최대 정리

최대 정리는 매개변수에 관하여 최적화된 함수의 연속성 및 그 맥시저 집합에 대한 조건을 제공한다.이 성명은 1959년 클로드 버지에 의해 처음 증명되었다.^[1]그 정리는 주로 수학적 경제학과 최적의 제어에 사용된다.

정리명세서

최대 정리.^[2]^[3]^[4]^[5]Let $X$ and $\Theta$ be topological spaces, $f:X\times \Theta \to \mathbb {R}$ be a continuous function on the product $X\times \Theta$ , and ${\displaystyle C:$ $\Theta \rightrightarrows X}$ be a compact-valued correspondence such that $C(\theta )\neq \emptyset$ for all $\theta \in \Theta$ . Define the marginal function (or value function) ${\displaystyle f^{*}:$ $\to \to$ \mathb { $R$ } ~ }

f^{*}(\theta )=\supp\{f(x,\theta }):x\in C(\theta )\}

그리고 맥시마이저 $C^{*}:\Theta \rightrightarrows X$ $C^{*}:\Theta \rightrightarrows X$ : $C^{*}:\Theta \rightrightarrows X$ $C^{*}:\Theta \rightrightarrows X$ X ${\displaystyle$ C $^{*:$ $\Theta \rightarrows X}$ 기준 $C^{*}:\Theta \rightrightarrows X$

C^{*}(\theta )=\mathrm {arg} \max\{f(x,\theta ):x\in C(\theta )\}=\{x\in C(\theta ):f(x,\theta )=f^{*}(\theta )\}

.

$C$ $C$ 이 $C$ (가) θ ${\displaystyle \theta$ 에서 연속(즉, 위쪽과 아래쪽 모두)인 경우, $f^{*}$ ∗ ${\$ 은 연속이고 $f^{*}$ $C^{*}$ $C^{*}$ ${\$ C $^{*}$ 은 비빈 $C^{*}$ 값과 콤팩트한 위쪽 hem이다.따라서 $\sup$ $\sup$ 은(는) $\max$ ${\displaystyle \max }($ 으)로 대체될 수 있다 $\sup$ $\max$

해석

이 정리는 일반적으로 매개변수에 관한 연속적인 해결책을 갖는 파라메트릭 최적화 문제에 대한 조건을 제공하는 것으로 해석된다.이 경우 $\Theta$ ${\$ $displaystyle$ $\Teta}$ 은 $\Theta$ (는) 매개 변수 공간이고, $f(x,\theta )$ ( $f(x,\theta )$ , $f(x,\theta )$ ) ${\displaystyle$ f $(x,\theta )$ 는 최대화할 함수이며 $f(x,\theta )$ , $C(\theta )$ ( $C(\theta )$ ) ${\displaystyle$ $C$ $(\teta)$ 는 $C(\theta )$ $}$ 이 최대화되는 제약조건 세트를 제공한다 $f$ .그러면 $f^{*}(\theta )$ $f^{*}(\theta )$ ( $f^{*}(\theta )$ ) ${\displaystyle$ f $^{*}(\theta )}$ 은 함수의 최대값이고 $f^{*}(\theta )$ $C^{*}$ ∗ ${\$ 은 $f$ $f$ 을(를) 최대화하는 점 집합이다 $C^*$ $f$

그 결과 최적화 문제의 요소가 충분히 연속적인 경우, 그 연속성의 일부(전부는 아님)는 해결책에 보존된다.

증명

이 증거를 통해 우리는 특정 포인트를 포함하는 오픈 세트를 참조하기 위해 neighborhood라는 용어를 사용할 것이다.우리는 서문을 예비 보조정리기로 하는데, 이것은 서신의 미적분학에서 일반적인 사실이다.그래프가 닫히면 서신이 닫힌다는 사실을 기억하십시오.

