크레이머의 법칙

선형대수학에서 Cramer's rule은 알 수 없는 수만큼 많은 방정식을 갖는 선형 방정식의 해에 대한 명시적인 공식으로, 시스템이 고유한 해를 가질 때마다 유효합니다. 한 열을 방정식의 우변 열 벡터로 대체하여 (제곱) 계수 행렬의 행렬식과 그 행렬식의 행렬식으로 해를 표현합니다. 1750년에 임의의 수의 미지수에 대한 규칙을 발표한 가브리엘 크레이머의 이름을 ^[1]^[2]따서 명명되었지만 콜린 매클로린도 1748년에 규칙의 특별한 사례를 발표했고 ^[3]아마도 1729년에 이 규칙을 알고 있었을 것입니다.^[4]^[5]^[6]

순진한 방법으로 구현된 크레이머의 법칙은 2개 또는 3개 이상의 방정식 체계에 계산상 비효율적입니다.^[7] $n개$ 의 미지수에 있는 $n개$ 의 방정식의 경우 $n +1$ 행렬식의 계산이 필요한 반면, 가우시안 소거는 단일 행렬식의 계산과 동일한 계산 복잡도로 결과를 생성합니다.^[8]^[9]^{[verification needed]} Cramer의 규칙은 2×2 시스템에서도 수치적으로 불안정할 수 있습니다.^[10] 그러나 최근 Cramer의 규칙이 가우시안 제거와 동일한 복잡성으로 구현될 수 있음이 나타났습니다(^[11]^[12]동일한 순열 행렬을 적용할 때 지속적으로 두 배의 산술 연산이 필요하고 동일한 수치 안정성이 있음).

일반적인 경우

$행렬$ 곱셈 형태로 $표현$ 되는 n개의 미지수에 대한 n개의 선형 방정식 체계를 다음과 같이 생각해 보자.

A\mathbf {x} =\mathbf {b}

여기서 $n$ × $n$ 행렬 $A$ 는 0이 아닌 행렬식을 가지며, $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ x = $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ ( $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ 1, …, x n) T {\displaystyle \mathbf {x} = (x_{1},\ldots,x_{n})^{\mathsf {T}}는 변수의 열 벡터입니다. 그러면 이 정리는 이 경우 시스템이 고유한 해를 가지며, 미지수에 대한 개별 값은 다음과 같이 주어집니다.

x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n

$A_{i}$ 서 $A_{i}$ ${\$ 는 $A_{i}$ $A$ 의 i번째 열을 열 벡터 $b$ 로 대체하여 형성된 행렬입니다.

더 일반적인 형태의 Cramer's^[13] rule은 행렬 방정식을 고려합니다.

AX=B

여기서 $n$ × $n$ 행렬 $A$ 는 0이 아닌 행렬식을 가지며, $X$ , $B$ 는 $n$ × m $행렬$ 입니다. Given sequences $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n$ and $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq m$ , let $X_{I,J}$ be the $k \times k$ submatrix of $X$ with rows in $I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ $I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ ${\displaystyle$ :=( $i_$ $1},\ldots,$ i_ ${k}}$ $A_{B}(I,J)$ $I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ $:=($ j 1, $…,$ j k) {\displaystyle $I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ :=(j_{1},\ldots,j_{k)}의 열을 표시합니다. AB (I,J) {\displaystyle A_{B}(I, $J)$ $}$ 은 모든 $s=1,\ldots ,k$ $=$ 1 $s=1,\ldots ,k$ $k$ {\displaystyle s $=$ 1,\ldots,k}에 대하여 $i_{s}$ 의 $is$ $i_{s$ 열을 $j_{s}$ 의 $j$ $j_{s$ 열로 치환하여 형성한 n $행렬$ 입니다. 그러면

\det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}.

$k=1$ = ${\$ displaystyle k = 1}의 경우, 이는 일반적인 Cramer's rule로 축소됩니다.

이 규칙은 실수뿐만 아니라 어떤 분야에서든 계수와 미지수를 가진 방정식 체계에 적용됩니다.

증명

Cramer's rule에 대한 증명은 행렬식의 다음 속성을 사용합니다: 주어진 열에 대한 선형성과 두 열이 같을 때마다 행렬식이 0이라는 사실. 이 속성은 두 열을 바꾸면 행렬식의 부호가 뒤집힌다는 것을 의미합니다.

