전자기장의 에너지 보존을 보여주는 물리학의 정리
전기역학 에서 포잉의 정리 는 영국의 물리학자 존 헨리 포잉팅 이 개발한 전자기장 의 에너지 보존 에 관한 진술이다.[1] 그것은 주어진 부피에서 저장된 에너지는 부피 내에서 전하 로 수행된 작업 에 의해 주어진 비율로 변화하며, 부피에서 에너지가 빠져나가는 비율을 뺀다고 명시하고 있다. 분산 되지 않는 매체에서만 엄밀히 사실이지만 분산 사례에 대해서는 연장할 수 있다.[2] 이 정리는 고전 역학 에서 작업 에너지 정리 와 유사하며, 수학적으로 연속성 방정식과 유사하다.
정의 Poynting의 정리는 공간의 영역에서 단위 부피 당 에너지 전달 속도는 그 지역의 전하 분포에 대해 수행 된 작업 비율과 그 지역을 떠나는 에너지 유동 과 동일하다고 명시하고 있다.
수학적으로:
− ∂ u ∂ t = ∇ ⋅ S + J ⋅ E {\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}}}
여기서:
∂ u ∂ t {\ displaystyle -{\frac precent u}{\precent t}} ∇•S 는 푸앵팅 벡터 S 의 분리 에 의해 주어지는 부피 밖으로 나오는 에너지 흐름이다. J •E 는 필드가 볼륨에서 전하로 작용하는 속도(J 는 전하 움직임에 해당하는 전류 밀도 , E 는 전기장 , • 도트 제품 )이다.일체형 폼 발산 정리 를 이용하여 포잉팅의 정리도 적분 형태로 작성할 수 있다.
, where
S 는 푸앵팅 벡터에 의해 주어지는 에너지 흐름이다. u {\displaystyle u} ∂ V {\ displaystyle \partial \!} 볼륨의 모양은 임의적이지만 계산을 위해 고정되어 있다. 연속성 방정식 아날로그 전기공학적 인 맥락에서 정리는 때때로 표시된 것처럼 확장된 에너지 밀도 용어 u 로 쓰여진다.[citation needed 이 형식은 연속성 방정식 과 유사하다.
∇ ⋅ S + ϵ 0 E ⋅ ∂ E ∂ t + B μ 0 ⋅ ∂ B ∂ t + J ⋅ E = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0,} , where
μ 는0 진공 허용률 이고 μ 는0 진공 투과성 이다. ϵ 0 E ∂ ∂ t {\ displaystyle \epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E}}{\partial }}}}} 반응 전력 의 밀도, B μ 0 ⋅ ∂ t {\ displaystyle {\frac {\mathbf {B}{\mathbf B}}{\mathbot {\partial \partial \frac 반응성 전력 의 밀도이며, J ⋅ E {\ displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E}} 로렌츠 힘 에 의해 소멸되는 전력 밀도다파생 전자파장에서의 개별 전하의 경우, 전장에 의한 전하의 작업 속도는 로렌츠 힘 법칙 에 의해 다음과 같이 제시된다.
d W d t = q v ⋅ E {\displaystyle {\frac {dW}{dt}=q\mathbf {v} \cdot \mathbf {E}} 이것을 전류 밀도 J 와 함께 이동하면서 연속적인 전하 분포로 확장하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.
d W d t = ∫ V J ⋅ E d 3 x {\dplaystyle {\frac {dW}{dt}=\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~d^{3x} Ampere의 회로 법칙 에 의해:
J f = ∇ × H − ∂ D ∂ t {\displaystyle \mathbf{J_{f}} =\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D}{\partial t}}}}}} (여유 전류 J f {\ displaystyle \mathbf {J_{f H 및 D 형태가 여기에 사용된다. B 와 E 양식 은 동등한 파생에도 사용될 수 있다.)[3]
이를 작업 속도에 대한 표현으로 대체하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.
