( x ) = ln ( x + x 2 − 1 ) x ≥ 1 아르탄 ( x ) = 1 2 ln ( 1 + x 1 − x ) x < 1 아코스의 ( x ) = 1 2 ln ( x + 1 x − 1 ) x > 1 아치형 ( x ) = ln ( 1 x + 1 x 2 − 1 ) = ln ( 1 + 1 − x 2 x ) 0 < x ≤ 1 아크슈 ( x ) = ln ( 1 x + 1 x 2 + 1 ) x ≠ 0 {\displaystyle {\regated}\bename {arsinh}(x)&=\ln \left(x+{\sqrt{x^{2}+1}:1}}\오른쪽)\\ \\operatorname{arcosh}())&, =\ln \left(x+{\sqrt{x^{2}-1}}\right)&,&x\geq 1\\\operatorname{artanh}())&, ={\frac{1}{2}}\ln \left({\frac{1+x}{1-x}}\right)&,&)<,1\\\operatorname{arcoth}())&, ={\frac{1}{2}}\ln \left({\frac{x+1}{x-1}}\right)&,&)>,1\\\operatorname{arsech}())&, =\ln \left({\frac{1}{)}}와{\s.qrt{{\frac{1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({ \frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}
파생상품
d d x 징징거리다 x = 코쉬 x d d x 코쉬 x = 징징거리다 x d d x 태닝을 하다 x = 1 − 태닝을 하다 2 x = 바느질하다 2 x = 1 코쉬 2 x d d x 나무늘보 x = 1 − 나무늘보 2 x = − csch 2 x = − 1 징징거리다 2 x x ≠ 0 d d x 바느질하다 x = − 태닝을 하다 x 바느질하다 x d d x csch x = − 나무늘보 x csch x x ≠ 0 {\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{dx}}\sinh x&.=\cosh x\\{\frac{d}{dx}}\cosh x&, =\sinh x\\{\frac{d}{dx}}\tanh x&, =1-\tanh ^{2}x=\operatorname{hyperbolic}^{2}x={\frac{1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac{d}{dx}}\coth x&,=1-\coth ^{2}x=-\operatorname{csch}^{2}x=-{\frac{1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac{d}{dx}}\operatorname{hyperbolic}x&, =-\tanh x\operatorname. {sech} x\\{\frac {d}{dx}\cschname {csch} x&=-\coth x\neck 0\ended}}} d d x 아르진 x = 1 x 2 + 1 d d x 아르코쉬의 x = 1 x 2 − 1 1 < x d d x 아르탄 x = 1 1 − x 2 x < 1 d d x 아코스의 x = 1 1 − x 2 1 < x d d x 아치형 x = − 1 x 1 − x 2 0 < x < 1 d d x 아크슈 x = − 1 x 1 + x 2 x ≠ 0 {\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{dx}}\operatorname{arsinh}x&, ={\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}}\\{\frac{d}{dx}}\operatorname{arcosh}x&, ={\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}}&&1<, x\\{\frac{d}{dx}}\operatorname{artanh}x&, ={\frac{1}{1-x^{2}}}&&)<>1\\{\frac{d}{dx}}\operatorname{arcoth}x&, ={\frac{1}{1-x^{2}}}&am.P.&1<^\\{\frac{d}{dx}}\operatorname{는데. sech} x&=-{\frac {1}{x{1-x^{2}}}&0<1\\\{d}{d}}\d}\cschname {arcsch} x&==-{\frac {1}{\sqrt{1+x^{2} }}}}&x\neq 0\end{aigned}}
제2파생상품 sinh 와 cosh 는 각각 두 번째 파생상품 , 즉 다음과 같다.
