오일러 각도

오일러 각도는 고정 좌표계에 대한 강체의 방향을 설명하기 위해 ^[1]Leonhard Oiler에 의해 도입된 세 개의 각도입니다.

그것들은 또한 물리학의 이동 기준 프레임의 방향 또는 3차원 선형 대수의 일반적인 기초의 방향을 나타낼 수 있다.대체 형태는 후에 피터 거스리 타이트와 조지 H. 브라이언에 의해 항공학과 공학 분야에서 사용되도록 고안되었다.

연쇄 회전 등가

오일러 각도는 원소 기하학 또는 회전 구성에 의해 정의될 수 있습니다.기하학적 정의는 구성된 세 개의 요소 회전(좌표계의 축에 대한 회전)이 항상 모든 대상 프레임에 도달하기에 충분하다는 것을 보여줍니다.

세 가지 기본 회전은 외인성(원래 좌표계의 xyz 축에 대한 회전, 움직이지 않는 것으로 가정) 또는 내인성(각 기본 회전 후 방향을 변경하는 움직이는 물체와 고정된 회전 좌표계의 XYZ 축에 대한 회전)일 수 있습니다.

오일러 각도는 일반적으로 α, β, θ 또는 β, θ, θ로 표시됩니다.저자마다 다른 회전 축 세트를 사용하여 오일러 각도를 정의하거나 동일한 각도에 대해 다른 이름을 사용할 수 있습니다.그러므로, 오일러 각도를 사용하는 모든 논의는 항상 그들의 정의에 선행되어야 한다.

회전축(내부 또는 외부)의 정의에 두 개의 다른 규약을 사용할 가능성을 고려하지 않고, 두 개의 그룹으로 분할된 12개의 가능한 회전축 시퀀스가 있습니다.

• 고유 오일러 각도 (z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)
• Tait-Bryan 각도(x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z).

타이트-브라이언 각은 카르단 각도, 항해 각도, 방향, 표고 및 뱅크 또는 요, 피치 및 롤링이라고도 합니다.때때로 두 종류의 시퀀스를 "Uler angle"이라고 합니다.이 경우, 첫 번째 그룹의 시퀀스는 적절한 오일러 각도 또는 고전 오일러 각도라고 불립니다.

고유 오일러 각도

기하학적 정의

원래 프레임의 축은 x, y, z, 회전 프레임의 축은 X, Y, Z로 표시됩니다.기하학적 정의(일부 정적이라고도 함)는 노드 선(N)을 xy와 XY 평면의 교차점으로 정의하는 것으로 시작합니다(또한 z와 Z에 수직인 공통으로 정의되고 벡터 곱 N =${\displaystyle }$z$$× {$디스플레이$ 스타일 $\times }$로 작성될 수도 있음).이를 사용하여 세 개의 오일러 각도를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

• ${\displaystyle }$α$(\displaystyle \alpha$ $$$）($$또는{\displaystyle }$\$displaystyle \varphi$ $）$는 x축과 N축 사이의 부호 있는 각도입니다(x-컨벤션, y-컨벤션이라고도 함).
• ${\displaystyle }$β$(\displaystyle \beta$）($$$또는{\displaystyle }$\$displaystyle \theta$ $）$는 z축과 Z축 사이의 각도입니다.
• ${\$ {$displaystyle$ \gamma$$} ($또는$$display${ $displaystyle$ \psi$\}$ )는 N축과 X축 사이의 부호 각도(x-컨벤션)입니다.

두 기준 프레임 사이의 오일러 각도는 두 프레임이 동일한 핸드니스일 경우에만 정의됩니다.

고유 회전별 표기법

고유 회전은 움직이는 물체에 부착된 좌표계 XYZ의 축 주변에서 발생하는 소자 회전입니다.따라서 각 요소 회전 후에 방향이 바뀝니다.XYZ 시스템이 회전하는 동안 xyz는 고정됩니다.XYZ 중첩 xyz부터 시작하여 XYZ의 목표 방향에 도달하기 위해 3개의 고유 회전 구성을 사용할 수 있습니다.

오일러 각도는 내적 회전에 의해 정의될 수 있다.회전 프레임 XYZ는 오일러 각도로 표현되는 세 가지 요소 회전을 겪기 전에 xyz와 처음에 정렬되는 것으로 상상될 수 있습니다.연속적인 방향은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• x-y-z 또는 x-y-z₀₀₀(초기)
• x440-y440-z 또는 x-y-z₁₁₁(첫 번째 회전 후)
• x440-y440-z 또는 x-y-z₂₂₂(두 번째 회전 후)
• X-Y-Z 또는 X-y-z₃₃₃(최종)

상기 회전순서에 대해서는 노드 N의 선을 제1소자회전 후의 X방향으로 간단히 정의할 수 있다.따라서 N은 단순히 xθ로 나타낼 수 있다.또한 세 번째 원소 회전이 Z를 중심으로 이루어지므로 Z의 방향은 변경되지 않는다.따라서 Z는 z″과 일치합니다.이를 통해 오일러 각도의 정의를 다음과 같이 단순화할 수 있습니다.

• α(또는$\alpha {\displaystyle }$(\$displaystyle \varphi$는 z축을 중심으로 한 회전을 나타냅니다.
• β(또는$(\displaystyle$ \$theta$는 x420 축을 중심으로 한 회전을 나타냅니다.
• (($display$ { $displaystyle$ \psi$\}$ )는 z축의 회전을 나타냅니다.

