원시 인자 FFT 알고리즘

PFA(prime-factor algorithm, PFA)는 Good-라고도 불린다.토마스 알고리즘(1958/1963)은 N = NN₁₂ 크기의 이산 푸리에 변환(DFT)을 2차원 N₁×N₂ DFT로 다시 추출하는 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘이지만, N과₁ N이₂ 비교적 프라임인 경우에 한한다.N과₁ N₂ 크기의 이러한 작은 변환은 PFA를 재귀적으로 적용하거나 다른 FFT 알고리즘을 사용하여 평가할 수 있다.

PFA는 인기 있는 쿨리의 혼합복사 일반화와 혼동해서는 안 된다.또한 크기가 N인 DFT를₁₂ N과₁ N인 작은 변환으로 세분화하는₂ Tukey 알고리즘.후자의 알고리즘은 어떤 요인(상대적으로 원시적인 것은 아님)도 사용할 수 있지만, 작은 변환 외에 트위들 인자라고 하는 통일성의 뿌리에 의한 추가 승수가 필요하다는 단점이 있다.반면 PFA는 상대적으로 주요한 요인(예를 들어 크기가 큰 경우 무용지물)에만 작용하고, 중국 나머지 정리(CRT)에 근거한 데이터의 보다 복잡한 재색인이 필요하다는 단점이 있다.그러나 PFA는 혼합 라디ix 쿨리와 결합할 수 있다는 점에 유의하십시오.Tukey는 전자가 N을 비교적 주요한 구성요소로 인수하고 후자는 반복적인 요소를 처리한다.

또한 PFA는 내포된 Winograd FFT 알고리즘과 밀접하게 관련되어 있으며, 후자는 보다 정교한 2차원 콘볼루션 기법을 통해 N에₂ 의한 분해된 N을₁ 수행한다.따라서 일부 오래된 논문들은 위노그라드의 알고리즘을 PFA FFT라고 부르기도 한다.

(PFA는 쿨리와 구별되지만-)Tukey 알고리즘인 Good의 1958년 PFA에 관한 연구는 Cooly와 Tukey에 의해 1965년 논문에서 영감을 받은 것으로 인용되었고, 처음에는 두 알고리즘이 다른지에 대해 약간의 혼란이 있었다.사실, 그것은 그들이 인용한 유일한 이전 FFT 작업이었다. 그들은 그때 가우스 등의 초기 연구를 알지 못했기 때문이다.)

알고리즘.

DFT는 다음 공식에 의해 정의된다는 점을 상기하십시오.

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{{N-1}x_{n}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}}{{N}nk}\quad k=0,\,\dots,\,N-1.}$

PFA는 입력 및 출력 어레이의 재색인을 포함하며, DFT 공식으로 대체될 경우 두 개의 중첩된 DFT(2차원 DFT)로 변환된다.

재색인

Suppose that ${\displaystyle N=N_{1}N_{2}}$, where ${\displaystyle N_{1}}$ and ${\displaystyle N_{2}}$ are relatively prime, i.e. ${\displaystyle \gcd(N_{1},N_{2})=1}$. Then the re-indexing is performed using two bijective mappings between ${\displaystyle {\mathbb{Z}}_{N_1}}$${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$및 $Z$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$

첫 번째 지도

${\displaystyle n=\eta(n_{1},n_{2})=(n_{1}N_{2}+n_{2}}}N_{1}{\bmod{N}}$

루리타니아어 지도(Good's mapping)라는 편향이다.

Indeed it is a homomorphism ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N_{1}}\times \mathbb {Z} _{N_{2}}\to \mathbb {Z} _{N}}$, because ${\displaystyle \forall n_{1},m_{1}\in \mathbb {Z} _{N_{1}}}$ and ${\displaystyle \foral$$l_{2},m_{2}\in \mathb {Z} _{N_{2$

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta \left((n_{1}+m_{1}){\bmod {N}}_{1},(n_{2}+m_{2}){\bmod {N}}_{2}\right)&=\left(\left((n_{1}+m_{1}){\bmod {N}}_{1}\right)N_{2}+\왼쪽(n_{2}+m_{2}){\bmod{N}_{2}\오른쪽)N_{1}\오른쪽){\bmod {N}\\&=\좌측(\좌측)((n_{1}+m_{1})N_{2}\오른쪽){\bmod {(}}{1}N_{2}}+\좌측(n_{2}+m_{2}){2}N_{1}\오른쪽){\bmod{{{1}N_{2}\right){\bmod{{N}\}\\\\\=\left(n_{1}+m_{1}){1}N_{2}+(n_{2}+m_{2})N_{1}\오른쪽){\bmod {N}\\&=\왼쪽(n_{1}N_{2}+m_{1}{1}{}N_{2}+N_{2}}}N_{1}+m_{2}{{1}\오른쪽){\bmod{{N}\\&=\left(n_{1}N_{2}+n_{2}}{{1}{\bmod{N}+(m_{1}N_{2}+m_{2}}{{1}}{\bmod {N}\오른쪽){\bmod {N}\\&=\왼쪽(\eta(n_{1},n_{2})+\eta(m_{1},m_{2}}\right){\bmod {N}{N}.\end{정렬}}}$

