포인팅 벡터

페이지 평면의 전계 강도(색)와 포인팅 벡터(화살표)를 나타내는 페이지에서 다이폴의 다이폴을 수직으로 방사한다.

물리학에서 포인팅 벡터(또는 Umov-Poynting 벡터)는 전자기장의 방향 에너지 플럭스(단위 시간당 단위 면적당 에너지 전달) 또는 전력 흐름을 나타냅니다.포인팅 벡터의 SI 단위는 평방미터당 와트(W/m²), kg/s³(기본 SI 단위)입니다.그것은 ^[1]^{: 132}1884년에 처음 이것을 발견한 존 헨리 포인팅의 이름을 따서 붙여졌다.니콜라이 우모프는 또한 ^[2]그 개념을 공식화한 것으로 인정받고 있다.Oliver Heaviside는 또한 정의에 ^[3]임의의 벡터 필드의 컬을 추가하는 자유도를 인식하는 보다 일반적인 형태로 독립적으로 그것을 발견했다.포인팅 벡터는 전자기 에너지 보존을 나타내는 연속 방정식인 포인팅의 정리(Poynting's theorem)와 함께 전자기장에서의 전력 흐름을 계산하기 위해 사용됩니다.

정의.

포인팅의 원본 논문과 대부분의 교과서에서 포인팅 $\mathbf {S}$ S(\ $displaystyle\mathbf {S})$ 는 $\mathbf {S}$ 교차곱으로^[4]^[5]^[6] 정의되어 있습니다.

\displaystyle \mathbf {S} = \mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}

여기서 굵은 글씨는 벡터와

E는 전계 벡터이다.
H는 자기장의 보조장 벡터 또는 자화장이다.

이 표현은 종종 아브라함 형식이라고 불리며 가장 널리 사용된다.^[7]포인팅 벡터는 보통 S 또는 N으로 표시됩니다.

간단히 말해서, 포인팅 벡터 S는 비어있을 수도 있고 비어 있지 않을 수도 있는 공간 영역의 전자장으로 인해 에너지의 전달 방향과 속도, 즉 힘을 나타냅니다.좀 더 엄밀하게 말하면, 포인팅의 정리를 유효하게 하기 위해 사용해야 하는 것은 양이다.포인팅의 정리는 본질적으로 어떤 지역에 들어가는 전자기 에너지와 그 지역을 떠나는 전자기 에너지 사이의 차이가 그 지역에서 변환되거나 소멸되는 에너지와 같아야 한다고 말한다. 즉, 다른 형태의 에너지로 바뀐 것이다.그래서 만약 누군가가 전자기 에너지 전달에 대한 포인팅 벡터 설명의 타당성을 받아들인다면, 포인팅의 정리는 단순히 에너지 보존에 대한 진술이다.

전자파 에너지가 특정 영역(예: 기계적 에너지 또는 열) 내에서 다른 형태의 에너지에서 얻거나 손실되지 않는 경우, 전자파 에너지는 해당 영역 내에서 국소적으로 보존되어 포인팅 정리의 특수한 경우로서 연속성 방정식을 산출합니다.

\cdot \mathbf {S} =-{\frac {\frac u}{\frac t}

u

서

u\

displaystyle

u는

u

전자기장의 에너지 밀도입니다.이 빈번한 조건은 포인팅 벡터가 계산되고 전기회로의 통상적인 전력 계산과 일치하는 것으로 보이는 다음과 같은 간단한 예를 들 수 있습니다.