보조정리.^[6]^[7]^[8] 만약 $A,B:\Theta \rightrightarrows X$ , $A,B:\Theta \rightrightarrows X$ : $A,B:\Theta \rightrightarrows X$ $A,B:\Theta \rightrightarrows X$ ${\displaystyle A,B:$ $\theta \rightarrows X}$ 은 $A,B:\Theta \rightrightarrows X$ (는) 대응 $A$ 이고, A ${\displaystyle A$ }은 $A$ (는) 상부 혈전 및 콤팩트 값이며, $B$ $B$ 은 $B$ (는) 닫힌 $A\cap B:\Theta \rightrightarrows X$ , A $A\cap B:\Theta \rightrightarrows X$ $A\cap B:\Theta \rightrightarrows X$ : $A\cap B:\Theta \rightrightarrows X$ $A\cap B:\Theta \rightrightarrows X$ ${\displaystystylease A\cap$ B $:$ $\theta \rightarrows$ X $}$ 이 $A\cap B:\Theta \rightrightarrows X$ $(A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )$ 가) $(A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )$ 한 $(A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )$ ( $(A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )$ $(A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )$ B $(A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )$ ) $(A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )$ = $(A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )$ ( $(A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )$ ) ${\displaystyle (A\cap$ B $)(\theta$ )= $A(\theta$ )\ $cap$ B $(\theta )}$ 은 $(A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )$ 위쪽 혈전이다.

증명

Let $\theta \in \Theta$ , and suppose $G$ is an open set containing $(A\cap B)(\theta )$ . If $A(\theta )\subseteq G$ , then the result follows immediately.Otherwise, observe that for each $x\in A(\theta )\setminus G$ we have $x\notin B(\theta )$ , and since $B$ is closed there is a neighborhood $U_{x}\times V_{x}$ of $(\theta ,x)$ in which $x'\notin B(\theta ')$ $x'\notin B(\theta ')$ $x'\notin B(\theta ')$ $x'\notin B(\theta ')$ $x'\notin B(\theta ')$ ( $x'\notin B(\theta ')$ $(\theta ',x')\in U_{x}\times V_{x}$ $(\theta ',x')\in U_{x}\times V_{x}$ $x'\notin B(\theta ')$ ) {\ $displaystyle$ x'\ $notin$ $(\theta ',x')\in U_{x}\times V_{x}$ $theta$ $(\theta ',x')\in U_{x}\times V_{x}$ U x x $(\theta ',x')\in U_{x}\times V_{x}$ × $(\theta ',x')\in U_{x}\times V_{x}$ ${\$ The collection of sets $\{G\}\cup \{V_{x}:x\in A(\theta )\setminus G\}$ forms an open cover of the compact set $A(\theta )$ , which allows us to extract a finite subcover $G,V_{x_{1}},\dots ,V_{x_{n}}$ $G,V_{x_{1}},\dots ,V_{x_{n}}$ . Then whenever $\theta \in U_{x_{1}}\cap \dots \cap U_{x_{n}}$ , we have $A(\theta )\subseteq G\cup V_{x_{1}}\cup \dots \cup V_{x_{n}}$ , and so $(A\cap B)(\theta )\subseteq G$ .이것으로 증거가 완성되었다. $\square$

최대 정리에서 $f^{*}$ $∗{\$ 의 연속성은 두 개의 독립적 이론이 합쳐진 결과다.

정리 1.^[9]^[10]^[11] $f$ $f$ 이 $f$ (가) 상위 $C$ 이고 C{\ $displaystyle$ C}이 $C$ (가) 상위 반비콘틴, 비어 있지 않고 콤팩트한 값인 경우, $f^{*}$ $f^{*}$ ${\$ f $^{*}$ 는 상위 $f^{*}$ 반비콘틴틴이다.

