적절한 기준 프레임(평탄한 시공간)

상대성 이론에서 적절한 기준 프레임은 가속 기준 프레임의 특정 형태, 즉 가속 관찰자가 정지해 있는 것으로 간주할 수 있는 기준 프레임입니다.이는 에너지-모멘텀 텐서에 의해 야기된 시공간 곡률을 무시할 수 있는 "평탄한" 민코프스키 시공간에서 현상을 설명할 수 있다.이 기사를 고려하는 단지 평평한 spacetime—and 정의를 평평한 블랙 홀의 특수 상대성 이론은 이론는 동안 중력의 곡선 spacetime—it의 관점에서 일반 상대성 이론은 이론 결과적으로 특별한 상대성 이론에 빠른 프레임으로 우려하고를 사용합니다.가속도의 관성 프레임, 그것 자체에 있어서. 그 표현( 들어[1][2][3].e 3가속도, 4가속도, 적정가속도, 쌍곡선운동 등의 개념을 정의하고 서로 관련짓는 '가속도(특수상대성이론)

이러한 프레임의 기본 특성은 프레임 자체의 시간으로서 가속 옵서버의 적절한 시간을 이용하는 것이다.이는 가속된 클럭의 적절한 시간이 가속도의 영향을 받지 않는다는 클럭 가설(실험적으로 확인됨)과 연결되어 있기 때문에 측정된 클럭의 시간 확장은 순간적인 상대 속도에 의존합니다.관련된 적절한 기준 프레임은 시공간 Frenet-Serret 공식으로 공식화할 수 있는 콤보닝 직교 사각형 또는 비회전의 표준으로 페르미-Walker 운송과 같은 개념을 사용하여 구성된다.좌표가 페르미-워커 이동과 관련이 있는 경우 페르미 좌표라는 용어가 사용되기도 하며, 회전이 수반되는 일반적인 경우에는 적절한 좌표라는 용어가 사용되기도 한다.가속 관측자의 특수 클래스는 세 개의 곡선이 일정한 세계선을 따릅니다.이러한 동작은 Born 강성운동의 종류에 속하며, 즉 가속된 물체 또는 합성의 구성요소의 상호 거리가 적절한 프레임에서 변경되지 않는 동작이다.두 가지 예는 쌍곡선 운동의 적절한 기준 프레임에 대한 린들러 좌표 또는 코틀러-뮐러 좌표와 균일한 원형 운동의 경우 보른 또는 랑게빈 좌표입니다.

다음 예에서 그리스 지수는 0,1,2,3을 넘고 라틴 지수는 1,2,3을 넘고 괄호로 묶인 지수는 4차원 벡터 필드와 관련이 있습니다.메트릭 텐서의 시그니처는 (-1,1,1)입니다.

역사

코틀러-몰러 또는 린들러 좌표의 일부 특성은 앨버트 아인슈타인(1907)^{[H 1]}이 균일하게 가속된 기준 프레임을 논의했을 때 예측되었다.Born 강성의 개념을 도입하는 동안, Max Born(^{[H 2]}1909)은 쌍곡선 운동의 세계선에 대한 공식이 "초고속 기준계"로 변환되어 재해석될 수 있다는 것을 인식했다.Born 자신과 Arnold Sommerfelt(1910)^{[H 3]} 및 Max von Laue(1911)^{[H 4]}는 하전 입자와 그 장의 특성을 계산하기 위해 이 프레임을 사용했다(가속(특수 상대성 이론) 참조).#이력과 린들러 좌표#이력).또한, Gustav Herglotz(1909)^{[H 5]}는 균일한 회전과 일정한 곡선의 세계선을 포함한 모든 Born 강성 운동을 분류했다.Friedrich Kottler(1912, 1914)^{[H 6]}는 적절한 기준 프레임 또는 적절한 좌표(독일어:Eigensystem, Igenkoordinaten)은 콤보빙 Frenet-Serret 4차원을 사용하여 이 형식을 Herglotz의 일정 곡선 세계선, 특히 쌍곡선 운동과 균일한 원형 운동에 적용했다.Herglotz의 공식은 또한 Georges Lematretre에 의해 단순화되고 확장되었다.^{[H 7]}일정한 곡선의 세계선은 블라디미르 페트르체프(1964),^[4] 존 라이트온 싱게(1967),^[5] 레토(1981)^[6]의 "정적 세계선"으로 여러 저자에 의해 재발견되었다.적절한 기준 프레임의 개념은 나중에 다시 도입되었고 크리스티안 뮐러(^[7]1952) 또는 싱게(1960)^[8]에 의해 교과서에서 페르미-워커 운송과 관련하여 더욱 개발되었다.적절한 시간 변환과 대안의 개요는 코틀러의 공헌을 인용한 로맹(1963)^[9]에 의해 제시되었다.특히, Misner & Thorne & Wheeler(1973)^[10]는 페르미-워커 운송과 회전을 결합했고, 이는 많은 후속 작가들에게 영향을 미쳤다.Bahram Mashhoon(1990, 2003)^[11]은 국소 가설과 가속 운동을 분석했다.Iyer & C. V. Vishveshwara(1993),^[12] Johns(2005)^[13] 또는 Bini 등에 의해 시공간 Frenet-Serret 공식과 페르미-Walker 수송 간의 관계가 논의되었다.(2008)^[14] 및 기타."일반 프레임의 특수 상대성 이론"에 대한 자세한 설명은 Gourgoulhon(2013)^[15]에 의해 제시되었다.