예: 동축 케이블에서의 전력 흐름

임의의 기하학적 구조를 가진 전자기학 문제는 해결하기 어렵기로 악명 높지만, 우리는 첨부된 다이어그램에서와 같이 원통 좌표에서 분석된 동축 케이블("동축")의 단면을 통해 동력 전달의 경우 비교적 간단한 해결책을 찾을 수 있다.모델의 대칭성을 활용할 수 있습니다. no(원대칭)에 의존하지 않고 Z(케이블에 따른 위치)에 의존하지 않습니다.모델(및 솔루션)은 시간 의존성이 없는 DC 회로로 단순하게 간주할 수 있지만, 다음 솔루션은 충분히 짧은 세그먼트(seg)를 통해 순간적인 시간(전압과 전류가 변화하지 않는 시간)을 고려하는 한 무선 주파수 전력(통상 동축!) 전송에도 동일하게 적용됩니다.케이블의 ment(파장보다 훨씬 작기 때문에 이러한 양은 Z에 의존하지 않습니다).동축은 반지름₁ R의 내부 도체와 내부 반지름이 R인₂ 외부 도체로 지정됩니다(R을 초과하는₂ 두께는 다음 분석에 영향을 주지 않습니다).R과₂ R 사이의₁ 케이블에는 상대 유전율 µ의_r 이상적인 유전체 재료가 포함되어 있으며, 우리는 비전도체(μ = μ₀)와 무손실(완벽한 도체)인 도체를 가정하며, 이 모든 것은 일반적인 상황에서 실제 동축에 근사한 것입니다.

전계 E(전압 V에 의한)와 자기장 H(전류 I에 의한)를 이용해 산출된 포인팅 벡터 S에 따른 동축 케이블 내 전자파워 흐름의 그림.

동축을 통한 DC 전원 전송은 전기장(

E_{r}

r \

displaystyle

E _ {

r

} )과

H_{\theta }

( \

displaystyle

H _ { \

theta

)의 상대적인 강도를 나타내며, 그 결과 발생하는 포인팅

S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }

(

S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }

S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }

S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }

S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }

r

S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }

h H

S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }

{ \

displaystyle

S _ { z

= E _

r } \

cd

} } } } }

H_{\theta }

{ H } {

cd

Ta } } } } { cdisplaystylear }

S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }

} } } } } }

}} dc

끊어진 마젠타 선은 반지름 r 내의 누적 전력 전송을 나타냅니다. 이 중 절반은 R과 R의₂ 기하₁ 평균 안쪽으로 흐릅니다.

중심 도체는 전압 V로 유지되며 전류 I를 오른쪽으로 끌어오기 때문에 전기 기본 법칙에 따라 총 전력 흐름은 P = V · I가 될 것으로 예상됩니다.그러나 포인팅 벡터를 평가함으로써 동축 내부의 전기장과 자기장의 관점에서 전력 흐름의 프로파일을 식별할 수 있습니다.물론 각 도체의 내부에서는 전장이 0이지만 도체( $R_{1}<r<R_{2}$ 1 < $R_{1}<r<R_{2}$ $R_{1}<r<R_{2}$ \ $display style$ R_ ${1}$ < $r$ < $R_{2$ 사이의 대칭은 도체가 반경 방향으로 엄밀하게 위치함을 나타내며 가우스의 법칙을 사용하여 다음 형식을 따라야 함을 나타낼 수 있습니다.

E_{r}(r)=black {W}{r}

W는 r = R

({

디스플레이

r=R_{2}

r

=R_{2})

에서

r=R_{2}

R

({

R_

{1

})까지의

R_{1}

전계를 통합하여 평가할 수 있습니다. 전압 V의 음수여야 합니다.

({displaystyle - V=\int _ {R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \leftfac {R_{1}}\frac {R_{1}}\right})

다음을 실현합니다.

W=blnfrac {V}{\ln(R_{2}/R_{1}}

대칭에 의해 자기장은 θ 방향으로만 0이 아닐 수 있습니다. 즉, R과₂ R 사이의₁ 모든 반지름에서 중심 도체를 중심으로 루프하는 벡터장이 될 수 있습니다.도체 내부에서는 자기장이 0일 수도 있고 아닐 수도 있지만, 이러한 영역의 포인팅 벡터는 0이기 때문에 이는 문제가 되지 않습니다.동축 케이블 전체의 외부에서는, 이 영역의 패스가 순전류 0(중심 도체에서는 +I, 외부 도체에서는 -I)을 둘러싸기 때문에, 자기장은 동일하게 0입니다.또한 이 영역에서는 전계가 0입니다.전류 +I를 중심 도체에 둘러싸지만 외부 도체의 전류에 영향을 받지 않는 R에서₁₂ R까지의 영역에서 Ampér의 법칙을 사용하면 반지름 r에서 다음을 찾을 수 있습니다.

