불확도 전파

통계에서 불확실성의 전파(또는 오류의 전파)는 변수에 기초한 함수의 불확실성에 대한 변수의 불확실성(또는 오류, 더 구체적으로는 무작위 오류)의 영향이다. 변수가 실험 측정값인 경우, 측정 한계(예: 계측기 정밀도)로 인한 불확도가 있으며, 이는 함수의 변수 조합으로 인해 전파된다.

그 불확실성은 여러 가지 방법으로 표현될 수 있다. 절대 오차 Δx로 정의할 수 있다. 불확실성은 상대 오차(Δx)/x로 정의할 수도 있는데, 보통 백분율로 표기된다. 가장 일반적으로 수량에 대한 불확실성은 분산의 양의 제곱근인 표준 편차 σ의 관점에서 정량화된다. 수량의 값과 그 오차는 간격 x ± u로 표현된다. 변수의 통계적 확률 분포를 알거나 가정할 수 있는 경우 변수의 실제 값이 발견될 수 있는 영역을 설명하는 신뢰 한계를 도출할 수 있다. 예를 들어 정규 분포에 속하는 1차원 변수에 대한 68% 신뢰 한계는 중심 값 x에서 약 ± 1 표준 편차 σ이며, 이는 지역 x ± σ이 사례의 약 68%에서 참 값을 포함한다는 것을 의미한다.

불확실성이 상관되는 경우 공분산을 고려해야 한다. 상관관계는 두 가지 다른 출처에서 발생할 수 있다. 첫째, 측정 오차는 상관관계가 있을 수 있다. 둘째, 기초 값이 모집단 전체에서 상관되는 경우 그룹 평균의 불확실성은 상관된다.^[1]

선형 결합

Let ${\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ be a set of m functions, which are linear combinations of ${\displaystyle n}$ variables ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ with combination coefficients ${\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,}$${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n_{}}$,${\displaystyle }$( k${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$,${\displaystyle m}$ ) ${\displaystyle A_{k1}, A_{k2},\dots ,A_{kn},$ ($k=1,\dots ,m$ :

${\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i}}}}$

또는 행렬 표기법,

${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {Ax}.}$

또한 x = (x₁, ..., x_n)의 분산-공분산 행렬을 ${\displaystyle {}^{}}$ x$${\$displaystyle${\$boldsymbol {\Sigma$}}^{$x}}$로 표시하고 평균 $값$은 μ$${\$displaystyle \mathbf {\\mu}}$로 표시하도록 한다$.$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }^{x}=E[\mathbf {(x-\mu )} \otimes \mathbf {(x-\mu )} ]={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes}$이(가) 아우터 제품이다.

그런 다음, f의$$ 분산-공분산 행렬 $\sigma {\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle${\$boldsymbol${\$Sigma }}^{f}}$가 주어진다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }^{f}=E[\mathbf {f] -E[\mathbf {f} ])\otimes(\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ]]=E[\mathbf {A(x-\mu )} \otimes \mathbf {A(x-\mu )} ]=\mathbf {A} E[\mathbf {(x-\mu )} \otimes \mathbf {(x-\mu )} ]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$

성분 표기법에서 방정식

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma}^{f}=\mathbf {A}{\boldsymbol {\Sigma}}}^{x}\mathbf {A}^{\mathrmp {T}}}}}}}$

읽는다

${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.}$

이것은 한 변수 집합에서 다른 변수 집합으로 오류를 전파하기 위한 가장 일반적인 표현이다. x의 오류가 상관 관계가 없을 때 일반 표현은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle \Sigma \{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {\sigma k}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ =${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {x{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}}은 x 벡터의 k번째 원소의 분산이다$$. x의 오류는 상관관계가 없을 수 있지만, f의 오류는 일반적으로 상관관계가 있다. 즉, ${\displaystyle {}^{}}$ x ${\$이(가) 대각 행렬이라 하더라도 $\sigma {\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}은$($가 일반 행렬에 해당된다$$.