외인성 회전에 의한 규칙

외인성 회전은 고정 좌표계 xyz의 축 주변에서 발생하는 요소 회전입니다.XYZ 시스템이 회전하는 동안 xyz는 고정됩니다.XYZ 중첩 xyz에서 시작하여 3개의 외인성 회전 구성을 사용하여 XYZ의 목표 방향에 도달할 수 있습니다.오일러 또는 Tait-Bryan 각도(α, β, θ)는 이러한 원소 회전의 진폭이다.예를 들어, 목표 방향은 다음과 같이 도달할 수 있습니다(오일러 각도 적용의 역순서 참조).

• XYZ 시스템은 z축을 중심으로 θ 회전합니다.이제 X축은 X축에 대해 각도 θ가 됩니다.
• XYZ 시스템은 다시 회전하지만 이번에는 x축에 대해 β 회전합니다.이제 Z축은 Z축에 대한 각도 β가 됩니다.
• XYZ 시스템은 다시 z축을 중심으로 각도α만큼 세 번째 회전합니다.

요약하면 z, x 및 z에 대해 세 가지 기본 회전이 발생합니다.실제로 이 시퀀스는 종종 z-x-z(또는 3-1-3)로 표시됩니다.적절한 오일러 각도와 Tait-Bryan 각도와 관련된 회전 축 집합은 일반적으로 이 표기법을 사용하여 명명됩니다(자세한 내용은 위 참조).

부호, 범위 및 표기법

각도는 일반적으로 오른쪽 규칙에 따라 정의됩니다.즉, 축의 정방향으로 볼 때 시계방향으로 나타나는 회전을 나타낼 때 양의 값을 가지며, 반시계방향으로 보일 때 음의 값을 가진다.반대 규칙(왼쪽 규칙)은 덜 자주 채택된다.

범위 정보(간격 표기 사용):

• α 및 δ의 경우 범위는 모듈로 2µ 라디안(radulo 2µ radians)으로 정의된다.예를 들어 유효한 범위는 [- ], [- ]일 수 있습니다.
• β의 경우 범위는 β 라디안을 포함한다(단 모듈로 β라고는 할 수 없다).예를 들어 [0, ]]또는 [-//2, //2]가 될 수 있습니다.

각도α, β 및 θ는 xy 및 XY 평면이 동일한 단일한 경우, 즉 z축과 Z축의 방향이 같거나 반대인 경우를 제외하고 유일하게 결정된다.실제로 z축과 Z축이 같으면 β = 0 및 (α + δ)만 고유하게 정의되며(개별값이 아님), 마찬가지로 z축과 Z축이 반대인 경우에는 β = δ 및 (α - δ)만 고유하게 정의된다(개별값이 아님).이러한 애매모호함을 어플리케이션에서는 짐벌락이라고 부릅니다.

적절한 오일러 각도를 위해 회전 축을 선택할 수 있는 여섯 가지 방법이 있습니다.1차 회전축과 3차 회전축은 모두 동일합니다.가능한 6개의 시퀀스는 다음과 같습니다.

1. z-x440-z₁₂(표준 회전) 또는 z-x-z₂₁(표준 회전)
2. x-y440-x440₁₂(표준회전) 또는 x-y-x₂₁(표준회전)
3. y-zµ-y₁₂(표준 회전) 또는 y-z-y₂₁(표준 회전)
4. z-yµ-zm₁₂(표준 회전) 또는 z-y-z₂₁(표준 회전)
5. x-zµ-xl₁₂(표준 회전) 또는 x-z-x₂₁(표준 회전)
6. y-xx-y₁₂(표준 회전) 또는 y-x-y₂₁(표준 회전)

세차, 자석 및 고유 회전

세차, 자석, 그리고 내적 회전(스핀)은 오일러 각도 중 하나를 바꾸고 다른 두 개의 각도를 일정하게 유지함으로써 얻어진 운동으로 정의된다.이러한 모션은 외부 프레임 또는 공회전 본체 프레임으로 표현되지 않고 혼합된 형태로 표현됩니다.이들은 혼재된 회전축을 구성하는데, 여기서 첫 번째 각도는 외부축 z를 중심으로 노드선을 이동하고, 두 번째 각도는 노드 N을 중심으로 회전하며, 세 번째 각도는 체내에 고정된 축인 Z를 중심으로 고유 회전한다.

정적 정의의 의미는 다음과 같습니다.

• α(세차)는 z축을 중심으로 한 회전을 나타냅니다.
• β(영양화)는 N축 또는 x축 주위의 회전을 나타낸다.
• ((intrinsic rotation)은 Z축 또는 z축을 중심으로 회전하는 것을 나타냅니다.

β가 0이면 N에 대한 회전이 없다.그 결과 Z는 z, α, θ는 같은 축(z)에 대한 회전을 나타내며, 최종 배향은 z에 대해 α + θ와 같은 각도로 1회 회전하여 얻을 수 있다.

예를 들어 탑을 생각해 봅시다.톱은 대칭축을 중심으로 회전합니다.이것은 본래의 회전에 대응합니다.그것은 또한 중심축을 중심으로 회전하며 질량의 중심이 중심축을 중심으로 회전합니다. 이 회전은 세차운동입니다.마지막으로, 상단이 위아래로 흔들릴 수 있습니다. 기울기 각도는 너트 각도입니다.지구의 움직임에서도 같은 예를 볼 수 있다.

일부 프레임에서 계수가 일정한 회전 연산자에 의해 세 가지 이동이 모두 표시될 수 있지만 동시에 이러한 연산자에 의해 모두 표시될 수는 없습니다.기준 프레임이 지정되면 이들 중 최대 1개는 계수가 없습니다.세차 운동만 일반적으로 다른 각도의 의존성 없이 공간을 기준으로 행렬로 표현할 수 있습니다.