디스플레이 스타일I=\point _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&=frac {I}{2\pi r}}\end {aligned}}

반지름 방향의 전장과 접선 자기장으로부터 포인팅 벡터는 Z 방향의 동축 방향에서 0이 아닙니다.r의 함수만 S(r)를 평가할 수 있습니다.

S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{\theta }(r)=param frac {W}{r}{\frac {I}{2\pi r}}=param {W},I}{2\pi r^{2}}}

여기서 W는 중심 도체 전압 V의 관점에서 위에 나와 있습니다.동축에 흐르는 총전력은 케이블의 단면 A 전체에 걸쳐 컨덕터 간에 적분함으로써 계산할 수 있습니다.

디스플레이 스타일P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A}}S_{z}(r,\theta)},dA=\int _{R_{2}}2\pi rdrS_{z}(r)\&=\int _{R_{2}}{FRAC}{{{}}}{{FR}}{FR}}{FR}}{FR}}}{FR}}}{FR}}}}{FR}}}}}{FR}}}}}}}}}}{R}I}{r}dr=W,I,\ln \leftflac {R_{2}}{R_{1}}\right})\end { aligned}}

이전 솔루션을 상수 W로 대체하면 다음과 같이 됩니다.

{\displaystyle P_{\mathrm {tot}=I\ln \leftfrac {R_{2}}{R_{1}}\right}{\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1}}}}}=V,나

즉, 동축의 단면에 포인팅 벡터를 적산함으로써 얻을 수 있는 전력은 전압과 전류의 곱과 정확히 같습니다.이는 기본적인 전기 법칙을 사용하여 전달되는 전력을 계산하기 때문입니다.

기타 양식

맥스웰 방정식의 "현미경" 버전에서, 이 정의는 전기장 E와 자속 밀도 B의 관점에서 정의로 대체되어야 한다(기사의 뒷부분에서 설명).

또한 전위장 D와 자속 B를 결합하여 포인팅 벡터의 민코프스키 형태를 얻거나 D와 H를 사용하여 또 다른 버전을 구성할 수 있다.Pfeifer ^[8]등은 아브라함 형식과 민코프스키 형식의 지지자들 사이의 세기에 걸친 논쟁을 요약하고 어느 정도 해결한다(Abraham-Minkowski 논쟁 참조).

포인팅 벡터는 전자기 에너지용 에너지 플럭스 벡터의 특정 경우를 나타냅니다.그러나 모든 유형의 에너지는 공간에서의 이동 방향과 밀도를 가지고 있기 때문에 에너지 플럭스 벡터는 다른 유형의 에너지(예: 기계 에너지)에도 정의될 수 있습니다.1874년 니콜라이 우모프가 발견한 우모프-포인팅^[9] 벡터는 완전히 일반화된 관점에서 액체 및 탄성 매체의 에너지 플럭스를 설명한다.

해석

포인팅 벡터는 에너지 절약 법칙인 포인팅의 정리(파생은 이 기사 참조)에 나타납니다.

\displaystyle {\frac u} {\mathbf {S} - \mathbf {J_{\mathrm {f}} \cdot \mathbf {E},

여기서_f J는 자유 전하의 전류 밀도이고 u는 선형 비분산 물질에 대한 전자기 에너지 밀도이다.

u=snarfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right) \,

어디에

E는 전기장이다.
D는 전기 변위장이다.
B는 자속 밀도이다.
H는 자화장이다.^[10]^{: 258–260}

오른쪽의 첫 번째 항은 전자기 에너지가 작은 부피로 흐르는 것을 나타내며, 두 번째 항은 전자기 에너지에서 방출, 열 등으로 빠져나가는 자유 전류에 대한 필드의 작업을 차감합니다.이 정의에서 결합 전류는 이 용어에 포함되지 않으며 대신 S와 u에 기여한다.