열의 인덱스 $j$ 를 고정하고 다른 열의 항목이 고정된 값을 갖는다고 생각합니다. 이렇게 하면 행렬식이 j번째 열의 항목에 대한 함수가 됩니다. 이 열에 대한 선형성은 이 함수가 다음과 같은 형태를 가짐을 의미합니다.

D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j},

$C_{i,j}$ $C_{i,j}$ ${\$ 는 열 $j$ 에 없는 $A$ 의 항목에 의존하는 계수입니다 $C_{i,j}$ . 그래서, 한 명은.

\det(A)=D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j}

(라플라스 확장은 $C_{i,j}$ $C_{i,j}$ ${\$ 를 계산하는 공식을 제공하지만 $C_{i,j}$ 여기서는 이들 표현이 중요하지 않습니다.)

함수 $D_{j}$ $D_{j}$ ${\$ 를 $A$ 의 다른 열 $k$ 에 적용하면 $D_{j}$ 열 $j$ 를 열 $k$ 의 복사본으로 대체하여 $A$ 에서 얻은 행렬식이 되므로 결과 행렬식은 0이 됩니다(두 개의 동일한 열인 경우).

$이제$ n개의 미지수 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ${\$ 의 $n개$ 의 선형 방정식 체계를 생각해 보자 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 계수 행렬은 $A$ 이고 det(A)는 0이 아니라고 가정합니다.

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}

만약 어떤 $사람$ 이_1,j 첫 번째 방정식의 C배에 $두 2, j$ 번째 방정식의 C배를 더해서 이 방정식들을 결합한다면, $그 n, j$ 결과 $x$ 의_k 계수는 매 $k$ 에 대해 다음과 같이 됩니다.

D_{j}(a_{1,k},\ldots ,a_{n,k}).

따라서 $\det(A).$ 가 $x_{j}$ 되는 $x_{j}$ $x_{j}$ ${\$ 의 계수를 제외한 모든 계수는 0이 됩니다 $\det(A).$ ${\displaystyle \det(A).$ $}$ 마찬가지로 $\det(A).$ 상수 계수는 $D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),$ ( $D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),$ 1 $D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),$ b $D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),$ ${\displaystyle D_{j}(b_{1},\ldots, b_{n})$ 가 되며 $D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),$ , 결과 방정식은 다음과 같습니다.

\det(A)x_{j}=D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),

$x_{j}$ 값은 x $x_{j}$ {\ $displaystyle$ x_{ $j}$ 의 값을 다음과 $x_{j}$ 같이 제공합니다.

x_{j}={\frac {1}{\det(A)}}D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}).

구성상 분자는 열 $j$ 를 $b$ 로 대체하여 $A$ 에서 얻은 행렬의 행렬식이므로, 우리는 해의 필요조건으로 Cramer's rule이라는 표현을 얻습니다.

미지수에 대한 이러한 값이 해를 형성한다는 것을 증명해야 합니다. $D_{j}$ 행으로 $j=1,\ldots ,n$ $D_{j$ 의 계수를 가지는 n × n $행렬$ 을 $M$ 이라 하자. $j=1,\ldots ,n$ = 1 $j=1,\ldots ,n$ … $j=1,\ldots ,n$ , n ${\$ displaystyle j = 1,\ldots, n}에 대하여 ( $이$ 는 A에 대한 인접 행렬입니다. 행렬식으로 표현하면, 우리는 다음을 증명해야 합니다.

\mathbf {x} = {\frac {1} {\det(A)}}M\mathbf {b

는 해결책입니다. 즉,

A\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\mathbf {b} =\mathbf {b} .

그것을 위해서는 그것을 증명하는 것으로 충분합니다.

A\,\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)=I_{n}

$I_{n}$ 서 $I_{n}$ {\ $displaystyle I_{$ }}는 $I_{n}$ 항등 행렬입니다.

함수 $D_{j}$ $D_{j}$ 의 위 속성은 $MA$ = $det(A) I$ 를 가지므로,

\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\,A=I_{n}

정사각형 행렬의 왼쪽 역행렬도 오른쪽 역행렬이므로 증명이 완료됩니다(역행렬 정리 참조).

기타 증명은 아래를 참조하십시오.

