양자 홀 효과

양자 홀 효과(또는 정수 양자 홀 효과)는 홀 효과의 양자화된 버전으로, 홀 $저항 xy$ R이 양자화된 값을 취하는 단계를 나타내는 저온과 강한 자기장을 받는 2차원 전자 시스템에서 관찰됩니다.

R_{xy}=vfrac {V_{\text{Hall}}}{I_{\text{channel}}}=param frac {h}{e^{2}\nu}}

$여기$ 서_Hall V는 홀 전압, $I$ 는_channel 채널 전류, e는 기본 전하, h는 플랑크의 상수입니다.그 인자 ν은 정수(ν)1,2,3,...)또는 분별()ν.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{에 걸릴 수 있다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/3, 2/5, 3/7, 2/3,3/5에 10축 소모형, 2/9, 3/13, 5/2, 12/5,...)값을 본다.여기서 $θ$ 는 대략적이지만 란다우 수준의 채우기 계수와 정확히 동일하지는 않다.양자 홀 효과는 $θ$ 가 각각 정수인지 분수인지에 따라 정수 또는 분수 양자 홀 효과라고 한다.

정수 양자 홀 효과의 두드러진 특징은 전자 밀도가 변화할 때 양자화(즉 홀 고원)의 지속성이다.페르미 레벨이 깨끗한 스펙트럼 갭에 있을 때 전자 밀도는 일정하게 유지되기 때문에, 이러한 상태는 국소화되지만 페르미 레벨이 유한한 상태의 에너지인 경우에 해당합니다(안데르손 현지화 ^[1]참조).

부분 양자 홀 효과는 더 복잡하다. 그 존재는 기본적으로 전자-전자 상호작용에 의존한다.분수 양자 홀 효과도 정수 양자 홀 효과로 이해되지만, 전자는 아니지만 복합 페르미온으로 알려진 전하-플루스 복합 재료의 효과로 이해됩니다.1988년,^[2] 란다우 레벨이 없는 양자 홀 효과가 있다는 것이 제안되었다.이 양자 홀 효과를 양자 이상 홀(QAH) 효과라고 합니다.또한 전하 ^[3]전류 대신 스핀 전류가 흐르는 양자 홀 효과와 유사한 새로운 개념의 양자 스핀 홀 효과도 있습니다.

적용들

홀 컨덕턴스의 $G_{xy}=1/R_{xy}$ ( $G_{xy}=1/R_{xy}$ x $=$ $G_{xy}=1/R_{xy}$ / $G_{xy}=1/R_{xy}$ R $G_{xy}=1/R_{xy}$ y { $displaystyle G_{xy }= 1$ / $R_{$ xy $G_{xy}=1/R_{xy}$ )는 매우 정밀하다는 중요한 특성이 있습니다.홀 전도율의 실제 측정값은 10억분의 1에 가까운 e $/ h$ 의 $정수 2$ 또는 분수 배수로 밝혀졌다.정확한 양자화라고 불리는 이 현상은 실제로 이해되지는 않지만 게이지 ^[4]불변성의 원리의 매우 미묘한 현상으로 설명되기도 한다.폰 클리칭 $상수 K$ R에 의해 주어진 저항 양자에 기초하여 전기 저항에 대한 새로운 실용적인 표준의 정의를 가능하게 했습니다.이것은 정확한 양자화를 발견한 클라우스 폰 클리칭의 이름을 따서 명명되었다.양자 홀 효과는 또한 양자 전기 역학에서 기본적으로 중요한 양인 미세 구조 상수의 매우 정확한 독립적 결정을 제공합니다.

