이타카 치수

대수 기하학에서 대수적 다양성 X에 있는 선다발 L의 이타카 치수는 L이 결정한 투사적 공간에 대한 합리적인 지도 이미지의 치수다.이것은 L의 단면 링 치수보다 1이 적다.

R(X,L)=\bigoplus _{d=0}^{\nothy}{0}(X,L^{\otimes d}).

L의 이타카 치수는 항상 X의 치수보다 작거나 같다. L이 효과적이지 않으면, 보통 이타카 치수는 - $-\infty$ ${\displaystyle$ - $\infit }$ 로 정의되거나 $-\infty$ 단순히 음수라고 한다(일부 초기 참조에서는 -1로 정의된다).L의 이타카 치수는 L치멘션(L-dimension)이라고도 하고, D치수를 D치멘션(D-dimension)이라고 한다.이타카 치수는 이타카 시게루(1970, 1971)에 의해 도입되었다.

빅 라인 번들

선다발은 최대 이타카 치수의 경우, 즉 그것의 이타카 치수가 기저 품종의 치수와 같다면 크다.비그네스(Bigness)는 쌍생불변형물: f : Y → X가 품종의 분생형형질론이고, L이 X에 큰 선다발이라면 fL은^* Y에 큰 선다발이다.

넉넉한 선다발은 모두 크다.

큰 선다발은 이미지로 X의 이형성을 결정할 필요가 없다.예를 들어 C가 과대망상곡선(예: 속2의 곡선)이라면, 그 표준다발은 크지만, 그것이 결정하는 이성적 지도는 쌍생 이형성이 아니다.대신 C의 표준곡선을 2대1로 덮는 것으로, 합리적인 정규곡선이다.

고다이라 치수

매끄러운 품종의 정식 다발의 이타카 치수를 고다이라 치수라고 한다.

이타카 추측

복합다지관 M~W의 m-플리카코닉 맵은 섬유 공간 구조를 유도한다.

다음과 같은 복잡한 대수적 변수에 대해 고찰해보자.

K를 M의 정식 묶음으로 삼아라.K의^m 홀로모픽 부분인 H⁰(M,K^m)의 치수는 m-genus라고 불리는 P_m(M)에 의해 표시된다.내버려두다

N(M)=\{m\geq 1 P_{m}(M)\geq 1\}

그러면 N(M)은 0이 아닌 m-genus의 모든 양의 정수가 된다.N( $m\in N(M)$ )이 비어 있지 않은 경우, $m\in N(M)$ $m\in N(M)$ N $m\in N(M)$ ( $m\in N(M)$ ) $m\in N(M)$ m-pluricanical $m\in N(M)$ map \ $\Phi _{mK}$ $\Phi _{mK}$ ${\$ 는 지도로 정의된다 $\Phi _{mK}$ .

디스플레이 스타일 {\displaystyle}\Phi _{mK:&M\longrightarrow \ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\mapsto \\\\\varphi _{0(z):\cdots :\varphi _{N}(z)\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?

여기서 $\varphi _{i}$ $\varphi _{i}$ ${\$ 는 $\varphi _{i}$ H⁰(M,K^m)의 기초가 된다.그러면 $\mathbb {P} ^{N}$ K ${\$ $displaystyle \Phi_{mK},$ $,$ K ( $\Phi _{mK}(M)$ ) $displaystyle$ $\$ $Phi_{mK}(M)}$ 의 이미지는 PN {\ $displaystyle$ \ $mathb{P$ } $^{N}}}$ 의 하위 manifold로 정의된다 $\Phi _{{mK}}(M)$ $\mathbb {P} ^{N}$

특정 $m$ $m$ 의 $m$ 경우 $\Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}$ $\Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}$ : $\Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}$ → $\Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}$ = $\Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}$ $\Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}$ ( $\Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}$ ) $\Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}$ $\Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}$ N ${\$ $M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathb {P}^{N}}$ 는 투영 공간 P에^N 내장된 복합 다지관인 m-플라리코닉 맵이다 $\Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}$ .

κ(M)=1이 있는 표면의 경우 위의 W는 타원 곡선( ((C)=0)인 커브 C로 대체된다.우리는 이 사실을 일반적인 차원으로 확장하고 오른쪽 위 그림에 묘사된 분석 섬유 구조를 얻기를 원한다.

m-플라리코닉 맵은 쌍생불변성이다.P_m(M)=P_m(W)

Given a birational map $\varphi :M\longrightarrow W$ , m-pluricanonical map brings the commutative diagram depicted in the left figure, which means that $\Phi _{mK}(M)=\Phi _{mK}(W)$ , i.e. m-pluricanonical genus is birationally invariant.

