입체 지도 투영

평면도 투영 또는 방위각 등각 투영이라고도 하는 입체 투영은 사용 연대가 오래된 등각 지도 투영이다. 직교 투영과 지노모닉 투영과 마찬가지로 입체 투영도 방위 투영이며, 구체에 있을 때는 원근 투영도 있다.

타원체에서 입체 투영의 원근법 정의는 정합성이 없으며, 방위 및 정합성을 보존하도록 조정해야 한다. 보편적인 극지 입체 좌표계는 그러한 타원형 구현을 사용한다.

역사

입체 투영법은 고대 이집트인들에게 극지적인 면으로 알려졌을 가능성이 높았지만, 그것의 발명은 종종 그것을 사용한 최초의 그리스인 히파르쿠스에게 기인한다.^{[citation needed]} 사선은 4세기 알렉산드리아의 그리스 수학자 테온이 사용했고, 적도면은 11세기 아랍 천문학자 알 자르칼리가 사용하였다. 그것에 대한 가장 초기 서면 서술은 프톨레마이오스의 Planisphaerium인데, 이것을 "Planisphere Projection"이라고 부른다.

스테레오 투영은 1507년 세인트의 발터 루드까지 스타 차트에 독점적으로 사용되었다. 디에, 로레인은 지구 표면을 입체적으로 투사하는 것으로 알려진 최초의 사례를 만들었다. 지도 제작에서 그것의 인기는 루몰드 메르카토르가 1595년 지도책을 위해 그것의 적도 측면을 사용한 이후 증가했다.^[1] 그 후 17세기 내내 그것의 적도적 측면이 동서반구 지도에 사용되면서 빈번하게 사용되었다.^[2]

1695년 에드몽 핼리는 스타 차트에 대한 관심에서 동기부여를 받아 이 지도가 일치한다는 최초의 수학적 증거를 발표했다.^[3] 그는 그의 친구 아이작 뉴턴에 의해 발명된 최근에 확립된 미적분학 도구를 사용했다.

포뮬라과

입체 투영의 구형 형태는 보통 극좌표로 표현된다.

${\displaystyle {\begin}r&=2R\tan \left({\frac {\pi }{4}-{\fracti {}{2}}\오른쪽)\\\\theta &=\fdda \end{aigned}}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 구의 반지름이며, $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$과 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은 각각 위도 및 경도이다$$.

구체는 일반적으로 지도가 있는 지역의 범위가 두 차원 모두에서 수백 킬로미터의 길이를 초과할 때 지구를 모형화하기 위해 선택된다. 더 작은 지역의 지도에 대해 더 큰 정확도가 필요한 경우 타원형 모델을 선택해야 한다.^[1]

극 타원형 투영의 타원형 형태는 등위도를 사용한다. 타원체의 가로 또는 사선 입체 투영 형태는 다양하다. 한 가지 방법은 정합 구를 통한 이중 투영을 사용하는 반면, 다른 방법은 그렇지 않다.

가로 또는 사선 입체 투영의 예로는 밀러 지운 입체^[4] 투영과 호실헤 사선 투영이 있다.^[2]

특성.

방위각 투영법으로서, 입체 투영은 중심점을 통과하는 모든 원들의 상대적인 방향을 충실하게 표현한다. 등각 투영법으로서 도처에 있는 각도를 충실하게 표현한다. 또한 구형의 형태에서 입체 투영법은 모든 작은 원을 원형으로 렌더링하는 유일한 지도 투영법이다.

입체 투영의 구형 형태는 원근법이 지도의 중심점 반대편에 있는 지구상의 점에 있는 원근 투영과 동일하다.

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$에 대한 표현은 ${\displaystyle \phi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \varphi }$이$({\displaystyle }$가) 접근함에 따라 달라지기$$ 때문에 ${\displaystyle \frac{\mathrm{stere}}{}}$ 2 ${\$}{$2$ 입체 투영은 무한히 커 남극을 보여주는 것은 불가능하다. 그러나 지도의 경계가 충분히 확장되어 있는 한 임의로 남극에 가까운 지점을 표시할 수 있다.^[1]

파생 투영

갈 스테레오 투영의 평행선은 가로 스테레오 투영의 중심 자오선에 있는 것과 동일한 간격으로 분포한다.

GS50 투영은 사선 입체 투영을 복잡한 평면에 매핑한 다음 10차 다항식을 통해 그 위에 있는 점을 변형시켜 형성된다.

참조