정리증서1길

$\theta \in \Theta$ $\theta \in \Theta$ ∈ ${\displaystyle \theta \in$ \ $theta$ }을 $($ 를 $\theta \in \Theta$ 수정하고 $\varepsilon >0$ > $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ 을(를) 임의로 $\varepsilon >0$ 설정하십시오.각 x∈ C(θ){\displaystyle x\in C(\theta)}을 위해서는 동네 U)×V={\displaystyle U_{)}\times V_{)}}(θ, 음){\displaystyle(\theta ,x)}등이 다를 때마다(θ ′,)′)∈ U)×V={\displaystyle(\theta ',x의)\in U_{)}\times V_{)}}, 우리는 f()′,θ ′)다 &l이 있다.t; $f(x',\theta ')<f(x,\theta )+\varepsilon$ . The set of neighborhoods $\{V_{x}:x\in C(\theta )\}$ covers $C(\theta )$ , which is compact, so $V_{x_{1}},\dots ,V_{x_{n}}$ suffice.Furthermore, since $C$ is upper hemicontinuous, there exists a neighborhood $U'$ of $\theta$ such that whenever $\theta '\in U'$ it follows that ${\displaystyle C(\theta ')\subseteq \bigc$ 위로 _{k=1}^{n}V_{x_{k}}} 할게. U)U∈ U{\displaystyle \theta '\in U}′모두에게∩ Ux1∩ ⋯ ∩ U)n{\displaystyle U=U'\cap U_{x_{1}}\cap \dots \cap U_{x_{n}}}. 그리고 θ′, 우리는 f()′,θ ′)고<>각인데에 이름()k, θ)+ε{\displaystyle f(x',\theta의)<, f(x_{k},\theta)+\varepsilon}′ ∈ $C$ ( $x'\in C(\theta ')$ ) ${\displaystyle$ x $'\in$ C $(\theta$ $x'\in C(\theta ')$ $x'\in V_{x_{k}}$ k $k$ 에 $x'\in V_{x_{k}}$ 대해 $x'\in V_{x_{k}}$ $x'\in V_{x_{k}}$ ∈ ∈ $x'\in V_{x_{k}}$ x $x'\in V_{x_{k}}$ {\ $displaysty x {\x_{k$ $k$ 그 뒤를 따른다.

f^{*}}(\theta ')=\sup _{x'\in C(\theta ')f(x'),\theta '\max _{k=1,\dots,n}f(x_{k},\ta )+\varepsilon

바라던 것. $\square$

정리2.^[12]^[13]^[14] $f$ $f$ 이 $f$ (가) 더 낮은 반비콘틴, $C$ {\ $displaystyle$ C}이 $C$ (가) 더 낮은 반비콘틴이라면, $f^{*}$ ∗ ${\$ f $^{*}$ 은 더 낮은 반비콘틴틴틴틴이다 $f^{*}$ .

정리증서2길

$\theta \in \Theta$ $\theta \in \Theta$ ∈ ${\displaystyle \theta \in$ \ $theta$ }을 $($ 를 $\theta \in \Theta$ 수정하고 $\varepsilon >0$ > $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ 을(를) 임의로 $\varepsilon >0$ 설정하십시오.∈ C(θ){\displaystyle x\in C(\theta)}f({\displaystyle f^{*}}의 정의에 의해,)존재한 이후 f{\displaystyle f} 낮은 하방 반연속은 f∗(θ)<>이름(x, θ)+ε 2{\displaystyle f^{*}(\theta)<, f(x,\theta)+{\frac{\varepsilon}{2}}}. 이제, 이웃 존재한다. u1×V}(θ, 음){\displaystyle(\theta ,x)}의 의견이 다를 때마다(θ ′,)′)∈ U1×V}우리는 f(x, θ)<>, V{\displaystyle(\theta ',x의)\in U_{1}\times 이름()′,θ ′)+ε 2{\displaystyle f(x,\theta)<, f(x',\theta의)+{\frac{\varepsilon}{2}}}. 그것을 준수하라 V{\displaystyle U_{1}\times. C( $C(\theta )\cap V\neq \emptyset$ ) $C(\theta )\cap V\neq \emptyset$ $C(\theta )\cap V\neq \emptyset$ $C(\theta )\cap V\neq \emptyset$ {\ $displaystyle$ C $(\theta )\cap V\neq \emptyset }($ $x\in C(\theta )\cap V$ x $x\in C(\theta )\cap V$ $x\in C(\theta )\cap V$ ( $x\in C(\theta )\cap V$ ( $x\in C(\theta )\cap V$ ) $x\in C(\theta )\cap V$ $x\in C(\theta )\cap V$ ${\displaystyle$ x $\in$ C $(\theta )\cap V}).$ Therefore, since $C$ is lower hemicontinuous, there exists a neighborhood $U_{2}$ such that whenever $\theta '\in U_{2}$ there exists $x'\in C(\theta ')\cap V$ . Let ${\displaystyle U=$ $U_{1}\cap U_{2$ 그러면 $\theta '\in U$ $\theta '\in U$ $\theta '\in U$ U $\theta '\in U$ {\ $displaystyle \theta '\\$ in $U}$ 에 $\theta '\in U$ x $x'\in C(\theta ')\cap V$ C $(\displaystyle$ x') $x'\in C(\theta ')\cap V$ V {\in C $(\ta ')\cap$ V}가 존재할 때마다 $x'\in C(\theta ')\cap V$ 이것은 함축적인 의미를 갖는다.