이러한 이동은 짐벌세트로서도 동작합니다.프레임 세트를 짐벌처럼 전자에 대해 1개의 각도로 각각 이동할 수 있다고 가정하면, 외부 고정 프레임, 최종 프레임, 그리고 중간에 2개의 프레임이 존재하게 됩니다.이것을 「중간 프레임」이라고 부릅니다.가운데 있는 2개는 마지막 프레임이 공간의 어느 방향으로든 도달할 수 있도록 하는 2개의 짐벌링으로 동작합니다.

타이트-브라이언 각도

형식주의의 두 번째 유형은 피터 거스리 타이트와 조지 H. 브라이언의 이름을 따서 타이트-브라이언 각도라고 불린다.이것은 항공우주 분야에서 일반적으로 사용되는 관례이며, 따라서 0도 상승은 수평 자세를 나타냅니다.Tait-Bryan 각도는 세계 프레임에 대한 항공기의 방향을 나타낸다.다른 차량을 취급할 때는 다른 축 표기법이 가능합니다.

정의들

Tait-Bryan 각도에 사용되는 정의와 표기는 적절한 오일러 각도에 대해 위에서 설명한 것과 유사하다(기하학적 정의, 내적 회전 정의, 외적 회전 정의).유일한 차이점은 Tait-Bryan 각도가 세 개의 서로 다른 축(예: x-y-z 또는 x-y′-z″)에 대한 회전을 나타내며, 적절한 오일러 각도는 첫 번째 및 세 번째 요소 회전(예: z-x-z 또는 z-x--z-) 모두에 동일한 축을 사용한다는 것이다.

이는 기하학적 구조에서 노드 라인에 대한 다른 정의를 의미합니다.적절한 오일러 각도 사례에서 두 개의 상동 데카르트 평면 사이의 교차점으로 정의되었다(오일러 각도가 0일 때 평행, 예를 들어 xy와 XY).Tait-Bryan 각도의 경우, 두 개의 비호몰로지 평면의 교차점으로 정의된다(오일러 각도가 0일 때 수직, 예를 들어 xy와 YZ).

관습

세 가지 요소 회전은 움직이지 않는 원래 좌표계의 축(외부 회전) 또는 각 요소 회전 후에 방향이 바뀌는 회전 좌표계의 축(내부 회전) 주변에서 발생할 수 있습니다.

Tait-Bryan 각도에 대해 회전 축을 선택할 수 있는 방법은 6가지입니다.가능한 6개의 시퀀스는 다음과 같습니다.

• x-yµ-zµ(표준 회전) 또는 z-y-x(표준 회전)
• y-zθ-xθ(표준 회전) 또는 x-z-y(표준 회전)
• z-x440-y440(표준 회전) 또는 y-x-z(표준 회전)
• x-zµ-yθ(표준 회전) 또는 y-z-x(표준 회전)
• z-y412-x412(표준 회전) 또는 x-y-z(전자식 회전): 고유 회전은 요, 피치 및 롤이라고 합니다.
• y-x470-z4(표준 회전) 또는 z-x-y(표준 회전)

기호 및 범위

Tait-Bryan 규약은 다양한 목적을 가진 엔지니어링 분야에서 널리 사용됩니다.이동 축과 고정 축을 선택하는 데 실제로 몇 가지 축 규칙이 있으며 이러한 규칙에 따라 각도의 부호가 결정됩니다.따라서, 각각의 경우에 징후를 주의 깊게 연구해야 합니다.

각도 θ 및 θ의 범위는 2' 라디안을 포함합니다.the의 경우 범위는 rad 라디안을 포함합니다.

대체 이름

이러한 각도는 일반적으로 외부 기준 프레임(헤딩, 베어링), 고유 이동 프레임(뱅크) 및 중간 프레임에 각각 1개로 간주되며, 수평면에 대한 표고 또는 기울기를 나타내며, 이는 이 목적을 위한 노드 라인에 해당한다.

항공기의 경우, 적절한 순서에 따라 주축을 중심으로 3회 회전하여 얻을 수 있다.요가 베어링을 얻고 피치가 상승하며 롤링이 뱅크 각도를 제공합니다.그래서 항공우주학에서는 요, 피치, 롤이라고 부르기도 한다.회전이 다른 순서로 적용되거나 기준 프레임과 동등하지 않은 위치에서 비행기 축이 시작되는 경우 이 방법은 작동하지 않습니다.

z-y--x ((내회전) 규칙에 따른 타이트-브리안 각도는 선박이나 항공기의 방향을 기술하는 데 사용될 수 있기 때문에 항해각으로도 알려져 있다. 이탈리아 수학자이자 물리학자 Gerolamo Cardano의 이름을 따 카르단 각도로 사용될 수 있다.

주어진 프레임의 각도

일반적인 문제는 주어진 프레임의 오일러 각도를 찾는 것입니다.이러한 벡터를 얻는 가장 빠른 방법은 주어진 세 개의 벡터를 행렬의 열로 쓰고 이를 이론 행렬의 식과 비교하는 것입니다(나중의 행렬 표 참조).따라서 세 개의 오일러 각도를 계산할 수 있습니다.그럼에도 불구하고, 행렬 대수를 피하고 요소 기하학만을 사용하여 동일한 결과에 도달할 수 있다.여기서는 적절한 오일러 각도에 대한 ZXZ와 Tait-Bryan에 대한 ZYX라는 가장 일반적으로 사용되는 두 가지 규칙에 대한 결과를 제시한다.축의 이름을 변경하는 것만으로 다른 규칙을 얻을 수 있습니다.

