프레드홀름의 정리

수학에서 프레드홀름의 이론은 프레드홀름 방정식의 프레드홀름 이론에서 이바르 프레드홀름의 유명한 결과들의 집합이다.적분 방정식, 선형 대수학 또는 바나흐 공간에 대한 프레드홀름 연산자의 관점에서 기술될 수 있는 밀접하게 관련된 몇 가지 이론이 있다.

프레드홀름 대안은 프레드홀름의 이론 중 하나이다.

선형대수학

선형대수학에서의 프레드홀름의 정리는 다음과 같다:M이 행렬이라면 M의 행공간의 직교보완은 M:의 null 공간이다.

${\displaystyle(\operatorname {row}M)^{\bot }=\ker M.}$

마찬가지로, M의 기둥 공간의 직교 보어는 부선의 null 공간이다.

${\displaystyle(\operatorname {col}M)^{\bot }=\ker M^{*}.}$

적분 방정식

프레드홀름의 정수 방정식은 다음과 같이 표현된다.$K{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle K(x,y)}$을(를) 적분 커널로$$ 하고 동종 방정식을 고려하십시오.

$\displaystyle \int _{a}^{b}K(x,y)\phi(y)\,dy=\lambda \phi(x)}$

그리고 그 복잡한 연줄.

${\displaystyle \int_{a}^{b}\psi(x){\overline {K(x,y)}}}\,dx={\lambda }}}\psi(y).}$

Here, ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$ denotes the complex conjugate of the complex number ${\displaystyle \lambda }$, and similarly for ${\displaystyle {\overline {K(x,y)}}}$. Then, Fredholm's theorem is that, for any fixed value of ${\displaystyle \lambda }$, these equations have either the trivial solution ${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)=0}$ or have the same number of linearly independent solutions ${\displaystyle \phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)}$, ${\displaystyle \psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)}$.

이 정리를 보유하기에 충분한 조건은 $K{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$y )${\displaystyle K(x,y)}$이 직사각형$[,{\displaystyle }$ b ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \times }$ $[,$ a${\displaystyle ,b}$] $displaystyle [a,b]\time[a,b]$ (여기서 a 및/또는 b가 마이너스 또는 더 많은 무한대일 수 있음)에서 제곱 통합할 수 있는$$ 것이다.$$

여기서 적분은 실수 라인에 1차원 적분으로 표현된다.프레드홀름 이론에서, 이 결과는, 예를 들어, 리만 다지관을 포함한, 다차원 공간의 일체형 연산자에게 일반화된다.

해결책 존재

프레드홀름 대안과 밀접한 관련이 있는 프레드홀름의 이론 중 하나는 이질적인 프레드홀름 방정식에 대한 해결책의 존재에 관한 것이다.

${\displaystyle \lambda \phi(x)-\int _{a}^{b(x,y)\phi(y)\dy=f(x)}$

함수 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 해당 동종 부선 방정식의 전체$$ 솔루션 집합${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\psi n}_{}}$( ${\displaystyle x)\}}$ ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}}}$과(와) 직교하는 경우에만 이 방정식에 대한 해법이 존재한다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\overline {\reverline _{n}(x)}f(x)\,dx=0}$

여기서 ${\displaystyle \stackrel{}{{\psi n}_{}}}$($){\$displaystyle ${\noverline _{n}(x)}}}$은(는) $($ (x ){\$displaystyle \property_{n}(x)$의 복잡한 결합이며, 전자는$$ 에 대한 전체 솔루션 집합 중 하나이다.

${\displaystyle \lambda {\psi(y)}-\int _{a}^{b}{\overline {\psi(x)}}K(x,y)\,dx=0.}$

이 정리를 보유하기에 충분한 조건은 $K{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle K(x,y)}$이(가)${\displaystyle \mathrm{직사각형}[,}$ b${\displaystyle ]}$× [, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ [, b] ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$에 정사각형 통합될 수 있는$$ 것이다$.$

참조

• E.I. 프레드홀름, 액타 수학, 27페이지 365–390.
• Weisstein, Eric W. "Fredholm's Theorem". MathWorld.
• B.V. Khvedelidze (2001) [1994], "Fredholm theorems", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press