f^{*}(\theta ){f(x,\theta )+{\frac {\barepsilon }{2}}:<f(x,\theta')+\barepsilon \leq f^{*(\theta ')+\barepsilon}}}}}

바라던 것. $\square$

Maximum 정리(Maximum Organism)의 가설 아래 $f^{*}$ $f^{*}$ ${\$ f $^{*}}$ 는 연속적이다 $f^{*}$ . $∗{\$ 이 $C^*$ (가) 콤팩트한 값을 갖는 상부 헤미콘틴 서신임을 확인하는 것으로 남는다.Let $\theta \in \Theta$ . To see that $C^{*}(\theta )$ is nonempty, observe that the function $f_{\theta }:C(\theta )\to \mathbb {R}$ by $f_{\theta }(x)=f(x,\theta )$ is continuous on the컴팩트 세트 $C(\theta )$ ( $C(\theta )$ ) ${\displaystyle$ C $(\theta$ $C(\theta )$ Extreme Value 정리는 $C^{*}(\theta )$ $C^{*}(\theta )$ ( $C^{*}(\theta )$ ) $C^{*}(\theta )$ 이 $C^{*}(\theta )$ (가) 비어 있지 않음을 암시한다.In addition, since $f_{\theta }$ is continuous, it follows that $C^{*}(\theta )$ a closed subset of the compact set $C(\theta )$ , which implies $C^{*}(\theta )$ is compact.마지막으로 $D:\Theta \rightrightarrows X$ : ⇉ $D:\Theta \rightrightarrows X$ $D:\Theta \rightrightarrows X$ ${\displaystyle D:$ $\Theta \rightrightarrows X}$ be defined by ${\textstyle D(\theta )=\{x\in C(\theta ):f(x,\theta )=f^{*}(\theta )\}}$ . Since $f$ is a continuous function, $D$ is a closed correspondence.더욱이 $C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )$ $C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )$ ( $C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )$ ) $C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )$ = C ( $C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )$ ) $C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )$ D $C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )$ ( $C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )$ $){\displaystyle C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )}}}$ 이(가)므로 예비 레마마는 $∗{\$ c $^{*}$ 이 $C^*$ 상부 헤미콘틴임을 암시한다 $C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )$ $\square$

변형 및 일반화

위의 결과를 통해 자연 일반화하면 $∗{\$ f $^{*}}$ 가 $f^{*}$ $C^{*}$ 이고 C ${{\$ C $^{*}$ 가 비어 있지 않고, 콤팩트하게, 상위 반연속성이 될 수 있는 $C^{*}$ 충분한 국소 조건을 얻을 수 있다.

위의 조건 외에 각 $\theta$ ${\displaystyle$ $\theta}$ 에 $대해$ $x$ f $x$ 의 $f$ quasiconcave이고 $C$ ${\displaystyle$ $C$ $}$ 이 $C$ (가) 볼록 값이면 C $C^{*}$ ${\$ C $^{*}$ 도 볼록스 값이다 $C^{*}$ . $각$ $\theta$ 에 $대해$ f {\ $displaystyle$ f $}$ 이 $x$ ( $가$ $)$ x {\ $displaystyle x}$ 의 quasiconcave이고 C $\theta$ {\ $displaystyle$ $C$ $^{*}$ 가 볼록 값이면 $C$ $C^{*}$ $C^{*}$ ${\$ C^{*}은 단일 값이므로 $C^{*}$ 서신호보다는 연속 함수인 것이다.