1990년에는 전 ^[5]세계 저항 교정에 사용하기 위해 고정 $재래식 K-90$ 값 R = $25812 .807 Ω$ 이 정의되었다.2018년 11월 16일, 제26차 중량 및 측정에 관한 총회는 $정확$ 한_K 영구 값 R $=$ $h 2$ / $e$ $= 25812$ . $80745로$ 1990년 값을 대체하여 h(플랑크 상수)와 e(기본 ^[6]전하)의 정확한 값을 고정하기로 결정했다. $ω$ .^[7]

역사

1959년 ^[8]벨 연구소의 모하메드 아탈라와 다원 칸에 의해 발명된 MOSFET (금속 산화물 반도체 전계효과 트랜지스터)는 물리학자들이 거의 이상적인 2차원 ^[9]기체에서 전자 거동을 연구할 수 있게 했다.MOSFET에서 전도 전자는 얇은 표면층을 통과하며, "게이트" 전압이 이 층의 전하 캐리어 수를 제어합니다.이를 통해 연구자들은 액체 헬륨 ^[9]온도에서 고순도 MOSFET를 작동시켜 양자 효과를 탐색할 수 있다.

홀 컨덕턴스의 정수 양자화는 1975년 안도 쓰네야, 마츠모토 유키오, 우에무라 야스타다 등 도쿄대 연구자에 의해 당초 자신들이 ^[10]사실이라고 믿지 않았던 대략적인 계산을 바탕으로 예측되었다.1978년, 가쿠슈인 대학의 와카바야시 준이치, 카와지 신지 연구원이 MOSFET의 ^[11]반전층에 대해 실시한 실험에서 그 효과를 관찰했다.

1980년, 그르노블의 고자기장 연구소에서 마이클 페퍼와 게르하르트 도르다에 의해 개발된 실리콘 기반의 MOSFET 샘플로 일하던 클라우스 폰 클리칭은 홀 저항이 정확히 ^[12]^[9]양자화되었다는 예기치 않은 발견을 했다.이 발견으로 폰 클리칭은 1985년 노벨 물리학상을 받았다.이후 Robert Laughlin에 의해 정확한 양자화와 게이지 불변성 사이의 링크가 제안되었으며, Robert Laughlin은 Touless 충전 ^[4]^[13]펌프의 양자화된 전하 전송에 양자화된 전도율을 연결하였다.대부분의 정수 양자 홀 실험은 갈륨 비소 헤테로 구조에 대해 수행되지만, 다른 많은 반도체 재료를 사용할 수 있습니다.2007년에는 상온과 ^[14]같은 고온의 그래핀과 산화마그네슘 ZnO-MgZnO에서_x_1−x ^[15]정수 양자 홀 효과가 보고되었다.

정수 양자 홀 효과

B가 변화함에 따라 란다우 레벨을 채우는 모습과 홀 계수 및 자기장 그래프 상의 해당 위치를 보여주는 애니메이션 그래프입니다.설명만 가능합니다.레벨이 필드 증가에 따라 퍼집니다.레벨 사이에 양자 홀 효과가 나타난다.

란다우 레벨

2차원에서는 고전 전자가 자기장에 노출되면 원형 사이클로트론 궤도를 따릅니다.시스템이 양자역학적으로 처리되면 이러한 궤도는 양자화된다.에너지 수준의 값을 결정하기 위해서는 슈뢰딩거 방정식을 풀어야 합니다.

시스템은 자기장을 받기 때문에 슈뢰딩거 방정식에서 전자 벡터 전위로 도입되어야 합니다.검토되는 시스템은 x 및 y 방향으로 자유롭게 이동하지만 z 방향으로 엄격하게 제한되는 전자 가스입니다.그런 다음 Z 방향으로 자기장이 인가되고 Landau 게이지에 따르면 전자 벡터 전위는 A $\mathbf {A} =(0,Bx,0)$ ( $\mathbf {A} =(0,Bx,0)$ , $\mathbf {A} =(0,Bx,0)$ , $\mathbf {A} =(0,Bx,0)$ ) ${{displaystyle \mathbf {A}$ = ( $0,Bx,0)}$ 이고 $\mathbf {A} =(0,Bx,0)$ 스칼라 전위는 $\phi =0$ { $displaystyle \phi = 0$ 입니다.따라서 이 시스템의 전하 입자 $q$ (\ $displaystyle$ q) 및 $q$ 유효 $m^{*}$ m $m^{*}$ µ(\ $displaystyle$ m $^{*})$ 에 $m^{*}$ 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같습니다.

