그래픽 매트로이드

매트로이드의 수학적 이론에서, 그래픽 매트로이드(cycle matroid 또는 polygon matroid라고도 함)는 주어진 유한한 비방향 그래프의 숲인 독립된 세트를 가진 매트로이드다.그래픽 매트로이드의 이중 매트로이드를 코그래픽 매트로이드 또는 본드 매트로이드라고 부른다.^[1]그래픽과 동시그래픽인 매트로이드를 평면 매트로이드라고 부른다. 이것들은 정확히 평면 그래프로 형성된 그래픽 매트로이드들이다.

정의

매트로이드는 하위 집합에서 닫히고 "교환 속성"을 만족하는 유한 집합(매트로이드의 "독립 집합"이라 함)으로 정의될 수 있다. $만약{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$과 B ${\displaystyle B$$}$이(가) $둘{\displaystyle }$ 다 독립적이고$$ A ${\displaysty B$보다 $크면$ i.s 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\in A\setminus$ B$},$ $따라서$ B x ${\displaystyle B\cup \{x\}}$은(는) 독립적으로 유지된다$$.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 리디렉션되지 않은 그래프이고$$ $F{\displaystyle }$ {\$displaystyle F}$이(가) $G$ ${\displaystyle G}$의 숲을 이루는 가장자리 집합인 경우$$$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(숲에서 가장자리가 제거되면 다른 숲이 떠난다) 하위 집합 아래에서 명확하게 닫힌다$$.$또한{\displaystyle }$ 교환 특성을 만족한다: $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및 B$$ ${\displaystyle B$$}$이(가) $모두{\displaystyle }$ 포리스트이고$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$$}$보다 에지가$$많으면$$ 연결된 구성 요소가 적으므로, 비둘기홀 원리에 의해 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ C$}$이(가)가 있다$.$$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 두 개 이상의 구성 요소에서 정점을 포함하는$$ $A$$\}.$ B ${\displaystyle B}$의 한 구성 요소에서 다른$$$$ 구성 요소의 정점까지 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 경로를 따라 두 구성 요소에 끝점이 있는 에지가 있어야 하며, 이 에지는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ B$}$에 추가할 수 있다.숲에 가장자리를 더하다따라서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F$$}$은(는$)$ G {\$displaystyle$ $G{\displaystyle \}}$ 또는$$ M (${\displaystyle G}$) {\$displaystyle M($G)}의 그래픽 매트로이드라고 하는 독립된 매트로이드 세트를 형성한다$.$ 더 일반적으로 매트로드는 그 요소가 그래프에서 가장자리인지에 관계 없이 그래프의 그래픽 매트로이드에 이형일 때마다 그래픽이라고 불린다.^[2]

The bases of a graphic matroid ${\displaystyle M(G)}$ are the full spanning forests of ${\displaystyle G}$, and the circuits of ${\displaystyle M(G)}$ are the simple cycles of ${\displaystyle G}$. The rank in ${\displaystyle M(G)}$ of a set ${\displaystyle X}$ of edges of a graph $$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은(${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle$ r$(X)=n-c}$이며, 여기서$$$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 X ${\displaystyle X}$의 가장자리로 형성된 서브그래프의 정점 수이고 $c{\displaystyle }$ ${\displaystysty c}$은 동일한 서브그래프의 연결된 구성요소 수입니다.^[2]그래픽 매트로이드의 코랭크는 회로 순위 또는 사이클로메틱 수로 알려져 있다.

플랫의 격자

The closure ${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$ of a set ${\displaystyle S}$ of edges in ${\displaystyle M(G)}$ is a flat consisting of the edges that are not independent of ${\displaystyle S}$ (that is, the edges whose endpoints are connected to each other by a path in ${\displaystyle S}$). 이 플랫은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 의해 형성된 서브그래프의 연결된 구성 요소로$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 정점 분할과 함께 식별할 수 있다$:$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$와 닫힘이 동일한 모든 에지는 정점$$ ${\displaystyle \mathrm{분할}}$과 cl ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (S}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystysty \operato$.$rname {cl} (S)}$은(는) 끝점이 모두 파티션의 동일한 집합에 속하는 가장자리로 구성되므로 꼭지점 파티션에서 복구할 수 있다$$.이 매트로이드의 플랫 격자에는 플랫 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 해당하는 파티션이 플랫$$ $y{\displaystyle }$ ${\$displaystyle x}에 해당하는 파티션을 미세화할 때마다$$ 주문 관계 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\$$displaystyle y}$이(가) 있다$.$