스칼라 값 함수 f에 대한 일반 표현식은 약간 단순하다(여기서 a는 행 벡터).

${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax},}$

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}$

Each covariance term ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ can be expressed in terms of the correlation coefficient ${\displaystyle \rho _{ij}}$ by ${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$, so that an alternative expression for the variance of f is

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$

x의 변수들이 상관관계가 없는 경우, 이것은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle \f}^{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\i}^{i}^.}$

계수와 분산이 동일한 단순한 경우에서, 우리는

${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt{n}\, \sigma .}$

산술 평균 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a=1/n}$의$$경우 결과는 평균의 표준 오차가 된다.

${\displaystyle \fma _{f}=\fma /{\sqrt {n}.}$

비선형 조합

f가 변수 x의 비선형 조합 집합인 경우 변수에 대한 모든 일관된 값을 포함하는 구간을 계산하기 위해 구간 전파를 수행할 수 있다. 확률론적 접근법에서 함수 f는 일반적으로 1차 테일러 시리즈 확장에 근사치로 선형화해야 하지만, 어떤 경우에는 제품의 정확한 분산의 경우처럼 확장에 의존하지 않는 정확한 공식을 도출할 수 있다.^[2] Taylor의 확대는 다음과 같다.

${\displaystyle f_{k}\관련 f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\frac {\flac f_{k}}{x_}}}}{i}}}}}}}$

여기서 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ /${\displaystyle {}_{}\partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 i번째 변수에 대한 f의_k 부분파생물을 나타내며$$, 벡터 x의 모든 성분의 평균값으로 평가된다. 또는 행렬 표기법으로,

${\displaystyle \mathrm {f} \약 \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \mathrm {x} \,}$

여기서 J는 자코비안 행렬이다. f는⁰ 상수이므로 f의 오류에 기여하지 않는다. 따라서, 오류의 전파, 위, 하지만 선형 계수를 대체하고 아키와 Akj가 일부 파생 상품에 의해,∂ fk∂)나는{\displaystyle{\frac{\partial f_{k}}{\partial x_{나는}}}}과∂ fk∂)j{\displaystyle{\frac{\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}. 선형 경우 다음에서 행렬.태팅을 하다이온,^[3]

${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f}=\mathrm {\Sigma {J} ^{\mathrm {x}\mathrm {J} ^{\top }}}}}}$

즉, 함수의 Jacobian은 인수의 분산-공분산 행렬의 행과 열을 변환하는 데 사용된다. $참고{\displaystyle \mathrm{}}$ 이는 J${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{A}}$ ${\$를) 사용하는 선형 대소문자의 행렬 식과 동일하다는 점에 유의하십시오$.$

단순화

상관 관계를 무시하거나 독립 변수를 가정하면 엔지니어 및 실험 과학자 간에 오류 전파를 계산하기 위한 공통 공식이 생성되는데, 분산 공식은 다음과 같다.^[4]

${\displaystyle s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}}$

여기서 ${\displaystyle s_{}}$ ${\$ s_{$f}는$함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f}의$$표준 $편차$를 나타내고$,$ $s{\displaystyle {}_{}}$$$${\displaystyle x_{}}$ ${\$$displaystyle$ s_${x}$는 x ${\$displaystyle x$}$의 ${\displaystyle {표준}_{}}$ 편차를$$나타내고, s {\$displaystyle s_$${y}$는 $}$등의 표준 편차를 나타낸다$$$$$$.

