메르센의 법칙

메르센의 법칙은 늘어진 현 또는 단색의 진동 주파수를 설명하는 법칙으로,^[1] 음악적 조율과 악기 구성에 유용합니다.

개요

이 방정식은 프랑스 수학자이자 음악 이론가인 마린 메르센이 1636년 그의 작품 하모니 유니버셜에서 처음으로 제안했습니다.^[2] 메르센의 법칙은 피아노와 하프와 같은 현악기의 구성과 작동을 통제하는데, 현을 적절한 음정으로 유지하는 데 필요한 총 장력을 수용해야 합니다. 낮은 스트링은 더 두껍기 때문에 길이당 질량이 더 큽니다. 일반적으로 장력이 낮습니다. 기타는 이에 대한 친숙한 예외입니다. 연주성을 위해 현 긴장도가 비슷하기 때문에 길이당 질량이 증가하면서 낮은 현 피치가 크게 달성됩니다.^{[note 1]} 고음의 현은 일반적으로 더 얇고, 더 높은 장력을 가지며, 더 짧을 수 있습니다. "이 결과는 갈릴레오의 결과와 크게 다르지 않지만, 메르센의 법칙으로 잘 알려져 있습니다." 왜냐하면 실험을 통해 메르센은 물리적으로 그들의 진실을 증명했지만(갈릴레오는 그들의 증명이 불가능하다고 생각했기 때문입니다.)^[3] "메르센은 실험을 통해 이러한 관계를 조사하고 개선했지만, 자신이 이 관계를 시작한 것은 아닙니다."^[4] 그의 이론은 정확하지만, 그의 측정은 매우 정확하지 않으며, 그의 계산은 조셉 사우비어 (1653–1716)에 의해 음향 비트와 메트로놈의 사용을 통해 크게 향상되었습니다.^[5]

방정식

고유 주파수는 다음과 같습니다.

• a) 끈의 길이에 반비례하여(피타고라스의^[1] 법칙),
• b) 신장력의 제곱근에 비례하며,
• c) 길이당 질량의 제곱근에 반비례합니다.

${\displaystyle {}_{}\frac{f}{}}$ 0 $∝$ 1 L. {\$displaystyle$f_{$0}\propto {\tfrac {$1}{L}}(수학식 26)

$f$ ${\displaystyle 0_{}}$ $∝$ F. {\$displaystyle$f_{$0}\propto {\$sqrt {F}}(수학식 27)

${\displaystyle {}_{}\frac{\sqrt{f}}{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ $∝$ 1 μ. {\$displaystyle$f_{$0}\propot {\frac$ {1$}{\sqrt {\$mu${\displaystyle {\mathrm{\}\}\}\; (equ}}_{}}$ation 28)

따라서, 예를 들어, 현의 다른 모든 특성은 동일한데, 음을 한 옥타브 높이(2/1)로 만들려면 길이를 반으로 줄이거나(1/2), 제곱으로 장력을 증가시키거나(4), 길이당 질량을 역제곱(1/4)으로 줄여야 합니다.

하모닉스	길이,	긴장,	또는 미사
1	1	1	1
2	1/2 = 0.5	2² = 4	1/2² = 0.25
3	1/3 = 0.33	3² = 9	1/3² = 0.11
4	1/4 = 0.25	4² = 16	1/4² = 0.0625
8	1/8 = 0.125	8² = 64	1/8² = 0.015625

이 법칙들은 메르센의 방정식 22에서 유래합니다.^[6]

${\displaystyle f_{0}={\frac {\nu}{\lambda }}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}}.}$

기본 주파수의 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}},}$

여기서 f는 주파수, L은 길이, F는 힘, μ는 길이당 질량입니다.

메르센의 법칙들은 관악기 피치가 "퍼커션"이 아닌 종파에 의존한다는 개념보다 앞서 있기 때문에 파이프와 관악기에 대해 비슷한 법칙들이 동시에 개발되지 않았습니다.^[3]

참고 항목

• 사이클로이드
• 장현악기
• 오버톤
• 정상파

메모들

참고문헌

외부 링크

• Wikimedia Commons에서 Mersenne의 법칙과 관련된 미디어