역행렬 찾기

$A$ 가 필드 $F$ 에 원소가 있는 $n$ × n $행렬$ 이라고 하자. 그리고나서

A\,\operatorname {adj}(A)=\operatorname {adj}(A)\,A=\det(A)I

여기서 $adj(A)$ 는 인접 행렬, $det(A)$ 는 행렬식, $I$ 는 항등 행렬입니다. $det(A)$ 가 0이 아닌 경우 $A$ 의 역행렬은

A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operator name {adj}(A)

$이것은 det(A)$ ≠ 0인 경우 $A$ 의 역에 대한 공식을 제공합니다. 실제로 이 공식은 det(A)가 단위인 $경우$ F가 교환환일 $때$ 마다 작동합니다. $det(A)$ 가 단위가 아닌 경우, $A$ 는 링 위에서 가역적이지 않습니다( $F$ 의 일부 비단위 요소가 가역적일 수 있는 더 큰 링 위에서 가역적일 수 있습니다).

적용들

소형 시스템에 대한 명시적 공식

선형 시스템을 고려합니다.

\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color{red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color{red}c_{2}}\end{matrix}\right.

행렬 형식에서

{\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color{red}c_{1}}\{\color{red}c_{2}}\end{bmatrix}}

$ab 12$ - $ba$ 가₁₂ 0이 아니라고 가정합니다. 그런 다음, 행렬식의 도움을 $받아$ $x$ 와 y는 Cramer의 법칙으로 구할 수 있습니다.

{\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}.

$3$ × 3 행렬의 규칙은 비슷합니다. 정해진

\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.

행렬 형식에서

{\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}.

$그러면$ x, $y$ , $z$ 의 값은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},{\text{ and }}z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}.

미분기하학

리치 미적분학

크레이머의 법칙은 리치 미적분학에서 첫 번째와 두 번째 종류의 크리스토펠 기호를 포함하는 다양한 계산에 사용됩니다.^[14]

특히, Cramer의 법칙은 리만 다양체의 발산 연산자가 좌표 변화에 대해 불변하다는 것을 증명하는 데 사용될 수 있습니다. 우리는 크리스토펠 상징의 역할을 억제하면서 직접적인 증거를 제시합니다. Let $(M,g)$ be a Riemannian manifold equipped with local coordinates $(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})$ . Let $A=A^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ be a vector field. 우리는 요약 협약을 내내 사용합니다.

정리.

$A$ ${\displaystyle$ A $}$ 의 발산 $A$

\operatorname {div} A={\frac {1}{\sqrt {\det g}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}\right),

좌표의 변화에 따라 불변입니다.

증명

$(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})\mapsto ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})$ $(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})\mapsto ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})$ $(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})\mapsto ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})$ $(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})\mapsto ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})$ $(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})\mapsto ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})$ $n$ ↦ $(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})\mapsto ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})$ ( $x$ ¯ 1 $,$ …, x ¯ $n) {\displaystyle (x^{1$ }, x^{2 $},\ldots,x^{n})\mapsto({\bar {x}^{1},\$ ldots,{\bar {x}}^{n})}를 비특이 자코비안과의 좌표 변환이라 하자. Then the classical transformation laws imply that $A={\bar {A}}^{k}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}$ where ${\bar {A}}^{k}={\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{j}}$ $A^{j$ 마찬가지로, $g=g_{mk}\,dx^{m}\otimes dx^{k}={\bar {g}}_{ij}\,d{\bar {x}}^{i}\otimes d{\bar {x}}^{j}$ $=$ $g=g_{mk}\,dx^{m}\otimes dx^{k}={\bar {g}}_{ij}\,d{\bar {x}}^{i}\otimes d{\bar {x}}^{j}$ $g=g_{mk}\,dx^{m}\otimes dx^{k}={\bar {g}}_{ij}\,d{\bar {x}}^{i}\otimes d{\bar {x}}^{j}$ k $g=g_{mk}\,dx^{m}\otimes dx^{k}={\bar {g}}_{ij}\,d{\bar {x}}^{i}\otimes d{\bar {x}}^{j}$ d x $m$ $⊗$ d x k $=$ g $¯$ i j x $¯$ i가 d x $¯$ j {\display g $=$ g_{ $mk$ }\, $dx$ ^{m}\otimes dx^{k} $=$ {\bar {g}_{ij}\,d{\bar {x}}^{i}\otimes d{\bar {x}}^{j}, ${\bar {g}}_{ij}=\,{\frac {\partial x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}g_{mk}$ ${\bar {g}}_{ij}=\,{\frac {\partial x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}g_{mk}$ ¯ i ${\bar {g}}_{ij}=\,{\frac {\partial x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}g_{mk}$ = ∂ x m ∂ x ¯ i ∂ x k ¯ j m k {\displaystyle {\bar {g}_{ij}=\,{\frac {\partial x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{i}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\x}}}{\bar {x}}^{j}}g_{mk}}. 이 변환 법칙을 행렬로 쓰면 ${\bar {g}}=\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\text{T}}g\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)$ ¯ = $($ ∂ x ¯ x ¯) $Tg$ (∂ x ∂) {\displaystyle {\bar ${\bar {g}}=\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\text{T}}g\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)$ {g}}=\left ({\frac {\partial x}{\bar {x}}}\right)^{\text{ $T}g\left({\frac {\partial x}}{\bar {x$ right)}, $\det {\bar {g}}=\left(\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)\right)^{2}\det g$ $\det {\bar {g}}=\left(\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)\right)^{2}\det g$ $¯ =$ $($ $∂$ x $¯$ x $∂$ ) 2 det g {\displaystyle {\bar {g}} $=$ \left(\det \left $({$ \frac {\ $partial$ x}}{\bar {x}}\right)^{2}\det g}.

