보완(그룹 이론)
Complement (group theory)수학에서, 특히 집단 이론으로 알려진 대수학 영역에서, 그룹 G에서 부분군 H의 보어는 다음과 같은 G의 부분군 K이다.
동등하게 G의 모든 요소는 제품 hk로서 h and H와 k ∈ K의 독특한 표현을 가지고 있다.이 관계는 대칭이다: K가 H의 보완이라면 H는 K의 보완이다.H와 K 모두 G의 정규 부분군이 될 필요는 없다.
특성.
- 보완은 존재할 필요가 없고, 만약 존재한다면 그들은 독특할 필요가 없다.즉, H는 G에 K와1 K의2 두 가지 뚜렷한 보완점을 가질 수 있다.
- 정상 부분군의 여러 가지 보완이 있다면, 서로, 그리고 지수 그룹에 대해 반드시 이형화된다.
- K가 G에서 H를 보완하는 것이라면 K는 H의 좌우 횡단 모두를 형성한다.즉 K의 요소는 H의 좌우 코세트의 완전한 대표자를 형성한다.
- 슈르-자센하우스의 정리는 유한집단의 정상적인 홀 하위집단의 보완의 존재를 보장한다.
타제품과의 관계
보완은 직접 제품(부분군 H와 K가 G에서 정상인 경우)과 반간접 제품(H 또는 K 중 하나가 G에서 정상인 경우) 모두를 일반화한다.일반적인 보완에 해당하는 제품을 내부 Zappa-Szép 제품이라고 한다.H와 K가 서로 비교가 되지 않는 경우, 하위 그룹을 보완하여 작은 조각으로 만든다.
존재
앞서 언급한 바와 같이, 보완이 있을 필요는 없다.
p-완성은 Sylow p-subgroup의 보완물이다.프로베니우스와 톰슨의 이론은 그룹이 정상적인 p-완성을 가질 때를 묘사한다.필립 홀은 모든 prime p에 대해 p-완충이 있는 집단으로 유한한 집단들 사이에서 유한한 수용성 집단을 특징으로 하며, 이러한 p-완충들은 Sylow 시스템이라고 불리는 것을 형성하는 데 사용된다.
프로베니우스 보어(Probenius)는 프로베니우스 그룹에서 특별한 형태의 보어다.
보완된 그룹은 모든 하위 그룹이 보완을 가지고 있는 그룹이다.
참고 항목
참조
- David S. Dummit & Richard M. Foote (2003). Abstract Algebra. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
- I. Martin Isaacs (2008). Finite Group Theory. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4344-4.
