프리지오메트리(모델 이론)

프리지오메트리(pregeometry)와 완전 결합 프리지오메트리(full concinatorial pregeometry)는 본질적으로 "matroid"의 동의어다.그들은 지안 카를로 로타에 의해 덜 "불충분하게" 대체 용어를 제공하려는 의도로 도입되었다.또한 조합 기하학이라는 용어는 기하학으로 축약되기도 하며 "단순 매트로이드"를 대체하기 위한 것이었다.이 용어들은 이제 모성애 연구에 자주 사용되지 않는다.

모델 이론이라 불리는 수학 논리의 분지에서는 "프리지오메트리"(그리고 단순한 매트로이드라면 "지오메트리")라고 불리는 무한정 미세한 매트로이드들이 독립현상에 대한 논의에 사용된다.

선형대수의 많은 기본 개념들 - 폐쇄, 독립성, 아공간, 기초, 치수 -이 추상 기하학의 틀에 보존되어 있는 것으로 밝혀졌다.

프리지오메트리, 기하학, 추상 폐쇄 연산자가 1차 모델의 구조에 어떤 영향을 미치는지에 대한 연구를 기하학적 안정성 이론이라고 한다.

정의들

프리지오메트리 및 기하학

A combinatorial pregeometry (also known as a finitary matroid), is a second-order structure: ${\displaystyle (X,{\text{cl}})}$, where ${\displaystyle {\text{cl}}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$ (called the closure map) satisfies the following axioms.모든 $a{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle a,b\in$ X$}$ 및$$ $A{\displaystyle }$, B${\displaystyle }$, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B,C\subseteq$ X$}$에 대해$:$

1. ${\displaystyle {\text{cl}}:({\mathcal {P}}(X),\subseteq )\to ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$ is a homomorphism in the category of partial orders (monotone increasing), and dominates ${\displaystyle {\text{id}}}$ (I.e. ${\displaystyle A\subseteq B}$ implies ${\displaystyle A\subseteq \text{cl}}$${\displaystyle (A}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \text{cl}}$(${\displaystyle B}$) ${\displaystyle A\subseteq {\text{cl}(A)\subseteq {\text{cl}(B)}$ .)$$이며 idempotent이다.
2. 유한 문자:$각{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{cl}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle a\in {\text{cl}(A)}$에 $대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{cl}}$ ${\displaystyle (F}$ ) ${\$$displaystyle F\subseteq A}$이(가) 있고$$∈ cl (F$)$ {\$displaystystystyle a\in {\cl}.$
3. 교환 원칙:If ${\displaystyle b\in {\text{cl}}(C\cup \{a\})\smallsetminus {\text{cl}}(C)}$, then ${\displaystyle a\in {\text{cl}}(C\cup \{b\})}$ (and hence by monotonicity and idempotence in fact ${\displaystyle a\in {\text{cl}}(C\cup \{b\})\smalls$$etminus {\text{cl}(C)}$ $$.

기하학이란 단골격의 폐쇄가 단골격이고 빈 세트의 폐쇄가 빈 세트인 프리지오메트리를 말한다.

독립성, 기반 및 차원

Given sets ${\displaystyle A,B\subset S}$, ${\displaystyle A}$ is independent over ${\displaystyle B}$ if ${\displaystyle a\notin {\text{cl}}((A\setminus \{a\})\cup B)}$ for any ${\displaystyle a\in A}$.

A set ${\displaystyle A_{0}\subset A}$ is a basis for ${\displaystyle A}$ over ${\displaystyle B}$ if it is independent over ${\displaystyle B}$ and ${\displaystyle A\subset {\text{cl}}(A_{0}\cup B)}$.

프리지오메트리가 Steinitz 교환 특성을 만족하기 때문에 모든 베이스는 카디널리티가 동일하므로 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 $대한{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 치수를 ${\displaystyle {\text{딤}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle A{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\dim}_{B}$로 정의한다$$.$A= A_{0} }$에는 모호함이 없다.