이제 컴퓨터 한 대.

{\begin{aligned}\operatorname {div} A&={\frac {1}{\sqrt {\det g}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right)\\&=\det \left ({\frac {\partial x}{\bar {x}}}\right){\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}{\partial {\x}}^{k}}{\partial x^{i}}{\frac {\bar {x}}}{\partial  x^{k}}}{\partial {\bar {x}}^{k}}\left ({ x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }}{\bar {A}}^{\ell }\det \!\left ({ {\partial x}{\partial {\bar {x}}}\right)^{\!-1}\right!{\sqrt {\det {\g}}\right).\end{align}}

$이$ 값이 1 ${\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\bar {A}}^{k}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right)$ ¯ ∂ ∂ ${\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\bar {A}}^{k}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right)$ ¯ ${\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\bar {A}}^{k}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right)$ (¯ k det g ¯ ${\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\bar {A}}^{k}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right)$ {\ $displaystyle {\frac$ {1 $}{\sqrt$ {\ $det$ {\bar ${g}}}{\frac {\partial}{\bar {$ x}^{ $k}}\left({\bar$ { $A}}^{\sqrt$ {\det {\bar {g}}\right)}와 같음을 보이기 위해서는 다음과 같은 값을 나타내는 것이 필요하고 충분합니다.

{\frac {\partial {\x}^{k}}{\partial x^{i}}{\frac {\partial }{\bar {x}}^{k}}\left ({ {\partial x^{i}}{\partial {\x}}^{\ell }}\det \!\left ({ {\frac {\partial x}}{\partial {\x}}}\right)^{\!\!-1}\right)=0\qquad {\text{for all}\ell,

에 해당하는 것.

{\frac {\partial }{\bar {x}}^{\ell }}}\det \left ({\frac {\partial x}{\bar {x}}}\right)=\det \left ({ {\partial x}{\bar {x}}}\right){\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{\ell}}}

좌측에서 차별화를 수행하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있습니다.

{\frac {\partial }{\bar {x}}{\ell}}\det \left ({ {\bar {x}}^{\ell}}\det \left partial {\partial {\bar {x}}}\right)&= (-1)^{i+j}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell}}\det M(ij)\&={\frac {\partial ^{2}x^{i}}\det {\bar {x}}^{\ell}}\det \left ({\frac {x}}^{j}\det \left partial\frac partial\frac partial {\partial x}{\partial {\bar {x}}}\right){\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left ({ {\partial x}{\bar {x}}}\right)}\det M(ij)=(\ast)\end{aligned}}

여기서 $M(i|j)$ $\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)$ $M(i|j)$ $M(i j)$ 은 i ${\$ $i}$ $행$ 과 j {\ $displaystyle j}$ 열을 $삭제하여$ $($ ∂ $x$ ∂ $\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)$ x ¯) {\ $displaystyle$ \left({\frac {\ $partial$ x}{\ $bar$ {x}}}\ $)}$ 에서 얻은 행렬을 나타냅니다. 하지만 크레이머의 규칙에 따르면

