최대 정리
Maximum theorem최대 정리는 매개변수에 관하여 최적화된 함수의 연속성 및 그 맥시저 집합에 대한 조건을 제공한다.이 성명은 1959년 클로드 버지에 의해 처음 증명되었다.[1]그 정리는 주로 수학적 경제학과 최적의 제어에 사용된다.
정리명세서
최대 정리.[2][3][4][5]Let and be topological spaces, be a continuous function on the product , and be a compact-valued correspondence such that for all . Define the marginal function (or value function) \mathb {} ~ }
그리고 맥시마이저 : X C 기준
- .
이 (가) θ 에서 연속(즉, 위쪽과 아래쪽 모두)인 경우, ∗ 은 연속이고 C은 비빈 값과 콤팩트한 위쪽 hem이다.따라서 은(는) 으)로 대체될 수 있다
해석
이 정리는 일반적으로 매개변수에 관한 연속적인 해결책을 갖는 파라메트릭 최적화 문제에 대한 조건을 제공하는 것으로 해석된다.이 경우 은 (는) 매개 변수 공간이고, ( ,) f는 최대화할 함수이며, ( ) 는 이 최대화되는 제약조건 세트를 제공한다.그러면 ( ) f은 함수의 최대값이고 ∗은 을(를) 최대화하는 점 집합이다
그 결과 최적화 문제의 요소가 충분히 연속적인 경우, 그 연속성의 일부(전부는 아님)는 해결책에 보존된다.
증명
이 증거를 통해 우리는 특정 포인트를 포함하는 오픈 세트를 참조하기 위해 neighborhood라는 용어를 사용할 것이다.우리는 서문을 예비 보조정리기로 하는데, 이것은 서신의 미적분학에서 일반적인 사실이다.그래프가 닫히면 서신이 닫힌다는 사실을 기억하십시오.
보조정리.[6][7][8] 만약 , : 은 (는) 대응 이고, A }은(는) 상부 혈전 및 콤팩트 값이며, 은 (는) 닫힌 , A : B X이가) 한( B)= ( ) B)=)\ B은 위쪽 혈전이다.
증명 |
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Let , and suppose is an open set containing . If , then the result follows immediately.Otherwise, observe that for each we have , and since is closed there is a neighborhood of in which ( ) {\x'\ U x x× The collection of sets forms an open cover of the compact set , which allows us to extract a finite subcover . Then whenever , we have , and so .이것으로 증거가 완성되었다. |
최대 정리에서 의 연속성은 두 개의 독립적 이론이 합쳐진 결과다.
정리 1.[9][10][11] 이 (가) 상위 이고 C{\C}이(가) 상위 반비콘틴, 비어 있지 않고 콤팩트한 값인 경우, f는 상위 반비콘틴틴이다.
정리증서1길 |
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∈ \ }을를 수정하고 > 을(를) 임의로 설정하십시오.각 x∈ C(θ){\displaystyle x\in C(\theta)}을 위해서는 동네 U)×V={\displaystyle U_{)}\times V_{)}}(θ, 음){\displaystyle(\theta ,x)}등이 다를 때마다(θ ′,)′)∈ U)×V={\displaystyle(\theta ',x의)\in U_{)}\times V_{)}}, 우리는 f()′,θ ′)다 &l이 있다.t;. The set of neighborhoods covers , which is compact, so suffice.Furthermore, since is upper hemicontinuous, there exists a neighborhood of such that whenever it follows that 위로 _{k=1}^{n}V_{x_{k}}} 할게. U)U∈ U{\displaystyle \theta '\in U}′모두에게∩ Ux1∩ ⋯ ∩ U)n{\displaystyle U=U'\cap U_{x_{1}}\cap \dots \cap U_{x_{n}}}. 그리고 θ′, 우리는 f()′,θ ′)고<>각인데에 이름()k, θ)+ε{\displaystyle f(x',\theta의)<, f(x_{k},\theta)+\varepsilon}′ ∈ ( ) x C k 에 대해 ∈ ∈ x {\ 그 뒤를 따른다. 바라던 것. |
정리2.[12][13][14] 이 (가) 더 낮은 반비콘틴, {\C}이(가) 더 낮은 반비콘틴이라면, ∗ f은 더 낮은 반비콘틴틴틴틴이다.
정리증서2길 |
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∈ \ }을를 수정하고 > 을(를) 임의로 설정하십시오.∈ C(θ){\displaystyle x\in C(\theta)}f({\displaystyle f^{*}}의 정의에 의해,)존재한 이후 f{\displaystyle f} 낮은 하방 반연속은 f∗(θ)<>이름(x, θ)+ε 2{\displaystyle f^{*}(\theta)<, f(x,\theta)+{\frac{\varepsilon}{2}}}. 이제, 이웃 존재한다. u1×V}(θ, 음){\displaystyle(\theta ,x)}의 의견이 다를 때마다(θ ′,)′)∈ U1×V}우리는 f(x, θ)<>, V{\displaystyle(\theta ',x의)\in U_{1}\times 이름()′,θ ′)+ε 2{\displaystyle f(x,\theta)<, f(x',\theta의)+{\frac{\varepsilon}{2}}}. 그것을 준수하라 V{\displaystyle U_{1}\times. C() {\ C x (() x CTherefore, since is lower hemicontinuous, there exists a neighborhood such that whenever there exists . Let 그러면 U{\in 에 x C x') V {\in C V}가 존재할 때마다 이것은 함축적인 의미를 갖는다. 바라던 것. |
Maximum 정리(Maximum Organism)의 가설 아래 f는 연속적이다.이 (가) 콤팩트한 값을 갖는 상부 헤미콘틴 서신임을 확인하는 것으로 남는다.Let . To see that is nonempty, observe that the function by is continuous on the컴팩트 세트 () C Extreme Value 정리는 ( ) 이 (가) 비어 있지 않음을 암시한다.In addition, since is continuous, it follows that a closed subset of the compact set , which implies is compact.마지막으로 : ⇉ be defined by . Since is a continuous function, is a closed correspondence.더욱이 ( )= C () D( 이(가)므로 예비 레마마는 c이 상부 헤미콘틴임을 암시한다
변형 및 일반화
위의 결과를 통해 자연 일반화하면 f가 이고 C C가 비어 있지 않고, 콤팩트하게, 상위 반연속성이 될 수 있는 충분한 국소 조건을 얻을 수 있다.