${\displaystyle {\text{딤}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$=${\displaystyle {딤}_{}}$C = ${\displaystyle {딤}_{}}$ C = ${\displaystyle {딤}_{}}$ C${\displaystyle {}^{}}$ {\$diplaystyle$에 대해 $세트$가 $독립$되어 있으면$$ C$$ ${\displaystyle C}$에 대해 $독립$되어 있음$A{\displaystyle {}^{\text{'}\}}}$ $′$ {\$displaystyle$ $A$$'}$이(가) $A$의 $유한$ 부분 집합일 때마다$$^{[inconsistent]} A$\text{'}\}.$ 이 관계는 대칭이라는 점에 유의하십시오.

안정적인 이론에 대한 최소한의 집합에서 독립 관계는 독립성을 추구한다는 개념과 일치한다.

지오메트리 자동형성

A geometry automorphism of a geometry ${\displaystyle S}$ is a bijection ${\displaystyle \sigma :2^{S}\to 2^{S}}$ such that ${\displaystyle \sigma {\text{cl}}(X)={\text{cl}}(\sigma X)}$ for any ${\displaystyle X\subset S}$.

A pregeometry ${\displaystyle S}$ is said to be homogeneous if for any closed ${\displaystyle X\subset S}$ and any two elements ${\displaystyle a,b\in S\setminus X}$ there is an automorphism of ${\displaystyle S}$ which maps ${\displaystyle a}$ to ${\displaystyle b}$ and fixes ${\displaystyle X}$$포인트$ 세로로$.$

연관된 지오메트리 및 위치 지정

프리지오메트리$({\displaystyle S}$, ${\displaystyle \text{cl}}$) ${\displaystyle(S,{\text{$$cl$$}})$에 해당하는 관련$$ 기하학(때로는 문헌에서 표준 기하학으로 언급)이 기하학$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, ${\displaystyle {\text{cl}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystystyle(S',{\text}}}).$ 여기서

1. $S$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle \text{cl}}$ (${\displaystyle a}$ ) ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle S\text{cl}}$ cl ${\displaystyle (\mathrm{\varnothing }}$ )$}$ {\$displaystyle$ S$'=\{\text{$cl$}(a$)\$mid a\in$S\$setminus {\cl}(\emptyeset )\}$및
2. For any ${\displaystyle X\subset S}$, ${\displaystyle {\text{cl}}'(\{{\text{cl}}(a)\mid a\in X\})=\{{\text{cl}}(b)\mid b\in {\text{cl}}(X)\}}$

균질 전측정의 연관된 기하학이 동질적이라는 것을 쉽게 알 수 있다.

Given ${\displaystyle A\subset S}$ the localization of ${\displaystyle S}$ is the geometry ${\displaystyle (S,{\text{cl}}_{A})}$ where ${\displaystyle {\text{cl}}_{A}(X)={\text{cl}}(X\cup A)}$.

프리지오메트리 유형

Let${\displaystyle }$(${\displaystyle \text{S}}$ ,${\displaystyle }$cl$$) {\$displaystyle$ (S$,{\text{$cl$}}}}$이$({\displaystyle }$가) 사전 측정이 되면 다음과 같이 한다.

• ${\displaystyle \text{cl}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \bigcup \{\mathrm{cl}}$ (${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle {\text{cl}(X)=\bigcup \{\text{cl}(a)\mid a\in$ X$\backslash \}\}$인 경우 사소한(또는 퇴보).
• modular if any two closed finite dimensional sets ${\displaystyle X,Y\subset S}$ satisfy the equation ${\displaystyle {\text{dim}}(X\cup Y)={\text{dim}}(X)+{\text{dim}}(Y)-{\text{dim}}(X\cap Y)}$ (or equivalently that ${\displaystyle X}$ is independent of $$${\displaystyle }$${\displaystyle X}$의${\displaystyle }$Y {\$displaystyle$ $X\cap$ Y$}$ 위에$$ ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ Y ${\$$displaystyle$ $Y$$}$
• 로컬 모듈형인 싱글톤에서 로컬리제이션이 있는 경우 모듈형식 모듈형.
• (iii) 비 멀티캐스트 및 (iiii) 모듈형인 경우 투영성.
• 유한 집합의 폐쇄가 유한한 경우 국소적으로 유한하다.