{\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left({\frac {\partial x}{\bar {x}}}\right)}}\det M(ij)

는 행렬 $\left({\frac {\partial {\bar {x}}}{\partial x}}\right)$ ∂ $x$ ¯ ∂ x )의 $(j,i)$ ( $(j,i)$ $(j,i)$ ${\displaystyle(j, i)}$ 번째 항목입니다. ${\$ displaystyle \frac {\bar {\x}}{\partial x}}{\partial x}\right)}. 따라서

{\displaystyle(\ast)=\det \left ({ {\partial x}{\bar {x}}}\right){\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell}}\partial {\bar {x}}^{j}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}}}

증명을 완료하는 중입니다.

함축적으로 도함수를 계산하는 것

Consider the two equations $F(x,y,u,v)=0$ and $G(x,y,u,v)=0$ . When u and v are independent variables, we can define $x=X(u,v)$ and $y=Y(u,v).$

∂ ${\dfrac {\partial x}{\partial u}}$ ∂ u ${\$ displaystyle {\dfrac {\partial x}{\partial u}}에 대한 식은 Cramer's rule을 적용하여 구할 수 있습니다.

∂ ${\dfrac {\partial x}{\partial u}}$ ∂u ${\displaystyle$ {\dfrac {\ $partial$ x $}{\$ partial u}}의 계산

먼저 F, G, x, y의 1차 도함수를 계산합니다.

{\begin{aligned}dF&={\frac {\partial F}{\partial x}} dx+{\frac {\partial F}{\partial}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}du+{\frac {\partial F}{\partial v} dv=0\[6pt]dG&={\frac {\partial G}{\partial x}} dx+{\frac {\partial G}{\partial y}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}du+{\frac {\dv G}{\partial v} partial=0\[6pt] dx&={\frac {\partial X}{\partial u}du+{\frac {\partial X}{\partial v}dy&={\frac {\partial Y}{\partial u}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}dv.\end{align}}

dx, dy를 dF와 dG로 바꾸면 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}dF&=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}}{\partial u}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left ({ {\frac {\partial F}{\partial x}{\frac {\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial f}}+{\frac {\partial F}{\partial f}}{\frac {\partial f} v}}\right)dv=0\\[6pt]dG&=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}}{\partial u}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left ({ {\frac {\partial G}{\partial x}{\frac {\partial x}}{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial G}{\partial g}}+{\frac {\partial G}}{\partial g} v})\right) dv=0.\end{align}}

u, v는 둘 다 독립적이므로 du, dv의 계수는 0이어야 합니다. 따라서 계수에 대한 식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial F}{\partial u}\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}{\frac {\partial x}}{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}}{\partial y}{\frac {\partial u}}&=-{\frac {\partial G}{\partial u}}\[6pt]{\frac {\partial F}{\partial x}}{\partial x}{\frac {\partial F}{\partial y}{\frac {\partial y}}{\partial y}{\frac {\partial F}{\frac}{\partial v}}\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}{\frac {\partial x}}{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}}{\frac {\partial y}}=-{\frac v}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}.\end{align}}

이제 크레이머의 규칙에 따라 다음과 같은 것을 알 수 있습니다.

{\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\vmatrix}-{\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\-{\frac {\partial G}{\partial u}}\-{\frac {\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}\{\frac {\partial F}{\partial y}}\{\frac {\partial G}{\partial x}&{\frac G}} {\partial G}{\partial}\end{vmatrix}}.

이것은 이제 두 야곱의 용어로 된 공식입니다.

{\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\left ({\frac {\partial(F,G)}{\partial(u,y)}}}\right)}{\left ({\frac {\partial(F,G)}{\partial(x,y)}}\right)}}

∂ $x$ ∂ v, ∂ y ∂ u, ∂ y ∂ v에 대해서도 유사한 공식을 유도할 수 있습니다. {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}}, {\frac {\partial u}, {\frac {\partial y}, {\partial v}}.