콤보빙 사각형

시공간 프레네-세레 방정식

가속된 움직임과 곡선의 세계선을 조사하기 위해 일부 미분 지오메트리의 결과를 사용할 수 있습니다.예를 들어, 유클리드 공간의 곡선에 대한 프레네-세레 공식은 19세기에 이미 임의의 차원으로 확장되었고, 민코프스키 시공간에도 적용될 수 있다.이들은 곡선 월드라인에 부착된 직교 정규기반의 전송을 나타내므로 4차원에서는 이 기초를 콤보빙 테트라드 또는 $비에르베인{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ e${\displaystyle {}_{}}$ $))$라고 할 수 있습니다.\$displaystyle \mathbf {e}$ _${(\eta)}}}($임의의 차원에서는 비엘베인, 이동 프레임 필드, 로컬 프레임, repermobile이라고도 합니다).^{[16][17][18][19]}

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d\mathbf{e}_{(0)}}{d\tau}}&.=\kappa _{1}\mathbf{e}_{(1)},&,{\frac{d\mathbf{e}_{(1)}}{d\tau}}&.=\kappa _{1}\mathbf{e}_{(0)}+\kappa _{2}\mathbf{e}_{(2)},\\{\frac{d\mathbf{e}_{(2)}}{d\tau}}&=-\kappa _{2}\mathbf{e}_{(1)}+\kappa _{3}\mathbf{e}_{(3)},\quad&{\frac{d\mathbf{e}_{(3)}}{d\tau}}&=-\.kappa _{3}\mathbf {e} _{(2)},\end{aligned}}$

(1)

$여기$서 ${\$ { $displaystyle$\$tau }$는 세계선상의 적절한 시간, timelike $필드{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$e (${\displaystyle 0_{}}$) { $displaystyle$$$\ $mathbf${$$$e$} $_$$${ ( $0$) }는 4개의 속도에 대응하는 접선, 세 개의 공간형 필드는${\displaystyle {}_{}}$e (${\displaystyle 0_{}}$ $)$에 직교하며, 주필드는 normal이라고 합니다.$al{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ e${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 1_{}}$)$${ $displaystyle$\$mathbf {$$e$ } $_$$${ (1)$$} 、 binormal${\displaystyle {}_{}}$$e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ (${\displaystyle 2_{}}$) \ $displaystyle$\$mathbf$${ e$$$} $_$ { (2)$$}$$、 tinormal e${\displaystyle {}_{}}$( $)$。첫 번째 곡면 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$ 1$($ 스타일 $\kappa$ _${1})$은 4가속도(즉, 적절한 가속도)의 크기에 해당하며$$, 기타 곡면 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$ 2$($스타일 \$kappa$_{$2})$ 및$$ ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$ 3$($ 스타일 $\kappa$ _${3$})은$$ 비틀림 및 하이퍼토션이라고도 합니다.