∫ V J ⋅ E d 3 x = ∫ V [ E ⋅ ( ∇ × H ) − E ⋅ ∂ D ∂ t ] d 3 x {\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~d^{3}x=\int _{V}\left[\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~d^{3}x} Using the vector identity ∇ ⋅ ( E × H ) = ( ∇ × E ) ⋅ H − E ⋅ ( ∇ × H ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )=\ (\nabla {\times }\mathbf {E} )\cdot \mathbf {H} \,-\,\mathbf {E} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {H} )}
∫ V J ⋅ E d 3 x = − ∫ V [ ∇ ⋅ ( E × H ) − H ⋅ ( ∇ × E ) + E ⋅ ∂ D ∂ t ] d 3 x {\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~d^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )-\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~d^{3}x} 패러데이의 법칙 에 따르면:
∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B}{\partial t}}}}} 다음을 부여한다:
∫ V J ⋅ E d 3 x = − ∫ V [ ∇ ⋅ ( E × H ) + E ⋅ ∂ D ∂ t + H ⋅ ∂ B ∂ t ] d 3 x {\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~d^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right]~d^{3}x} 파생을 계속하려면 다음과 같은 가정이 필요하다.[2]
전하가 분산 되지 않는 매체로 움직이고 있다. 총 전자기 에너지 밀도는, 심지어 시간 제한 장에 대해서도, 에 의해 주어진다. u = 1 2 ( E ⋅ D + B ⋅ H ) {\displaystyle u={\frac {1}{1}{2}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )} 다음과 같은 것을 보여줄[4]
∂ ∂ t ( E ⋅ D ) = 2 E ⋅ ∂ ∂ t D {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )=2\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} } ∂ ∂ t ( H ⋅ B ) = 2 H ⋅ ∂ ∂ t B {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} )=2\math bf {H} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}\mathbf {B}} 그래서:
∂ u ∂ t = E ⋅ ∂ D ∂ t + H ⋅ ∂ B ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}=\mathbf {E}\cdot {\partial t}{\partial t}{\partial t}{\partial t}\partbf {B}{partial t}}}}} 작업 속도 방정식으로 돌아가면
∫ V J ⋅ E d 3 x = − ∫ V [ ∂ u ∂ t + ∇ ⋅ ( E × H ) ] d 3 x {\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~d^{3}x=-\int _{V}\left[{\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\right]~d^{3}x} 볼륨이 임의적이므로 다음과 같이 차등 형태로 캐스팅할 수 있다.
− ∂ u ∂ t = ∇ ⋅ S + J ⋅ E {\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}}} 여기서 S E × H {\ displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \time \mathbf {H}}
매크로스코픽 미디어의 포아닌팅 벡터 거시적 매체에서 전자기 효과는 공간 평균(거시적) 장에 의해 설명된다. 거시적 매체의 포아닌팅 벡터는 공간적으로 평균화된 미시적 포아닌팅 벡터가 거시적 형식주의에 의해 정확히 예측되는 방식으로 미시적 이론과 일치하게 정의될 수 있다. 이 결과는 저손실의 한계에서 엄격히 유효하며 거시 전기역학에서 포앵팅 벡터 형태를 모호하지 않게 식별할 수 있다.[5] [6]
대체 양식 Poynting의 정리의 대체 버전을 도출하는 것은 가능하다.[7] 위와 같은 플럭스 벡터 E 대신 대신 B 민코프스키 형식 B 아마도 H E B e D H 자기 단층 전류만을 사용한다. 다른 두 형태(아브라함, 민코우스키)는 매체의 양극화와 자화 반응을 나타내기 위해 전기와 자전류의 상호보완적인 조합을 사용한다.[7]
참조 ^ Poynting, J. H. (December 1884). "On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field" Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 175 : 343–361. doi :10.1098/rstl.1884.0016 ^ a b Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (3rd ed.). John WIley & Sons. pp. 258–267. ISBN 978-0-471-30932-1 ^ Griffiths, David J. (1989). Introduction to electrodynamics (2nd ed.). Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall. pp. 322–324. ISBN 0-13-481367-7 ^ Ellingson, Steven. "Poynting's Theorem" . LibreTexts . Retrieved 3 December 2021 . ^ Silveirinha, M. G. (2010). "Poynting vector, heating rate, and stored energy in structured materials: a first principles derivation". Phys. Rev. B . 82 : 037104. doi :10.1103/physrevb.82.037104 . ^ Costa, J. T. , M. G. Silveirinha, A. Alù (2011). "Poynting Vector in Negative-Index Metamaterials". Phys. Rev. B . 83 : 165120. doi :10.1103/physrevb.83.165120 . ^ a b Kinsler, P.; Favaro, A.; McCall M.W. (2009). "Four Poynting theorems" (PDF) . European Journal of Physics . 30 (5): 983. arXiv :0908.1721 Bibcode :2009EJPh...30..983K . doi :10.1088/0143-0807/30/5/007 . 외부 링크
(는) 체적 내 에너지 밀도의 변화율이다.
(는) 볼륨의 에너지 밀도다.
(는) 볼륨의 경계선이다. 볼륨의 모양은 임의적이지만 계산을 위해 고정되어 있다.
전기장 구축을 주도하는 
![{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~d^{3}x=\int _{V}\left[\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~d^{3}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061af91a75f18bce966a726973b958f99e6541b8)
![{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~d^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )-\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~d^{3}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc36bfb0eb51f7a60e1575cacaba87823377e14)
![{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~d^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right]~d^{3}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2e36cf8e36dc5fb8fe10847214139f2edf5af2)
![{\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~d^{3}x=-\int _{V}\left[{\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\right]~d^{3}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54625102b137fc9e5c1e20b39df024071c6529c3)
(는) Poynting 벡터다. 