\displaystyle \left\{\frac {1}{2m^{*}}\left[\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right]^{2} + V(z)\right\}\psi(x,y,z)=\varepsi(x,y,z)}

$\mathbf {p}$ 서 p $\mathbf {p}$ {\ $displaystyle \mathbf {p}$ 는 $\mathbf {p}$ 표준 운동량입니다 $-i\hbar \nabla$ 이때 연산자는 $-i\hbar \nabla$ {\ $displaystyle -i\hbar \displayla$ }, $display$ {\displaystyle \ $varepsilon }$ 에 $-i\hbar \nabla$ $\varepsilon$ 의해 대체됩니다.

이 방정식을 풀기 위해서는 두 개의 방정식으로 분리할 수 있습니다. 왜냐하면 자기장이 x축과 y축을 따라 움직이는 것에 영향을 주기 때문입니다.그러면 총 에너지는 두 가지 기여 $=$ $\varepsilon =\varepsilon _{z}+\varepsilon _{xy}$ z + $\varepsilon =\varepsilon _{z}+\varepsilon _{xy}$ x $\varepsilon =\varepsilon _{z}+\varepsilon _{xy}$ ${\$ =\ $varepsilon$ _ ${z}+\varepsilon$ _ ${xy$ 의 합이 됩니다.z축의 해당 방정식은 다음과 같습니다.

\displaystyle \left [ - { \ frac ^ { 2 m ^ { * } } { \ flac ^ { 2 } } { \ over \ flac z ^ { 2 } } + V ( z ) \ right ]u ( z ) = \ varepsilon _ { z u ( z ) }

간단히 말하면 $V(z)$ V ( $V(z)$ ) $V(z)$ { $displaystyle$ V ( $z)$ }는 $V(z)$ 무한정이라고 간주됩니다.따라서 z 방향에 대한 해는 ${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$ z ${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$ ${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$ ${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$ 2 ${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$ 2 2 2 ${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$ ${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$ l 2 ${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$ ${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$ 2 \ $textstyle$ \ $varepsilon$ _ {z } = $fr$ frac ${n_{z$ }^{2 $}\hbar ^{2} ^{$ 2}} \ $hbar$ ^{2}}} $n_{z}=1,2,3...$ $n_{z}=1,2,3...$ , $n_{z}=1,2,3...$ 3 입니다. ${\displaystyle n_{z}=1,2,3...$ } 및 $n_{z}=1,2,3...$ 파형 함수는 사인파입니다 $.$ $(\displaystyle$ x $)$ 및 $x$ $y$ (\ $displaystyle y)$ 방향의 $y$ 경우, 슈뢰딩거 방정식의 해는 x $\psi _{xy}=u(x)e^{ik_{y}y}$ $displaystyle$ x $x$ 의 알 수 없는 함수를 가진 y $(\displaystyle y) 방향$ 의 $y$ 평면파의 곱으로 선택할 수 있습니다. $e^{ik_{y}y$ 이는 벡터 전위가 $y$ 에 $y$ $y$ 하지 않기 때문에 모멘텀 ${\hat {p}}_{y}$ p ${\hat {p}}_{y}$ $(\$ })는 ${\hat {p}}_{y}$ 해밀턴과 교감하기 때문입니다. ${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$ Ansatz를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 ${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$ k y ${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$ ${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$ ${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$ y ${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$ B { $textstyle$ x $_$ { k _ { y } = $fr$ frac { $hbar$ k _ { $y$ } { $eB$ 에 ${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$ 을 둔 1차원 고조파 발진기 방정식을 얻을 수 있습니다.

{\displaystyle \left[-{\frac {{2}}{2m^{*}}{\frac {1}{2}m^{*}\operate_{\frac {1}m^{2}(x-l_{B}^{2}k_{y})\v=오른쪽

여기서 ${\textstyle \omega _{\rm {c}}={\frac {eB}{m^{*}}}}$ c $= e$ ${\textstyle \omega _{\rm {c}}={\frac {eB}{m^{*}}}}$ m $†$ ${\rm$ {c}}= $μfrac$ {eB $}{m^{*}}}}}$ 은 ${\textstyle \omega _{\rm {c}}={\frac {eB}{m^{*}}}}$ 사이클로트론 주파수로 ${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$ 되며, ${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$ ${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$ ${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$ ${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$ B ${{B}^{$ 2} = $μfrac {hbar}{B}$ 의 ${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$ 자기장으로 정의된다.에너지는 다음과 같습니다.

\varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)

x

\varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)

≡

\varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)

x

\varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)

=

c

\varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)

(

\varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)

n

\varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)

+

\varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)

){ displaystyle \

varepsilon _

{

xy

} \ equiv \

varepsilon _

{ n

_

{ n _ rm {

c

}

=

\

hbar

\ opega _ { \

rm

{ c } } \

left

n_{x}=1,2,3...

( n _ {

x

} + { \

frac

{ { { } }

\varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)

} \

right

)

\varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)

,

n_{x}=1,2,3...

n_{x}=1,2,3...

, 1 , 3 , 1 .

{\displaystyle n_{x}=1, 2, 3...

}

$또한$ xy $(\displaystyle$ xy $)$ 평면의 운동에 대한 파형 함수는 y $(\displaystyle$ y $)$ 의 $y$ 평면 파형과 x $(\displaystyle$ x $x$ 의 가우스 함수에 의해 감쇠된 Hermite 다항식의 곱으로 구할 수 있습니다.

Landau 레벨의 표현에서 에너지는 $k_{y}$ y {\ $displaystyle$ $k_{y$ 가 $k_{y}$ n $n_{x}$ ${\$ ${$ x $n_{x}$ 에만 의존한다는 것을 알 수 있습니다. $n_{x}$ x $n_{x}$ {displaystyle $n_{$ x $n_{x}$ }}이 $n_{x}$ $k_{y}$ y { $displaystyle k_{y}}$ 의 $k_{y}$ $k_{y}$ 는 축퇴됩니다.

상태 밀도

제로 필드에서는 스핀에 의한 변성을 고려한 2차원 전자 가스의 단위 표면당 상태 밀도는 에너지와 무관하다.

n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}

2

n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}

n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}

n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}

n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}

{\

n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}

{\ 2

n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}

（ \

display style

n _ { \

rm

{ 2 D } } =

fr frac

{

m^

{ * } } {\

pi \hbar

^ {2

n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}

。

필드가 켜지면 상태 밀도가 상수에서 Dirac 콤으로 축소됩니다. Dirac $\delta$ $\Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}$ { $displaystyle$ \ displaystyle $}$ 함수는 $\delta$ $style x$ y = $are$ c { displaystyle \ $varepsilon$ _ { $xy$ } $=$ \ $hbar \ obe$ \ rmc $\Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}$ } $\Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}$ 온도에서 $분리$ 된 Landau $\Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}$ 에 대응합니다.s 폭 events = $\tau _{i}$ i $\tau _{i}$ { $textstyle$ \ $Gamma = fr$ frac { $hbar }$ { \ $displaystyle _ { i$ ${\textstyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau _{i}}}}$ }}}을 ${\textstyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau _{i}}}}$ $\tau _{i}$ 획득합니다.일반적으로 란다우 레벨의 정확한 형태는 가우스 또는 로렌츠 프로파일이라고 가정합니다.

또 다른 특징은 파동함수가 $\mathbf {A}$ x축(\ $displaystyle$ x축)을 $x$ $\mathbf {A}$ 동일한 간격으로 y $(\displaystyle$ $xy$ $y$ 으로 $y$ 평행 스트립을 형성한다는 것입니다. 벡터 전위가 w인 경우 $(\displaystyle$ $xy$ $)$ 평면에서는 $xy$ 특별한 방향이 없기 때문입니다.다르게 선택되면 원형 대칭을 찾아야 한다.