페르미-워커 수송 및 적절한 수송

Frenet-Serret 사각형은 회전할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있지만, 비회전 부품과 회전 부품을 분리하는 또 다른 형식주의를 도입하는 것이 유용합니다.이것은^{[10][12][22][21][20][23]} $테트라드{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$e의 적절한^[20] 운반 ${\displaystyle {\mathrm{또는}}_{}}$ 일반화 페르미^[21] 운반을 위해 다음 방정식을 사용하여 수행될 수 있습니다. ( ${\displaystyle {)}_{}}$ $)$ {$display$ \ $mathbf${ $e$} $_${ ( ( ( \$eta )$ } ) }$$。

$({displaystyle {d\mathbf {e} _{((eta)}}}}})=-{\boldsymbol {varteta}}}\mathbf {e}}}$

(2)

어디에

${\displaystyle \vartheta ^{\mu \nu }= {\underset {A^{\mu}-A^{\nu}U^{\mu}}}+{\underset {\m\text{nu}}}{ACE}\underset {\m}{\nu}$

또는 단순화된 형태로 함께 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle {\mathbf {e} _{(\eta)}} {d\def}}=-\left[(\mathbf {U} \cdot \mathbf {e} +\mathbf {R} \cdot \mathbf {e} _{e} _{{{\eta}\}}})$

U$(\$를 4속도로 하고$A(\$displaystyle \$mathbf${A$$$})$를 4가속도로 하며${\displaystyle }$ $"\displaystyle \cdot$은 도트곱을 나타내고 $"\displaystyle \wedge$ $\}$는 웨지곱을 나타냅니다.첫 번째 부분 $({\displaystyle U_{}a\mathbf{}}$A )${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ( ${\displaystyle {)}_{}}$ A ) ${\displaystyle {}_{}A\mathbf{}}$ ( ${\displaystyle U\mathbf{}{\mathbf{}}_{}{}_{}}$e (${\displaystyle {)}_{}}$ ) -${\displaystyle U\mathbf{}}$ ( ${\displaystyle A_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$ e ($)$ ) \ $displaystyle$( \ $mathbf$ { $U }$ \ displaystyle \ $mathbf { A$} \ $mathbf${ e } $_${ e } $= \ mathbf {$ A （ \ $mathbu$）ansport는 ^[13]세 개의 공간 같은 테트라 필드가 세 개의 자이로스코프 시스템의 움직임과 관련하여 방향을 바꾸지 않을 때 물리적으로 실현됩니다.따라서 페르미-워커 이동은 비회전의 표준으로 볼 수 있다.두 번째 $부분{\displaystyle \mathbf{}}$ R$(\$은 각속도 4벡터로서$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \opha)$ 및$$ Levi-Civita 기호로서$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \epsilon)$를 갖는 대칭 2순위 텐서로 구성됩니다.이 회전 행렬은 세 개의 공간 같은 4차원 $필드$에만 영향을 미치므로, 회전하는 4차원${\displaystyle {}_{}}$예: Frenet-Serret 4차원)의 공간적인 회전으로 해석될 수 있다${\displaystyle {}_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$($i$$$) { $displaystyle \mathbf { e$ } _{ $(i$ )$$。Laystyle $\mathbf {f} _{(i)}:$ 같은 세계선을 따라 페르미-워커 4각형의 $레이스타일$ \mathbf {f}_$${(i)}.

프레네-세레 4차원에서 페르미-워커 4차원의 도출

같은 worldline 회전에 매트릭스 연결되어 있는지를 이후 f(나는){\displaystyle \mathbf{f}_{(나는)}}과(나는){\displaystyle \mathbf{e}_{(나는)}e},non-rotating Fermi–Walker 테트래즈 뿐 아니라 평평한 블랙 홀지만 임의의 온천으로에서 일한다 회전 Frenet–Serret tetrads,[24][25]을 사용하여를 건설하는 것이 가능하다.cetimes실현이 ^[26]어려울 수도 있지만요.예를 들어, 각 공간 같은 $테트라{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 필드${\displaystyle {f(}_{}}$i$)\displaystyle$ \$mathbf {f}_{(i$)}}와${\displaystyle {e(}_{}}$i$){displaystyle \mathbf {e}$_${($$i$)}} 사이의 각속도 벡터는 ${\displaystyle {비틀림\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 2 \$displaystyle$ \$kappa _kappa$ {$3$^{[12][13][27][28]}의 관점에서 구할 수 있다.

