봉투정리

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오. (2021년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학과 경제학에서, 봉투 정리는 매개변수화된 최적화 문제의 가치함수의 차별성 특성에 관한 주요한 결과물이다.^[1] 우리가 목적의 매개변수를 변경함에 따라, 봉투 정리는 어떤 의미에서 목적의 최적기의 변화가 목적함수의 변화에 기여하지 않는다는 것을 보여준다. 봉투 정리는 최적화 모델의 비교 통계학을 위한 중요한 도구다.^[2]

$봉투$라는 용어는 값 함수의 그래프를 최적화된$$ 매개 변수화된 ${\displaystyle {\mathrm{함수군}}_{}}{\displaystyle {}_{}}${$x$)의 그래프에서${\displaystyle {}_{}}$"$상단$ 봉투"로$설명$하면서 유래한다$.$

성명서

Let ${\displaystyle f(x,\alpha )}$ and ${\displaystyle g_{j}(x,\alpha ),j=1,2,\ldots ,m}$ be real-valued continuously differentiable functions on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+l}}$, where ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ are choice variables 및 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^{$l}}$은(는) 파라미터로, 주어진 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 $대해{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ $x$$}$을$($를) 선택하는 문제를 고려하여 다음과 같이 하십시오$.$

${\displaystyle \underset{}{}}$${\displaystyle {최대}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \max _{x}f(x,\$displaystyle$$\max _{x}${\displaystyle \mathrm{f}}$(x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \alpha }$)$, j$= 1,$2$,${\displaystyle \dots m}$ ${\displaysty g_{j}(x,\dllots$$,m$$},$ x$$$\geq$ 0$\}).$

이 문제에 대한 라그랑고의 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {L}(x,\lambda ,\alpha )=f(x,\alpha )+\lambda \cdot g(x,\alpha )}$

여기서 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 라그랑주 승수다. $이제{\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle {\ast }^{}}$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle x^{\ast }(\alpha$ )과$$$and{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle \alpha )}$ ${\displaystyle \lambda ^{\ast }(\alpha$)을 함께$$ 제한조건의 적용을 받는 객관적 함수 f를 최대화하는 솔루션이 되도록 하자(따라서 라그랑지안의 안장점).

${\displaystyle {\mathcal {L}^{}}(\alpha )\equiv f(x^{\st })(\alpha })+\lambda ^{\st }(\alpha )\cdot g(x^{})(\alpha ),\alpha }),}}$

값 함수를 정의하십시오.

${\displaystyle V(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ).}$

그러면 우리는 다음과 같은 정리를 하게 된다.^[3][4]

정리: $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$과($)$ L {\$displaystyle$ {\$mathcal{L}$이(가) 지속적으로 다르다고$$ 가정하십시오. 그러면

${\displaystyle {\frac {\partial V(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}(x^{\ast }(\alpha ),\lambda ^{\ast }(\alpha ),\alpha )}{\partial \alpha _{k}}},k=1,2,\ldots ,l}$

where ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial \alpha _{k}=\partial f/\partial \alpha _{k}+\lambda \cdot \partial g/\partial \alpha _{k}}$.

임의 선택 집합의 경우

Let ${\displaystyle X}$ denote the choice set and let the relevant parameter be ${\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}$. Letting ${\displaystyle f:X\times \lbrack 0,1]\rightarrow R}$ denote the parameterized objective function, the value function ${\displaystyle V}$ and the optimal choice 대응(설정값 함수) $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ X$^{\ast }}$은(는) 다음을 통해 제공된다$$.

${\displaystyle V(t)=\sup _{x\in X}f(x,t)}$

(1)

${\displaystyle X^{\\ast }(t)=\{x\in X:f(x,t)=V(t)\}}$

(2)

"Envelope 이론"은 값 $함수{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$이(가) 매개 변수 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에서 구별될 수 있을$$ 만큼 충분한 조건을 설명하고$$ 그 파생상품을 다음과 같이 설명한다.