$L_{x}\times L_{y}$ $L_{x}\times L_{y}$ x $L_{x}\times L_{y}$ $L_{x}\times L_{y}$ L y $L_{x}\times L_{y}$ {\ $displaystyle$ L_ ${x}\times$ L_ ${$ $y}}$ 의 $L_{x}\times L_{y}$ 샘플과y {\ $displaystyle$ y $}$ $방향$ ${\textstyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$ $=$ $l$ L ${\textstyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$ {\ $pi$ } { $L_{y}}$ $j$ 에서 ${\textstyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$ 각 j{\ $displaystyle$ j $}$ 가 $j$ 포물선인 주기적 경계 조건을 적용할 경우 포물선 정수는 1개입니다. $x_{k}=l_{B}^{2}k$ $x_{k}=l_{B}^{2}k$ k $=$ $x_{k}=l_{B}^{2}k$ B $x_{k}=l_{B}^{2}k$ (\ $displaystyle x_{k$ }= $l_{B}^{2}k$

포물선 전위는 x

(

\displaystyle

x_{k

})를

x

x_{k}

중심으로 x

(

x\

displaystyle

x_{k})

x

을 따르며, 제1파 함수는

(\displaystyle

z

)

방향의

z

무한 우물 구속에 해당합니다.

\displaystyle

y 방향에는

y

이동하는 평면파가 있습니다.

Landau Level 및 $(\displaystyle$ k $)$ 별 $k$ 상태 수는 시료를 통과하는 총 자속과 상태에 해당하는 자속 간의 비율로 계산할 수 있습니다.

N_{B}=blac{phi}{\phi_{0}}=blac{BA}{BL_{y}\Delta x_{k}}=pic frac {A}{2\pi l_{B}{{2}}{\begin {array}&l_{B}&\&\end {array}{\frac {AeB}{2\pi \h}}{array}{array}}{\begin {array}{lcr}{l}A}{2\pi \hbar }

따라서 단위 표면당 상태 밀도는

n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}

B

n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}

n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}

n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}

n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}

2

n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}

、

{

displaystyle

n

_

{ B } =

flac

{

m^

{ * } \

obega

_ { \

rm

{

c

} } {

2

\

pi

\

hbar }

n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}

。

상태 밀도와 자기장의 의존성에 주목합니다.자기장이 클수록 각 란다우 레벨의 상태가 많아집니다.그 결과 소비되는 에너지 레벨이 적기 때문에 시스템에 제약이 더 많아집니다.

마지막 식을 n ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$ ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$ ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$ c ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$ m ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$ ∗ ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$ 2 ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$ 2 2 2 { $textstyle$ n $_$ { B } = $fr$ frac ${ hbar$ \ $obega$ _ { \ $rm$ { $c$ } { $2}}$ {\ $frac$ { $m^$ {*}} {\ $pi$ \ $hbar$ ^ ${2$ }}}}}}}로 ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$ ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$ 쓰면 각 Landau 레벨이 aDEG에 있는 상태만큼 많은 것을 알 수 있습니다.

전자가 페르미온이라는 사실을 고려할 때, 란다우 레벨에서 이용 가능한 각 상태에 대해 2개의 전자, 즉 ${\textstyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$ s ${\textstyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$ ± ${\textstyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$ \ $textstyle$ s = \ $pm$ { $frac$ { { $}$ 에 대한 각 값을 가진 1개의 전자에 해당합니다. 그러나, 큰 자기장이 적용되면, 에너지는 알과 관련된 자기 모멘트로 인해 두 개의 레벨로 분할됩니다.자기장에 의한 스핀 점화에너지의 차이는 ${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$ E $=$ ± ${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$ ${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$ ${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$ (\ $textstyle$ $\Delta$ E=\ $pm {frac {1}{2}g\$ $mu$ _ ${\rm$ { $B}}B$ $g$ $})$ 이며 ${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$ $,$ $\mu _{\rm {B}}$ 전자의 경우 물질( $g=2$ $g=2$ \ $display style$ g $=$ 2)에 $g=2$ 따라 달라지는 $요소$ 이다. $+(\displaystyle$ +) 기호는 스핀이 필드와 평행할 때 $-$ - $(\displaystyle$ - $)$ 기호는 $-$ 역평행일 때 표시됩니다.스핀 분할이라고 하는 이 사실은 각 레벨의 상태 밀도가 1/2로 감소한다는 것을 의미합니다. $\Delta E$ E $(\$ style \ $Delta$ E $)$ 는 $\Delta E$ 자기장에 비례하므로 자기장이 클수록 분할에 더 관련이 있습니다.

