서명 그래프

Signed graph
삼각형의 측면에 표지를 붙일 수 있는 방법은 8가지다.프리츠 하이더의 이론에 따르면, 홀수의 부정적인 기호는 불균형한 삼각형을 만든다.

수학에서 그래프 이론의 영역에서 부호화된 그래프는 각 가장자리에 양 또는 음의 기호가 있는 그래프를 의미한다.

서명된 그래프는 주기마다 에지 부호의 산물이 양수이면 균형을 이룬다.서명된 그래프에 대한 세 가지 기본적인 질문은 다음과 같다.균형이 맞나?균형 잡힌 가장자리 세트의 가장 큰 크기는?균형을 맞추기 위해 삭제해야 하는 정점의 가장 작은 수는?첫 번째 문제는 빨리 풀 수 있고, 두 번째와 세 번째 문제는 계산적으로 난해하다(기술적으로 그들은 NP-hard이다).[citation needed]

"서명 그래프"라는 이름과 균형이라는 개념은 1953년 프랭크 하라리의 수학적 논문에 처음 등장했다.[1]데네스 케이닉은 이미 1936년에 다른 용어로 등가 개념에 대해 연구했지만 수화 그룹의 관련성을 인식하지 못했다.[2]미시건 대학의 그룹 다이나믹스 센터에서는 도윈 카트라이트(Dorwin Cartwright)와 하라리(Harary) 하이더의 심리학 이론이 사인 그래프의 균형 심리학 이론에 대한 삼각형 정서의 균형 이론을 일반화했다.[3][4]

서명된 그래프는 연관성이 없는 많은 영역에서 자연스럽게 나오기 때문에 여러 번 재발견되었다.[5]예를 들어, 고전적인 뿌리 시스템의 하위 집합의 기하학을 설명하고 분석할 수 있다.위상 그래프 이론과 그룹 이론에 나타난다.그것들은 그래프의 홀수와 짝수 주기에 대한 질문들에 대한 자연스러운 맥락이다.비자성 이싱 모델에서 지상 에너지 계산에 사용된다. 이를 위해서는 σ에 설정된 가장 큰 균형 잡힌 가장자리를 찾아야 한다.그것들은 상관 군집화에서 데이터 분류에 적용되었다.

예

  • 루프(±K)로no 표시된 루프가 있는 n 정점에 서명된 전체 그래프는 음의 루프를 포함한 모든 양과 음의 에지를 가지고 있지만 양의 루프는 없다.그것의 가장자리는 루트 시스템 C의n 뿌리에 해당한다; 발생 행렬의 가장자리 열(아래 참조)은 뿌리를 나타내는 벡터다.
  • 반 에지(±Kn')가 있는 전체 서명 그래프는 모든 꼭지점에 반 에지가 있는 ±K이다n.그것의 가장자리는 루트 시스템 B의n 뿌리에 해당하며, 단위 기준 벡터에 해당하는 반 에지이다.
  • 전체 서명 링크 그래프인 ±K는n 같으나 루프가 없다.그것의 가장자리는 뿌리 시스템 D의n 뿌리에 해당한다.
  • 모든 양의 부호 그래프는 양의 가장자리만 가지고 있다.기초 그래프가 G일 경우, +G로 전체 양성 서명이 작성된다.
  • 모두 음의 부호화된 그래프에는 음의 가장자리만 있다.원은 길이가 짝수인 경우에만 양수이기 때문에 양수인 경우에만 균형을 이룬다.기초 그래프 G를 포함한 전체 음의 그래프가 -G로 작성된다.
  • 서명된 전체 그래프는 기초 그래프 G로 일반적인 전체 그래프 K를n 가지고 있다.그것은 어떤 징후가 있을지도 모른다.서명된 전체 그래프는 유한집단 이론에서 가치가 있는 2-그래프와 동등하다.2-그래프는 서명된 전체 그래프에서 음의 삼각형(음의 가장자리 홀수)의 정점 집합의 클래스로 정의할 수 있다.