${\displaystyle V^{\premy }\왼쪽(t\오른쪽)=f_{t}\왼쪽(x,t\오른쪽){\text{}}{}x\in X^{}\ast }\left(t\오른쪽),}}}$

(3)

여기서 ${\displaystyle f_{}}$ ${\$는 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 대한$$ f ${\displaystyle fi$}의 부분파생물을 나타낸다$$$.$ 즉, 매개변수에 대한 값 함수의 파생상품은 최대화기 fi를 보유하는$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt}$에 대한 목적함수의 부분파생물과 동일하다.최적의 수준으로 Xed.

전통적인 봉투 정리 파생은 (1)에 대한 1차 조건을 사용하는데, 이 조건은 선택 세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 볼록하고 위상학적 구조를 가져야$$ 하며, 객관적 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ $f$$}$은 $변수{\displaystyle }$ x ${\displaystyty$ x$}$에서 구별할 수 있어야$$ 한다$.($주장의 변경은 최대값의 변경이다. 최적에서 "2차 효과"만 있으므로 무시할 수 있다.) 그러나, 계약 이론과 게임 이론의 인센티브 제약 조건의 분석, 비 컨벡스 생산 문제, 그리고 "모노톤" 또는 "강력한" 비교 통계학 등의 많은 응용에서, 선택 세트와 객관적 기능은 일반적으로 전통적인 봉투 이론에 의해 요구되는 위상학적, 볼록성 특성이 결여되어 있다.

Paul Milgrom과 Segal(2002)은 매개변수에서 객관적 함수가 구별될 수 있다면 값 함수의 모든 차이성 지점에서 임의 선택 집합의 최적화 문제를 나타내는 전통적인 봉투 공식에 주목한다.^[5]

Theorem 1: Let ${\displaystyle t\in \left(0,1\right)}$ and ${\displaystyle x\in X^{\ast }\left(t\right)}$. If both ${\displaystyle V^{\prime }\left(t\right)}$ and ${\displaystyle f_{t}\left(x,t\right)}$ exist, the envelope formula (3) holds.

증명: 방정식 (1)은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( t${\displaystyle }$) ${\$

${\displaystyle \max _{s\in \왼쪽[0,1\오른쪽]\f\왼쪽(x,s\오른쪽)-V\왼쪽(x,t\오른쪽)-V\왼쪽(t\오른쪽)=0.}$

가정 하에서, 표시된 최대화 문제의 객관적 함수는 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s=t}$에서 구별이 가능하며, 이 최대화를 위한 1차 조건은 정확히 방정식 (3)이다.

일반적으로 가치 함수의 차별성은 강한 가정을 요구하지만, 대부분의 애플리케이션에서는 절대 연속성, 거의 모든 곳에서 차별성 또는 좌우 차별성과 같은 약한 조건이면 충분하다. 특히 밀그롬과 시걸(2002) 정리2는 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 절대적으로 연속될 수 있는$$ 충분한 조건을 제시하며,^[5] 이는 거의 모든 곳에서 차별성이 있으며 파생상품의 적분으로 대표될 수 있음을 의미한다.

Theorem 2: Suppose that ${\displaystyle f(x,\cdot )}$ is absolutely continuous for all ${\displaystyle x\in X}$. Suppose also that there exists an integrable function ${\displaystyle b:[0,1]}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ such that ${\displaystyle }$${\displaystyle f_{}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \le }$ b (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$)$$≤ ${\displaystyle b}$ ( ) {\$displaystyle f_{t}($x,t) \leq $b(t)}$ 모든 $x{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\$$displaystyle x$$\in$ $\lbrack 0,1]$ 및 거의$$ 모든 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ $]$에 대해$$ $.$ 그렇다면 $V{\displaystyle }$ ${\displaystystystytytytype V$는 절대적으로 연속된다$.$ Suppose, in addition, that ${\displaystyle f(x,\cdot )}$ is differentiable for all ${\displaystyle x\in X}$, and that ${\displaystyle X^{\ast }(t)\neq \varnothing }$ almost everywhere on ${\displaystyle [0,1]}$. Then for any selection ${\displa$$ystyle x^{\ast }(t)\in X^{\ast }(t$

${\displaystyle V(t)=V(0)+\int _{0}^{t}f_{t}(x^{\ast }s),ds.}$

(4)

교정: (1)(1)(1)을 사용하여 $t{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}{}^{\mathrm{}}}$′ ${\displaystyle {}^{}}$ [ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ t$^{\prime },t^{\prime \prime$ \premium $\lbrack 0,1]$에서 < ${\premium \primium },$ ,, , , , , , ,