정수 프로그래밍

Cramer의 규칙을 사용하여 제약 행렬이 완전히 단일 모듈이고 우변이 정수인 정수 프로그래밍 문제가 정수 기본 솔루션을 가지고 있음을 증명할 수 있습니다. 이를 통해 정수 프로그램을 훨씬 쉽게 해결할 수 있습니다.

상미분방정식

Cramer's rule은 매개변수의 변동 방법에 의해 비균질 선형 미분 방정식에 대한 일반적인 해를 도출하는 데 사용됩니다.

기하학적 해석

크레이머의 법칙은 기하학적 해석을 가지고 있는데, 이는 단순히 기하학적 성질에 대한 통찰력을 제공하거나 증명으로도 간주될 수 있습니다. 이러한 기하학적 논증은 일반적으로 작동하며 여기에 제시된 두 개의 미지수가 있는 두 개의 방정식의 경우에만 작동하지 않습니다.

주어진 방정식 체계

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}

벡터 사이의 방정식으로 간주될 수 있습니다.

x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.

${\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ ${\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ ${\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ ${\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ ${\$ 및 ${\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ ( ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ ${\$ 에 의해 결정된 평행사변형의 면적은 방정식 체계의 행렬식에 의해 제공됩니다 ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ .

{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}.

일반적으로 변수와 방정식이 더 많을 때 $길이$ 가 n인 $벡터$ 의 행렬식은 n차원 유클리드 공간에서 해당 벡터에 의해 결정된 평행육면체의 부피를 제공합니다.

그러므로, the area of the parallelogram determined by $x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ and ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ has to be $x_{1}$ times the area of the first one since one of the sides has been multiplied 이 요인에 의해서 이제 이 마지막 평행사변형은 Cavalieri의 원리에 의해 ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ ( ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ 1 ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ = ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ (a $11$ a $21)$ + $x$ 2 (a 12 a 22) {\displaystyle {\binom {b_{1}} {b_{2}} = x_{1} {a_{11}} {a_{21}} + x_{2} $}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ 와 ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}.$ ( ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}.$ ${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}.$ $}$

이 마지막 평행사변형과 두 번째 평행사변형의 넓이를 같게 하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

{\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}

크레이머의 법칙이 따르는 것입니다.

기타 증명

추상적 선형대수에 의한 증명

위의 증명을 추상적인 언어로 다시 진술한 것입니다.

지도 $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}\left(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})\right),$ = $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}\left(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})\right),$ ( $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}\left(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})\right),$ 1, $…,$ x $n$ ) ↦ 1 det A (det $($ A 1), …, det (A n), {\displaystyle \mathbf {x} = (x_{1},\ldots,x_{n})\map to {\frac {1},\det A}\left(\det(A_{1}),\ldots,\det(A_{n})\right), $}$ 여기서 $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}\left(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})\right),$ $A_{i}$ ${\$ 는 Cramer's rule과 같이 $i$ ${\displaystyle$ i $}$ 번째 $i$ 열에 $\mathbf {x}$ ${\$ 가 $\mathbf {x}$ 치환된 $A$ 행렬 $A$ ${\displaystyle$ A $}$ 입니다 $A_{i}$ . 모든 열의 행렬식 선형성 때문에 이 지도는 선형입니다. Observe that it sends the $i$ th column of $A$ to the $i$ th basis vector $\mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)$ (with 1 in the $i$ th place), 열이 반복되는 행렬의 행렬식은 0이기 때문입니다. 따라서 우리는 열 $A$ 의 $A$ A {\ $displaystyle$ A $}$ 의 역수와 일치하는 선형 맵을 가지고 있습니다. 따라서 열 공간의 범위에서 $A^{-1}$ $A^{-1}$ - 1 ${\$ A $^{-1}$ 과 일치합니다. $A$ $A$ 는 $A$ 가역이므로 열 벡터는 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 에 걸쳐 있으므로 $\mathbb {R} ^{n}$ 우리의 지도는 $실제로$ A $A$ 의 역이다 $A$ 크레이머의 법칙은 다음과 같습니다.

짧은 증명

$x_{1}$ $x_{1}$ ${\$ 이 $x_{1}$ 행렬의 행렬식이라는 것을 알면 Cramer의 법칙에 대한 간단한 증명을 얻을 수 있습니다.