이 공식은 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 구배의 선형 특성에 기초하므로$$ s ${\displaystyle x_{}}$, ${\displaystyle s_{}}$ , ${\displaystyle s_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$s , z , …${\displaystyle s_{x},s_{y}, s_{z},\ldots }$의 표준 편차에 대한 좋은 추정이라는 점에 유의해야 한다. 특히, f ${\displaystyle f}$의 선형 근사치는 반경 s ${\displaystyle x_{}}$ s ${\displaystyle y_{}}$ s ${\displaystyle z_{}}$… ${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$의 근거리 내에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ f$}$에 가까워야 한다$$$.$^[5]

예

$두{\displaystyle }$ 변수$({\displaystyle a}$ 및$b$ {\$displaystyle b})$${\displaystyle }중{\displaystyle }$ f (,${\displaystyle }$b${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(a,b$를 비선형 차별화 함수로 확장할 수 있다$.$

${\displaystyle f\reason f^{0}+{\frac {\frac}{\frac}{\frac}{\frac b}}{\frac b}}}}$

따라서:

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left {\frac {\partial f}{\partial a}}\right ^{2}\sigma _{a}^{2}+\left {\frac {\partial f}{\partial b}}\right ^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab}}$

여기서 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$$sigma_$${f}$는 f ${\displaystyle f}$ $함수$의 표준 편차,$$, ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle a},$, $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ \ \$ma_$${b}$는 b}의 표준$$ 편차, ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ a =${\displaystyle {}_{}{\sigma }_{}}$.${\displaystyle {}_{}{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$\ \ma $_{ab}=\displayma _{a}\probma _{b}\rho_{ab}}}$는$${\$displaystyle a$$}$과 b ${\$displaysty b} $사이의 공분산$이다$.$

${\displaystyle \mathrm{특히}}$ f${\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f=ab},$${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$$,$ f ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$= ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{b}{}}$= ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial$ a$}=b,{\partial f}{\partial$ f$}{\partial b}=a$ 그러면

${\displaystyle \protema \{f}^{2}\closma _{a}^{2}+a^{2}}}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}}}$

또는

${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}}$

여기서 ${\displaystyle {\rho }_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle$ a$}$과($와{\displaystyle }$)$$b {\$displaystyle$ b$} 사이$의 상관 관계다$.$

변수 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$과 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) 상관 관계가 없는$$ 경우 ${\displaystyle {\rho }_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \rho _{ab}=0$ . 그러면

${\displaystyle \left({\frac {\f}{f}}\{f}\{f}\오른쪽)^{2}\reft({\frac {\reftma _{b}}^{b}}{b}\right}}}}}}$

주의사항 및 경고

비선형 함수에 대한 오차 추정치는 잘린 직렬 확장 사용으로 인해 편향된다. 이 편향의 정도는 함수의 성격에 따라 달라진다. 예를 들어, x로 확장하는 것이 x가 0에 가까울 때만 좋은 근사치가 되기 때문에, 로그(1+x)에 대해 계산된 오차의 편향은 x가 증가함에 따라 증가한다.

비선형 함수의 경우 불확실성 전파를 위한 확률론적 접근방식의 5개 범주가 존재한다.^[6] 자세한 내용은 불확실성 정량화 § 전방 불확실성 전파를 위한 방법론을 참조한다.

역수 및 시프트 역수

역수 $또는{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 역수}$ 1${\displaystyle }$/ B ${\displaystyle 1/B}$의 특별한 경우$,$ 여기서 $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{N}}$( ${\displaystyle 0}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle B=N(0$,1)은 표준 정규 분포를 따르므로$$ 결과 분포는 역수 표준 정규 분포이며, 정의 가능한 분산이 없다.^[7]

그러나 일반적인 정규 분포 다음에$$ $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle N(\mu }$ ,${\displaystyle }$μ , ${\displaystyle \mu }$ , σ${\displaystyle }$) ${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma$)에 대해$$ 약간 더 일반적인 이동 $역수함수{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle }$/ $p$- B$){\$display $p{\displaystyle }$ ${\display$}의 경우 평균과 분산 통계량이 주 값 의미에 존재한다.$style p}$과(와) 평균 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 실제 값이다.^[8]

비율

비율 또한 문제가 있다; 어떤 조건에서는 정상적인 근사치가 존재한다.