${\displaystyle V(t^{\prime \prime })-V(t^{\prime }) \leq \sup _{x\in X} f(x,t^{\prime \prime })-f(x,t^{\prime }) =\sup _{x\in X}\left\vert \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}f_{t}(x,t)dt\right\vert \leq \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}\sup _{x\in X} f_{t}(x,t) dt\leq \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}b(t)dt.}$

$이$는 V ${\displaystyle V}$이(가) 절대적으로 연속적이라는$$ 것을 의미한다. 따라서 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) 거의 모든 곳에서 차별성이 있으며$$, (3) 수율(4). Q.E.D.

이 결과는 가치 함수의 좋은 행동이 그에 상응하여 최대화자의 좋은 행동을 요구한다는 일반적인 오해를 불식시킨다. 정리2는 최대치가 불연속적일 수 있더라도 값함수의 절대 연속성을 보장한다. In a similar vein, Milgrom and Segal's (2002) Theorem 3 implies that the value function must be differentiable at ${\displaystyle t=t_{0}}$ and hence satisfy the envelope formula (3) when the family ${\displaystyle \left\{f\left(x,\cdot \right)\right\}_{x\in X}}$ is equi-differentiable at $$${\displaystyle t_{0}\in \left(0,1\right)}$ and ${\displaystyle f_{t}\left(X^{\ast }\left(t\right),t_{0}\right)}$ is single-valued and continuous at ${\displaystyle t=t_{0}}$, even if the maximizer is not differentiable at ${\displaystyle t_{$$0}}($예: $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 불평등 제약 조건 집합으로 설명되고 결합 제약 조건 $집합$이 t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle t_{0})$에서 변경되는 경우.$$^[5]

적용들

생산자에게의 적용 이론

정리1은 이익함수의 어떤 차별성 지점에서의 Hoteling의 보조정리, 정리2는 생산자 잉여공식을 의미한다. Formally, let ${\displaystyle \pi \left(p\right)}$ denote the profit function of a price-taking firm with production set ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{L}}$ facing prices ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{L}}$, and let ${\displaystyle x^{\ast }\left(p\right)}$ 회사의 공급 기능, 즉,

${\displaystyle \pi(p)=\max _{x\in X}p\cdot x=p\cdot x^{}\ast }\reft(p\right){\text{\text}}}}$

Let ${\displaystyle t=p_{i}}$ (the price of good ${\displaystyle i}$) and fix the other goods' prices at ${\displaystyle p_{-i}\in \mathbb {R} ^{L-1}}$. Applying Theorem 1 to ${\displaystyle f(x,t)=tx_{i}+p_{-i}\cdot x_{-i}}$ yields ${\displaystyle }$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$p${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}\frac{{}_{}}{}}$= x ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}p}$) ${\displaystyle {\frac$ {\frac($p)}{\pi$}{\\displaysty $p_$${i}}}=x_{i}^{\ast$}}}(p$)($$회사$의 최적의 $good{\displaystyle }$ i ${\displaystysty}).$ 정리 2 적용(${\displaystyle p_{}}$ i ${\$이(가) 경계 구간으로 제한될 때 가정이 검증됨) 산출량

${\displaystyle \pi (t,p_{-i}-\pi(0,p_{-i})=\int_{0}^{p_{i}x_{i}^{}^{\ast }s,p_{-i}ds,}$

즉$$, 생산자 $잉여금{\displaystyle (t,}$ ${\displaystyle p_{}}$- i${\displaystyle {}_{}}$) -${\displaystyle \pi }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle \pi (t,p_{-i}-\pi (0,$$p_$${-i$$\})\}$을(를$)$ 기업의 $공급{\displaystyle }$ 곡선$$아래 $통합$하여 얻을 수 있다.

