오일러-로드리게스 공식

수학과 역학에서 오일러-로드리게스 공식은 벡터의 회전을 3차원으로 설명한다.로드리게스의 회전 공식을 기초로 하지만 다른 파라메트리제이션(parametrization)을 사용한다.

회전은 레온하르트 오일러로 인한 4개의 오일러 파라미터로 설명된다.회전지점의 위치를 계산하는 방법인 로드리게스 공식(올린데 로드리게스의 이름을 따서 명명)은 비행 시뮬레이터나 컴퓨터 게임과 같은 일부 소프트웨어 애플리케이션에서 사용된다.

정의

원점에 대한 회전은 다음과 같은 4개의 실수로 표현된다. $a$ , $b$ , $c$ , d

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.

회전을 적용하면 위치 $x \to$ 의 지점이 새로운 위치로 회전한다.

{\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.

파라미터 $a$ 는 스칼라 파라미터라고 할 수 있는 반면, $Ω \to =$ ( $b, c, d)$ 벡터 파라미터라고 할 수 있다.표준 벡터 표기법에서 로드리게스 회전식은 콤팩트한 형태를 취한다.

${\vec}}={\vec}+2a({\vec {\bec}\beca{\beca}}+2\beca\beca{\beca}}({\beca}}{\becc}}\ript)\right$

매개변수 $(a,$ $b,$ $c,$ $d)$ 와 $(- a, -b, -c, -d)$ 는 동일한 회전을 설명한다.이 대칭과는 별개로, 4개의 매개변수의 모든 집합은 3차원 공간에서 고유한 회전을 설명한다.

두 번의 회전 구성 자체가 회전이다. $(a 1,$ $b 1,$ $c 1,$ $d 1)$ 와 ( $a 2,$ $b 2,$ $c 2,$ $d 2)$ 를 두 회전의 오일러 매개변수로 한다.복합 회전을 위한 파라미터(회전 후 2회전 1)는 다음과 같다.

{\begin{aligned}a&=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2};\\b&=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2};\\c&=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2};\\d&=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}.\end{정렬}}

$지루하기$ 는²² 하지만 $+ b 2$ + c + $d 2$ = $1$ . (이는 본질적으로 오일러의 4제곱 아이덴티티로 로드리게스가 사용하기도 한다.)

3차원의 중앙 회전은 그 회전 축(단위 벡터 $k \to$ = $(k x y,$ k, $k z)$ 로 표현됨)과 회전 각도 $φ$ 에 의해 고유하게 결정된다.이 회전에 대한 오일러 매개변수는 다음과 같이 계산된다.

{\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi }{2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c&=k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{정렬}}

$φ$ 을 360도의 완전 회전으로 증가시키면 사인(sine)과 코사인(cosine)의 인수는 180도만 증가한다는 점에 유의한다.결과 파라미터는 원래 값 $(- a, -b, -c, -d)$ 과 반대되는 값으로, 동일한 회전을 나타낸다.

특히 아이덴티티 변환(null 회전, rotation = $0)$ 은 $파라미터$ 값 $(a,$ $b,$ $c,$ $d)$ = $(\pm1,$ $0$ , 0)에 $해당한다.$ 축에 대해 180도 회전하면 a = $0$ 이 $된다$ .

오일러 매개변수는 쿼터니온의 계수로 볼 수 있다. 스칼라 매개변수 $a$ 는 실제 부분, 벡터 매개변수 $b$ , $c$ , $d$ 는 가상의 부분이다.그래서 우리는 쿼터를 가지고 있다.

q=a+bi+cj+dk,

이 값은 이후 단위 길이(또는 버시어)의 분기점이다.

\left\ q\right\^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.

가장 중요한 것은 회전 구성의 위의 방정식이 정확히 쿼터니온의 곱셈 방정식이라는 것이다.즉, 곱셈이 있는 단위 쿼터니온의 집단은 음의 부호를 모듈로 하여 구성과 함께 회전하는 집단에 이형성을 띤다.

Lie 그룹 SU(2)는 2 × 2 행렬의 3차원 회전을 나타내기 위해 사용할 수 있다.오일러 파라미터 측면에서 회전에 해당하는 SU(2)-매트릭스는

U={\begin{pmatrix}\\\,a+di&b+ci\-b+ci&a-end{pmatrix}}.

또는, 이것은 합으로 쓸 수 있다.

{\reasoned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+b\ {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}+c\ {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}+d\ {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}\\&=a\,I+ic\,\sigma _{x}+ib\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z},\end{aligned}}

Pauli_i 회전 행렬이 있는 곳.따라서 오일러 매개변수는 SU(2)의 3차원 회전을 나타내기 위한 계수다.

Cartan, Élie (1981). The Theory of Spinors. Dover. ISBN 0-486-64070-1.
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v t 레온하르트 오일러
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