공식의 예

This table shows the variances and standard deviations of simple functions of the real variables ${\displaystyle A,B\!}$, with standard deviations ${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},\,}$ covariance ${\displaystyle \sigma _{$$AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}\,}$, and correlation ${\displaystyle \rho _{AB}}$. The real-valued coefficients a and b are assumed exactly known (deterministic), i.e., ${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0}$.

"분산" 및 "표준 편차" 열에서 A와 B를 기대값(즉, 불확실성을 추정하는 값)으로 이해해야 하며, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 기대값${\displaystyle A}$ ,$$B {\$displaystyle$ A$,B\!}$에서 계산된 함수의 값으로$$ 이해해야 한다$.$

함수	분산	표준 편차
$f=A\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}}$	$\displaystyle \sigma _{f}= \sigma _{A}}$
${\displaystyle f=A+bB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{}AB}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{}AB}}}$
$(\displaystyle f=a-bB\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{}AB}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{}AB}}}$
${\displaystyle f=A-B,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{}}}AB}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{B}^{2}-2\sigma _{}}}}{\sigma _{}}}}}AB}}}$
${\displaystyle f=A-AA,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2a^{2}\sigma _{A}^{A}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt{2}}\왼쪽 a\\오른쪽 \sigma _{A}^{1/2}}$
$(\displaystyle f=AB\,}$	${\displaystyle \sigma \sigma _{f}^{2}\왼쪽[{\frac {\sigma _{A}\오른쪽)^{2}+\{\fracma _{B}}}^{2+2}{\frac {\sigma _{{\sigma}{{{{{{{{{{}}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{AB}{AB}\오른쪽]}$[9][10]	${\displaystyle \sigma _{f}\cHBFFFFF\오른쪽 {\sqrt}\\\\\fRAC {\sigma _{A}\오른쪽)^{2}+\{\frac _{B}}}^{2}+2}{\frac {\sigma _{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}}AB}{AB}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{B}\,}$	${\displaystyle \sigma \sigma _{f}^{2}\좌측[{\frac {\sigma _{A}\우측)^{2}+\좌측({\frac {\sigma _{B}\우측)^{2}-2{{\frac {\sigma}AB}{AB}\오른쪽]}$[11]	${\displaystyle \sigma _{f}\cHBFFFFF\오른쪽 {\sqrt}\\\\\fRAC {\sigma _{A}\오른쪽)^{2}+\{\frac{B}}^{2}-2}{\frac {\sigma _{{{{}{{{{{{sigma}}}}}}}{{{{{{{{{{}}}}}}{{{{{}}}}}}}}}}}{{{AB}{AB}}}$
${\displaystyle f=A^{b}\,}$	${\displaystyle \putma _{f}^{2}\cHB\reason \leftlefta}{b}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}\오른쪽)^{2}=\왼쪽({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}{A}\오른쪽)^{2}}$	${\displaystyle \protema _{f}\reason \left {a}{b}{b}{A}^{b-1}{{A}\sigma _{A}\오른쪽 =\왼쪽 {\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}{A}}\오른쪽 }}$
$\displaystyle f=a\ln(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma \sigma _{f}^{2}\cHBFFB\reaks \\sigma _{A}\right)^{2}}$[12]	${\displaystyle \sigma _{f}\reason \left a{\frac {\sigma _{A}}{A}\right}}$
${\displaystyle f=a\log _{10}(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma \sigma _{f}^{2}\cHB\ln({A}}{A}}}}}}{A\ln(오른쪽)^{2}}$[12]	${\displaystyle \sigma _{f}\rema \{A}{A}}{A\ln(10)}\오른쪽 }$
$f=ae^{b.f=ae^{bA}\,}$	${\displaystyle \sigma \sigma _{f}^{2}\remat f^{2}\reft(b\sigma _{A}\right)^{2}}$[13]	$\displaystyle \sigma _{f}\reason \left f\right \left \left \left(b\sigma _{A}\right)\right}}$
$f=a^{bA}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\관련 f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A}^{2}}$	$\displaystyle \sigma _{f}\cHB \left f\right \left (b\ln(a)\sigma _{A}\right}$
$\displaystyle f=a\sin(bA)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\에 대한 \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\rigma _{A}\right]^{2}}$	$\displaystyle \sigma _{f}\cos(bA)\sigma _{A}오른쪽 \}$
$\displaystyle f=a\cos \왼쪽(bA\오른쪽)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\cHB(ab\sin(bA)\sigma _{A}\rigma _{A}\right]^{2}}$	$\displaystyle \sigma _{f}\cHB\sin(bA)\sigma _{A}오른쪽 \}$
$\displaystyle f=a\tan \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma \sigma _{f}^{2}\sec \reft[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\rigma _{A}\right]^{2}}:$	${\displaystyle \sigma _{f}\cHB\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\오른쪽 }$
${\displaystyle f=A^{B}\,}$	${\displaystyle \sigma \sigma _{f}^{2}\약속 f^{2}\왼쪽[\frac {B}}{A}\sigma _{A}\오른쪽)^{2}+\왼쪽(\ln(A)\sigma _{B}\오른쪽)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}\sigma _{AB}\오른쪽]}$	$\\displaystyle \sigma _{f}\reason \left f\right {\sqrt {\frac {B}{A}\sigma _{A}\오른쪽)^{2}+\왼쪽(\ln(A)\sigma _{B}\오른쪽)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}\sigma _{AB}}}$
${\displaystyle f={\sqrt {A^{2}\pm bB^{2}}:}\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}$