인접 행렬

n 정점에 있는 기호 그래프 σ의 인접 행렬은 n × n 행렬 A(Aσ)이다.각 꼭지점에 대한 행과 열이 있다.v 행과 w 열의 항목 a는vw 양의 vw 에지 수를 뺀 값이며 음의 vw 에지 수입니다.대각선 상에서, 루프나 반 에지가 없는 경우 avv = 0; 그러한 에지가 존재할 때의 정확한 정의는 상황에 따라 달라진다.

오리엔테이션

서명된 그래프는 각 가장자리의 각 끝에 방향이 주어질 때 방향을 지정하여 양 끝에서 양 끝점으로 향하게 하고, 음 끝에서 양 끝은 정점으로부터 바깥쪽으로 향하게 하거나 정점으로부터 바깥쪽으로 향하게 하거나, 둘 다 안쪽으로 향하게 한다.따라서 방향 서명된 그래프는 양방향으로 표시된 그래프와 같다. (서명된 디그래프와는 매우 다르다.)

발생 행렬

n 정점과 m 가장자리가 있는 부호 그래프의 발생 행렬은 n × m 행렬이며, 각 꼭지점에 행이 있고 각 가장자리에 열이 있다.어떤 방법으로든 서명된 그래프의 방향을 정하여 얻는다.에지 j가 정점 i를 향하면 +1ij, 에지 j가 정점 i를 향하면 -1, 정점 i와 에지 j가 인시던트하지 않으면 0이 된다.이 규칙은 절대값 1을 가진 두 개의 0이 아닌 항목, 반 에지, 단일 0이 아닌 항목 +1 또는 -1을 가진 열, 0만 있는 느슨한 가장자리가 있는 링크에 적용된다.그러나 루프가 양이면 루프의 열은 모두 0이고, 루프가 음이면 사건 정점에 해당하는 행에 ±2의 엔트리가 있다.

두 가지 발생 행렬은 열의 일부 하위 집합을 무효화함으로써 연관된다.따라서 대부분의 목적에서 발생 행렬을 정의하기 위해 사용하는 방향에는 차이가 없으며, 정확히 어떤 방향인지 걱정하지 않고 without의 발생 행렬에 대해 말할 수 있다.

발생 행렬의 행을 부정하는 것은 해당 정점을 전환하는 것과 일치한다.

전환

σ에서 정점을 바꾼다는 것은 그 정점에 입사하는 모든 가장자리의 기호를 부정하는 것을 의미한다.정점 집합의 전환은 해당 집합에 하나의 끝과 보완 집합에 하나의 끝이 있는 모든 가장자리를 부정하는 것을 의미한다.정점 시리즈를 각각 한 번씩 전환하는 것은 한 번에 전체 세트를 전환하는 것과 같다.

서명된 그래프(서명된 전환)의 스위칭은, 서명된 전체 그래프의 스위칭에 준하는 방식으로, 그래프(그래프 전환)에 적용되었던 세이델(1976년)부터 일반화된다.

스위칭 동등성은 두 개의 그래프가 스위칭에 의해 연관되어 있다는 것을 의미하며, 스위칭 중에 서명된 그래프의 동등성 클래스를 스위칭 클래스라고 한다.때때로 이러한 용어들은 스위칭과 이형성의 조합에 따라 수화된 그래프의 등가성에 적용되기도 한다. 특히 그래프의 라벨이 없는 경우, 그러나 두 개념을 구별하기 위해 결합 등가성은 스위칭 이형성과 스위칭 이형성 하의 동등성 등급을 스위칭 이형성이라고 할 수 있다.계급의

정점 집합의 스위칭은 스위칭 정점의 행과 열을 부정함으로써 인접 행렬에 영향을 미친다.그것은 전환 정점의 행을 부정함으로써 발생 행렬에 영향을 미친다.