선형, 비분산 및 등방성(단순성을 위해) 재료의 경우 구성 관계는 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\display \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,

어디에

θ는 물질의 유전율이다.
μ는 물질의 ^[10]^{: 258–260}투과성입니다.

여기서 θ와 μ는 위치, 방향 및 주파수에 관계없이 스칼라, 실값 상수입니다.

원칙적으로, 이것은 이러한 형태의 포인팅의 정리를 진공과 비분산^{[clarification needed]} 선형 재료의 장으로 제한한다.특정 상황에서는 추가 ^[10]^{: 262–264}용어를 사용하여 분산 재료에 대한 일반화가 가능합니다.

포인팅 공식의 결과 중 하나는 전자기장이 작동하기 위해서는 자기장과 전기장이 모두 존재해야 한다는 것입니다.자기장과 전기장만으로는 아무것도 ^[11]할 수 없다.

평면파

등방성 무손실 매체의 전자평면파를 전파할 때 순간포인팅 벡터는 항상 그 전파방향을 가리키며 크기가 빠르게 진동한다.이는 평면파에서 자기장 H(r,t)의 크기가 전계 벡터 E(r,t)의 크기를 전송 매체의 고유 임피던스인 δ로 나눈 값이라는 점에서 간단히 알 수 있다.

\mathbf {H} = flac {\mathbf {E} } {\eta }

여기서 A는 A의 벡터 노름을 나타낸다.E와 H는 서로 직각이기 때문에 교차곱의 크기는 크기의 곱입니다.일반성을 잃지 않고 X를 전계의 방향, Y를 자기장의 방향이라고 합시다.E와 H의 교차곱에 의해 주어진 순간 포인팅 벡터는 양의 Z 방향이 됩니다.

{\mathsf {S_{z}}}={\mathsf {E_{x}}}\cdot {\mathsf {H_{y}}}={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}

z

{\mathsf {S_{z}}}={\mathsf {E_{x}}}\cdot {\mathsf {H_{y}}}={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}

{\mathsf {S_{z}}}={\mathsf {E_{x}}}\cdot {\mathsf {H_{y}}}={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}

x

{\mathsf {S_{z}}}={\mathsf {E_{x}}}\cdot {\mathsf {H_{y}}}={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}

{\mathsf {S_{z}}}={\mathsf {E_{x}}}\cdot {\mathsf {H_{y}}}={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}

y

{\mathsf {S_{z}}}={\mathsf {E_{x}}}\cdot {\mathsf {H_{y}}}={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}

{\mathsf {S_{z}}}={\mathsf {E_{x}}}\cdot {\mathsf {H_{y}}}={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}

{\mathsf {S_{z}}}={\mathsf {E_{x}}}\cdot {\mathsf {H_{y}}}={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}

{\mathsf {S_{z}}}={\mathsf {E_{x}}}\cdot {\mathsf {H_{y}}}={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}

（

displaystyle

{

S _

{ S _ { z } } =

cdot

{ {

mathsf

{

H

_ { y } } =

frac { left

\

mathsf

{

E

_ { x

{\mathsf {S_{z}}}={\mathsf {E_{x}}}\cdot {\mathsf {H_{y}}}={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}

} } =

right ^

{ 2 } } }

}

。

그런 다음 평면파에서 시간 평균 전력을 찾으려면 주파수에 비해 시간별 평균이 더 커야 합니다.

(\displaystyle \left \mathsf {S_{z}\right \rangle = pright ^{2}\rangle } {\eta } = frac {E_{rms} {\eta} )

여기서_rms E는 루트 평균 제곱 전계 진폭입니다.E(t)가 피크 진폭_peak E에서 정현파적으로 변화하는 중요한 경우, RMS ${\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}$ 은 E ${\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}$ ${\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}$ k / $(\$ 로 지정되며 평균 포인팅 벡터는 다음과 같습니다.