${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \sqrt{{bold\mathrm{}}_{}^{}}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$e (${\displaystyle {}_{}}$1 ) + $bold$ 2${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$($$3 ) $=$\ $kappa$ _ { $3$} \ $mathbf${ e$}$ + \ ${\displaystyle kappa\mathit{}}$$_$ {$$${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$ \ $mathbf${ $e$$$} ${\displaystyle boldboldbold\sqrt{{}_{}^{}}}$= $2$ + ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$display $\ symbold style \$$mblmb$

(3a)

곡선이 일정하다고 가정할 때(평탄한 시공간에서 나선운동의 경우 또는 정지축 대칭 공간에서의 경우), $그런{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 다음${\displaystyle {}_{}}$e (${\displaystyle 1_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$(3$)$ \$display$style \$mathbf {e} _{(1)-\mathbf {e} _{$3}_clock-clock으로$$ 공간 유사 Frenet-Serret 벡터를 정렬하여 진행한다.eise 회전 후 중간 공간 $프레임{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ $displaystyle$\$mathbf {h$$}$ $_{($$i)})}$가 h$) 축$을 $중심$으로 $\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \delta \mathit{}}$= $ω$ \ \ $displaystyle$ \ $Theta$= \ \ \ \$left$ \ $boldsymbol${$h}$}$$by the the the the the the the the the the the the the the$$the the the the the the the the the the the the the the the the the theermi – Walker f${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle i_{}}$) { $displaystyle$\$mathbf${ $f$} $_${ ( $i$) } $$（ timelike ）$필드$는 그대로입니다.^[25]

${\displaystyle{\begin{배열}{ccc}{\begin{정렬}\mathbf{h}_{(1)}&, ={\frac{\kappa_{2}\mathbf{e}_{(1)}-\kappa _{3}\mathbf{e}_{(3)}}{\left{\boldsymbol{\omega}}\right}}\\\mathbf{h}_{(2)}&, =\mathbf{e}_{(2)}\\\mathbf{h}_{(3)}&, ={\frac{\boldsymbol{\omega}}{\left{\boldsymbol{\omega}}\right}}\end{정렬}}&,{\begin{aligned}\mathbf{f} _{(1)}&=\mathbf {h}_{(1)\cos \Theta -h_{(2)}\sin \Theta \\\mathbf {f}_{(2)&=\mathbf {h}_{(1)}\sin \Theta +h_{(2)\cos\ta\ta\ta\f\ta\ta\ta\ta\F$

(3b)

특수 케이스 ${\displaystyle 3}$ 3 $=$$0{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ \ $displaystyle$ \$kappa _$ { $3$${\displaystyle {}_{}}$}${\displaystyle {}_{}=}$ [${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle }$0 , $]{$ $displaystyle$\$mathbf${ $e$}$$$=$ [$$${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ,${\displaystyle 0}$ ,$$${\displaystyle 0}$ , 0 , 1$$$]{$ $display$ style$=$ [${\displaystyle }$0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$} } omega$$ 2${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {\mathrm{omegaomega}}_{}}$ 2 $omegaomegaomegaomegaomegaomega{\displaystyle \mathit{}}$ $omegaomegaomegaomegaomegaomegaomega$ 、 0 。$=\left$ {\$boldsymbol$ {\$mega }\right$ \$kappa$ _${2$}\di$}$${\displaystyle {}_{}}및$ h ${\displaystyle {(i}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ $i)$ {displaystyle \$mathbf {h} _{($i$)\}$ = \$mathbf {$e}}${\displaystyle {}_{}}$= 따라서 (3b$)$는 e $(\$mathbstyle$)$를 $중심$으로 1회전이 됩니다$.$

${\displaystyle {array} {c} {\display{array} \mathbf {f} _{(1)} \cos \Theta -\mathbf {e} _{(2) \sin \Theta \\\mathbf {f} _{f(1)\cos {f}$

(3c)