상관 관계가 없는 변수(${\displaystyle \mathrm{\rho }}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$= 0 ${\displaystyle \rho_{$$AB}=0}$ ,$$$\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sigma _{$더 복잡한 함수에 대한 $AB}=0$ 식은 더 간단한 함수를 결합하여 도출할 수 있다. 예를 들어, 상관관계가 없다고 가정할 때 반복적인 곱셈은

${\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}$

$사례{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f=$$AB}$ 또한$$ Goodman의 정확한 분산에 대한 표현을^[2] 가지고 있다: 상관관계가 없는 경우.

${\displaystyle V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(X)^{2}V(X)+E(X-E(X))^{2}(Y-E(Y)^{2}}$

따라서 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{B}}}$

상관관계가 차이에 미치는 영향

A와 B가 상관관계가 없다면 A-B의 차이점은 둘 중 하나보다 분산이 많을 것이다. 증가하는 양의 상관 ${\displaystyle \mathrm{관계}}$( ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$→ 1 ${\displaystyle \rho _{AB}\to 1$는 차이의 분산을 감소시켜 같은 분산을 가진 완벽하게 상관된 변수에 대해 0 분산으로 수렴한다. 한편, 상관관계가 없는 경우에 비해 차이의 분산을 더욱 증가시키는 부정적인 상관관계(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$→${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \rho _{AB}\to -1$가 있다.

예를 들어, 자가 굴절 f=A-A는 변수와 완벽하게 자동 상관 관계가 있는 경우에만$$ 분산이 0인 $\sigma {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=0}$이다(${\displaystyle {\rho }_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \rho _{A}=1}).$ If A is uncorrelated, ${\displaystyle \rho _{A}=0}$, then the output variance is twice the input variance, ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}}$. And if A is perfectly anticorrelated, ${\displaystyle \rho _{A}=-1}$, then the input variance is quadrupled in the output, $\sigma {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle A_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}^{2$}=4\sigma _{A}^2}}($f = A - A의 경우$$ 통지서 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle \mathrm{\rho }}$ =${\displaystyle {}_{}}$2 ${\displaystystyle 1-\rho _{A}=2}).$

계산 예제

역 탄젠트 함수

부분파생상품을 사용하여 오차를 전파하는 예로서 역접선함수에 대한 불확실성 전파를 계산할 수 있다.