X_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}&0&0&\cdots &0\\x_{2}&1&0&\cdots &0\\x_{3}&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}

반면에, $우리$ 의 원래 행렬 A가 가역적이라고 가정하면, 이 행렬 $X_{1}$ $X_{1}$ ${\$ 은 $X_{1}$ 열 $A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}$ - 1 $A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}$ $A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}$ - 1 $A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}$ $A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}$ A $A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}$ - $A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}$ $A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}$ ${\$ _ ${n$ $\mathbf {v} _{n}$ 서 $\mathbf {v} _{n}$ ${\$ 은 $\mathbf {v} _{n}$ 행렬 $A$ 의 n번째 열입니다. 행렬 $A_{1}$ $A_{1}$ $A_{1}$ 에는 $\mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ b $\mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ $\mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ 2 $\mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ $\mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ $\mathbf {b},\mathbf {v$ _ ${2},\ldots,\mathbf {v}$ _ ${n}$ 이 $\mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ 있으므로 $X_{1}=A^{-1}A_{1}$ $X_{1}=A^{-1}A_{1}$ = $X_{1}=A^{-1}A_{1}$ - 1 $X_{1}=A^{-1}A_{1}$ $X_{1}=A^{-1}A_{1}$ {\displaystyle X_{1} = A^{-1}A_{1}}가 있습니다. 따라서, 두 행렬의 곱의 행렬식이 행렬식의 곱이라는 것을 사용함으로써, 우리는

x_{1}=\det(X_{1})=\det(A^{-1})\det(A_{1})={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}.

다른 $x_{j}$ ${\$ 의 증명도 유사합니다 $x_{j}$ .

일관성이 없고 불확실한 경우

방정식 체계는 해가 없을 때 일관성이 없다고 하고 해가 둘 이상일 때는 불확정이라고 합니다. 선형 방정식의 경우, 불확정 시스템은 임의의 값을 취할 수 있는 하나 이상의 매개 변수로 표현될 수 있기 때문에 무한히 많은 해를 가질 것입니다.

크레이머의 법칙은 계수 행렬식이 0이 아닌 경우에 적용됩니다. 2×2의 경우 계수 행렬식이 0이면 분자 행렬식이 0이 아니면 시스템이 호환되지 않거나 분자 행렬식이 0이면 불확실합니다.

3×3 이상의 시스템의 경우 계수 행렬식이 0일 때 유일하게 말할 수 있는 것은 분자 행렬식 중 하나가 0이 아닌 경우 시스템이 일관되지 않아야 한다는 것입니다. 그러나 모든 행렬식이 0이라는 것이 시스템이 불확실하다는 것을 의미하지는 않습니다. 모든 행렬식이 사라지지만(equal 0) 시스템이 여전히 호환되지 않는 간단한 예로는 3×3 시스템 x+y+z=1, x+y+z=2, x+y+z=3이 있습니다.

참고 항목

참고문헌

^ Cramer, Gabriel (1750). "Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques" (in French). Geneva: Europeana. pp. 656–659. Retrieved 2012-05-18.
^ Kosinski, A. A. (2001). "Cramer's Rule is due to Cramer". Mathematics Magazine. 74 (4): 310–312. doi:10.2307/2691101. JSTOR 2691101.
^ MacLaurin, Colin (1748). A Treatise of Algebra, in Three Parts.
^ Boyer, Carl B. (1968). A History of Mathematics (2nd ed.). Wiley. p. 431.
^ Katz, Victor (2004). A History of Mathematics (Brief ed.). Pearson Education. pp. 378–379.
^ Hedman, Bruce A. (1999). "An Earlier Date for "Cramer's Rule"" (PDF). Historia Mathematica. 26 (4): 365–368. doi:10.1006/hmat.1999.2247. S2CID 121056843.
^ David Poole (2014). Linear Algebra: A Modern Introduction. Cengage Learning. p. 276. ISBN 978-1-285-98283-0.
^ Joe D. Hoffman; Steven Frankel (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition. CRC Press. p. 30. ISBN 978-0-8247-0443-8.
^ Thomas S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Springer Science & Business Media. p. 132. ISBN 978-0-387-48947-6.
^ Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms: Second Edition. SIAM. p. 13. ISBN 978-0-89871-521-7.
^ Ken Habgood; Itamar Arel (2012). "A condensation-based application of Cramerʼs rule for solving large-scale linear systems". Journal of Discrete Algorithms. 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007.
^ G.I.Malaschonok (1983). "Solution of a System of Linear Equations in an Integral Ring". USSR J. Of Comput. Math. And Math. Phys. 23: 1497–1500. arXiv:1711.09452.
^ Zhiming Gong; M. Aldeen; L. Elsner (2002). "A note on a generalized Cramer's rule". Linear Algebra and Its Applications. 340 (1–3): 253–254. doi:10.1016/S0024-3795(01)00469-4.
^ Levi-Civita, Tullio (1926). The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). Dover. pp. 111–112. ISBN 9780486634012.
^ Robinson, Stephen M. (1970). "A Short Proof of Cramer's Rule". Mathematics Magazine. 43 (2): 94–95. doi:10.1080/0025570X.1970.11976018.