d 2 d x 2 징징거리다 x = 징징거리다 x {\displaystyle {\frac{d^{2}}:{dx^{2}}:\sinh x=\sinh x} d 2 d x 2 코쉬 x = 코쉬 x . {\daystyle {\frac{d^{2}}:{dx^{2}}:\cosh x=\cosh x\, }
이 속성을 가진 모든 함수는 sinh 와 cosh 의 선형 결합 이며, 특히 지수함수 e x {\ displaystyle e^{x} e {\ displaystyle ^{-x
표준 통합
∫ 징징거리다 ( a x ) d x = a − 1 코쉬 ( a x ) + C ∫ 코쉬 ( a x ) d x = a − 1 징징거리다 ( a x ) + C ∫ 태닝을 하다 ( a x ) d x = a − 1 ln ( 코쉬 ( a x ) ) + C ∫ 나무늘보 ( a x ) d x = a − 1 ln 징징거리다 ( a x ) + C ∫ 바느질하다 ( a x ) d x = a − 1 아크탄의 ( 징징거리다 ( a x ) ) + C ∫ csch ( a x ) d x = a − 1 ln 태닝을 하다 ( a x 2 ) + C = a − 1 ln 나무늘보 ( a x ) − csch ( a x ) + C = − a − 1 아코스의 ( 코쉬 ( a x ) ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+ C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \왼쪽 \sinh(ax)\오른쪽 +C\\int \operatorname {sech}\,dx&=a^{-1}\arctan(ax)+ C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left \tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right +C=a^{-1}\ln \left \coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right +C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+ C\end{aigned}}
쌍곡선 대체 를 사용하여 다음과 같은 통합을 증명할 수 있다.
∫ 1 a 2 + u 2 d u = 아르진 ( u a ) + C ∫ 1 u 2 − a 2 d u = sgn u 아르코쉬의 u a + C ∫ 1 a 2 − u 2 d u = a − 1 아르탄 ( u a ) + C u 2 < a 2 ∫ 1 a 2 − u 2 d u = a − 1 아코스의 ( u a ) + C u 2 > a 2 ∫ 1 u a 2 − u 2 d u = − a − 1 아치형 u a + C ∫ 1 u a 2 + u 2 d u = − a − 1 아크슈 u a + C {\displaystyle {\pregated}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2} }}}}}\du}&=\frac 이름 {arsinh} \lefts\frac {u}{a}\오른쪽)++ C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left {\frac {u}{a}}\right +C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+ C&u^{2}<a^{2}\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcot} \왼쪽({\frac {u}{a}\오른쪽)+ C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left {\frac {u}{a}}\right +C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2 }}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \좌측 {\frac {u}}{a}\우측 +C\ended}}}}} 여기서 C 는 통합의 상수 다.
테일러 시리즈 표현식 상기 기능 중 테일러 시리즈 를 0(또는 기능이 0에서 정의되지 않은 경우 Laurent 시리즈 )으로 명시적으로 표현할 수 있다.
징징거리다 x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3}}{3! 2}}+{\frac{x^{5}{5}}{5! 2}}+{\frac{x^{7}{7}}{7! }}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac{x^{2n+1}:{(2n+1)! }}} 이 시리즈는 x 의 모든 복잡한 값에 대해 수렴 된다. sinh x 홀수 이므로, x
코쉬 x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}:{2}}! }}}{\frac{x^{4}}{4}}{4! 2}}+{\frac{x^{6}{6}}{6! }}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac{x^{2n}}{{n)}{(2n)! }}} 이 시리즈는 x 의 모든 복잡한 값에 대해 수렴된다. cosh x 짝수 이기 때문에 taylor 시리즈에서는 x 에 대한 지수만 발생한다.
sinh와 cosh 시리즈의 합은 지수함수 의 무한계열 표현 이다.
다음 시리즈는 시리즈 가 수렴되고 그 합이 함수와 같은 수렴 영역의 하위 집합에 대한 설명이 뒤따른다.