({displaystyle\left}\mathsf {S_{z}}\rangle={mathsf {E_{peak}^2}}{2\eta })

사인파 자기장 진폭은 피크값으로 표현되는 경우가 가장 많고 복잡한 문제는 일반적으로 한 번에 하나의 주파수만 고려하여 해결되기 때문에 평면파의 에너지 플럭스에 가장 일반적인 형태입니다.그러나 E를 사용하는_rms 식은 완전히 일반적이며, 예를 들어 rms 진폭을 측정할 수 있지만 "피크" 진폭이 의미가 없는 노이즈의 경우 적용됩니다.자유공간에서는 고유임피던스 θ는 자유공간 임피던스 θ₀ θ 377Ω으로 간단히 구할 수 있다.지정된 유전율이 δ인_r 비금속 유전체(광학 주파수의 모든 투명 재료 등) 또는 ${\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}$ 이 n ${\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}$ ${\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}$ {\ $displaystyle {n}$ = ${\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}$ r { $displaystyle$ _ ${$ r ${\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}$ 인 광학계에서 고유 임피던스는 다음과 같이 구한다.

\eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}

\eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}

0

ϵr

{

displaystyle

\eta =

fracfrac { eta

_ { 0 } { \

snaphilon

_ { r

\eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}

}

\eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}

} 。

광학에서 표면을 가로지르는 복사 플럭스의 값, 즉 해당 표면에 수직인 방향의 평균 포인팅 벡터 성분은 기술적으로 조사 강도라고 알려져 있으며, 보다 단순하게 강도(약간 애매한 용어)라고 불립니다.

현미경 분야에서의 공식화

맥스웰 방정식의 "마이크로스코프"(미분) 버전은 재료 매체의 빌트인 모형 없이 기본 필드 E와 B만 허용합니다.진공유전율, 투과율만 사용하고 D, H는 사용하지 않는다.이 모델을 사용하는 경우 포인팅 벡터는 다음과 같이 정의됩니다.

\mathbf {S} = flac {1} {\mu _{0}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,

어디에

μ는₀ 진공 투과율이다.
E는 전계 벡터이다.
B는 자속이다.

이것은 사실 포인팅^{[dubious – discuss]} ^[12]벡터의 일반적인 표현입니다.포인팅의 정리의 대응하는 형태는

{\frac u} {\frac t}=-\frac \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E},

여기서 J는 총 전류 밀도이고 에너지 밀도 u는 다음과 같이 주어집니다.

u=snarfrac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right}\,

여기서 θ는₀ 진공 유전율이고, 표기법² E는 실제 벡터 E(t)의 점곱, 즉 벡터 노름 E의 제곱을 의미하는 것으로 이해된다. 이것은 총 전하와 전류 그리고 로렌츠 힘 법칙의 관점에서만 맥스웰 방정식에서 직접 도출될 수 있다.

포인팅 벡터의 두 가지 대체 정의는 진공 또는 비금속 물질에서 동일하며, 여기서 B = μH이다₀.다른 모든 경우, 이들은 S = (1/μ₀) E × B와 대응하는 u가 순수하게 방사성이라는 점에서 다르다. 왜냐하면 산란항 -J δ E는 총 전류를 포함하지만, E × H 정의는 ^[13]산란항에서 제외되는 결합 전류에 기여하기 때문이다.

S = (1/μ₀) E × B의 유도 및 에너지 밀도에서는 현미경장 E와 B만이 발생하므로 존재하는 물질에 대한 가정은 피한다.에너지 밀도에 대한 포인팅 벡터, 정리 및 식은 진공 및 모든 ^[13]물질에서 보편적으로 유효합니다.

시간 평균 포인팅 벡터

상기 포인팅 벡터의 형태는 순간적인 전기장과 자기장으로 인한 순간적인 전력 흐름을 나타냅니다.더 일반적으로, 전자기학의 문제는 특정 주파수에서 정현적으로 변화하는 장의 관점에서 해결된다.그 결과는 예를 들어 서로 다른 주파수와 변동 진폭에서 그러한 파형의 중첩으로 일관되지 않은 방사선을 나타내면서 보다 일반적으로 적용될 수 있다.