그래픽 매트로이드의 이러한 측면에서는 전체 그래프 ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\$에 대한 그래픽 매트로이드(matroid)가 특히 중요한데$$, 이는 일부 서브그래프의 연결된 구성요소의 집합으로 정점 세트의 모든 가능한 파티션을 형성할 수 있기 때문이다.따라서 ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\$의 그래픽 매트로이드 평판 격자는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -element$$ 세트의 칸막이 격자와 자연적으로 이형성이 있다$$.매트로이드 평면의 격자는 정확히 기하학적 격자이므로, 이는 칸막이의 격자도 기하학적임을 암시한다.^[3]

표현

그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 그래픽 $매트로드$는 G$${\$displaystyle G$}의 모든 방향 입사 행렬의 열 매트로 정의할 수 있다$$$.$ 이러한 매트릭스는 꼭지점마다 행이 하나씩, 각 가장자리마다 열 하나가 있다.에지 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$의 열에는 한 끝점의 행에${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle +$1}이$($가) 있고$$, 다른 끝점의 ${\displaystyle \mathrm{행}}$에는${\displaystyle }$- 1 {\$displaystyle -1$}이$($가$$) 있으며, 임의의 기호를 지정할 끝점의 선택 $항목$인 0 ${\displaystystyle 0}$이(가)이)이(가) 있다.이 행렬의 열 매트로드는 열의 선형 독립 하위 집합을 독립적으로 설정한다.

에지 집합에 사이클이 포함되어 있는 경우 해당 컬럼$({\displaystyle \mathrm{필요}}$한 경우 - 1$${\$displaystyle -1}$로 곱하여 사이클을 중심으로 에지의 방향을 일관되게 변경)은 0으로 합하고 독립적이지 않다.반대로, 가장자리 세트가 숲을 이룬다면, 반복적으로 이 숲에서 잎을 제거함으로써 해당 기둥 세트가 독립적이라는 것을 유도로 보여줄 수 있다.따라서 열 행렬은 $M{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle M(G)}$에 대해 이형성이 있다$.$

그래픽 매트로이드를 나타내는 이 방법은 발생이 정의되는 영역에 관계없이 작동한다.따라서 그래픽 매트로이드는 가능한 모든 영역에 걸쳐 표현되는 일반 매트로이드, 매트로이드의 하위 집합을 형성한다.^[2]

The lattice of flats of a graphic matroid can also be realized as the lattice of a hyperplane arrangement, in fact as a subset of the braid arrangement, whose hyperplanes are the diagonals ${\displaystyle H_{ij}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{i}=x_{j}$$\}}$. Namely, if the vertices of ${\displaystyle G}$ are ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n},}$ we include the hyperplane ${\displaystyle H_{ij}}$ whenever ${\displaystyle e=v_{i}v_{j}}$ is an edge of ${\displaystyle G}$.

매트로이드 연결

매트로이드는 두 개의 작은 매트로이드의 직접적인 합이 아닌 경우에만 연결된다고 한다. 즉, 매트로이드의 순위 기능이 이들 개별 하위 집합의 순위 합과 같도록 원소의 두 개의 분리된 하위 집합이 존재하지 않는 경우에만 연결된다.그래픽 매트로이드는 기본 그래프가 연결되고 2Vertex가 연결된 경우에만 연결된다.^[2]

미성년자 및 이중성

A matroid is graphic if and only if its minors do not include any of five forbidden minors: the uniform matroid ${\displaystyle U{}_{4}^{2}}$, the Fano plane or its dual, or the duals of ${\displaystyle M(K_{5})}$ and ${\displaystyle M(K_{3,3})}$ defined from the complete graph ${\displaystyle K_{}}$${\displaystyle K_{5}}$ and the complete bipartite graph ${\displaystyle K_{3,3}}$.^[2][4][5] The first three of these are the forbidden minors for the regular matroids,^[6] and the duals of ${\displaystyle M(K_{5})}$ and ${\displaystyle M(K_{3,3})}$ are regular but not graphic.