고유 오일러 각도

단위 벡터(X, Y, Z)가 있는 프레임이 메인 다이어그램과 같이 좌표에 의해 주어진다고 가정하면 다음과 같은 것을 알 수 있습니다.

$\displaystyle \cos(\display)=Z_{3}.}$

그리고 그 이후로

${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x,}$

0< <<$displaystyle$0 <$x$ < \ pi}에는,

$(\displaystyle \sin(\displaystyle)={1-Z_{3}^{2}}).}$

$(\$는 단일 벡터의 이중 투영이기 $때문에{\displaystyle {}_{}}$

$\displaystyle \cos(\alpha)\cdot \sin(\display)=-Z_{2}}$

$\displaystyle \cos(\alpha)=-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}.}$

${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ 3$({$에도 유사한 구조가 있으며, 먼저 축 z와 노드 선에 의해 정의된 평면에 투영됩니다.평면 사이의 각도가${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$ /${\displaystyle 2\mathrm{}}$ -$$ {$displaystyle \pi$/ 2 - \$display}$ ${\displaystyle 및}$ cos${\displaystyle }$（ ${\displaystyle /}$ /${\displaystyle 2\mathrm{}}$ - ${\displaystyle \beta }$） ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sin }$⁡ (${\displaystyle \beta }$ $)(\displaystyle \cos$( \$pi$/ 2 - \$displays$ ) = \$sin$( \$disin$ ( \displaystyle )$$） $）$ 。

$\displaystyle \sin(\cdot)\cos(\displaystyle)=Y_{3}}$

$\displaystyle \cos(\displaystyle)=Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}},$

마지막으로 역코사인 함수를 사용하여

$({displaystyle \alpha =\arccos \left(-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\right),$

$({displaystyle \arcos \left(Z_{3}\right)})$

$\displaystyle \arcos \left(Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}\오른쪽).}$

타이트-브라이언 각도

단위 벡터(X, Y, Z)가 있는 프레임이 이 새로운 다이어그램에서와 같이 좌표에 의해 주어진다고 가정하면(각도 세타가 음수라는 점에 유의하십시오), 다음과 같이 확인할 수 있습니다.

${\displaystyle \sin(\theta)=-X_{3}}$

아까처럼

$\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x,}$

/ < < /2 \ $displaystyle -\pi / 2$ <$x$<\$pi / 2$ >의 경우, 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle \cos(\theta)={1-X_{3}^{2}}}.}$

앞의 것과 유사한 방식으로:

${\displaystyle \sin(\psi)=X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}.}$

${\displaystyle\sin(\phi)=Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

앞의 표현과 유사한 표현을 찾습니다.

$({displaystyle \psi =\arcsin \left(X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\right),}$

$\displaystyle \theta = \arcsin(-X_{3}),}$

$\displaystyle \phi = \arcsin \left(Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}\오른쪽).}$

라스트 코멘트

역사인 함수 및 코사인 함수는 인수에 대해 두 가지 가능한 값을 산출합니다.이 기하학적 설명에서는 솔루션 중 하나만 유효합니다.오일러 각도가 일련의 회전으로 정의되면 모든 해는 유효할 수 있지만 각도 범위 안에는 하나만 있습니다.그 이유는 범위가 사전에 ^[2]정의되지 않은 경우 대상 프레임에 도달하기 위한 회전 시퀀스가 고유하지 않기 때문입니다.

계산 목적으로 atan2(y, x)를 사용하여 각도를 표현하는 것이 유용할 수 있다.예를 들어, 적절한 오일러 각도의 경우:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2}(Z_{1},-Z_{2}),}$

${\displaystyle \displaystyle =\operatorname {atan2} (X_{3})Y_{3}).}$

다른 방향 표현으로 변환

오일러 각도는 방향을 나타내는 한 가지 방법입니다.다른 규칙도 있고 다른 규칙과 다른 규칙을 변경할 수도 있습니다.3차원 유클리드 공간에서 방향을 기술하려면 항상 세 가지 매개변수가 필요합니다.오일러 각도도 그 중 하나이며, 다른 방법은 SO(3) 차트를 참조하십시오.

가장 많이 사용되는 방향 표현은 회전 행렬, 축-각도 및 오일러-로드리그 매개변수라고도 알려진 4분위수이며, 이는 3D 회전을 표현하기 위한 또 다른 메커니즘을 제공합니다.이것은 특별한 유니터리 그룹의 설명과 동일합니다.

3D로 회전을 행렬 대신 단위 사분수로 표현하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

• 회전을 연결하는 것이 계산상 빠르고 수치적으로 더 안정적입니다.
• 회전 각도와 축을 추출하는 것이 더 간단합니다.
• 보간이 더 간단해slerp 의 예를 참조해 주세요.
• 사분위기는 오일러 각도처럼 짐벌 잠금으로 고통받지 않는다.

그럼에도 불구하고 회전행렬 계산은 다른 두 가지 표현을 얻기 위한 첫 번째 단계이다.

