디리클레 평균

디리클레 평균은 디리클레 분포에 따른 함수의 평균이다.중요한 것은 일정한 논거 구조를 가진 디리클레 평균, 즉,

${\displaystyle F(\mathbf {b};\mathbf {z} )=\int f(\mathbf {u}\cdot \mathbf {z}\,d\mu _{b}(\mathbf {u}),}$

where ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {z} =\sum _{i}^{N}u_{i}\cdot z_{i}}$ and ${\displaystyle d\mu _{b}(\mathbf {u} )=u_{1}^{b_{1}-1}\cdots u_{N}^{b_{N}-1}d\mathbf {u} }$ is the Dirichlet measure with dimension N.그것들은 수학자 빌 C에 의해 소개되었다.70년대 칼슨은 이러한 유형의 평균화라는 단순한 개념이 많은 특수한 기능을 일반화하고 통합한다는 것을 알아차렸으며, 그 중에서도 일반화된 초지하학적 함수나 다양한 직교 다항식들:^[1]또한 타원형 적분(Carlson 대칭 형태 참조)의 해결에도 중요한 역할을 하며, 베이지안 분석과 같은 다양한 방법으로 통계적 적용에 연결된다.^[2]

주목할 만한 디리클레 평균

일부 디리클레 평균은 너무 근본적이어서 이름이 붙여진다.몇몇은 아래에 열거되어 있다.

R-기능

(Carlson) R-함수는 x ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ x$^{n}}$의 디리클레 평균이다$.$

${\displaystyle R_{n}(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )=\int(\mathbf {u}\cdot \mathbf {z}^{n}\d\mu _{b}(\mathbf {u} )}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$과(와) 함께$.$ ${\displaystyle {때때로}_{}}$ R n${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle b\mathbf{}}$, z${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ $R_$${n}(\$$mathbf$${b$$},\mathbf {z})$은$($ ${\displaystyle n}$; b${\displaystyle }$, z${\displaystyle }$)로 $표시되기$도 한다$.$

정확한 솔루션:

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$\n$\in \mathb {N}$의 경우 반복 합 형식으로^[3] 정확한 솔루션을 작성할 수 있다$$.

${\displaystyle R_{n}(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (b)}{\Gamma (b+n)}}\cdot D_{n}{\text{ with }}D_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{N}b_{i}\cdot z_{i}^{k}\right)\cdot D_{n-k}}$

여기서 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle D_{0}=1$ $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$은(는) $b{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ $또는$ z ${\$및$$ $b{\displaystyle }$ =$$ ${\displaystyle {}_{}}$ $i {\$=\$sum b_{i}$의 치수$.$

S-기능

(Carlson) S-기능은 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$ e$^{x}}$의 디리클레 평균이다$.$

${\displaystyle S(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )=\int \exp(\mathbf {u}\cdot \mathbf {z}\d\mu _{b}(\mathbf {u}).}$

참조