스핀 스플릿을 무시한 자기장 내 상태의 밀도. (a) 각

\hbar \omega _{\rm {c}}

의 상태는

{\

\hbar \omega _{\rm {c}}

{\

displaystyle \hbar

\obega

_

{\rm {c}})

- 함수

\delta

\delta

레벨로 압축됩니다. (b) 란다우 레벨은 0이 아닌 폭

\Gamma

{\

displaystyle

\Gamma

\delta

}

이며

\hbar \omega _{\rm {c}}

\Gamma

, 보다 사실적으로 중첩될 경우 } \Gamma

.

c

<

\hbar \omega _{\rm {c}}<\Gamma

\

displaystyle

\

hbar

\

obega

_ { \

rm

{ c } < \

Gamma

} 。 (c)

\hbar \omega _{\rm {c}}>\Gamma

>

γ 、

\

displaystyle

\

hbar

\ obega _ { \

rm

{ c} > \

Gamma

에 따라 레벨이 구별됩니다.

점유된 란다우 레벨의 수를 얻기 위해 2DEG 상태 밀도와 란다우 레벨 상태 밀도 사이의 비율로서 이른바 충진 계수 $(\displaystyle\nu)$ 를 $\nu$ 정의한다.

\displaystyle \nu = snfrac {n_{\rm {2D}} {n_{B}} = snfrac {hn_{\rm {2D}} {eB}}}

일반적으로 채우기 계수 $\nu$ {\(\ $displaystyle \nu)$ 는 $\nu$ 정수가 아닙니다.정확히 채워진 Landau 레벨의 수가 있을 때 정수가 됩니다.대신 최상위 레벨이 완전히 점유되지 않으면 정수 이외의 값이 됩니다. $n_{B}\propto B$ B $n_{B}\propto B$ B $(\style n_{B}\propto$ B $n_{B}\propto B$ 는 자기장을 증가시킴으로써 Landau 레벨의 에너지가 상승하고 각 레벨의 상태 수가 증가하므로 빈 상태가 될 때까지 상위 레벨을 차지하는 전자는 줄어듭니다.자기장이 계속 증가하면 결국 모든 전자는 $\nu <1$ 최저 레벨( $\nu <1$ < < $\nu <1$ \ $displaystyle \nu < 1$ 이 됩니다. 이를 자기 양자 한계라고 합니다.

스핀 분할을 무시한 자기장에서의 란다우 레벨 점유, 페르미 레벨이 전자의 일정한 밀도를 유지하기 위해 어떻게 움직이는지 보여줍니다.필드는 2

({displaystyle

2

:3:4

})의

2:3:4

2:3:4

로,

\nu =4,{\frac {8}{3}}

\nu =4,{\frac {8}{3}}

,

\nu =4,{\frac {8}{3}}

({

=

\nu =4,{\frac {8}{3}}

4

,

{\

frac {8}{3}}}

및

\nu =4,{\frac {8}{3}}

({displaystyle

2

)

입니다

2

종방향 저항률

충전 계수를 저항률, 따라서 시스템의 전도율과 관련시킬 수 있습니다. $(\displaystyle \nu)$ 가 $\nu$ 정수일 경우 페르미 에너지는 캐리어가 사용할 수 있는 상태가 없는 란다우 레벨 사이에 존재하므로 전도율이 0이 된다(자기장이 란다우 레벨 사이에 겹치지 않을 정도로 큰 것으로 간주됨). 그렇지 않으면 전자와 전도도가 거의 없을 것이다. $약$ 0 $(\displaystyle$ 0 $)$ 이 됩니다.따라서 저항률도 0이 됩니다(매우 높은 자기장에서는 종방향 전도율과 저항률이 ^[16]비례한다는 것이 증명됩니다).