회전 행렬

모든 방향은 알려진 표준 방향에서 시작하여 세 가지 기본 회전을 구성함으로써 달성할 수 있습니다.마찬가지로 임의의 회전행렬 R을 3개의 소자회전행렬의 곱으로 분해할 수 있다.예:

$\displaystyle R=X(\alpha)Y(\beta)Z(\gamma)}$

는 축 z, y, x에 대한 외인성 회전의 구성(순서) 또는 축 x-yθ-zθ에 대한 내인성 회전의 구성(순서)을 나타내는 데 사용할 수 있는 회전 행렬입니다.그러나 요소 회전 행렬 X, Y, Z의 정의와 그 곱셈 순서는 회전 행렬과 오일러 각도 둘 다의 정의에 대해 사용자가 선택한 선택에 따라 달라집니다(예를 들어, 회전 행렬 정의의 모호성 참조).유감스럽게도, 다른 컨텍스트의 유저에 의해서, 다른 일련의 표기법이 채용되고 있습니다.다음 표는 이 표기법에 따라 작성되었습니다.

1. 각 행렬은 열 벡터$$[$\begin{array}{}x\\ \end{array}$ y $]$ {$textstyle {begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}}$을($$를) 곱하여 동작합니다(회전 행렬 정의의 모호성 참조).
2. 각 행렬은 활성회전을 나타내는 것을 의미한다(합성 및 합성행렬은 초기 고정기준프레임에서 정의된 벡터의 좌표에 작용하고 그 결과 동일한 기준프레임에서 정의된 회전벡터의 좌표를 부여한다).
3. 각 매트릭스는 주로 (회전 기준 프레임의 축 주위에 있는) 내적 회전의 구성을 나타내며, 두 번째로 (3개의 진정한 요소 매트릭스의 곱셈에 의한 R 매트릭스의 구성 평가에 역순으로 대응한다) 3개의 외적 회전의 구성을 나타내도록 한다.
4. 우측 기준 프레임을 채용해, 우측 규칙을 이용해 각도α, β, θ의 부호를 구한다.

단순화를 위해 다음 매트릭스 곱의 표에서는 다음과 같은 용어를 사용합니다.

1. 1, 2, 3은 각도α, β, θ, 즉 각각 제1, 제2 및 제3의 소자 회전에 대응하는 각도를 나타낸다.
2. X, Y, Z는 고정 프레임의 축 x, y, z에 대한 소자 회전을 나타내는 행렬이다(예를 들어 X는₁ 각도α에 의한 x에 대한 회전을 나타낸다).
3. s와 c는 사인 및 코사인(예: s는₁ α의 사인)을 나타냅니다.

고유 오일러 각도	타이트-브라이언 각도
${\displaystyle X_{1}Z_{3}X_{3}=bmatrix}c_{2}&-c_{3}s_{2}s_{2}s_{2}&c_{1}s_{1}&c_{1}&c_{3}s_{3}=bmatrix_{2}&c_{3}s_{2}&c}$	${\displaystyle X_{1}Z_{2}Y_{3}=begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-s_{2}&c_{2}s_{3}\s_{1}s_{3}+c_{1}c_{3}s_{2}&c_{1}s_{3}s_{1}s_{2}&c_{3}s_{3}s_{2}s_{3}s_{3}s}$
${\displaystyle X_{1}Y_{2}X_{3}=sbegin{bmatrix}c_{2}&s_{2}&c_{2}s_{2}\s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{3}-{1}s_{1}-{1}s_{2}&{2}-{2}-{2}-{2}-{2}-{2}-{2}-{2}-{2}-{2}-}-{2}-{{}-{2}-{2}-{2}-{2}-}-}-{2}-{2}-}-}-}-}-$	${\displaystyle X_{1}Y_{2}Z_{3}=begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-c_{2}s_{2}&s_{2}\c_{1}s_{3}+c_{1}s_{1}s_{2}s_{2}s_{2}s_{3}s_{2}s_{2}s_{3}s_{3}s_{2}s_}$
${\displaystyle Y_{1}X_{2}Y_{3}=sbegin{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{3}s_{1}\s_{2}s_{3}&c}&c_{3}&c}&{1}s_{1}s_{1}_{3}&c_{c_{c_{1}_{c_{c}_{c_{c}_{c_{c}}}}_{c_{c}_{c}_{c}}}_{c}$	${\displaystyle Y_{1}X_{2}Z_{3}=bmatrix}c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{1}s_{2}-c_{1}s_{3}s_{3}s_{2}-c_{1}s_{3}s_{1}$
${\displaystyle Y_{1}Z_{2}Y_{3}=sbegin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{1}s_{2}s_{2}\c_{3}s_{2}&-c_{2}s_{2}&-c_{3}s}$	${\displaystyle Y_{1}Z_{2}X_{3}=sbegin{bmatrix}c_{1}c_{2}&s_{3}-c_{1}c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}s_{3}s_{1}x_{3}s_{3}s_{3}s_{{1}\s_{begin_{batin{bat}_{bat}_bat}_bat}_{bat}_{bat}_batc_{batc_{bat}$
${\displaystyle Z_{1}Y_{2}Z_{3}=begin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{3}s_{1}-c_{2}s_{3}s_{3}&c_{1}s_{1}s_{2}s_{2}\c_c_{1}s_c_{1}s_{1}s_c_c_c_{2}s_c_{2}s_{1}_c_c_c_c_c_c_c_c_c_{1}_c_{1}_c_c_{$	${\displaystyle Z_{1}Y_{2}X_{3}=begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&c_{2}s_{3}s_{1}-c_{3}s_{1}+c_{1}c_{3}s_{2}\c_{1}s_{1}&c_{1}s_c_{1}&c_{1}s_{c_{1}s_c_{1}s_c_c_{1}_c_{c_{1}_{c_c}}}}}}}_c_c_c_c_c_c}}}}_c_c}$
${\displaystyle Z_{1}X_{2}Z_{3}=bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{1}-{1}s_{1}-c_{2}c_{3}s_{3}s_{1}&{1}s_{1}s_{c}\c}x_{3}s_{3}$	${\displaystyle Z_{1}X_{2}Y_{3}=begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{2}s_{1}s_{1}+c_{3}s_{1}s_{1}s_{1}s_{1}s_{2}\c_{1}s_{1}s_{1}s_{1}s_c_{1}-s_{c}_{1}_{c}_{1}_{c}_{c}_{c}_{c}_{3}s_{{c}_{c}_{c}_{c}_{$

이 표 형식의 결과는 수많은 ^[3]교과서에서 볼 수 있다.각 열에 대해 마지막 행이 가장 일반적으로 사용되는 규약을 구성합니다.