따라서 위에서 사용한 $순간$ E $(t)$ 와 H $(t)$ 가 아니라 위상 표기를 사용하여 간섭성 파형의 위상(및 진폭)을 설명하는 각각의 복잡한(벡터) 진폭을 고려하고 있습니다.이러한 복잡한 진폭 벡터는 시간별 진동을 나타내는 것으로 이해되므로 시간의 함수가 아닙니다.E $등$ 의_m 페이저는 $순간진폭$ E $(t)$ 가 $Ee$ 의^jωt $실부$ 에_m 따르는 정현파 가변장을 나타내는 것으로 이해되며, 여기서 $θ$ 는 고려되는 정현파의 (라디안) 주파수이다.

시간 영역에서는 순간 전력 흐름이 2µ의 주파수로 변동하는 것을 볼 수 있습니다.그러나 일반적으로 관심 있는 것은 이러한 변동을 고려하지 않는 평균 전력 흐름입니다.아래 계산에서 이는 $전체$ 사이클 T = $2cl$ / $µ$ 에 걸쳐 적분함으로써 달성됩니다.여전히 "점점 벡터"라고 불리는 다음 양은 위상 단위로 직접 표현된다.

\mathbf {S} _{\mathrm {m} } = tfrac {1} {2}} \mathbf {E} _{\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}

여기서 는 복소 켤레를 나타냅니다.시간 평균 전력 흐름(예를 들어 전체 사이클에 걸쳐 평균된 순간 포인팅 벡터에 따라)은 $S$ 의_m 실제 부분에 의해 주어진다.가상부분은 보통 무시되지만 정재파나 안테나의 근방장에 의한 간섭과 같은 "반응전력"을 나타냅니다.단일 전자 평면파(반대 방향으로 이동하는 두 개의 정재파가 아니라)에서 $E$ 와 H는 정확히 $일치$ 하므로_m S는 위의 정의에 따라 단순히 실수이다.

Re $(S m)$ 의 순간 포인팅 $벡터$ S의 시간 평균에 대한 당량은 다음과 같다.

{t}\mathbf {S}(t)\times \mathbf {H}(t)\&=\operatorname {Re} \left(\mathbf {E} _{\mathbf {m} {m} } e^{j\ope t} \opername {E} \right} \opername {times} \opername {H} \t} \times } \times }\&=snotfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} ) _{\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\ope t}\right)\times {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} } e^{j\obega t} +\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*} e^{-j\obega t}\right)\\&=snotfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^*} +\mathbf {E} _{*} \times \mathbf {H} _{\mathrm} } +\mathbf {E} _{F}\&=tftfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathbf {m} } \times \mathbf {H} _{*}\right} + {\tfrac {2}}\operatorname {\mathb} \left!\end { aligned}

시간에 따른 순간 포인팅 벡터 S의 평균은 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathbf {S} \rangle = flac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S}(t),dt=matrixfrac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E}_{\mathrm {m}}\times \mathbf {H}_{*}\right}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {\left}\re!

두 번째 항은 평균 값이 0인 이중 주파수 성분입니다. 따라서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\displaystyle \mathbf {S} \rangle = \operatorname {Re} \!\leftf\tfrac {1}{2} {\mathbf {M} } } \times \mathbf {H} _{\mathbf {H} {{*} \right} \opername {Re}

일부 규칙에 따르면 위의 정의에서 1/2 계수는 생략될 수 있습니다. $E$ 와_m H의 $크기$ 는_m 진동량의 피크 필드를 의미하므로 전력 흐름을 올바르게 설명하려면 1/2의 곱셈이 필요합니다.각 필드를 루트 평균 제곱(rms) 값(각각 작은 ${\sqrt {2}}/2$ 2 $/$ 2 $(\displaystyle\sqrt$ {2 $}}/$ ))으로 나타내면 1/2를 곱하지 않고 올바른 평균 전력 흐름을 얻을 수 있습니다.

