이소스펙트랄

Isospectral

수학에서 두 개의 선형 연산자를 동일한 스펙트럼을 가진 경우 이등분법 또는 코등분법이라고 한다.대략적으로 말하면, 그들은 동일한 고유값을 갖도록 되어 있는데, 그 값이 다중성으로 계산될 때 말이다.

이등분석 연산자의 이론은 공간이 유한한지 무한인지에 따라 현저하게 다르다.유한한 차원에서는 본질적으로 제곱 행렬을 다룬다.

무한 차원에서는 스펙트럼이 격리된 고유값으로만 구성될 필요는 없다.그러나 고유값이 최대 단일 한계점 λ = 0으로 카운트할 수 있기 때문에 힐버트 공간(또는 Banach 공간)의 소형 연산자의 경우는 여전히 추적 가능하다.무한대의 차원에서 가장 많이 연구된 이등분석은 R의2 한 영역에 있는 라플라스 연산자의 그것이다.만약 그들의 라플라시안이 이등시선이라면 두 개의 그러한 영역을 이등시선이라고 부른다.라플라크의 스펙트럼에서 도메인의 기하학적 특성을 유추하는 문제는 흔히 드럼의 모양을 듣는 것으로 알려져 있다.

유한 치수 공간

유한 차원 벡터 공간의 연산자의 경우, 복잡한 사각 행렬의 경우, 대각선이 가능한 두 행렬에 대해 이등분하는 관계가 단지 유사성일 뿐이다.그러나 복잡한 방법으로 매개변수 t에 따라 형상 A(t) = M(−1t)AM(t)의 등가망성 계열을 가질 수 있기 때문에 개념의 흥미가 완전히 줄어들지는 않는다.이것은 하나의 유사성 등급 안에서 일어나는 행렬의 진화다.

솔리톤 이론의 근본적인 통찰은 그 방정식의 극소수 아날로그 즉,

A ′ = [A, M] = AM − MA

솔리톤이 흩어지지 않도록 하는 책임을 지는 보존법의 배후에 있었다.즉, 스펙트럼의 보존은 보존 메커니즘의 해석이었다.Peter Lax에 의해 유사 방정식을 발생시키는 소위 Lax 쌍(P,L)의 식별은 선형 기계가 비선형 행동을 어떻게 설명할 수 있는지를 보여주었다.

이소스펙트럼 다지관

두 개의 폐쇄된 리만 다지관은 그들의 라플라스-벨트라미 연산자(라플라시안)의 고유값들이 일치할 경우 등심각이라고 한다.스펙트럼 기하학의 근본적인 문제 중 하나는 고유값이 주어진 다지관의 기하학을 어느 정도까지 결정하는지 물어보는 것이다.

등축이 아닌 이등분 다지관의 예는 많다.첫 번째 예는 1964년 존 밀너에 의해 제시되었다.그는 에른스트 비트(Ernst Witt)가 처음 연구한 산술 격자를 이용하여 16차원의 평평한 토리 한 쌍을 구성했다.이 예 이후 치수 2 이상에서 많은 등경 쌍이 구성되었다(예를 들어 M. F. Vignéras, A).이케다, H. 우라카와, C. 고든).In particular Vignéras (1980), based on the Selberg trace formula for PSL(2,R) and PSL(2,C), constructed examples of isospectral, non-isometric closed hyperbolic 2-manifolds and 3-manifolds as quotients of hyperbolic 2-space and 3-space by arithmetic subgroups, constructed using quaternion algebras associated with quadratic extensions of the ratio계급장 이론에 의한 [1]nals이 경우 셀버그의 추적 공식은 3차원 케이스에서 지오디컬을 따라 비틀림과 함께 각 자유 호모토피 클래스에서 닫힌 지오디컬의 길이 세트인 길이 스펙트럼을[citation needed] 완전히 결정한다는 것을 보여준다.[2]

1985년 스나다 도시카즈(Sunada)는 커버링 스페이스 기법에 근거한 일반적인 시공 방법을 발견하였는데, 이 방법은 원래 또는 특정 일반화된 버전에서 수나다식 또는 수나다식 건축으로 알려지게 되었다.이전의 방법과 마찬가지로 셀버그 제타 함수를 통해 추적 공식을 기반으로 한다.수나다는 같은 데데킨드 제타 기능으로 숫자 필드를 구성하는 방법이 콤팩트한 다지관에 적응할 수 있다는 점에 주목했다.그의 방법은 M이 Deck transformation의 유한군 G와 함께 콤팩트한 리만 매니폴드 M의0 유한 덮개이고 H1, H가2 동일한 수의 원소에서 G의 각 결합 등급을 충족하는 G의 하위군이라면, 다지관1 H \ M과2 M은 등각성이지만 반드시 등각성은 아니라는 사실에 의존한다.비록 이것이 밀노르와 비그네라스의[citation needed] 산술적인 예들을 다시 재현하지는 못하지만, 수나다의 방법은 등심 다지기의 알려진 예들을 많이 산출한다.그것이 C를 이끌었다.고든, D 웹과 S.Wolpert는 1991년 Mark Kac의 문제인 "북의 모양을 들을 수 있는가?"에 대한 반대 사례를 발견했다.수나다의 방법에 근거한 초등 치료는 후에 부서 외 연구진(1994)에서 이루어졌다.

수나다의 생각은 또한 그의 기술로 얻을 수 없는 이등신상적인 예를 찾으려는 시도를 자극했다.많은 예 중에서 가장 눈에 띄는 것은 슈에쓰(1999년)의 단순 연계 사례다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 맥클라클란 & 리드 2003
  2. ^ 이는 PSL(2,R) 또는 PSL(2,C)에서 해당 그룹 요소의 결합 등급에 대한 파악에 해당한다.

참조

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  • Brooks, Robert (1988), "Constructing Isospectral Manifolds", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 95 (9): 823–839, doi:10.2307/2322897, JSTOR 2322897
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  • McKean, H. P. (1972), "Selberg's trace formula as applied to a compact Riemann surface", Comm. Pure Appl. Math., 25 (3): 225–246, doi:10.1002/cpa.3160250302
  • Maclachlan, C.; Reid, Alan W. (2003), The Arithmetic of Hyperbolic 3-manifolds, Springer, pp. 383–394, ISBN 0387983864,
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  • Vignéras, Marie-France (1980), "Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques", Annals of Mathematics, 112 (1): 21–32, doi:10.2307/1971319, JSTOR 1971319
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  • Wolpert, Scott (1979), "The length spectra as moduli for compact Riemann surfaces", Annals of Mathematics, 109 (2): 323–351, doi:10.2307/1971114, JSTOR 1971114