매트로이드(matroid)가 그래픽인 경우, 이중(co-graphic matroid)은 이 다섯 가지 금지된 미성년자의 이중(dual)을 포함할 수 없다.따라서 이중은 또한 정규여야 하며, 두 개의 그래픽 매트로이드 $M{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ $){\displaystyle$ M$(K_{5})$과 $M{\displaystyle ({K\mathrm{}}_{}}$ 3,${\displaystyle 3_{}}$ $){\displaystyle M(K_{3,3})$을 미성년자로 포함할 수 없다$.$^[2]

Because of this characterization and Wagner's theorem characterizing the planar graphs as the graphs with no ${\displaystyle K_{5}}$ or ${\displaystyle K_{3,3}}$ graph minor, it follows that a graphic matroid ${\displaystyle M(G)}$ is co-graphic if and only if ${\displaystyle G}$ is planar; this휘트니의 평면성 기준이야$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 평면인$$ $경우{\displaystyle }$ M${\displaystyle }$( G${\displaystyle }$)$${\$displaystyle M(G)}$의 $이중$은 G$${\$displaystyle$G}의 이중 그래프의 그래픽 매트로이드인$$ 반면 $G{\displaystyle }${\$displaysty G}$은 여러 개의 이중 그래프를 가질$$ 수 있지만 그 그래픽 매트로이드들은 모두 이형이다$.$^[2]

알고리즘

그래픽 매트로이드의 최소 중량 기준은 최소 스패닝 트리(또는 기본 그래프가 분리된 경우 최소 스패닝 포리스트)이다.최소 신장 나무 산정을 위한 알고리즘을 집중적으로;그것은 참 직선적 임의 추출된 예정 시간에 computation,[7]의 비교 모델이나 가장자리 몸무게는 작은 정수 및 비트 작전 그들의 이진 표현을 허락하지 않기 위해 일단의 모델에서 선형적인 시간의 문제를 해결하는 것으로 알려져 있어 연구되고 있다.[8]결정론적 알고리즘에 대해 입증된 가장 빠르게 알려진 시간 범위는 약간 초선형이다.^[9]

몇몇 저자들은 주어진 매트로이드의 그래픽 여부를 시험하기 위한 알고리즘을 연구했다.^[10][11][12]예를 들어 Tutte(1960)의 알고리즘은 입력이 바이너리 매트로이드인 것으로 알려졌을 때 이 문제를 해결한다.시모어(1981)는 주어진 집합의 독립 여부를 결정하는 서브루틴인 독립적 신탁을 통해서만 매트로이드에 대한 접근 권한을 부여받은 임의의 매트로이드에 대해 이 문제를 해결한다.

매트로이드 관련 품종

일부 매트로이드 등급은 잘 알려진 그래프 계열에서 정의되었으며, 이러한 그래프의 특성을 매트로이드에 대해 더 일반적으로 의미가 있는 용어로 표현하였다.여기에는 모든 회로가 짝수인 초당적 매트로이드와 분리 회로로 분할할 수 있는 오일러 매트로이드 등이 포함된다.그래픽 매트로이드(matroid matroid)는 초당적 그래프에서 나온 경우, 그리고 그래픽 매트로이드(matroid)는 오일러 그래프에서 나온 경우, 그리고 오일러 그래프에서 나온 경우에만 해당된다.그래픽 매트로이드 내에서(그리고 더 일반적으로 2진 매트로이드 내에서) 이 두 가지 등급은 이중이다. 그래픽 매트로드는 이중 매트로이드의 경우 및 이중 매트로드가 오일러인 경우에만 초당적이고, 그래픽 매트로드는 이중 매트로이드의 경우 오일러적이다.^[13]

그래픽 매트로이드는 1차원 강성 매트로이드로, 만나는 정점에서 자유롭게 회전할 수 있는 강성 보 구조물의 자유도를 설명하는 매트로이드다.한 차원에서는 그러한 구조가 연결된 요소의 수(정점 수를 매트로이드 순위를 뺀 정점 수)와 동일한 자유도를 가지며, 더 높은 차원에서는 정점이 있는 d차원 구조의 자유도가 dn에서 매트로이드 순위를 뺀다.2차원 경성 매트로이드에서 라만 그래프는 가로수를 스패닝하는 역할을 하지만, 2차원 이상의 경성 매트로이드의 구조는 잘 이해되지 않는다.^[14]

참조