고유 좌표 또는 페르미 좌표

평탄한 시공간에서 가속된 물체는 순간적인 관성 $프레임{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$δ $=$ [ x${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$δ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}{}^{}{}^{}}$1, ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}\mathrm{\delta }}^{}}$2, x${\displaystyle {\mathrm{}\mathrm{\delta }}^{}}$ 3$]$ ${\display$ \$mathbf {x}$ '=[$x^{\prime$0 , $x^{\prime$ 0 , x$^{\prime$ 0 , $x^{\prime$ 0$\}\}\}\}\}\}$ 등의 순간의 순간적인 프레임에 정지해 있다.로런츠 $변환$의 X ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \delta {\mathbf{}}^{}}$ x$$δ {\$displaystyle \mathbf$$${$X}$ $=$ $δboldsymbol {Lambda}}}\$$mathbf$$${x} $\text{'}.$ 여기서$X$는 외부 관성 프레임이고 $\displaystyle$$$\$boldsylambol {X$$}$는 로렌츠 변환입니다$.$이 행렬은 ${\displaystyle 위}$에서 정의한 적절한 시간 의존형 $테트라드{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$e ( ${\displaystyle {)}_{}}$) ( ${\displaystyle )}$) \ $displaystyle$\ $mathbf${$e$} $_${ ( ( $nu$ ) } ( $tau$ $)$로 대체될 수 있습니다${\displaystyle .q}$ ( $)$ ) \ $displaystyle$ \ $mathbf { q }$ ( \ tau$$)가$$ 입자의 위치를 나타내는 타임 트랙인 $경우{\displaystyle \mathbf{}}$ 변환 ^[32]판독값은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {q} +\mathbf {e} _{(\nu)}\mathbf {x} '''''$

(4a)

그런 다음 x$$${\displaystyle 0^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ t ${\displaystyle {\prime }^{}}$ $=$ 0 {\$displaystyle$x$^{\prime$ 0}=t'=$0}$을(를) $x{\displaystyle \mathbf{}}$ then r =${\displaystyle }$[ $x$ 1,${\displaystyle {}^{}{}^{}{}^{}}$2, ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 3$]({$$displaystyle$\$mathbf {r} =$ [$x^1}, tim3})$로 대체해야 $합니다$.nly 공간 $필드{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$e (${\displaystyle i_{}}$) { $displaystyle$\$mathbf${ $e$} $_${ ($i$ ) } }는$$ 더 이상 존재하지 않습니다.이어서 가속 프레임 내의 시간은 가속 관찰자의 적절한 시간으로 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle =}${\ { \ $displaystyle$ x$^{0$} =$$t$$= \ $display$ $\}$ 로 $식별$된다. 최종 변환은 다음과^{[33][34][35][36]} 같다.

${\displaystyle \mathbf{X}}$ ${\displaystyle =q\mathbf{}}$ +${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ (${\displaystyle i_{}}$ )$$ { \ $displaystyle$ \ $mathbf {$X } = \ $mathbf$ { q } + \ $mathbf${ e }$$${\displaystyle \_{}^{}}$ { ( i ) \ $mathbf${ r$$${\displaystyle \}}$ , ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle =}$} \ $displaystyleft ( x^$$${$0$= \ $right$ )$$}

(4b)

이들을 적절한 좌표라고 부르기도 하며, 대응하는 프레임이 적절한 ^[20]참조 프레임입니다.페르미-워커 수송의^[37] 경우 페르미 좌표라고도 불린다(일부 저자는 회전하는^[38] 경우에도 이 용어를 사용함).해당하는 메트릭은 민코프스키 시공간(리만 용어 없음)^{[39][40][41][42][43][44][45][46]}의 형태를 가진다.