외부 링크

[1] Cramer, Gabriel (1750). "Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques" (in French). Geneva: Europeana. pp. 656–659. Retrieved 2012-05-18.

[2] Kosinski, A. A. (2001). "Cramer's Rule is due to Cramer". Mathematics Magazine. 74 (4): 310–312. doi:10.2307/2691101. JSTOR 2691101.

[3] MacLaurin, Colin (1748). A Treatise of Algebra, in Three Parts.

[4] Boyer, Carl B. (1968). A History of Mathematics (2nd ed.). Wiley. p. 431.

[5] Katz, Victor (2004). A History of Mathematics (Brief ed.). Pearson Education. pp. 378–379.

[6] Hedman, Bruce A. (1999). "An Earlier Date for "Cramer's Rule"" (PDF). Historia Mathematica. 26 (4): 365–368. doi:10.1006/hmat.1999.2247. S2CID 121056843.

[Poole2014-7] David Poole (2014). Linear Algebra: A Modern Introduction. Cengage Learning. p. 276. ISBN 978-1-285-98283-0.

[HoffmanFrankel2001-8] Joe D. Hoffman; Steven Frankel (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition. CRC Press. p. 30. ISBN 978-0-8247-0443-8.

[Shores2007-9] Thomas S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Springer Science & Business Media. p. 132. ISBN 978-0-387-48947-6.

[Higham2002-10] Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms: Second Edition. SIAM. p. 13. ISBN 978-0-89871-521-7.

[11] Ken Habgood; Itamar Arel (2012). "A condensation-based application of Cramerʼs rule for solving large-scale linear systems". Journal of Discrete Algorithms. 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007.

[12] G.I.Malaschonok (1983). "Solution of a System of Linear Equations in an Integral Ring". USSR J. Of Comput. Math. And Math. Phys. 23: 1497–1500. arXiv:1711.09452.

[13] Zhiming Gong; M. Aldeen; L. Elsner (2002). "A note on a generalized Cramer's rule". Linear Algebra and Its Applications. 340 (1–3): 253–254. doi:10.1016/S0024-3795(01)00469-4.

[14] Levi-Civita, Tullio (1926). The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). Dover. pp. 111–112. ISBN 9780486634012.

[15] Robinson, Stephen M. (1970). "A Short Proof of Cramer's Rule". Mathematics Magazine. 43 (2): 94–95. doi:10.1080/0025570X.1970.11976018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

v t 선형대수학
아웃라인 용어집
기본개념	스칼라 벡터 벡터공간 스칼라 곱셈 벡터 사영 선형 스팬 선형 지도 선형투영 선형독립성 선형결합 근거 근거변경 행 및 열 벡터 행 및 열 공간 커널 고유값과 고유벡터 전치 선형방정식
행렬	블록 분해 뒤집을 수 없는 작은 곱셈 순위 변신 크레이머의 법칙 가우스 소거법
쌍선형	직교성 도트 제품 하다마드 제품 내부제품공간 겉감제품 크로네커 곱 그람-슈미트 과정
다중선형대수학	행렬식 크로스 곱 삼중곱 7차원 십자 제품 기하대수학 외대수학 바이벡터 멀티벡터 텐서 외형성
벡터공간구성	듀얼 직접합 함수공간 몫 부분공간 텐서곱
숫자	부동소수점 수치안정성 기본 선형 대수 하위 프로그램 희소 행렬 선형대수학 라이브러리 비교
카테고리 수학포털 커먼즈 위키북스 위키백과

Search