태닝을 하다 x = x − x 3 3 + 2 x 5 15 − 17 x 7 315 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , x < π 2 나무늘보 x = x − 1 + x 3 − x 3 45 + 2 x 5 945 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < x < π 바느질하다 x = 1 − x 2 2 + 5 x 4 24 − 61 x 6 720 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ E 2 n x 2 n ( 2 n ) ! , x < π 2 csch x = x − 1 − x 6 + 7 x 3 360 − 31 x 5 15120 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 2 ( 1 − 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < x < π {\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)! }},\qquad \left x\right <{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)! }},\qquad 0<\left x\right <\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)! }},\qquad \left x\right <{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1}) B_{2n}x^{2n-1}{{n(2n)! }}},\qquad 0<\왼쪽 x\오른쪽 <\pi \end{arged}}}
여기서:
B n {\ displaystyle B_{n} 베르누이 의 n번째 수이 다. E n {\ displaystyle E_{n} 오일러 번호 다.원형함수와 비교 (1)에 접선된 원과 하이퍼볼라는 u 에 따라 원형 섹터 영역 u 와 쌍곡선 기능 측면에서 원형 기능의 기하학적 형상을 보여준다. 쌍곡선 함수는 원형 함수 를 넘어 삼각법 의 확장을 나타낸다. 두 유형 모두 인수 에 따라 원형 각도 또는 쌍곡선 각도 가 달라진다.
반지름 r과 각도 u (라디안 단위)가 있는 원형 섹터의 면적 은 ru 2 /2r √2일 u 와 같을 것이다. 다이어그램에서 이러한 원은 (1,1)에서 하이퍼볼라 xy = 1에 접한다. 노란색 부분은 면적과 각도 크기를 묘사한다. 마찬가지로, 노란색 부분과 빨간색 부분은 면적과 쌍곡선 각도 크기 를 나타낸다.
각도를 정의하는 광선에 하이포테뉴스가 있는 두 개의 오른쪽 삼각형 의 다리는 길이가 원형 및 쌍곡선 함수의 2배이다 .
쌍곡각은 원형 각도가 회전 중에 불변하는 것처럼 압착 맵핑 에 관한 불변 측정값 이다.[22]
구더만 함수 는 순환함수와 복잡한 숫자를 포함하지 않는 쌍곡함수 사이에 직접적인 관계를 제공한다.
cosh(x /a ) 함수의 그래프는 균일한 유연한 체인에 의해 형성된 곡선인 catrene 으로, 균일한 중력 하에서 두 고정점 사이에 자유롭게 매달려 있다.
지수함수에 대한 관계 짝수 및 홀수 부분 에서의 지수함수의 분해는 그 정체성을 제공한다.
e x = 코쉬 x + 징징거리다 x , {\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,} 그리고 e − x = 코쉬 x − 징징거리다 x . {\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.} 첫 번째는 오일러의 공식 과 유사하다. e i x = cas x + i 죄를 짓다 x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
또한.
e x = 1 + 태닝을 하다 x 1 − 태닝을 하다 x = 1 + 태닝을 하다 x 2 1 − 태닝을 하다 x 2 {\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}={\frac {1+\tanh {x}{2}}:{1-\tanh {x}{2}}:}}
복잡한 숫자에 대한 쌍곡 함수 지수함수 는 어떤 복잡한 인수에 대해서도 정의될 수 있기 때문에 쌍곡선 함수의 정의를 복잡한 인수에까지 확장할 수도 있다. sinh z cosh z 홀로모르픽이다 .
일반적인 삼각함수에 대한 관계는 복잡한 숫자에 대한 오일러의 공식 에 의해 주어진다.