사소함, 모듈성 및 국소 모듈성은 관련 기하학적 구조로 전달되며 국산화 시 보존된다.

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) $로컬{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{모듈식}}$ 동종 사전 측정이고 ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle \text{cl}}$ ${\displaystyle \varnothing \mathrm{}}$ ${\displaystyle a\in S\setminus {\text{cl}\emptyset }}$인 경우, $b{\displaystyle }${\$displaystytle b$}에서 S ${\displaysty S}$의 국산화 방법이 모듈화된다$$.

The geometry ${\displaystyle S}$ is modular if and only if whenever ${\displaystyle a,b\in S}$, ${\displaystyle A\subset S}$, ${\displaystyle {\text{dim}}\{a,b\}=2}$ and ${\displaystyle {\text{dim}}_{$$A}\{a,b\}}\leq 1$$}$ 그$$${\displaystyle }$다음 (${\displaystyle \text{cl}}$ $a$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \text{cl}}$(${\displaystyle A}$)${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle \text{cl}}$ ${\displaystyle \mathrm{\ne }}$ ≠ { { { { { { { { { { ${$ {{\$text${cl$}\cl}\cl}cap$\cl}\set$\neq$

예

사소한 예

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 설정된 경우 ${\displaystyle \text{cl}}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{cl}(A)=$를 정의할 수 있다.$A$ 이 프리지오메트리는 작고 동질적이며 국소적으로 유한한 기하학이다.

벡터 공간 및 투영 공간

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$을(를) 필드(분할 링 실제면 충분)로$$ $하고{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle$$$V}을(를) F$${\$displaystyle F}$에 $대한{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \$$cappa$ $}$ -차원$$ 벡터 공간인 경우, $V{\displaystyle }$ ${\$displaystytremetrices}은 세트의 닫힘으로 정의되는 사전 측정법이다$.$

이 프리지오메트리는 동질적이고 모듈적이다.벡터 공간은 모듈화의 원형적인 예로 간주된다.

${\displaystyle }$$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) F ${\displaystyle F}$이(가) 유한한 경우에만 로컬로 유한하다$$.

${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$은(는) 지오메트리가 아니며$$, 비특수 벡터의 닫힘은 최소 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$ 크기의 하위 공간이기 때문이다$.$

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 대한 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$차원$$ 벡터 공간의 연관된 기하학적 구조는$$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 대한${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle }$- 1${\displaystyle (\kappa$ -1$)차원$ 투영 공간이다$.$ 이 사전측정법이 투영적 기하학이라는 것을 쉽게 알 수 있다.

아핀 공간

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) $필드{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$ 위에 있는 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$차원$$ 부착 공간으로 두십시오$.$ 집합에 따라 닫힘은 부착된 선체(즉, V를 포함하는 가장 작은 부착된 하위 공간)로 정의하십시오.

이것은 동질$({\displaystyle }$ ${\displaystyle (+1}$) ${\displaystyle(\kappa +1)}$ -차원$$ 형상을 형성한다.

부속 공간은 모듈식이 아니다($예{\displaystyle }$: $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$및 Y ${\displaystyle Y}$이(가) 평행선이면$$ 모듈성 정의의 공식은 실패한다.그러나 모든 지역화가 모듈화인지 쉽게 확인할 수 있다.

대수적으로 닫힌 장

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$을(를) ${\displaystyle \text{tr.deg}(k}$ ${\displaystyle )\Omega }$ ${\displaystyle {\text{deg}($k)\$geq$\omega$}}$과$($와)로 대수적으로 닫힌 필드가 되게 하고 집합의 폐쇄를 대수적 폐쇄로 정의한다.

벡터 공간은 모듈형이고 부속 공간은 "거의" 모듈형(즉, 국소 모듈형)이지만, 대수적으로 닫힌 장은 국소 모듈형도 아닌 다른 극단의 예다.

참조

H.H.소포와 G.C.로타(1970), 결합 이론의 기초: 결합 기하학.Combinatorial 이론: Combinatorial Geometries.M.I.T. 프레스, 캠브리지, 미사

필레이, 아난드(1996), 기하학적 안정성 이론.옥스퍼드 로직 가이드.옥스퍼드 대학 출판부