대신 $\nu$ (\ $displaystyle\nu)$ 가 $\nu$ 반정수일 때 페르미 에너지는 일부 Landau 레벨의 밀도 분포의 정점에 위치합니다.즉, 컨덕터빌리티가 최대가 됩니다.

이 최소값과 최대값의 분포는 자기장이 증가할수록 관련성이 높아지는 Shubnikov-de Haas 진동이라고 불리는 "양자 진동"에 대응합니다.피크의 높이는 자기장과 함께 상태 밀도가 증가하므로 자기장이 증가할수록 커지기 때문에 저항률에 기여하는 캐리어가 많아집니다.흥미로운 점은 자기장이 매우 작을 경우 종방향 저항률이 상수이며 이는 고전적인 결과에 도달했음을 의미합니다.

자기장의 함수로서 2차원 전자 가스의 종방향 및 횡방향(Hall) 저항률

\rho _{xx}

\rho _{xx}

x

\rho _{xx}

\

rho _{

xx

\rho _{xx}

} 및

\rho _{xy}

x

\rho _{xy}

x \

displaystyle \rho

_

{xy

두 수직 축은 양자

e^{2}/h

e^{2}/h

e

e^{2}/h

/ h(\

displaystyle e^{

2}/

h)

로 나누어졌습니다(단위는 오해의 소지가 있음).마지막 4개의 플라토에 대해 채우기 계수

\nu

(\

displaystyle \nu)

가

\nu

표시됩니다.

가로 저항률

가로 저항률의 고전적 관계로부터 ${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$ ${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$ y $=$ ${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$ e ${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$ ${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$ D {\ $textstyle \rho$ _ ${xy$ }= $specfrac {B}}$ { $en_{\rm$ {2D $}}}}$ 을 ${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$ ${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$ 하고 ${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$ 2 ${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$ ${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$ ${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$ h {\ $textstyle n_{\rm$ { $2D$ }} $= nu$ { $fracb}$ { $h$ {h $}$ 를 구한다.

\rho _{xy}=parc frac {h}{\nu e^{2}}\rightarrow \parc =\nu {e^{2}}{h}}

그 결과, 가로 저항률은 이른바 전도성 $e^{2}/h$ $e^{2}/h$ $e^{2}/h$ 의 역배수(\ $display style$ e $^{2}/h$ 라고 결론지을 수 있다. 그럼에도 불구하고, 실험에서 란다우 레벨 사이에 고원이 관측되며, 이는 실제로 전하 캐리어가 존재함을 나타낸다.이러한 운반체는 예를 들어 궤도에 갇힌 물질의 불순물에 국소화되어 전도성에 기여할 수 없습니다.그것이 란다우 레벨 사이에서 저항률이 일정하게 유지되는 이유이다.자기장이 감소하면 저항률이 자기장에 비례하는 고전적인 결과를 얻을 수 있습니다.

포토닉 양자 홀 효과

양자 홀 효과는 2차원 전자 시스템에서 관측될 뿐만 아니라 광자에서도 관찰될 수 있다.광자는 고유 전하를 가지고 있지 않지만 이산 광학 공진기와 결합 위상 또는 현장 위상의 조작을 통해 인공 자기장을 생성할 ^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]수 있다.이 과정은 여러 개의 거울 사이를 튕기는 광자의 은유를 통해 표현될 수 있다.여러 개의 거울에 빛을 쏘면 광자는 각운동량에 비례하여 추가 위상을 획득할 수 있습니다.이것은 마치 자기장 안에 있는 것처럼 효과를 일으킨다.