${\displaystyle ds^{2}=-\left[(1+\mathbf {a}\cdot \mathbf {r}{2}-({\boldsymbol {r}}\times \mathbf {r}){2}-(\boldsymbol {2}+2\boldmbol {r}\mbol {r}) {rf})$

(4c)

단^[43], 이러한 좌표는 글로벌하게 유효하지 않지만,

$\displaystyle - (1+\mathbf {a} \cdot \mathbf {r} ) {{2} + ({\boldsymbol {\mega}} \times \mathbf {r} {} {} {0}$

(4d)

타임라이크 나선형의 적절한 기준 프레임

세 개의 Frenet-Serret 곡선이 모두 일정한 경우 해당 세계선은 평평한 시공간에서 킬링 모션에서 이어지는 세계선과 동일합니다.대응하는 적절한 프레임과 일치성이 Born 강성의 조건을 만족시키기 때문에, 즉 두 인접 월드 라인의 시공간 ^[47][48]거리가 일정하기 때문에, 이러한 프레임과 합치는 특히 중요하다.이러한 움직임은 "시간상 나선" 또는 "정지 세계선"에 해당하며, 6가지 주요 유형으로 분류할 수 있습니다. 두 가지 주요 유형은 비틀림이 0인(균일한 변환, 쌍곡선 운동)이고 네 가지는 비틀림이 0이 아닌(균일한 회전, 현수막, 반추체 포물선, 일반적인 ^{[49][50][4][5][6][51][52][53][54]}경우)입니다.

대/소문자 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 3}$ 3 $=$0 { $displaystyle \kappa$ _${1$}=\$kappa$_{2}=\$kappa$ _${3$}=$0}$은 가속 없이 균일한 변환을 생성합니다.따라서 해당 적절한 기준 프레임은 일반적인 로렌츠 변환에 의해 제공됩니다.기타 5가지 유형은 다음과 같습니다.

쌍곡선 운동

때문에 민코프 스키 다이어그램의 worldline은 쌍곡선은 curvatures 1)α,{\displaystyle \kappa_{1}=\alpha,}κ 2)κ 3=0{\displaystyle \kappa_{2}=\kappa _{3}=0}, 운동의 방향에서α{\displaystyle \alpha}내내 지속된 적절한 가속, 쌍곡선 운동을 생산하:[57[55][56]κ.][58][59][60]

$\displaystyle \mathbf {X} =\left[{\frac {1}{\alpha }} \sinh(\alpha \alpha }}\left(\cosh(\alpha \ala \light)-1\light)\cosh(\cosh(\cosh(\alph(\alpha \alf)-1)-1\right)\light)}$

(5a)

대응하는 직교 정규 사각형은 쌍곡선 $함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \cosh }$ $⁡$ { $display style$ \$display$ =\cosh \eta $}$를 로렌츠 인자로 하고 v $=$ ${\displaystyle \sinh }$ $⁡$ { $displaystyle$ v$\display$ =\$sinh \eta }$를 고유 속도 및 ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{art}}$ vh ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{\alpha h}}$인 역 로렌츠 변환 행렬과 동일하다.$nh} v=\alpha \calpa }$의 속도(토션$$ {$displaystyle$$$\$kappa$ _${$$2}}$ ${\displaystyle {및\mathrm{}}_{}}$θ3 {$displaystyle$ \$kappa _{$3$$}})는 0이므로, Frenet-Serret 공식과 Fermi-Walker 공식은 동일한 테트라드를 생성한다):^{[56][61][62][63][64][65][66]}

$\displaystyle {displaystyle \cosh(\alpha \display), \sinh(\alpha \display), \0,\0)\mathbf {e}_{{(1)}&=(\sinh(\alpha \display), \display \cosh(\alpha \display)\display, 0, 0\f {e)\cosh(\cosh(\cosh(\cosh), \disp},\display, \disp}, \d$

(5b)

변환(4b)에 삽입되고 q$\$에 대한 월드라인(5a)을 사용하면 가속 관찰자는 항상 원점에 위치하므로 Kottler-Möller 좌표가^{[67][68][62][69][70]} 다음과 같습니다.

${\displaystyle {array} {c} {\displaystyle {array} 정렬됨T&=\left(x+{\frac {1}\alpha }}\right)\sinh(\alpha \frac {1}{\alpha }}\x&=\left(x+{\frac {1}{\right})\cosh(\alpha \frac {1}{\alpha }}}})-{\frac {\frac {\alpha }}}}}}}}}}}\right}}\sinh}\\sinh(\)\)\x)\x)\Y&=y\Z&=z\end{aligned}&{\begin{aligned}\tau&=operatorname {artanh}\left\frac {T}{X+{\frac {1}{\alpha }}}}\right}\operatorname {arfrac {1}\frac {\frac {1}\alph}}}}}}\\\x & = snotrt { left ( X + { \ frac { } { \ alpha } } } \ right )^{2} - { \ frac {1} { \ alpha } } \ \ y & =Y\\z&=Z\end{aligned}\end{array}}$

이 값은 메트릭을 사용하여 - /α < $>$ <\$displaystyle$ - $1/\alpha <\infty$ $내$에서유효합니다.