수동 회전에 대한 공식을 변경하려면(또는 역 능동 회전을 찾으려면) 행렬을 바꿉니다(그러면 각 행렬이 회전 기준 시스템에서 측정된 동일한 벡터의 좌표에 고정된 벡터의 초기 좌표를 변환합니다). 회전 축과 각도가 동일하지만 이제 좌표계가 회전합니다.e벡터)

다음 표는 $회전행렬$R의 $요소$ α,$$^[4]β 및 θ에 대한 공식을 보여줍니다$.$

고유 오일러 각도		타이트-브라이언 각도
${\displaystyle X_{1}Z_{2}X_{3}}$	$({displaystyle {displaystyle {aligned}\arctan \leftfrac {R_{314}\right}\beta &=\arctan \leftfrac {1-R_{11}^2}}{R_ma_{11}\right}\gam=\ctan leftfrac {right}\frac {right})$	${\displaystyle X_{1}Z_{2}Y_{3}}:$	$({displaystyle {relf}\arctan \leftfrac {R_{32}\right}\beta &=\arctan \leftfrac {-R_{12}{12}}{\sqrt {1-R_{12}^2}}\right)\gamtan\gatan\leftxtan\reftan\right {rfct}\right}\frac {right}\right}\rectan}\right}\rfrac {Rfct }$
${\displaystyle X_{1}Y_{2}X_{3}}$	$({displaystyle {displaystyle {aligned}\arctan \leftfrac {R_{31}\오른쪽)\\beta &=\arctan \leftfac {1-R_{11}{2}}{R_{right}\gama=왼쪽)\ctan \gama\ctan\left left left =$	${\displaystyle X_{1}Y_{2}Z_{3}}$	$({displaystyle {relf}\alpha &=\arctan \leftfrac {-R_{23}}\오른쪽)\beta &=\arctan \leftfrac {R_13}{{13}{\sqrt {1-R_{13}^2}}\gamctan=왼쪽)\gamctan=왼쪽)\leftan=$
${\displaystyle Y_{1}X_{2}Y_{3}}:$	$({displaystyle {displaystyle {aligned}\arctan \leftfrac {R_{12}}\오른쪽)\\beta &=\arctan \leftfrac {1-R_{22}^2}}{R_{right}\gam{22}\ctan\fright}\gam=\frectan\frac {right})$	${\displaystyle Y_{1}X_{2}Z_{3}}$	$({displaystyle {relf}\arctan \leftfrac {R_{13}}\오른쪽)\\beta &=\arctan \leftfrac {-R_{23}{-sqrt {1-R_{23}^2}}\right)\gamma = leftpartan leftfrac {right} } =$
${\displaystyle Y_{1}Z_{2}Y_{3}}:$	$({displaystyle {displaystyle {aligned}\arctan \leftfrac {R_{32}}\오른쪽)\\beta &=\arctan \leftfac {1-R_{22}^2}}{R_{22}{right}\gama\ctan\ctan leftan\left}\right)$	${\displaystyle Y_{1}Z_{2}X_{3}}$	$({displaystyle {relf}\alpha &=\arctan \leftfrac {-R_{311}\right)\beta &=\arctan \leftfrac {R_{214}{\sqrt {1-R_{21}^2}}\right)\gam = leftfrac {-rfractan left}\lfract {-right}\lfrac {-right} }\rtan}\right}$
${\displaystyle Z_{1}Y_{2}Z_{3}}$	$({displaystyle {displaystyle}\alpha &=\arctan \leftfrac {R_{23}}\오른쪽)\\beta &=\arctan \leftfrac {1-R_{3}{2}}{R_ma{33}\right}\gam=\frectan\frac\leftfrak {R}\frac}\fright}\frac {R}\left}\light}\light}\frac {R}\light}$	${\displaystyle Z_{1}Y_{2}X_{3}}$	$({displaystyle {relf}\arctan \leftfrac {R_{11}\right}\beta &=\arctan \leftfrac {-R_{314}{\sqrt {1-R_{314}^2}}\gama = leftfright)$
${\displaystyle Z_{1}X_{2}Z_{3}}$	$({displaystyle {displaystyle {aligned}\arctan \leftfrac {R_{13}}\오른쪽)\\beta &=\arctan \leftfac \frac {1-R_{3}{2}}{R_{3}}\gama=왼쪽)\gama\ctan\ctan\leftan\ctan left leftfac {13}$	${\displaystyle Z_{1}X_{2}Y_{3}}:$	$({displaystyle {arctan}\alpha &=\arctan \leftfrac {-R_{12}\right)\beta &=\arctan \leftfac {R_{32}{\sqrt {1-R_{32}{2}}\right)\gamctan\leftan\frac {-left}\fractan}\right}\frac {-left}\right}\right}\right}\right}\rctan\right}\right}$

특성.