e i x = cas x + i 죄를 짓다 x e − i x = cas x − i 죄를 짓다 x {\displaystyle {\signified}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end}}}} 그래서: 코쉬 ( i x ) = 1 2 ( e i x + e − i x ) = cas x 징징거리다 ( i x ) = 1 2 ( e i x − e − i x ) = i 죄를 짓다 x 코쉬 ( x + i y ) = 코쉬 ( x ) cas ( y ) + i 징징거리다 ( x ) 죄를 짓다 ( y ) 징징거리다 ( x + i y ) = 징징거리다 ( x ) cas ( y ) + i 코쉬 ( x ) 죄를 짓다 ( y ) 태닝을 하다 ( i x ) = i 햇볕에 그을리다 x 코쉬 x = cas ( i x ) 징징거리다 x = − i 죄를 짓다 ( i x ) 태닝을 하다 x = − i 햇볕에 그을리다 ( i x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)& =\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sinh(y)\\\sinh(x+iy)& =\sinh(x)\cosh(x)\cosh(x)\sin(x)\\tanh(x)\\\tanh(ix)&=\cosh x&=\cosh x&=sin(ix)\\\tan x&=i(ix)\ined{liged}}
따라서 쌍곡선 함수는 가상 구성 요소에 대해 주기적 이며 기간 2 π {\displaystyle 2\pi i}( π i {\displaysty \pi })
복합 평면에서의 쌍곡 함수 징징거리다 ( z ) \displaystyle \sinh(z)} 코쉬 ( z ) \displaystyle \cosh(z)} 태닝을 하다 ( z ) \displaystyle \tanh(z)} 나무늘보 ( z ) \displaystyle \cot(z)} 바느질하다 ( z ) {\displaystyle \designname {sech}(z)} csch ( z ) {\displaystyle \cschname {csch}(z)}
참고 항목 위키미디어 커먼즈에는 쌍곡 기능
참조 ^ a b c d Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Functions" . mathworld.wolfram.com . Retrieved 2020-08-29 . ^ (1999) 콜린스 간결사전 , 제4판, 하퍼콜린스, 글래스고, ISBN 0 00 472257 4 , 페이지 1386 ^ a b 콜린스 간결사전 , 328페이지^ a b "Hyperbolic Functions" . www.mathsisfun.com . Retrieved 2020-08-29 .^ 콜린스 간결한 사전 , 페이지 1520^ 콜린스 간결한 사전 , 페이지 1340^ 콜린스 간결한 사전 , 329페이지^ 태닝을 하다 ^ Woodhouse, N. M. J. (2003), Special Relativity , London: Springer, p. 71, ISBN 978-1-85233-426-0 ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0 ^ 구글 북스 에서 볼 수 있는 아크신 사용가지 예.^ Niven, Ivan (1985). Irrational Numbers . 11 . Mathematical Association of America. ISBN 9780883850381 JSTOR 10.4169/j.ctt5hh8zn . ^ 로버트 E. 브래들리, 로렌스 A. 안토니오, 찰스 에드워드 샌디퍼 300에 오일러: 감사. 미국 수학 협회, 2007. 100페이지. ^ 게오르크 F. 베커. 쌍곡선 함수. 1931년 책 읽기 xlvii. ^ N.P., Bali (2005). Golden Integral Calculus ISBN 81-7008-169-6 ^ Willi-hans Steeb (2005). Nonlinear Workbook, The: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic With C++, Java And Symbolicc++ Programs (3rd Edition) ISBN 978-981-310-648-2 281페이지 추출(양다=1) ^ Keith B. Oldham; Jan Myland; Jerome Spanier (2010). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator ISBN 978-0-387-48807-3 290페이지 추출 ^ Osborn, G. (July 1902). "Mnemonic for hyperbolic formulae" . The Mathematical Gazette 2 (34): 189. doi :10.2307/3602492 . JSTOR 3602492 . ^ Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (1st corr. ed.). New York: Springer-Verlag. p. 416. ISBN 3-540-90694-0 ^ "Prove the identity tanh(x/2) = (cosh(x) - 1)/sinh(x)" . StackExchange (mathematics). Retrieved 24 January 2016 .^ Audibert, Jean-Yves (2009). "Fast learning rates in statistical inference through aggregation". The Annals of Statistics. p. 1627. [1] ^ 멜렌 W. 하스켈 , " 쌍곡함수의 개념 도입에 대하여" 미국수학학회 회보 1 :6:155–9, 전문 외부 링크
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a343fcb86c5fa15cceb217f4e92410c70a6e200)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412a4ffd109486f684e515634b33447b13444954)
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