$f$ $f$ 이 $f$ (가) 오목하고 C $C$ 이(가) 볼록 그래프를 갖는 $C$ 경우, $f^{*}$ { ${\$ 은 $f^{*}$ 오목하고 C $C^{*}$ ${\$ C $^{*}$ 은 볼록 값이다 $C^{*}$ .위와 마찬가지로 $f$ $f$ 이(가) 엄격히 오목한 경우 $f$ , $C^{*}$ $C^{*}$ {\ $displaystyle$ C $^{*}}$ 는 $C^*$ 연속함수다.^[15]

객관적 함수가 K-inf-compact일 경우 비 컴팩트 세트값 대응으로 버지의 정리를 일반화하는 것도 가능하다.^[16]

예

소비자가 예산에서 선택하는 유틸리티의 최대화 문제를 고려하십시오.위의 표기법에서 표준 소비자 이론 표기법으로 번역하면,

$X=\mathbb {R} _{+}^{l}$ = $X=\mathbb {R} _{+}^{l}$ + $X=\mathbb {R} _{+}^{l}$ ${\$ 은(는) $l$ {\ $displaystyle l}$ 물품의 $l$ 모든 묶음의 공간이며 $X=\mathbb {R} _{+}^{l}$ ,
$\Theta =\mathbb {R} _{++}^{l}\times \mathbb {R} _{++}$ = $\Theta =\mathbb {R} _{++}^{l}\times \mathbb {R} _{++}$ + $\Theta =\mathbb {R} _{++}^{l}\times \mathbb {R} _{++}$ + $\Theta =\mathbb {R} _{++}^{l}\times \mathbb {R} _{++}$ $\Theta =\mathbb {R} _{++}^{l}\times \mathbb {R} _{++}$ R $\Theta =\mathbb {R} _{++}^{l}\times \mathbb {R} _{++}$ + ${\$ { $R$ $}_{{+}}}}$ 은 상품 $p$ $w$ 와 $p$ $소비자$ 부의 가격 벡터를 나타낸다 $\Theta =\mathbb {R} _{++}^{l}\times \mathbb {R} _{++}$ $w$
$f(x,\theta )=u(x)$ ( x , $f(x,\theta )=u(x)$ ) $f(x,\theta )=u(x)$ = $f(x,\theta )=u(x)$ ( x $f(x,\theta )=u(x)$ ) $f(x,\theta )=u(x)$ 는 $f(x,\theta )=u(x)$ 소비자의 유틸리티 기능이며,
$C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ ( $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ ) $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ = B $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ ( $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ , w $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ ) $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ = $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ { x $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ w $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ w $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ } {\ $displaystyle C(\theta$ )= $B(p,w)=\{x\, \,px\leq$ w $\}}}$ 는 소비자 $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ 예산이다.

그러면.

$f^{*}(\theta )=v(p,w)$ $f^{*}(\theta )=v(p,w)$ ( $f^{*}(\theta )=v(p,w)$ ) $f^{*}(\theta )=v(p,w)$ = $f^{*}(\theta )=v(p,w)$ ( $f^{*}(\theta )=v(p,w)$ , w $f^{*}(\theta )=v(p,w)$ ) $f^{*}(\theta )=v(p,w)$ 는 $f^{*}(\theta )=v(p,w)$ 간접 효용 함수로서
$C^{*}(\theta )=x(p,w)$ $C^{*}(\theta )=x(p,w)$ ( $C^{*}(\theta )=x(p,w)$ ) $C^{*}(\theta )=x(p,w)$ = $C^{*}(\theta )=x(p,w)$ ( $C^{*}(\theta )=x(p,w)$ , w $C^{*}(\theta )=x(p,w)$ ) $C^{*}(\theta )=x(p,w)}$ 는 $C^{*}(\theta )=x(p,w)$ 마셜의 요구 사항이다.

일반 평형 이론의 증명들은 압축성과 연속성을 요구하는 소비자의 요구에 브루워나 카쿠타니 고정점 정리들을 적용하는 경우가 많으며, 최대 정리는 그렇게 할 수 있는 충분한 조건을 제공한다.