오일러 각도는 3D 공간의 특수 직교 회전 그룹인 모든 SO(3)에 대한 차트를 형성합니다.차트는 β = 0을 따르는 극좌표 스타일의 특이점을 제외하고 부드럽다.더 완벽한 치료는 SO(3)의 차트를 참조하십시오.

회전 공간은 일반적으로 "회전 초공간"이라고 불리지만, 이는 잘못된 명칭입니다. 즉, 스핀(3) 그룹은 초공간³ S에 대해 등각이지만, 회전 공간 SO³(3)는 대신 초공간 RP에 대해 등각입니다.이 2대 1의 모호성은 물리학에서 스핀의 수학적 기원이다.

이와 유사한 3각 분해는 복잡한 2D 공간에서의 특별한 단일 회전군인 SU(2)에 적용되며, β의 범위는 0 ~ 2µ이다.이것들은 오일러 각도라고도 불린다.

SO(3)에 오일러 각도에서 그 하르 측도 SO(3)의 호프 각도 parametrisation에 의해 진동계 측 V∝ 죄⁡β ⋅ dα⋅ dβ⋅ d({\displaystyle{\textrm{d}}V\propto \sin\beta \cdot{\textrm{d}}\alpha \cdot{\textrm{d}}\beta \cdot{\textrm{d}}\gamma},[5]이(β, α){\displaystyle(\beta ,\alpha)}parametris 주어진다.e ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 2$(\$ S$^{2$ 회전축의 공간.

예를 들어 균일하게 랜덤화된 배향을 생성하기 위해 α와 δ를 0에서 2µ까지 균일하게 하고 z를 -1에서 1까지 균일하게 하며 β = arccos(z)로 한다.

기하학 대수

일반적으로 오일러 각도와 회전의 다른 특성은 4분의 1이 짝수 서브대수인 더 높은 수준의 추상화인 기하학 대수에서 찾을 수 있다.기하학 대수의 주요 도구는 $회전자{\displaystyle \mathbf{}}$ R ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle \cos }$display (${\displaystyle \mathrm{display}}$ /${\displaystyle 2\mathrm{}}$) - ${\displaystyle \mathrm{Iu}}$ sin ${\displaystyle （display\mathrm{}}$ / 2${\displaystyle }$） $]{$ $displaystyle \mathbf {R}$= [\$cos$( \$theta$/$2)-Iu\sin$( \$theta$/ $2$) }입니다. $여기$서 $=$ \$styledisplaystyle$ \$ta$$$u$$ = \math style \math =$athbf {I}$은$($는) 의사 스칼라입니다(${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}3$의 트라이벡터 \$displaystyle \mathbb {R}^{3$

고차원

오일러 각도와 유사한 매개변수를 ^[6]3차원보다 높은 차원으로 정의할 수 있습니다.

회전 행렬의 자유도는 항상 행렬의 제곱 차원보다 작습니다.즉, 회전 행렬의 요소가 모두 완전히 독립적인 것은 아닙니다.예를 들어 치수 2의 회전 행렬은 4개의 요소가 모두 단일 회전 각도에 의존하기 때문에 자유도가 1개뿐입니다.차원 3(9개의 요소를 갖는)의 회전 행렬은 각각의 독립 회전에 대응하는 3개의 자유도를 가진다. 예를 들어, 3개의 오일러 각도 또는 1(단위) 사분위수에 의해.

SO(4)에서 회전 행렬은 2개의 사분위수로 정의되며, 따라서 6개의 파라미터(사분위마다 3개의 자유도)입니다.따라서 4×4 회전 행렬에는 16개 중 6개의 독립 성분이 있습니다.

회전 행렬을 정의하는 6개의 매개변수 집합은 치수 4에 대한 오일러 각도의 확장으로 간주될 수 있습니다.

일반적으로 차원 D의 오일러 각도의 수는 2차이다. 즉, 한 회전이 회전할 두 차원을 선택하는 것으로 구성되므로 $차원{\displaystyle }$D에서$$ 사용할 수 있는 총 회전 ${\displaystyle {\text{수}}_{}}$는 N 로트$=$ (${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle =}$ D${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{D}}$- 1 )${\displaystyle }$/$$ ({$Display style N_{\text{rot$}}} {$DOM}}$ {D}}}이다.D ${\displaystyle =2}$,${\displaystyle 3}$, $({디스플레이$ 스타일 D$=$$2,3,4})$의 경우 N ${\displaystyle {\text{부패}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}1}$,${\displaystyle 3}$, $({디스플레이 스타일$ N_${\text{rot$}}=$1,$3$,6$이 됩니다.

적용들

차량 및 이동 프레임

다른 방향 설명에 비해 이 모델의 주요 장점은 차량에 장착된 짐벌에서 직접 측정할 수 있다는 것입니다.자이로스코프는 회전축을 일정하게 유지하므로 자이로 프레임에서 측정된 각도는 실험실 프레임에서 측정된 각도와 동일합니다.따라서 자이로스는 움직이는 우주선의 실제 방향을 알기 위해 사용되며, 오일러 각도는 직접 측정할 수 있습니다.고유 회전각은 단일 짐벌에서 읽을 수 없으므로 우주선에는 두 개 이상의 짐벌이 있어야 합니다.보통 용장성을 위해 적어도3개가 있어요또한 기계 공학에서^[7] 잘 알려진 짐벌 잠금 문제와도 관계가 있습니다.