정의

${\displaystyle f(x)=\arctan(x),}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 x의 측정에 대한 절대적인 불확실성이다. x에 관한 f(x)의 파생상품은

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}.}$

그러므로 우리의 전파된 불확실성은

${\displaystyle \Delta _{f}\약간 {\frac {\Delta _{x}{1+x^{2}}}},}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$는 절대$$ 확산 불확실성이다.

저항 측정

실제 적용은 옴의 법칙 R = V / I를 이용하여 저항 R을 결정하기 위해 저항기 상에서 전류 I 및 전압 V를 측정하는 실험이다.

불확도가 있는 측정 변수_I I ± ±과 V ± σ을_V 고려할 때, 가능한 상관관계를 무시하면 계산된 수량 σ의_R 불확실성은 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{R}\cHB {\sigma _{V}^{2}\좌측({\frac {1}{\frac {1}{}{\}{\}{\}}{\frc}{}}}{}}}I}\오른쪽)^{2}+\sigma _{I}^{2}\왼쪽({\frac {-V}{I^{2}}}\오른쪽)^{2}}=R{\\sqrt {\\좌({\frac {\sigma _{V}\우)^{2}+\좌({\frac {\sigma _{I}}}}}}{\frac {\sigma}}{{{}}}}}}}}}}}}}}}{{I}\오른쪽)^{2}}.}$

참고 항목

• 정확도 및 정밀도
• 자동 분화
• 델타법
• 정밀도 희석(내비게이션)
• 통계량의 오차 및 잔차
• 실험불확도분석
• 구간 유한요소
• 측정불확도
• 수치안정성
• 확률 한계 분석
• 유의 산술
• 불확도정량화
• 랜덤 퍼지 변수

참조

추가 읽기

• Bevington, Philip R.; Robinson, D. Keith (2002), Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
• Fornasini, Paolo (2008), The uncertainty in physical measurements: an introduction to data analysis in the physics laboratory, Springer, p. 161, ISBN 978-0-387-78649-0
• Meyer, Stuart L. (1975), Data Analysis for Scientists and Engineers, Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
• Peralta, M. (2012), Propagation Of Errors: How To Mathematically Predict Measurement Errors, CreateSpace
• Rouaud, M. (2013), Probability, Statistics and Estimation: Propagation of Uncertainties in Experimental Measurement (PDF) (short ed.)
• Taylor, J. R. (1997), An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements (2nd ed.), University Science Books
• Wang, C M; Iyer, Hari K (2005-09-07). "On higher-order corrections for propagating uncertainties". Metrologia. 42 (5): 406–410. doi:10.1088/0026-1394/42/5/011. ISSN 0026-1394.

외부 링크

• 단순한 유의 산술 대신 오차 전파 공식과 몬테카를로 시뮬레이션의 장점을 설명하는 측정과 불확실성 전파에 대한 자세한 논의
• GUM, 측정 불확도 표현 지침
• EPFL 오류 전파, 파생, 의미 및 예시 Cy = Fx Cx Fx'에 대한 소개
• 불확실성 패키지, 불확실성과 함께 투명하게 계산을 수행하기 위한 프로그램/프로토콜(및 오차 상관).
• 불확실성(및 오차 상관)과 함께 *2차 순서* 계산을 투명하게 수행하기 위한 파이썬 프로그램/프로젝트인 soerp 패키지.
• Joint Committee for Guides in Metrology (2011). JCGM 102: Evaluation of Measurement Data - Supplement 2 to the "Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement" - Extension to Any Number of Output Quantities (PDF) (Technical report). JCGM. Retrieved 13 February 2013.
• 불확실성 계산기 모든 식에 대한 불확실성