기본 정리

길의 기호는 가장자리의 기호의 산물이다.따라서 경로는 음의 가장자리 수가 짝수일 때만 양수(0은 짝수)이다.프랭크 하라리의 수학적 균형 이론에서 서명된 그래프는 모든 사이클이 양수일 때 균형을 이룬다.그는 (1) 각 노드 쌍에 대해, (1) 그 사이의 모든 경로가 동일한 기호를 가질 때 또는 (2) 그래프 파티션을 각각 양의 가장자리로 구성되지만 음의 가장자리로 연결될 때 서명된 그래프가 균형을 이룬다는 것을 증명한다.[6]이 정리는 1953년 하라리에 의해 출판되었다.[1]일반(부호화되지 않은) 그래프는 모든 사이클이 일정한 길이를 갖는 경우에만 초당적이라는 정리를 일반화한다.

간단한 증명은 전환 방법을 사용한다.하라리의 정리를 증명하기 위해, Ⅱ가 균형을 이루어야만 모두 양성으로 전환될 수 있다는 것을 유도에 의해 보여준다.

더 약한 정리, 그러나 더 간단한 증거로, 서명된 완전한 그래프의 모든 3 사이클이 양수라면, 그래프는 균형을 이룬다는 것이다.증거를 위해 임의 노드 n을 선택하고 이 노드와 n에 연결된 모든 노드를 A라고 하는 한 그룹에 배치하고, 다른 그룹에서는 n에 연결된 모든 노드를 B라고 한다.이것은 완전한 그래프이기 때문에, A의 모든 두 노드는 친구여야 하고 B의 모든 두 노드는 친구여야 하며, 그렇지 않으면 불균형한 3 사이클이 있을 것이다.(완전한 그래프이기 때문에 하나의 음 에지는 불균형적인 3 사이클을 유발할 수 있다.)마찬가지로 모든 음의 가장자리는 두 그룹 사이에 있어야 한다.[7]

좌절

각 꼭지점에 +1 또는 -1의 값을 주어라. 우리는 이것을 σ의 상태라고 부른다.가장자리는 양수이고 양쪽 끝점의 값이 같거나 음수이고 끝점의 값이 반대이면 만족이라고 한다.만족하지 못하는 가장자리를 좌절이라고 한다.모든 주에 걸쳐 좌절된 가장자리 수가 가장 적은 것을 Ⅱ의 좌절지수(또는 균형선 지수)라고 한다.좌절 지수를 찾는 것은 NP-hard 문제다.아레프 등은 합리적인 시간에 최대 10개의5 에지를 가진 그래프의 좌절지수를 계산할 수 있는 바이너리 프로그래밍 모델을 제안한다.[8][9][10] NP-hard 복잡성을 알 수 있는 것은 모두 음의 부호화된 그래프의 좌절 지수가 그래프 이론의 최대 컷 문제인 NP-hard와 동등하다는 것이다.등가성의 이유는 불만족 지수가 부정(또는 동등하게, 삭제; 하라리의 정리)이 Ⅱ를 균형 있게 만드는 가장자리 수 중 가장 작은 숫자와 같기 때문이다.(이는 전환으로 쉽게 증명할 수 있다.)

스피닝 안경 모델인 혼성 아이싱 모델에서는 좌절지수가 중요하다.이 모델에서는 부호화된 그래프가 고정되어 있다.상태는 각 꼭지점에 "위" 또는 "아래" 중 하나의 "spin"을 주는 것으로 구성된다.우리는 스핀 업을 +1로 생각하고 스핀 다운을 -1로 생각한다.따라서 각 주는 여러 좌절된 가장자리를 가지고 있다.국가의 에너지는 좌절된 가장자리를 더 가질 때 더 크기 때문에 지상국은 좌절된 에너지가 가장 적은 상태를 말한다.따라서 Ⅱ의 지상주 에너지를 찾기 위해서는 좌절지수를 찾아야 한다.