메커니즘 설계 및 경매 이론에 대한 적용

Consider an agent whose utility function ${\displaystyle f(x,t)}$ over outcomes ${\displaystyle x\in {\bar {X}}}$ depends on his type ${\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}$. Let ${\displaystyle X\subseteq {\bar {X}}}$ represent the "menu" of possible outcomes the agent could 다른 메시지를 전송하여 메커니즘을 획득한다. 메커니즘에 있는$$ 에이전트의 평형 효용 $V{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle V(t)}$이 (1)에 의해 주어지며, 메커니즘의 평형 결과 중 $설정$된 X ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle X^{\ast }(t)}$은 (2)에 의해 주어진다. $어떤{\displaystyle {}^{}}$ $선택$ x$$( t${\displaystyle }$) X${\displaystyle {\ast }^{}}$ ( ${\displaystyle t}$ )${\displaystyle {}^{})}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $∗$( t ) {\$displaystyle$ x$^{\ast$}(t)\in X^{\$ast }(t)}$는 메커니즘에 의해 구현된 선택 규칙이다$$. Suppose that the agent's utility function ${\displaystyle f(x,t)}$ is differentiable and absolutely continuous in ${\displaystyle t}$ for all ${\displaystyle x\in Y}$, and that ${\displaystyle \sup _{x\in {\bar {X}}} f_{t}(x,t) }$ is integrable on ${\displaystyle [0,}$${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1$ 그렇다면 정리 2는 주어진 선택 규칙 $∗{\$을(를) 구현하는 메커니즘에서 에이전트의$$ 평형 효용 V ${\displaystystyle$ V}이$($가) 정수 조건 (4)을 충족해야$$ 함을 암시한다.

적분 조건(4)은 연속형 공간에서의 메커니즘 설계 문제 분석의 핵심 단계다. 특히 마이어슨(1981)의 단일품목 경매 분석에서, 한 입찰자의 $관점$에서의 결과는 x${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$) ${\$ x$=\left(y,z\right$로 설명될 수 있는데, $여기$서 y$${\$displaysty y$}는$$ 입찰자의 물건을 받을 $확률$이고 z ${\displaystyty z}$은 그의 예상 지급액이다.dder's expected utility takes the form ${\displaystyle f\left(\left(y,z\right),t\right)=ty-z}$. In this case, letting ${\displaystyle {\underline {t}}}$ denote the bidder's lowest possible type, the integral condition (4) for the bidder's equilibrium expected utility ${\displaystyle V$${}$이(가) 형식을 취함

${\displaystyle V(t)-V({\underline {t})=\int _{0}^{t}y^{\ast }ds.}$

(이 방정식은 $수문자{\displaystyle }$z {\$displaystyle$ z$}$을(를) 낙찰 $확률$ y ${\displaystyle y}$로 변환하는 생산 기술이 경매에 의해 정의되고 고정가격 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 물건을 재판매하는 회사를 위한 생산자 잉여 공식으로 해석할 수 있다.)$$ 이 조건은 마이어슨(1981)의 축하된 수익 등가 정리를 산출한다. 입찰자가 독립적인 개인 가치를 갖는 경매에서 발생하는 예상 수익은 모든 유형의 $t$에 대한 물체를 얻을 수 있는$$ 입찰자의 확률 $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle t}$ )${\$$right$$)$에 의해 완전히 결정된다$.$$tyle t}$은(는) 물론 입찰자의 최저 유형 중 예상되는$$ 성과급 $V{\displaystyle (t\underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$) ${\displaystyle V({\underline{t}})$에 의해 결정된다. 마지막으로 이 조건은 마이어슨의 최적 경매(1981)의 핵심 단계다.^[6]