저항성 소산

도체에 상당한 저항이 있을 경우 해당 도체의 표면 근처에서 포인팅 벡터가 도체 쪽으로 기울어져 도체에 충돌합니다.포인팅 벡터는 도체에 들어가면 표면에 ^[14]^{: 61}거의 수직인 방향으로 구부러집니다.이것은 스넬의 법칙과 도체 내부의 매우 느린 빛의 속도의 결과입니다.도체 내 광속의 정의와 연산을 ^[15]^{: 402}제공할 수 있다.도체 내부의 포인팅 벡터는 전자기장에서 와이어로 흐르는 에너지 흐름을 나타내며 와이어 내에서 저항성 줄 가열을 생성합니다.스넬의 법칙으로 시작하는 유추는 레이츠 ^[16]^{: 454}454페이지를 참조한다.

방사압

전자기장의 선형 운동량 밀도는 S²/c이며, 여기서 S는 포인팅 벡터의 크기이고 c는 자유 공간에서의 빛의 속도이다.대상 표면에 전자파가 가하는 방사선 압력은 다음과 같다.

P_{\mathrm {rad} = frac {\mathrm {c} }

포인팅 벡터의 고유성

포인팅 벡터는 포인팅의 정리에서 그 발산 δ δ S를 통해서만 발생한다. 즉, 닫힌 표면 주변의 포인팅 벡터의 표면 적분이 닫힌 부피로 또는 닫힌 부피에서 나오는 전자기 에너지의 순 흐름을 설명해야 한다.즉, S에 솔레노이드 벡터장(발산이 0인 필드)을 추가하면 포인팅의 정리에 따라 포인팅 벡터장의 이 필수 특성을 만족하는 다른 필드가 생성된다는 것을 의미합니다.어떤 컬의 발산도 0이므로, 어떤 벡터장의 컬도 포인팅 벡터에 추가할 수 있고, 그 결과 벡터장 S'는 여전히 포인팅의 정리를 만족시킬 것이다.

그러나 포인팅 벡터는 원래 그 발산만 나타나는 포인팅의 정리를 위해서만 공식화되었지만, 그 형태에 대한 위의 선택은 ^[10]^{: 258–260, 605–612}독특하다는 것이 밝혀졌다.다음 절에서는 E × H에 임의의 솔레노이드 필드를 추가할 수 없는 이유를 보여 주는 예를 제시합니다.

정적 필드

정적장에서의 포인팅 벡터. 여기서 E는 전계, H는 자기장, S는 포인팅 벡터입니다.

정적장에서의 포인팅 벡터의 고려는 맥스웰 방정식의 상대론적 특성을 보여주고 로렌츠 힘의 자기 성분 q(v × B)를 더 잘 이해할 수 있게 한다.예를 들어, 영속 자석에 의해 생성되는 H 필드(페이지를 가리키는 것)에 위치한 원통형 캐패시터 내의 포인팅 벡터를 설명하는 부수적인 그림을 검토한다.비록 정적 전기장과 자기장만 존재하지만, 포인팅 벡터의 계산은 시작과 끝이 없이 전자파 에너지의 시계방향 순환 흐름을 생성합니다.

순환하는 에너지 흐름이 비물리적으로 보일 수 있지만, 각운동량의 보존을 유지하기 위해서는 그 존재가 필요합니다.자유 공간에서 전자파의 운동량은 그 힘을 빛의 속도인 c로 나눈 것과 같다.따라서 전자파 에너지의 원형 흐름은 ^[17]각운동량을 의미합니다.충전된 캐패시터의 두 플레이트 사이에 와이어를 연결하면 방전 전류와 교차된 자기장으로 인해 캐패시터가 방전되는 동안 와이어에 로렌츠 힘이 가해집니다. 이 힘은 중심축에 접해 시스템에 각운동량을 더합니다.이 각운동량은 포인팅 벡터에 의해 밝혀진 "숨겨진" 각운동량과 일치하며 콘덴서가 방전되기 전에 순환합니다.

「」를 참조해 주세요.

파동 벡터

레퍼런스

^ Stratton, Julius Adams (1941). Electromagnetic Theory (1st ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-470-13153-4.
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추가 정보

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