마트로이드 이론

서명된 그래프와 연관된 두 개의 매트로이드(프레임 매트로이드 또는 때로는 바이어스 매트로이드라고도 함)와 리프트 매트로이드로 불리는 두 개의 매트로이드들이 있는데, 둘 다 그래프의 사이클 매트로이드로드를 일반화한다.그것들은 편향된 그래프의 동일한 모형의 특별한 경우들이다.

프레임 매트로이드(또는 서명 그래픽 매트로이드) M(G)은 접지 세트 에지 세트 E를 가지고 있다.[11]엣지 집합은 각 성분에 원들이 없거나 단 하나의 원만 포함하는 경우에 독립적이며, 이는 음이다. (매트로이드 이론에서 엣지 반쪽은 음의 루프와 똑같이 작용한다.)매트로이드의 회로는 양극 원 또는 연결 단순 경로와 함께 음극 원 쌍 중 하나로서, 두 원이 분리되거나(그러면 연결 경로가 각 원과 한 쪽 끝을 가지고 있고 다른 경우 둘 다에서 분리된다) 또는 하나의 공통 꼭지점만 공유한다(이 경우 연결 경로는 th이다).단일 꼭지점에.에지 집합 S의 순위는 n - b이며, 여기서 n은 G의 정점 수, b는 S의 균형 성분 수로서 분리된 정점을 균형 성분으로 계산한다.이 행렬은 서명된 그래프의 발생 행렬의 열 행렬이다.그렇기 때문에 고전적인 뿌리 시스템의 뿌리에 대한 선형 의존성을 기술한다.

연장 리프트 매트로이드 L0(G)은 지면에 대해0 E 세트 세트와 추가 지점이 있는 E 에지 세트 조합이 있으며, 이 조합은0 우리가 e를 나타낸다.리프트 매트로이드 L(G)은 E로 제한된 연장 리프트 매트로이드다.여분의 점은 정확히 음의 루프처럼 작용하기 때문에 우리는 리프트 매트로이드만을 설명한다.에지 집합은 원이나 원 하나를 포함하지 않거나 음수인 원만 포함하면 독립적이다. (이는 서명된 그래픽 매트로이드의 각 구성요소에 별도로 적용되는 규칙과 동일하다.)매트로이드 회로는 양극 원 또는 음극 원 쌍 중 하나로 분리되거나 단지 공통 정점만을 가지고 있다.에지 집합 S의 순위는 n - c + ε이며, 여기서 c는 S의 성분의 수로서 고립된 정점을 세고, S가 균형을 이루면 ε이 0이고, 그렇지 않으면 1이다.

기타 종류의 "서명 그래프"

때때로 기호는 +1과 -1로 간주된다.이것은 단지 표기법의 차이에 지나지 않는데, 만약 기호가 여전히 원을 중심으로 곱해지고 제품의 기호가 중요한 것이라면 말이다.그러나 서명된 그래프 이론에 맞지 않는 가장자리 레이블을 처리하는 방법에는 두 가지가 있다.

서명된 그래프라는 용어는 w(e) = +1 또는 -1인 각 에지가 가중치를 갖는 그래프에 가끔 적용된다.이것들은 부호화된 그래프와 같은 종류가 아니다; 그것들은 제한된 무게 집합을 가진 가중 그래프들이다.차이점은 가중치를 더하는 것이지 곱하는 것이 아니라는 것이다.문제와 방법은 완전히 다르다.

이 이름은 기호가 가장자리의 색으로 기능하는 그래프에도 적용된다.색의 의미는 가장자리에 적용되는 다양한 가중치를 결정한다는 데 있으며, 그 기호가 본질적으로 유의하다는 것은 아니다.이 부호의 유일한 의의는 2소조에 의해 상호교체가 가능하다는 점이지만 양과 음의 본질적인 차이는 없는 매듭 이론에서 그렇다.기호 색상 그래프의 매트로드는 기본 그래프의 주기 매트로이드로, 서명된 그래프의 프레임이나 리프트 매트로드가 아니다.기호 라벨은 매트로이드를 변경하는 대신 매트로이드 원소의 기호가 된다.