Therefore, according to the first isomorphism theorem, ${\displaystyle \eta }$ is an injection to the quotient group ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}/\ker(\eta )}$. Here the kernel ${\displaystyle \ker(\eta )=\{0\}}$, because otherwise there would exist a pair ${\displaystyle n_1\in {\mathbb{Z}}_{N_{}}}$${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {Z} _{N_{1}}}$ and ${\displaystyle n_{2}\in \mathbb {Z} _{N_{2}}}$, which are not simultaneously zero, such that ${\displaystyle n_{1}N_{2}+n_{2$$}N_{1}=tN_{1}N_{2}}$ for some nonzero ${\displaystyle t\in \mathbb {N} }$. Since ${\displaystyle n_{1}N_{2}+n_{2$$}{{1}\leq 2N_{1$}N_${1}N_{1}-(N_{1}+N_{2})<2N_{1}N_{2}},$$t{\displaystyle }$ ${\displaysty t}$의 유일한 남은 값은 1이다$$.In this case ${\displaystyle n_{1}=N_{1}-{\frac {n_{2}N_{1}}{N_{2}}}}$ would be an integer from ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N_{1}}}$ which is impossible, because for the fraction ${\displaystyle {\frac {n_{2}N_{1}}{N_{2}}}}$ to yield정수 값 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $n_{2}}($${\displaystyle gcd}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$N ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \gcd(N_{1},N_{2}=1})$의 배수여야 한다$$.$$$$But this would contradict ${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {Z} _{N_{1}}\land n_{2}\in \mathbb {Z} _{N_{2}}}$. Thus, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}/\ker(\eta )\cong \mathbb {Z} _{N}}$, that is ${\displaystyle \eta }$ injects to ${\displaystyle {\mathbb{Z}}_{}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$. Now since ${\displaystyle \operatorname {card} \left(\mathbb {Z} _{N_{1}}\times \mathbb {Z} _{N_{2}}\right)=\operatorname {card} \left(\mathbb {Z} _{N}\right)=$$N_{1}N_{2$}},$$$\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }}$은(는) 실제로 비주사적이다. 즉, 쌍 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{n\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $n_$${1},n_{2}}:$ 전체$$ $세트{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 고유 $값$을 생성한다$.$

두 번째 지도

${\displaystyle k=\kappa(k_{1},k_{2})=(k_{1}N'_{2}N_{2}+k_{2}}{{1}N_{1}{1}:{\bmod{N}}$

CRT 매핑이라고 한다.The name refers to the Chinese remainder theorem which provides the bijective mapping ${\displaystyle \kappa :\mathbb {Z} _{N_{1}}\times \mathbb {Z} _{N_{2}}\to \mathbb {Z} _{N}}$, in which ${\displaystyle N'_{1}}$ and ${\displaystyle N'_{2}}$ are any solution선형 디오판타인 방정식 N ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ N ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {N\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {N\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$= ${\displaystyle gcd({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{N\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle N'_{1}N_{$1}+$N'_{2}$에 대해$}{{2}=\gcd(N_{1},N_{2}}=1}($베주트의 ID 참조).

In order to perform the DFT, one needs to map different pairs of ${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {Z} _{N_{1}}}$ and ${\displaystyle n_{2}\in \mathbb {Z} _{N_{2}}}$ to distinct values of ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{N}}$ and also pairs ${\displaystyle k_1\in {\mathbb{Z}}_{N_{}}}$${\displaystyle k_{1}\in \mathbb {Z} _{N_{1}}}$ and ${\displaystyle k_{2}\in \mathbb {Z} _{N_{2}}}$ to ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} _{N}}$. To do it one can use the Ruritanian mapping to produce indices in the input vector and the CRT mapping to evaluate indices of the output vector or두 지도를 반대로 쓰다

많은 연구가 비용이 많이 드는 모듈로(제거자) 운영의 수를 최소화하면서 이러한 재지수를 효율적이고 이상적으로 사내에서 평가하기 위한 계획에 집중되었다(Chan, 1991년 및 참조).

