기호법

수학에서 불변 이론의 상징적 방법은 아서 케이리,^[1] 지그프리드 하인리히 아론홀드,^[2] 알프레드 클렙슈,^[3] 폴 고든이^[4] 19세기 대수형 불변수를 계산하기 위해 개발한 알고리즘이다.그것은 그 형태를 마치 1도 형태의 힘인 것처럼 취급하는 것에 바탕을 두고 있는데, 이는 벡터 공간의 대칭적인 힘을 그것의 복사물의 텐서 생산물의 대칭 요소에 내장하는 것에 해당한다.

기호 표기법

상징적 방법은 명백히 모순되는 성질을 가진 새로운 기호 a, b, c, ...(이름에서 상징적 방법이 그 이름을 얻음)의 도입에 따라, 작지만 오히려 불변성에는 혼란스럽고 신비한 표기법을 사용한다.

예제: 이항 2차 형식의 판별

이 기호들은 고든의 다음 예시로 설명될 수 있다.^[5]라고 가정해 보자.

$[\displaystyle \displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{2}+2A_{1}x_{1}x_{2}+A_{2}x_{2}^{2}}$

이항 2차 형식이며, 변별력이 주어지는 불변성 형식이다.

${\displaystyle \displaystyle \Delta =A_{0}A_{2}-A_{1}^{2}.}$

판별자의 상징적인 표현은

${\displaystyle \delta =(ab)^{2}}$

여기서 a와 b는 상징이다.표현(ab)²의 의미는 다음과 같다.우선 (ab)은 행이 a₁, a₂, b₁, b인₂ 행렬의 결정인자를 위한 속기형이다.

${\displaystyle \displaystyle (ab)=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.}$

이걸로 뭉개버리면

${\displaystyle \displaystyle (ab)^{2}=a_{1}^{2}b_{1}a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+a_{2}}^{2}b_{1}^{2}.}$

다음으로 우리는 그런 척한다.

${\displaystyle \displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}{1}+a_{2}x_{2}^{2}=(b_{1}x_{1}+b_{2}}}x_{2}^{2}}$

하도록

${\displaystyle \{i}=a_{1}^{2-i}a_{2}^{{2}^{i}=b_{1}^{2-i}b_{2}^{i}}}}}}}}}}}$

그리고 만약 f가 선형 형태의 힘이 아니라면 이것은 말이 되지 않는 것처럼 보인다는 사실을 무시한다.이러한 값을 대체하는 것은

${\displaystyle \displaystyle (ab)^{2}=A_{2}A_{0}-2A_{1}A_{1}A_{1}+A_{0}A_{2}=2\Delta .}$

상위도

보다 일반적으로는 다음과 같다.

$[\displaystyle \displaystyle f(x)=A_{0}x_{1}^{n}+{n}+{\binom {n}{1}A_{1}x_{1}^{1}^{n-1x_{2}+\cdots +A_{n}x_{2}^{n}}}}}}}:{n}}}}}}}$

높은 수준의 2진수 형식이다. 그러면 새로운 변수 a₁, a₂, b₁, b₂₁, c, 그리고₂ 속성을 도입한다.

${\displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}}x_{2}^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}}x_{2}^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}}x_{2}^{n}=\cdots .}$

이것이 의미하는 바는 다음과 같은 두 개의 벡터 공간이 자연적으로 이형성이라는 것이다.

• A의₀ 동종 다항식 벡터 공간...A도_n m
• 2m 변수 a₁, b₂₁, b₂, b₁, c, ...의₂ 다항식 벡터 공간은 변수(a₁₂, a, b, b₁), (b, b₂), (c₁, c₂), ...의 각 m 쌍에 도 n을 가지며 m 기호 a, b, ....,

이형성은 A에^n−j
₁^j
_2j aa, bb^n−j
₁^j
₂, ....를 매핑함으로써 주어진다.이 매핑은 다항식 제품을 보존하지 않는다.

추가 변수

두₁ 개 이상의₂ 변수 x, x, x₃, x에서 f 형식의 확장은 유사하다: 하나는 특성과 함께 기호₁ a, a₂, 등을₃ 도입한다.

${\displaystyle f(x)=(a_{1}x_{1}+a_{2}}x_{2}+a_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(b_{1}x_{1}+b_{2}}x_{2}+b_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=(c_{1}x_{1}+c_{2}}x_{2}+c_{3}x_{3}+\cdots )^{n}=\cdots .}$

대칭 제품

상징적 방법의 다소 신비한 형식주의는 대칭 그룹의 작용에 의해 보존된 요소로서 벡터 공간 V의 대칭적 제품 Sⁿ(V)를 V의 n개의 복사본의 텐서 곱에 내장하는 것에 해당한다.실제로 이 작업은 두 번 수행되는데, 이는 도 m의 정량 n의 불변성분이 SS^nm(V)의 불변성분으로서, 두 개의 대칭 그룹의 화환성분 아래 불변성분으로서 V의 mn 사본의 텐서 제품에 내장되기 때문이다.상징적 방법의 괄호는 이 텐서 제품에 실제로 불변성 선형 형태로서, 제한에 의해 불변성 SS^nm(V)를 부여한다.

참고 항목

• 움브랄 미적분학

참조

• Gordan, Paul (1987) [1887]. Kerschensteiner, Georg (ed.). Vorlesungen über Invariantentheorie (2nd ed.). New York York: AMS Chelsea Publishing. ISBN 9780828403283. MR 0917266.

각주

추가 읽기

• Dieudonné, Jean; Carrell, James B. (1970). "Invariant theory, old and new". Advances in Mathematics. 4: 1–80. doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0. 페이지 32–7, "n-ary 형식의 침입자: 상징적 방법.로 재인쇄됨
• Dolgachev, Igor (2003). Lectures on invariant theory. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 296. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511615436. ISBN 978-0-521-52548-0. MR 2004511. S2CID 118144995.
• Grace, John Hilton; Young, Alfred (1903), The Algebra of invariants, Cambridge University Press
• Hilbert, David (1993) [1897]. Theory of algebraic invariants. Cambridge University Press. ISBN 9780521444576. MR 1266168.
• Koh, Sebastian S., ed. (2009) [1987]. Invariant Theory. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1278. Springer. ISBN 9783540183600.
• Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo (1984). "The invariant theory of binary forms". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 10 (1): 27–85. doi:10.1090/S0273-0979-1984-15188-7. ISSN 0002-9904. MR 0722856.