칸막이 매트로이드

수학에서 칸막이 매트로이드 또는 칸막이 매트로드는 균일한 매트로이드의 직접적인 합계인 매트로이드다.^[1]그것은 요소들이 다른 범주로 분할되는 베이스 세트에 걸쳐 정의된다.각 범주에 대해 용량 제약 조건 - 이 범주의 최대 허용 요소 수입니다.파티션 매트로이드의 독립 집합은 각 범주에 대해 이 범주의 요소 수가 최대 범주 용량인 집합이다.

형식 정의

C ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 분리형 집합("카테고리")의 집합으로 한다$$.$d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을(를) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle 0\leq d_{i}\leq C_{i}}}}("$용량")과(")의 정수로 한다$$.$모든$ 인덱스 $I{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle$ $i$$\},$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {Ci}_{}}$ ${\displaystyle \le {}_{}}$ d ${\displaystyle i_{}}$ {\$displaystyle$i}, I$∩$ Ci ≤ d ≤ d { d ${$ d $\cap C_{i} \leq d_{i}}}}$에 대해 "$독립적$"이 되도록$$ 하위 $집합$ 정의하십시오$.$이 조건을 만족하는 집합은 칸막이 매트로이드라고 하는 독립된 매트로이드 집합을 형성한다.

$C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 세트는 파티션 매트로이드의 범주 또는 블록이라고 한다$$.

파티션 매트로이드의 기본은 모든 블록 ${\displaystyle C_{}}$ i ${\$와의 교차점이 $정확히$ ${\displaystyle d_{}}$ i ${\$${i$$}}}$인 집합이다$.$ 매트로이드의 회로는 정확히 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d_{i}+1} 크기$의 단일$$ $블록{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 하위 집합이다$.$매트로이드의 등급은 $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$이다$.$^[2]

모든 균일한 매트로이드 U $n$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ U${}_{n}^{r}}}$은(는) $하나$의 블록 ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle$ $C_$${$$1}{$}=$r}$을(를) 갖는 칸막이 매트로이드($matroid{\displaystyle {}_{}}$)이며$,$ 각 칸막이 매트로이드(matroid)는 균일한 매트로이드의 집합의 직접 합이다.cks

일부 간행물에서는 파티션 매트로이드의 개념이 보다 제한적으로 정의되며, $모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{di}}$ =${\displaystyle {}_{}}$1 ${\displaystyle d_{i}=1$이 보다 제한적인 정의를 따르는 칸막이는 그들의 블록에 의해 주어지는 분리 집합의 패밀리의 횡단적 매트로이드들이다.^[3]

특성.

이들이 형성된 균일한 매트로이드와 마찬가지로 칸막이 매트로이드의 이중 매트로이드도 칸막이 매트로이드로, 칸막이 매트로이드의 모든 마이너도 칸막이 매트로이드로 되어 있다.또한 파티션 매트로이드의 직접 합계는 파티션 매트로이드들이다.

매칭

그래프의 최대 일치는 두 가장자리가 끝점을 공유하지 않는 조건에 따라 가능한 한 큰 가장자리 집합이다.초당적$({\displaystyle U}$, ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle(U,V)}$이$($가) 있는 초당적 그래프에서 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ U$}$에서 두 에지가 끝점을 공유하지 않는다는 조건을 만족하는 에지 집합은$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 꼭지당 블록이 하나씩 있고$$ 각 숫자 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 있는 파티션 매트의 독립 집합이다.$le d_{i}}$은(는) 1과 같다$$.$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 두 에지가 끝점을 공유하지 않는다는 조건을 만족하는 에지 집합은 두 번째 파티션 매트로이드의 독립된 집합이다$$.따라서, 초당적 최대 일치 문제는 이 두 가지 매트로이드의 매트로이드 교차로로 나타낼 수 있다.^[4]

보다 일반적으로 그래프의 매 홀수 사이클이 2도 이상 정점을 포함하는 삼각형인 경우에만 그래프의 일치를 두 개의 행렬의 교차점으로 나타낼 수 있다.^[5]

클라이크 콤플렉스

clique complex는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 완전한 하위 그래프를 유도하는$$ 그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 정점 집합이다$.$ clique complex는 $G{\displaystyle }$ ${\displaysty G}$이(가) 완전한 다중 사이트 그래프일 경우에만 매트로드를 형성하며, 이 경우 결과 매트로드는 파티션 매트로이드다.clique complex는 정확히 모든 ${\displaystyle {di}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d_{i}=1}$ 파티션 매트로이드 패밀리의 교차점으로 형성될 수 있는 세트 시스템이다$.$^[6]

열거

$n$= $,$,${\displaystyle 2}$,$$…에 대해 n ${\$$displaystyle$ $n}$ $레이블$이 붙은 요소 집합에 걸쳐 정의할 수 있는 고유한 파티션 $매트로이드$의 수는 $다음$과 같다$.$

1, 2, 5, 16, 62, 276, 1377, 7596, 45789, 298626, 2090910, ...(OEIS의 경우 시퀀스 A005387).

이 ${\displaystyle \mathrm{시퀀스}}$의 지수 생성 함수는 $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {exp}^{}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{e}}$ x${\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}}$1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$+ ${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle f(x)=\exp(e^{x}(x-1)+2x+$1)} 입니다$.$^[7]

참조