이 글에서는 엄밀한 의미에서 서명된 그래프 이론만을 논한다.기호 색상 그래프는 색상이 있는 매트로이드를 참조하십시오.

서명된 디그라프

서명된 digraph는 서명된 호가 있는 지시된 그래프다.서명된 디그래프는 서명된 그래프보다 훨씬 더 복잡하다. 왜냐하면 지시된 주기의 징후만 유의하기 때문이다.예를 들어, 서명되지 않은 그래프의 상황과 강하게 대조되는, 균형에 대한 여러 정의가 있는데, 각 정의는 특성화하기 어렵다.

서명된 디그그램은 방향 서명된 그래프와 혼동해서는 안 된다.후자는 지시된 그래프가 아닌 양방향 그래프(모든 양성의 사소한 경우 제외)이다.

정점 기호

정점 서명 그래프는 표시 그래프라고도 하며 정점이 기호로 지정된 그래프다.원을 일관성(그러나 이것은 논리적 일관성과는 무관하다)이라고 부르거나, 정점 부호의 산물이 양이면 조화롭게, 제품이 음수이면 일관성이 없거나 불협화음인 경우 조화롭게 부른다.하라리의 균형 정리와 유사한 조화로운 정점 서명 그래프의 단순한 특성화는 없다. 대신, 특성화는 조글레카르, 샤, 디완(2012년)에 의해 가장 잘 해결되는 어려운 문제였다.[12]

큰 변화 없이 정점 기호의 이론에 가장자리 기호를 추가하는 것이 종종 쉬우므로, 정점 서명 그래프(또는 "표시된 서명 그래프")에 대한 많은 결과는 자연스럽게 정점 및 가장자리 서명 그래프까지 확장된다.조글레카르, 샤, 디완(2012년)의 조글레카르, 샤, 디완의 조화의 특성화에 특히 그렇다.

표시된 서명 그래프와 상태 함수가 있는 서명 그래프(§ Cuspression에서와 같이)의 차이는 전자의 정점 부호는 필수 구조의 일부인 반면, 상태 함수는 서명된 그래프에 가변 함수라는 것이다.

"표시 그래프"라는 용어는 전혀 다른 의미로 페트리 네트에서 널리 사용되고 있다는 점에 유의하십시오. 표시 그래프에 있는 기사를 참조하십시오.

컬러링

서명되지 않은 그래프와 마찬가지로, 서명된 그래프 색상의 개념이 있다.그래프의 색상이 설정된 정점에서 자연 숫자로 매핑된 경우, 서명된 그래프의 색상은 정수로 설정된 정점에서 정수로 매핑된 것이다.적절한 색상에 대한 제약조건은 서명된 그래프의 가장자리로부터 온다.두 꼭지점에 할당된 정수는 양 가장자리로 연결된 경우 구별되어야 한다.정점이 음 에지로 연결된 경우 인접 정점의 라벨은 정점이 더해져서는 안 된다.양수 루프를 가진 서명된 그래프의 적절한 색상은 있을 수 없다.

정점 레이블을 최대 자연수 k의 크기를 가진 정수 집합으로 제한할 때 서명된 그래프의 적절한 색상 집합은 유한하다.그러한 적절한 색상의 수와 k의 관계는 k 단위의 다항식이다.이것은 서명되지 않은 그래프의 색다형 다항식과 유사하다.

적용들

사회심리학

사회심리학에서 서명된 그래프는 사회적 상황을 모형화하는 데 사용되어 왔는데, 긍정적인 에지는 우정을 나타내고, 부정적인 에지는 사람을 나타내는 노드 사이의 대립을 가지고 있다.[3]그렇다면, 예를 들어, 긍정적인 3주기는 상호 친구 3명 또는 공통의 적을 가진 두 명의 친구인 반면, 부정적인 3주기는 상호 적 3명 또는 상호 친구를 공유하는 두 명의 적이다.균형 이론에 따르면, 양의 순환은 균형을 이루고 안정된 사회 상황이 되어야 하는 반면, 부정적인 순환은 불균형하며 불안정해야 한다.이론에 따르면, 세 명의 상호 적인 경우, 공동의 적을 공유하는 것이 적들 중 두 명을 친구가 되게 할 가능성이 높기 때문이다.두 명의 적이 친구를 공유하는 경우, 공유된 친구는 다른 친구보다 하나를 선택하고 그 중 하나를 적으로 만들 가능성이 있다.