메커니즘 설계에 대한 봉투 정리의 다른 적용은 Mirrlees(1971), ^[7]Holmstrom(1979),^[8] Laffont and Maskin(1980),^[9] Riley and Samuelson(1981),^[10] Fudenberg and Tirole(1991) ^[11]및 Williams(1999)를 참조한다.^[12] 이러한 저자들이 지속적으로 상이한 선택 규칙이나 심지어 더 좁은 계층에 대한 주의를 제한함으로써 봉투 정리를 도출하고 이용하지만, 때로는 조각적으로 상이한 선택 규칙을 지속적으로 상이하지 않는 것이 최적인 것일 수 있다.(일례는 선형 효용 해설서를 가진 거래 문제의 등급이다.)마이어슨 6.5장(1991년)의 에드.^[13] 적분 조건 (3)은 여전히 이 설정에서 유지되며, Holmstrom의 보조정리(Holmstrom, 1979년),^[8] Myerson의 보조정리(Myerson, 1981년),^[6] 수입등가정리(경매의 경우), Green-Lafont–과 같은 중요한 결과를 내포하고 있다는 점에 유의한다.Holmstrom 정리는Myerson–Satterthwaite의 비효율 정리(그린과 Laffont, 1979년;Holmstrom, 1979년)[14][8](마이어슨과 Satterthwaite, 1983년)[15]은 Jehiel–Moldovanu 불가능 이론(여히엘과 Moldovanu, 2001년)[16]은McAfee–McMillan weak-cartels 정리(맥아피와 맥밀런, 1992년)[17], 웨버 martingale 정리(베버, 1983년.),[18]등 이러한 어플리케이션의 세부사항은 주로 봉투 정리 및 기타 수요이론에서 익숙한 기법과 개념을 바탕으로 경매와 메커니즘 설계 분석에서 우아하고 통일된 프레임워크를 제공하는 밀그롬(2004) 제3장에 제시되어 있다.^[19]

다차원 매개변수 공간에 대한 응용프로그램

다차원 매개변수 공간 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 경우$,$ 값 함수의 부분적이고 방향적인 파생상품에 정리 1을 적용할 수 있다. If both the objective function ${\displaystyle f}$ and the value function ${\displaystyle V}$ are (totally) differentiable in ${\displaystyle t}$, Theorem 1 implies the envelope formula for their gradients: ${\displaystyle \nabla V\left(t\right)=\nabla _{t}f\left(x,t\right)}$ for 각 $x{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( t${\displaystyle }$) ${\$ x$\in$ X$^{\ast }\좌측(t\오른쪽$ . 값 함수의 총 차이성은 확인하기가 쉽지 않을 수 있지만 정리 2개의 매개 변수 ${\displaystyle {값\mathrm{}}_{}}$ $t{\displaystyle {}_{}}$ 0${\$ $및{\displaystyle }$ t$$ ${\displaystystyt}$을 연결하는 매끄러운 경로를 따라 계속 적용할 수 있다$.$ 즉, $f{\displaystyle }$ 함수를 가정한다.${\displaystyle f(x,\cdot )}$ are differentiable for all ${\displaystyle x\in X}$ with ${\displaystyle \nabla _{t}f(x,t) \leq B}$ for all ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle t\in T}$. A smooth path from ${\displaystyle t_{0}}$ to ${\$$displaystyle t}$ is described by a differentiable mapping ${\displaystyle \gamma :\left[0,1\right]\rightarrow T}$ with a bounded derivative, such that ${\displaystyle \gamma \left(0\right)=t_{0}}$ and ${\displaystyle \gamma \left(1\right)=t}$. Theorem 2 implies that for any 이러한 부드러운 경로에서 값 함수의 변경은 다음과 같은 경로를 따라 목적함수의$$ 부분 그라데이션 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \nabla _{t}f(x$^{\ast $}t), t)$의 경로 적분으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle V(t)-V(t_{0}}=\int _{\gamma }\nabla _{t}f(x^{\ast }s)\cdot ds.}$

특히,${\displaystyle }t{\displaystyle }$ = ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle$ t$=t_{0$의 경우, 이는 매끄러운 경로 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$을(를) 따라 순환 경로 통합이 0이어야$$ 함을 설정한다.

${\displaystyle \int \ \la _{t}f(x^{\ast }s),s)\cdot ds=0.}$

$이{\displaystyle }$ "$통합성$ 조건"은 다차원적 유형의 메커니즘 설계에 중요한 역할을 하며$,$ $메커니즘{\displaystyle {}^{}}$ 유도 메뉴 $X{\displaystyle }$$$${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X\stackrel{}{}}$⊆ X ⊆ X ⊆ X${$ { { { $sub$ sub sub sub $sub$ sub sub sub $sub$ sub sub sub sub sub sub sub${\displaystyle }$sub$$${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ sub sub sub${\displaystyle }$subsub $subsub$sub sub$$${\displaystyle {}^{}}$ sub sub sub sub sub sub sub sub sub sub sub sub sub $sub$ sub sub sub $sub$ sub sub sub sub $sub$sub sub sub${\displaystyle x\in X\subseteq \mathbb {R} ^{L}}$ being the firm's production vector and ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{L}}$ being the price vector, ${\displaystyle f\left(x,t\right)=t\cdot x}$, and the integrability condition says that any rationalizable supply function ${\dis$$Playstyle$ x$^{\ast }}$은(는) 충족해야$$ 함