수학

호프스타터 나비

홀 효과에 나타나는 정수는 위상 양자 수의 예입니다.그것들은 수학에서 첫 번째 체른 숫자로 알려져 있고 베리의 상과 밀접한 관련이 있다.이 맥락에서 많은 관심을 끄는 모델은 그림에 표시된 호프스타터 나비인 양자 위상 다이어그램의 아즈벨-하퍼-호프스타터 모델이다.수직축은 자기장의 세기이고 수평축은 전자 밀도를 고정하는 화학적 전위입니다.색상은 홀 컨덕턴스의 정수를 나타냅니다.따뜻한 색상은 양의 정수를 나타내고 차가운 색상은 음의 정수를 나타냅니다.그러나 양자화된 홀 전도 영역의 상태 밀도는 0이므로 실험에서 관찰된 고원을 생성할 수 없습니다.위상 다이어그램은 프랙탈이며 모든 척도에 구조가 있습니다.그 그림에는 명백한 자기유사성이 있다.실험에서 본 고원의 근원인 무질서가 존재하는 경우, 이 도표는 매우 다르며 프랙탈 구조는 대부분 씻겨 내려갑니다.

물리적 메커니즘과 관련하여, 불순물 및/또는 특정 상태(예: 가장자리 전류)는 '정수' 및 '분할' 효과 모두에 중요하다.또한 쿨롱 상호작용은 분수 양자 홀 효과에서도 필수적이다.정수와 분수 양자 홀 효과 사이의 관측된 강한 유사성은 복합 페르미온이라고 불리는 짝수 수의 자속 양자와의 결합 상태를 형성하는 전자의 경향에 의해 설명됩니다.

폰 클리칭 상수의 보어 원자 해석

폰 클리칭 상수의 값은 단일 전자 홀 효과로 볼 때 Bohr 모델 내의 단일 원자 수준에서 이미 구할 수 있습니다.원형 궤도상의 사이클로트론 운동 동안 원심력은 가로 유도 전압과 홀 효과를 담당하는 로렌츠 힘에 의해 균형을 이루며, Bohr 원자의 쿨롱 전위차를 유도된 단일 원자 홀 전압으로 보고 원 위의 주기적인 전자 운동을 홀 전류로 볼 수 있다.단일 원자 홀 전류를 단일 전자 $전하$ 비율로 정의하는 $것$ 은 각 $\omega$ 로 케플러 회전 $†(\displaystyle$ $\omega)$ 입니다 $e$ .

({displaystyle I} = frac {2\pi } )

그리고 유도 홀 전압은 전자 궤도점과 무한대에서 수소 핵 쿨롱 전위의 차이다.

U=V_{\text{C}}-V_{\text{C}}=0-V_{\text{C}}(r)=capfrac {e}{4\pi \capilon _{0}r}}

폰 클리칭 상수의 단계에서 정의된 Bohr 궤도 홀 저항의 양자화를 얻을 수 있습니다.

R_{\text{Bohr}}(n)=black {U}{I}}=n{\frac {h}{e^{2}}}

이는 Bohr 원자의 경우 선형이지만 정수 n에서는 역행하지 않습니다.

상대론적 유추

정수 양자 홀 효과와 양자 스핀 홀 효과의 상대론적 예는 격자 게이지 ^[22]^[23]이론의 맥락에서 발생한다.

「」를 참조해 주세요.

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추가 정보

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v t 응집 물질 물리학
물질 상태	단단한 액체. 가스 플라즈마 보스-아인슈타인 응축수 페르미온 응축수 페르미 가스 페르미 액체 초솔리드 초유체 루팅거액 시간 결정
위상 현상	Order 파라미터 상전이
전자 단계	전자 밴드 구조 절연체 모트 인슐레이터 반도체 세미메탈 컨덕터 초전도체 열전 압전 강유전체 위상 절연체 스핀 갭리스 반도체
전자 현상	홀 효과 양자 홀 효과 스핀 홀 효과 양자 스핀 홀 효과 베리상 아로노프-봄 효과 조지프슨 효과 곤도 효과
자기상	반자성 슈퍼다이아마그넷 파라마그넷 슈퍼파라매그넷 강자석 반강자석 메타자성 스핀글라스
준입자	포논 엑시톤 플라스몬 폴라리톤 폴라론 매그논
연질 물질	비정질 고체 입상물 액정 고분자
과학자	맥스웰 반데르발스 데비 블로치 온사게 모트 피어스 란다우 루팅거 앤더슨 바딘 쿠퍼 슈리퍼 조지프슨 콘 카다노프 피셔
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