위의 조건 외에 각 에 f 의 quasiconcave이고 이 (가) 볼록 값이면 C C도 볼록스 값이다.에 f {\ f이 ( x {\의 quasiconcave이고 C{\ 가 볼록 값이면 C^{*}은 단일 값이므로 서신호보다는 연속 함수인 것이다.
이 (가) 오목하고 C 이(가) 볼록 그래프를 갖는 경우, { 은 오목하고 C C은 볼록 값이다.위와 마찬가지로 이(가) 엄격히 오목한 경우, {\ C는 연속함수다.[15]
객관적 함수가 K-inf-compact일 경우 비 컴팩트 세트값 대응으로 버지의 정리를 일반화하는 것도 가능하다.[16]
예
소비자가 예산에서 선택하는 유틸리티의 최대화 문제를 고려하십시오.위의 표기법에서 표준 소비자 이론 표기법으로 번역하면,
- = + 은(는) {\ 물품의 모든 묶음의 공간이며,
- = ++ R+{은 상품 와 부의 가격 벡터를 나타낸다
- ( x ,)= ( x) 는 소비자의 유틸리티 기능이며,
- ( )= B( , w)={ x w w} {\)= w는 소비자 예산이다.
그러면.
일반 평형 이론의 증명들은 압축성과 연속성을 요구하는 소비자의 요구에 브루워나 카쿠타니 고정점 정리들을 적용하는 경우가 많으며, 최대 정리는 그렇게 할 수 있는 충분한 조건을 제공한다.
참고 항목
메모들
- ^ Ok, Efe (2007). Real Analysis with Economics Applications. Princeton University Press. p. 306. ISBN 978-0-691-11768-3.
- ^ 원래의 참조는 제6장 제3절의 최대 정리(Maximum Organization)로 유명한 베르게는 하우스도르프 위상학적 공간만을 고려하고 그 자체인 콤팩트 세트만 허용한다.그는 또한 상부 헤미콘틴 서신은 콤팩트하게 평가될 것을 요구한다.이러한 성질은 후기 문헌에서 명확히 밝혀지고 세분화되었다.
- ^ 의 정리 17.31과 비교하라 이것은 임의의 위상학적 공간에 대해 주어진다.그들은 f 이(가) {\의 그래프에서만 정의될 수 있는 가능성을 고려한다
- ^ 의 Orgion 3.5와 비교해 보십시오. 은 {\과 이 (가) 하우스도르프 공간인 경우를 고려한다.
- ^ 정리 3.6 in
- ^ 6장의 정리 7과 비교해 보면, 베르게의 섹션 1은 기본 공간이 하우스도르프라고 가정하고 의 증명에서 X C 은 제외)에 대해 이 속성을 사용한다.
- ^ 의 발의안 2.46과 비교해 보십시오. 그들은 과 이 (가) 하우스도르프 공간이라고 암묵적으로 가정하지만, 그 증거는 일반적이다.
- ^ 의 코롤라리 17.18과 비교하라 이것은 임의의 위상학적 공간에 대해 주어지지만, 그 증거는 위상적 그물의 기계에 의존한다.
- ^ 6장의 정리 2와 비교해 보면, 버지의 주장 3절은 본질적으로 여기에 제시된 것이지만, 그는 다시 그 밑바탕에 깔린 공간이 하우스도르프라는 가정으로 증명된 보조 결과를 이용한다.
- ^ 의 발의안 3.1과 비교해 보라. 그들은 하우스도르프 공간과 독점적으로 일하고, 그들의 증거는 다시 위상적 그물에 의존한다.그들의 결과는 f 이가) ± 값을 취할 수 있도록 허용한다
- ^ 의 Lemma 17.30과 비교. 그들은 임의의 위상학적 공간을 고려하고 위상학적 그물에 기초한 주장을 사용한다.
- ^ 6장 3절의 정리 1과 비교하라 여기에 제시된 주장은 본질적으로 그의 것이다.
- ^ 의 발의안 3.3과 비교해 보라. 그들은 하우스도르프 공간과 독점적으로 일하고, 그들의 증거는 다시 위상적 그물에 의존한다.그들의 결과는 f 이가) ± 값을 취할 수 있도록 허용한다
- ^ 의 Lemma 17.29와 비교하라. 그들은 임의의 위상학적 공간을 고려하고 위상적 그물을 포함하는 주장을 사용한다.
- ^ Sundaram, Rangarajan K. (1996). A First Course in Optimization Theory. Cambridge University Press. p. 239. ISBN 0-521-49770-1.
- ^ 정리 1.2 in
참조
- Claude Berge (1963). Topological Spaces. Oliver and Boyd. pp. 115–117.
- Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2006). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer. pp. 569-571.
- Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Handbook of Multivalued Analysis. Vol. 1: Theory. Springer-Science + Business Media, B. V. pp. 82–89.