${\displaystyle \int x^{\ast }\cdot ds=0.}$

When ${\displaystyle x^{\ast }}$ is continuously differentiable, this integrability condition is equivalent to the symmetry of the substitution matrix ${\displaystyle \left(\partial x_{i}^{\ast }\left(t\right)/\partial t_{j}\right)_{i,j=1}^{L}}$. (In consumer theory, 지출 최소화 문제에 적용된 동일한 주장이 슬루츠키 행렬의 대칭을 산출한다.)

매개 변수화된 제약 조건을 적용할 응용 프로그램

실행 가능한 집합 $X{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\$이(가) 매개 변수에 따라$$ 다르다고 가정해 보십시오.

${\displaystyle V(t)=\sup _{x\in X\left(t\오른쪽)}f(x,t)}$

${\displaystyle X^{\ast }(t)=\{x\in X\left(t\right):f(x,t)=V(t)\}{\text{, }}}}}$

where ${\displaystyle X\left(t\right)=\left\{x\in X:g\left(x,t\right)\geq 0\right\}}$ for some ${\displaystyle g:X\times \left[0,1\right]\rightarrow \mathbb {R} ^{K}.$$}$

예를 들어 X가{X\displaystyle}은 볼록 집합, f{\displaystyle f}과 g{\displaystyle g}x{\displaystyle)}에 오목한 있으며 수많은)존재하 ^∈ X{\displaystyle{\hat{)}}\in X}가 g()^ t)>모든 t∈용에 0{\displaystyle g\left({\hat{x}},t\right)>0}. 0,1${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$. Under these assumptions, it is well known that the above constrained optimization program can be represented as a saddle-point problem for the Lagrangian ${\displaystyle L\left(x,\lambda ,t\right)=f(x,t)+\lambda \cdot g\left(x,t\right)}$, where $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 라그랑지안을 최소화하기 위해 적수가 선택한 라그랑주 승수의 벡터다$$.^{[20][page needed][21][page needed]} 이것은 추간 가정하에서 X가{X\displaystyle}계약은normed 선형 공간, f{\displaystyle f}과 g{\displaystyle g}에 x{\displaystyle)}에와 연속이라고는 Milgrom고 시걸의(2002년, 정리 4)봉투 정리의saddle-point problems,[5]을 적용할 수 있기 {)$displaystyle f_{t}}$ and ${\displaystyle g_{t}}$ are continuous in ${\displaystyle \left(x,t\right)}$. In particular, letting ${\displaystyle \left(x^{\ast }(t),\lambda ^{\ast }\left(t\right)\right)}$ denote the Lagrangian's saddle point for parameter value ${\d$$isplaystyle t$ 정리는 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 절대적으로 연속적이며$$ 충족됨을 암시한다.

${\displaystyle V(t)=V(0)+\int _{0}^{t}L_{t}(x^{\ast }s),\lambda ^{\ast }\reft(s\right),s.ds.}$

For the special case in which ${\displaystyle f\left(x,t\right)}$ is independent of ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle K=1}$, and ${\displaystyle g\left(x,t\right)=h\left(x\right)+t}$, the formula implies that ${\displaystyle V^{\mathrm{\prime }}(t)=L_t(x^{\ast }(t),{\lambda }^{\ast }(t}$${\$$L_{t}(x^{\ast }(t),\lambda ^{\ast }\left(t\$right$),t)=\lambda$^{\$ast$}\$reft(t\right)}$의 예: $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt}$. 즉, 제약조건의$$ 라그랑주 승수 $multipl{\displaystyle {}^{(}t}$ )${\displaystyle }${(t ) ${\$는 최적화 프로그램의 "그림자 가격"이다.^{[21][page needed]}

기타 응용 프로그램

밀그롬과 시걸(2002)은 일반화된 버전의 봉투 이론이 볼록 프로그래밍, 연속 최적화 문제, 안장 포인트 문제, 최적의 정지 문제에도 적용될 수 있음을 보여준다.^[5]

참고 항목

참조