Antal, Krapivsky, Reder는 사회 역학을 서명된 그래프 가장자리의 기호의 변화로 간주한다.[13]이혼 부부의 이전 친구들과의 사회적 관계는 사회에서 서명된 그래프의 진화를 보여주는 데 사용된다.또 다른 예시는 1차 세계 대전 전 수십 년 동안 유럽 강대국들 간의 국제 동맹이 변화하고 있음을 묘사하고 있다.그들은 국부적 삼합체 역학 및 제한된 삼합체 역학을 고려한다. 후자의 경우 불균형 삼합체 수가 감소할 때만 관계가 변화한다.시뮬레이션에서는 변형을 위해 무작위적으로 선택한 불균형 3중첩이 있는 랜덤 관계가 있는 전체 그래프를 추정했다.이 프로세스에서 N개 노드로 서명된 그래프의 진화는 우호적 링크의 고정밀도를 설명하기 위해 연구되고 시뮬레이션된다.

균형 이론은 특히 큰 시스템에 대한 그것의 적용에서, 우호적인 관계는 사회를 하나로 묶는 반면, 두 개의 적 진영으로 나뉘어진 사회는 매우 불안정할 것이라는 이론적 근거에 있어서 심각한 도전을 받아왔다.[14]실험 연구도 구조 균형 이론의 예측에 대한 약한 확인만을 제공했다.[15]

스핀글라스

물리학에서 부호화된 그래프는 일반적인 비철자기적 이싱 모델에 자연스러운 맥락으로, 스핀글라스 연구에 적용되고 있다.

복잡한 시스템

간단한 영양 시스템을 나타내는 3변수의 사인 디그그래프

처음에는 인구 생물학과 생태학에서 개발되었지만, 지금은 많은 과학 분야에서 사용되고 있는 분석 방법을 사용하여, 서명된 디그람들은 복잡한 인과 계통의 행동에 대한 추론에서 응용을 발견했다.[16][17]그러한 분석은 시스템의 주어진 수준에서 피드백에 관한 질문, 그리고 하나 이상의 지점에서 시스템에 대한 동요가 주어지는 가변 응답의 방향, 그러한 동요가 주어지는 가변 상관관계, 시스템 전체에 걸친 분산, 그리고 특정 변수의 민감도 또는 불감증에 관한 질문에 대답한다.난동

데이터 클러스터링

상관 군집화는 유사성에 의한 데이터의 자연 군집화를 찾는다.데이터 점은 그래프의 정점으로 표시되며, 양 에지는 유사한 항목을 결합하고 음 에지는 서로 다른 항목을 결합한다.

신경과학

뇌는 뇌 영역의 활동 패턴 간 동기화와 반동기화가 양과 음의 가장자리를 결정하는 사인 그래프로 간주할 수 있다.이런 점에서 뇌 네트워크의 안정성과 에너지를 탐구할 수 있다.[18]

일반화

서명된 그래프는 게인 그룹이 순서 2를 갖는 특별한 종류의 게인 그래프다.서명된 그래프 σ에 의해 결정되는 쌍(G, B(())은 특별한 종류의 편향 그래프다.