참고 항목

메모들

^ Ok, Efe (2007). Real Analysis with Economics Applications. Princeton University Press. p. 306. ISBN 978-0-691-11768-3.
^ 원래의 참조는 제6장 제3절의 최대 정리(Maximum Organization)로 유명한 베르게는 하우스도르프 위상학적 공간만을 고려하고 그 자체인 콤팩트 세트만 허용한다.그는 또한 상부 헤미콘틴 서신은 콤팩트하게 평가될 것을 요구한다.이러한 성질은 후기 문헌에서 명확히 밝혀지고 세분화되었다.
^ 의 정리 17.31과 비교하라 이것은 임의의 위상학적 공간에 대해 주어진다.그들은 $또한$ f $f$ 이(가) $C$ {\ $displaystyle C}$ 의 그래프에서만 정의될 수 있는 $f$ 가능성을 고려한다 $C$
^ 의 Orgion 3.5와 비교해 보십시오. $\Theta$ 은 $\$ {\ $displaystyle \theta}$ 과 $X$ $X$ 이 $X$ (가) 하우스도르프 공간인 경우를 고려한다.
^ 정리 3.6 in
^ 6장의 정리 7과 비교해 보면, 베르게의 섹션 1은 기본 공간이 하우스도르프라고 가정하고 $X$ 의 증명에서 X ${\displaystyle X$ $C$ C $C$ 은 제외)에 대해 이 속성을 사용한다.
^ 의 발의안 2.46과 비교해 보십시오. 그들은 $\Theta$ $\Theta$ 과 $X$ $X$ 이 $\Theta$ (가) 하우스도르프 공간이라고 $X$ 암묵적으로 가정하지만, 그 증거는 일반적이다.
^ 의 코롤라리 17.18과 비교하라 이것은 임의의 위상학적 공간에 대해 주어지지만, 그 증거는 위상적 그물의 기계에 의존한다.
^ 6장의 정리 2와 비교해 보면, 버지의 주장 3절은 본질적으로 여기에 제시된 것이지만, 그는 다시 그 밑바탕에 깔린 공간이 하우스도르프라는 가정으로 증명된 보조 결과를 이용한다.
^ 의 발의안 3.1과 비교해 보라. 그들은 하우스도르프 공간과 독점적으로 일하고, 그들의 증거는 다시 위상적 그물에 의존한다.그들의 결과는 $또한$ f $f$ 이 $\pm \infty$ 가) ± $\pm \infty$ $\pm \inflt$ 값을 취할 수 있도록 $f$ 허용한다 $\pm \infty$
^ 의 Lemma 17.30과 비교. 그들은 임의의 위상학적 공간을 고려하고 위상학적 그물에 기초한 주장을 사용한다.
^ 6장 3절의 정리 1과 비교하라 여기에 제시된 주장은 본질적으로 그의 것이다.
^ 의 발의안 3.3과 비교해 보라. 그들은 하우스도르프 공간과 독점적으로 일하고, 그들의 증거는 다시 위상적 그물에 의존한다.그들의 결과는 $또한$ f $f$ 이 $\pm \infty$ 가) ± $\pm \infty$ $\pm \inflt$ 값을 취할 수 있도록 $f$ 허용한다 $\pm \infty$
^ 의 Lemma 17.29와 비교하라. 그들은 임의의 위상학적 공간을 고려하고 위상적 그물을 포함하는 주장을 사용한다.
^ Sundaram, Rangarajan K. (1996). A First Course in Optimization Theory. Cambridge University Press. p. 239. ISBN 0-521-49770-1.
^ 정리 1.2 in

참조

Claude Berge (1963). Topological Spaces. Oliver and Boyd. pp. 115–117.
Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2006). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer. pp. 569-571.
Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Handbook of Multivalued Analysis. Vol. 1: Theory. Springer-Science + Business Media, B. V. pp. 82–89.

[1] Ok, Efe (2007). Real Analysis with Economics Applications. Princeton University Press. p. 306. ISBN 978-0-691-11768-3.

[2] 원래의 참조는 제6장 제3절의 최대 정리(Maximum Organization)로 유명한 베르게는 하우스도르프 위상학적 공간만을 고려하고 그 자체인 콤팩트 세트만 허용한다.그는 또한 상부 헤미콘틴 서신은 콤팩트하게 평가될 것을 요구한다.이러한 성질은 후기 문헌에서 명확히 밝혀지고 세분화되었다.