일반적으로 강체를 연구할 때는 xyz 시스템 공간 좌표와 XYZ 시스템 차체 좌표를 호출합니다.공간 좌표는 이동하지 않는 것으로 처리되며, 차체 좌표는 이동 중인 물체에 내장된 것으로 간주됩니다.가속, 각가속도, 각속도, 각운동량, 운동에너지를 포함한 계산은 종종 신체좌표에서 가장 쉽다. 왜냐하면 관성텐서의 모멘트는 시간에 따라 변하지 않기 때문이다.강체의 관성 텐서 모멘트를 대각선화하면(9개의 구성요소로 구성되며, 그 중 6개는 독립적) 관성 텐서 모멘트가 3개의 구성요소만 있는 좌표 세트(주축이라고 함)가 있다.

강체의 각 속도는 움직이는 프레임의 오일러 각도를 사용하여 간단한 형태를 취합니다.또한 오일러의 강체 방정식은 관성 텐서가 프레임에서 일정하기 때문에 더 단순합니다.

결정학적 텍스처

재료 과학에서 결정학적 질감(또는 선호하는 방향)은 오일러 각도를 사용하여 설명할 수 있다.텍스처 분석에서, 오일러 각도는 다결정 물질 내의 개별 결정체의 방향에 대한 수학적 묘사를 제공하며, 거시적 ^[9]물질의 양적 묘사를 가능하게 한다.각도의 가장 일반적인 정의는 번지(Bunge)에 의한 것이며 ZXZ 규칙에 해당합니다.그러나 일반적으로 적용에는 텐서 양의 축 변환, 즉 수동 회전과 관련된 것이 중요합니다.따라서 번지 오일러 각도에 해당하는 행렬은 ^[10]위의 표에 표시된 행렬의 전치입니다.

다른이들

일반적으로 타이트-브라이언 규칙에서 오일러 각도는 손목의 자유도에 대해 말하기 위해 로봇 공학에서도 사용된다.또한 전자 안정성 제어에도 유사한 방식으로 사용됩니다.

총기 사격 통제 시스템은 갑판 기울기(피치 앤 롤)를 보상하기 위해 총기 순서 각도(베어링 및 고도)를 보정해야 합니다.기존 시스템에서는 수직 스핀 축을 가진 안정화 자이로스코프가 갑판 기울기를 보정하고 광학 조준기와 레이더 안테나를 안정화했습니다.그러나 포신은 목표물에 대한 시선과는 다른 방향을 가리키며 중력에 의한 발사체의 움직임과 낙하 등을 예측한다.총은 갑판 평면에 롤과 피치를 장착하지만 안정도 필요합니다.총기 주문에는 수직 자이로 데이터에서 계산된 각도가 포함되며, 이러한 계산에는 오일러 각도가 포함됩니다.

오일러 각도는 또한 각운동량의 양자역학에서 광범위하게 사용된다.양자역학에서 SO(3)의 표현에 대한 명시적 설명은 계산에 매우 중요하며, 거의 모든 작업은 오일러 각도를 사용하여 수행되었다.양자역학의 초기 역사에서, 물리학자들과 화학자들이 추상적인 그룹 이론 방법들에 대해 날카롭게 부정적인 반응을 보였을 때, 오일러 각도에 대한 의존은 또한 기본적인 이론적 작업에 필수적이었다.

많은 모바일 컴퓨팅 장치에는 지구의 중력에 대한 이러한 장치의 오일러 각도를 결정할 수 있는 가속도계가 포함되어 있습니다.이것들은 게임, 버블 레벨 시뮬레이션, 만화경 ^{[citation needed]}등의 응용 프로그램에서 사용됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 3D 투영
• 축각 표현
• 4원소와 오일러 각도 사이의 변환
• 데이븐포트 연쇄 회전
• 오일러의 회전 정리
• 짐벌 잠금
• 사분위
• 4분의 1과 공간 회전
• 3차원 회전 형식
• 구면 좌표계

레퍼런스

참고 문헌

• Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. (1981), Angular Momentum in Quantum Physics, Reading, MA: Addison–Wesley, ISBN 978-0-201-13507-7
• Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (2nd ed.), Reading, MA: Addison–Wesley, ISBN 978-0-201-02918-5
• Gray, Andrew (1918), A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion, London: Macmillan (published 2007), ISBN 978-1-4212-5592-7
• Rose, M. E. (1957), Elementary Theory of Angular Momentum, New York, NY: John Wiley & Sons (published 1995), ISBN 978-0-486-68480-2
• Symon, Keith (1971), Mechanics, Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-07392-8
• Landau, L.D.; Lifshitz, E. M. (1996), Mechanics (3rd ed.), Oxford: Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2896-9

외부 링크

• "Euler angles", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Euler Angles". MathWorld.
• 데이비드 에버리.오일러 각도 공식, 기하학적 도구
• 오일러 각도에 대한 대화형 자습서는 https://www.mecademic.com/en/how-is-orientation-in-space-represented-with-euler-angles에서 구할 수 있습니다.
• Oiler Angles – Oiler 각도와 관련된 3회전을 3D로 시각화하는 iOS 앱
• 오리엔테이션 라이브러리 – "orilib" (수정 방향용 특수 도구를 포함한 회전/방향 조작 루틴 모음)
• 회전 변환기에서 사용 가능한 회전 행렬을 변환하는 온라인 도구(숫자 변환)
• 심볼 회전 행렬을 변환하는 온라인 도구(비활성이지만 웨이백 기계에서 사용 가능) 심볼 회전 변환기
• 회전, 반사 및 프레임 변경: IOP 퍼블리싱 컴퓨터 엔지니어링 역학의 직교 텐서
• NASA 우주왕복선 분석을 위한 오일러 각도, 사분수 및 변환 행렬