메모들

  1. ^ a b Harary, Frank (1955), "On the notion of balance of a signed graph", Michigan Mathematical Journal, 2: 143–146, MR 0067468, archived from the original on 2013-04-15
  2. ^ Kőnig, Dénes (1936), Akademische Verlagsgesellschaft (ed.), Theorie der endlichen und unendlichen Graphen
  3. ^ a b Cartwright, D.; Harary, Frank (1956). "Structural balance: a generalization of Heider's theory" (PDF). Psychological Review. 63 (5): 277–293. doi:10.1037/h0046049. PMID 13359597.
  4. ^ 스티븐 스트로가츠(2010) 나의 적 뉴욕타임스, 2010년 2월 14일
  5. ^ Zaslavsky, Thomas (1998), "A mathematical bibliography of signed and gain graphs and allied areas", Electronic Journal of Combinatorics, 5, Dynamic Surveys 8, 124 pp., MR 1744869.
  6. ^ Dorwin Cartwright & Frank Harary(1979) "균형과 군집성:개요", 25~50페이지의 소셜 네트워크 연구, 편집자: Paul W.홀랜드 & 새뮤얼 레인하트, ISBN 0-12-352550-0
  7. ^ 웹 강의 3페이지 28의 루이스 본 안 과학
  8. ^ Aref, Samin; Mason, Andrew J.; Wilson, Mark C. (2019). "A Modelling and Computational Study of the Frustration Index in Signed Networks". arXiv:1611.09030 [cs.SI].
  9. ^ Aref, Samin; Mason, Andrew J.; Wilson, Mark C. (2018), Goldengorin, Boris (ed.), "Computing the Line Index of Balance Using Integer Programming Optimisation", Optimization Problems in Graph Theory: In Honor of Gregory Z. Gutin's 60th Birthday, Springer Optimization and Its Applications, Springer International Publishing, pp. 65–84, arXiv:1710.09876, doi:10.1007/978-3-319-94830-0_3, ISBN 9783319948300, S2CID 27936778
  10. ^ Aref, Samin; Wilson, Mark C (2019-04-01). Estrada, Ernesto (ed.). "Balance and frustration in signed networks". Journal of Complex Networks. 7 (2): 163–189. arXiv:1712.04628. doi:10.1093/comnet/cny015. ISSN 2051-1329.
  11. ^ Zaslavsky, Thomas (1982), "Signed graphs", Discrete Applied Mathematics, 4 (1): 47–74, doi:10.1016/0166-218X(82)90033-6, hdl:10338.dmlcz/127957, MR 0676405. 에라타.이산응용수학, 5 (1983), 248
  12. ^ 마나스 조글레카르, 니사르크 샤, 아지트 A.Diwan(2012), "그래프 레이블이 지정된 균형 그룹", 이산 수학, vol. 312, no. 9, 페이지 1542–1549.
  13. ^ T. Antal, P.L. Krapivsky & S. Redner(2006) 네트워크 상의 사회적 균형: 우정과 적개심의 역학
  14. ^ B. Anderson, P.W. Holland와 S.의 사회 네트워크 연구에 대한 관점.레인하르트뉴욕: 1979년 아카데미 출판사
  15. ^ Morrissette, Julian O.; Jahnke, John C. (1967). "No relations and relations of strength zero in the theory of structural balance". Human Relations. 20 (2): 189–195. doi:10.1177/001872676702000207. S2CID 143210382.
  16. ^ 푸치아, 찰스 J, 레빈스, 리처드(1986년).복잡한 시스템의 정성적 모델링: 루프 분석 및 시간 평균화에 대한 소개.미국 캘리포니아 주 캠브리지의 하버드대 프레스
  17. ^ Dambacher, Jeffrey M.; Li, Hiram W.; Rossignol, Philippe A. (2002). "Relevance of community structure in assessing indeterminacy of ecological predictions". Ecology. 83 (5): 1372–1385. doi:10.1890/0012-9658(2002)083[1372:rocsia]2.0.co;2. JSTOR 3071950.
  18. ^ Saberi M, Khosrowabadi R, Khatibi A, Misic B, Jafari G (January 2021). "Topological impact of negative links on the stability of resting-state brain network". Scientific Reports. 11 (1): 2176. Bibcode:2021NatSR..11.2176S. doi:10.1038/s41598-021-81767-7. PMC 7838299. PMID 33500525.

참조