[3] 의 정리 17.31과 비교하라 이것은 임의의 위상학적 공간에 대해 주어진다.그들은 $또한$ f $f$ 이(가) $C$ {\ $displaystyle C}$ 의 그래프에서만 정의될 수 있는 $f$ 가능성을 고려한다 $C$

[4] 의 Orgion 3.5와 비교해 보십시오. $\Theta$ 은 $\$ {\ $displaystyle \theta}$ 과 $X$ $X$ 이 $X$ (가) 하우스도르프 공간인 경우를 고려한다.

[5] 정리 3.6 in

[6] 6장의 정리 7과 비교해 보면, 베르게의 섹션 1은 기본 공간이 하우스도르프라고 가정하고 $X$ 의 증명에서 X ${\displaystyle X$ $C$ C $C$ 은 제외)에 대해 이 속성을 사용한다.

[7] 의 발의안 2.46과 비교해 보십시오. 그들은 $\Theta$ $\Theta$ 과 $X$ $X$ 이 $\Theta$ (가) 하우스도르프 공간이라고 $X$ 암묵적으로 가정하지만, 그 증거는 일반적이다.

[8] 의 코롤라리 17.18과 비교하라 이것은 임의의 위상학적 공간에 대해 주어지지만, 그 증거는 위상적 그물의 기계에 의존한다.

[9] 6장의 정리 2와 비교해 보면, 버지의 주장 3절은 본질적으로 여기에 제시된 것이지만, 그는 다시 그 밑바탕에 깔린 공간이 하우스도르프라는 가정으로 증명된 보조 결과를 이용한다.

[10] 의 발의안 3.1과 비교해 보라. 그들은 하우스도르프 공간과 독점적으로 일하고, 그들의 증거는 다시 위상적 그물에 의존한다.그들의 결과는 $또한$ f $f$ 이 $\pm \infty$ 가) ± $\pm \infty$ $\pm \inflt$ 값을 취할 수 있도록 $f$ 허용한다 $\pm \infty$

[11] 의 Lemma 17.30과 비교. 그들은 임의의 위상학적 공간을 고려하고 위상학적 그물에 기초한 주장을 사용한다.

[12] 6장 3절의 정리 1과 비교하라 여기에 제시된 주장은 본질적으로 그의 것이다.

[13] 의 발의안 3.3과 비교해 보라. 그들은 하우스도르프 공간과 독점적으로 일하고, 그들의 증거는 다시 위상적 그물에 의존한다.그들의 결과는 $또한$ f $f$ 이 $\pm \infty$ 가) ± $\pm \infty$ $\pm \inflt$ 값을 취할 수 있도록 $f$ 허용한다 $\pm \infty$

[14] 의 Lemma 17.29와 비교하라. 그들은 임의의 위상학적 공간을 고려하고 위상적 그물을 포함하는 주장을 사용한다.

[15] Sundaram, Rangarajan K. (1996). A First Course in Optimization Theory. Cambridge University Press. p. 239. ISBN 0-521-49770-1.

[16] 정리 1.2 in

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v t 볼록 분석 및 변동 분석
주제(목록)	초케 이론 볼록 기하학 볼록 최적화 이중성 라그랑주 승수 레전드르 변환 국소 볼록한 위상 벡터 공간 심플렉스
지도	볼록 결합 오목한 (폐쇄) K- 로그로 적절한 사이비- 준-) 볼록함수 인벡스 함수 레전드르 변환 반연속성 하위생성
주 결과(목록)	에클랜드의 변이 원리 펜첼-모로우 정리 펜첼영 부등식 젠센의 부등식 헤르미트-하다마드 부등식 크레인-밀만 정리 마주르의 보조정리 샤플리-폴크만 보조정리 로빈슨우르세스쿠 시몬스 우르세스쿠
놓다	볼록 선체 (Pseudo-) 볼록 세트 유효 도메인 비문 하이포그래프 존 타원체 조노토프
시리즈	볼록 시리즈 관련 (cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하위) 이상 볼록, (Hx), (Hx)
이중성	이중 시스템 이중성격차 강한 이중성 약한 이중성

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