DFT 재표현

그런 다음 위의 재색인은 DFT의 공식으로 대체되며, 특히 지수에서$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystylenk}$ 제품으로 대체된다.Because ${\displaystyle \forall t\in \mathbb {Z} :e^{2\pi it}=1}$, this exponent is evaluated modulo ${\displaystyle N}$. Similarly, ${\displaystyle X_{k}}$ and ${\displaystyle x_{n}}$ are implicitly periodic in ${\displaystyle N}$, so their subscripts are evaluated mo$둘$로 N ${\displaystyle$ N$\}.$

먼저, 루리타니아어 매핑을 DFT 공식으로 대체하십시오.

${\displaystyle X_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{e}^{-\frac{2\pi i}{N}nk}=\sum _{n=0}^{N_1{N}_2-1}{x}_n{e}^{-\frac{2\pi i}{N_1{N}_2}nk}=\sum _{n_1=0}^{N_1-1}\sum _{n_2=0}^{N_2-1}{x}_{n_1{N}_2+n_2{N}_1}{e}^{-2\pi ik\frac{n_1{N}_2+n_2{N}_1}{N_1{N}_2}}=\sum _{n_1=}^{}}$${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}nk}=\sum _{n=0}^{N_{1}N_{2}-1}x_{n}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}N_{2}}}nk}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{$${1}-1}x_{n_{1}N_{2}+n_{2$$}$$}{{1}e^{-2\pi ik{\frac {n_{1}N_{2}+n_{2$$}$$}N_{1}}{N_{1}N_{2}}}}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}}}n_{1}k}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1}N_{2}+n_{2$$}{{1}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{$2}}:$n_{2}k$

$이제{\displaystyle }$ K ${\displaystyle k}$ 대신 CRT 매핑을 사용하여 생성$$

${\displaystyle {\begin}X_{k_{1}N_{2}N'_{2}+k_{2}}{{1}N'_{1}}&=\sum _{n_{1}=0}^{{n_{1}-1}-1}e^{-1}e^{-2\pi in_{1}{1}{\frac {k_{1}N'_{2}+k_{2}{2}}{{1}N'_{1}:{1}:{1}:{N_{1}:{1}:{n_{1}}}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1}N_{1}+n_{2}}{{{1}e^{-2\pi in_{2}{\frac {k_{1}N_{2}N'_{2}+k_{2}}N_{1}N'_{1}}{N_{2}}}}\\&=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}e^{-2\pi in_{1}k_{1}{\frac {N_{2}N'_{2}}{N_{1}}}}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1}}e^{-2\pi in_{2}k_{2}{\frac {N_{1}N'_{1}}{N_{2}}}}\\&=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}e^{-2\pi in_{1}k_{1}{\frac {1-N_{1}N'_{1}}{N_{1}}}}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1}}e^{-2\pi in_{2}k_{2}{\frac {1-N_{2}N'_{2}}{N_{2}}}}\\&=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}e^{-{\frac {2\pi in_{1}k_{1}}{N_{1}}}}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1}N_{2}+n_{2}{{1}e^{-{\frac {2\pi in_{2}k_{2}}:{N_{2}}:}}}.\end{정렬}}}$

마찬가지로, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 대신 CRT 매핑을 대체하고$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 산출량$$ 대신 Ruritanian 매핑을 대체한다.

${\displaystyle X_{k_{1}N_{2}+k_{2$$}N_{1}}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}e^{-{\frac {2\pi ik_{1}n_{1}}{N_{1}}}}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1}N_{2}N'_{2}+n_{2$$}{{1}N'_{$1}$N'$_{1}$e^{-{\frac {2\pi ik_{2}n_{2}}:{N_{2$

두 경우 모두 내측 및 외측 합계는 각각$$ $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\${2$}}$및 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1} $크기$의 DFT일 뿐이다$.$

참조

• Good, I. J. (1958). "The interaction algorithm and practical Fourier analysis". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 20 (2): 361–372. JSTOR 2983896. 부록, ibid.22(2), 373-375(1960) JSTOR2984108.
• Thomas, L. H. (1963). "Using a computer to solve problems in physics". Applications of Digital Computers. Boston: Ginn.
• Duhamel, P.; Vetterli, M. (1990). "Fast Fourier transforms: a tutorial review and a state of the art". Signal Processing. 19 (4): 259–299. doi:10.1016/0165-1684(90)90158-U.
• Chan, S. C.; Ho, K. L. (1991). "On indexing the prime-factor fast Fourier transform algorithm". IEEE Trans. Circuits and Systems. 38 (8): 951–953. doi:10.1109/31.85638.

참고 항목

• 래더의 FFT 알고리즘
• 블루스타인의 FFT 알고리즘