투영공간에 있어서 혼성지도 existence의 존재_m1 : W → W_m2

고다이라 치수 κ(M)이 1 ≤( $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ ) ≤ n-1을 만족하는 n차원 콤팩트 콤팩트 복합다지관 M을 제공하면, $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ : $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ ( M $){\displaystyle \Phi _{m_$ {1} $K}:$ 충분한 m₁,m이₂ 있음을 Itaka가 보여준다. $M\longrightarrow W_{m_{1$ }:{1}( $M)$ 및 $\Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)$ $\Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $\Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $\Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $\Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ : $\Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $\Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $\Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $\Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $\Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ ( $){\displaystyle \Phi _{m_{2}K:$ $M\longrightarrow W_{m_{2}}($ $\varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $)}$ 은 $\Phi _{{m_{2}K}}:M\longrightarrow W_{{m_{2}}}(M)$ (는) 비균등성이며, 이는 혼혈 지도 $\varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ : W $\varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $\varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $\varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $\varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ $\varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ 2 $\varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ ( M $\varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)$ ) ${\displaystyle \varphi$ : $W_{m_{1}}\$ 긴 오른쪽 $화살표$ W_ ${m_{2}}(M$ 즉, 오른쪽 그림에 묘사된 도표는 대응적이다.

$W_{m_{1}}$ , M $M$ 과(와)의 쌍생성인 $M^{*}$ $M^{*}$ ${\$ displaystyle $M}$ 과 $M^*$ $M$ ( $W^{*}$ )의 M $style$ {\displaystyle $W_{$ $m_$ ${1$ }과 $W_{m_{1}}$ (와 $)$ 의 쌍생성인 $W^{*}$ W $W^{*}$ ∗ ${\$ 1}{1}을 선택할 수 있다 $.$

\Phi :M^{*}\longrightarrow W^{*}

【\ $\Phi$ 스타일 $\Phi 】$ 의 섬유는 간단히 연결되며 $\Phi$ $【\디스플레이$ $\Phi$ \Phi 】의 일반 섬유는 【\디스플레이 스타일 $\Phi 】$ 이다.

M_{w}^{*}}=\Phi ^{-1}(w),\\w\in W^{*}}

고다이라 치수가 0이다

위의 섬유 구조를 이타카 섬유 공간이라고 한다.표면 S(n = 2 = 딤(S)))의 경우 W는^* 대수곡선이고 섬유구조는 치수 1인 다음 일반 섬유는 코다이라 치수 0, 즉 타원곡선을 가진다.따라서 S는 타원형 표면이다.이러한 사실은 일반 n으로 일반화될 수 있다.따라서 dimensional=-∞,0,n의 부분과 섬유가 κ=0인 섬유공간으로 분해된다.

이하 이타카 추측이라고 하는 이타카에 의한 추가적인 공식은 대수 품종이나 콤팩트한 복합 다지관의 분류에 중요하다.

이타카 추측 — Let $f:V\rightarrow W$ : $f:V\rightarrow W$ → W ${\displaystyle f:$ $V$ 은(는 $)$ m-차원 $버라이어티$ V {\ $displaystyle$ V $}$ 에서 n-차원 $버라이어티$ W {\ $displaystyle W}$ 에 $V$ $W$ 이르는 $V_{w}=f^{-1}(w)$ 섬유 공간으로, 각 $V_{w}=f^{-1}(w)$ V $V_{w}=f^{-1}(w)$ = f $V_{w}=f^{-1}(w)$ - $V_{w}=f^{-1}(w)$ ) ${\displaystyle V_{w}=f^{-1(w$ )}(w $)}.$ 그러면

\displaystyle \kappa(V)\geq \kappa(V_{w})+\kappa(W)}

이러한 추측이 부분적으로만 풀렸을 뿐, 예를 들어 모이스헤손 다지관의 경우다.분류 이론은 이타카 추측을 풀고, be(V)=0과 q(V)=3과 그 일반화가 그렇게 되어야만 비로소 3차원 다양성 V가 아벨리안이라는 또 다른 이론들을 이끌어내기 위한 노력이라고 할 수 있을 것이다.최소한의 모델 프로그램은 이러한 추측에서 이끌어낼 수 있을 것이다.

참조

Iitaka, Shigeru (1970), "On D-dimensions of algebraic varieties", Proc. Japan Acad., 46: 487–489, doi:10.3792/pja/1195520260, MR 0285532
Iitaka, Shigeru (1971), "On D-dimensions of algebraic varieties.", J. Math. Soc. Jpn., 23: 356–373, doi:10.2969/jmsj/02320356, MR 0285531
Ueno, Kenji (1975), Classification theory of algebraic varieties and compact complex spaces, Lecture Notes in Mathematics, vol. 439, Springer-Verlag, MR 0506253

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