${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle =}$- ( ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle \alpha }$x ) ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\tau \mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ y${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$2 \ $display style$ ds ^ {2} = - ( $1$+ \ $alpha$ x ) { }^{$2} d$ \ $example$^{$2}$ + $dy ^{2$} + $dy$^{2}$$}

또는 ${\displaystyle \mathrm{q}}$ ${\displaystyle =}$0 {$displaystyle$$$\$mathbf$${q}$ $=0$$}$을(를) $설정$하면 가속 관찰자는 시간 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle =}$ T ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$= $0$= T$=$ 5 、 5 、 5 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( $ler$ ler ler altern altern $altern{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{altern}}$ = 1${\displaystyle }$/ {\$${\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ ${\displaystyle =}$ 1 / {\ ${\$ {\ {\ {\ {\ {\ {\

${\displaystyle {array} {c} {\displaystyle {array} 정렬됨T&=x\sinh(\alpha \sinh)\X&=x\cosh(\alpha \sinh)\\\Y&=y\Z&=z\end{aligned}&{\begin{aligned}\tau&=operatorname{artanh}{\frac{T}{X}}\x&=parsqrt {X^2}\y=Y\\z&=Z\end{aligned}\end{array}}$

유효한은0 < X $<\$ $displaystyle$0 <X$<\infty$ 입니다.

$\displaystyle ds^{2}=-\alpha ^{2}x^{2}d\display ^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

균일한 원운동

- 1 > ${\$ $displaystyle \kappa _{2}$ - \$kappa$_{$1}^2}$ > $0$、 ${\displaystyle 3}$ 3 $=$0 { \ $displaystyle \kappa$ _${3$}=$0}$ 은$$ 월드라인과^{[74][75][76][77][78][79][80]} 함께 균일한 원형 운동을 생성한다.

${\displaystyle X=\left[\gamma \gamma \gamma \p}\cos(p\cos),\\frac {n}{p}\sin(p\gamma),\0\right]$

(6a)

어디에

${\displaystyle{\begin{배열}{ccc}{\begin{정렬}\kappa _{1}&, =-\gamma ^{2}hp_{0}^{2}\\\kappa _{2}&, =\gamma ^{2}p_{0}\end{정렬}}&{\begin{정렬}p&, ={\sqrt{\kappa_{2}^{2}-\kappa _{1}^{2}}}={\frac{\kappa_{2}}{\gamma}}=\gamma p_{0}\\p_{0}&, ={\frac{\kappa_{2}^{2}-\kappa _{1}^{2}}{\kappa_{2}}}={\frac{\kappa_{2}}{\gamma ^.{2}}}={\frac{p}{\gaMma}}\\\theta&=p\tau =p_{0}t=\gamma p_{0}\tau \end{정렬}}&{\begin{정렬}n&, ={\frac{\kappa_{1}}{p}}=v\gamma ={\sqrt{\gamma ^{2}-1}}\\h&, ={\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}^{2}-\kappa _{1}^{2}}}={\frac{n}{p}}\\v&, ={\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}}=hp_{0}={\frac{n}{\gamma}}\\\gamma&={\frac{\kappa_{2}}{p}}={\frac{1}.{\sqrt{1-v^{2}}}}){\sqrt {n^{2}+1}}\end{aligned}\end{array}}$

(6b)

$(\displaystyle$ h$)$를 궤도 반지름으로, ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 0$(\$})을 좌표 각 $속도$로$,$ p(\$displaystyle$$$p)를 접선 속도로$,$ v$(\$$displaystyle$ v)를 적절한 $속도$로, n(\displaystyle $n$$)$을 로렌츠 계수로,$\theta {\displaystyle }$ {\$displtz$ factor$}$을 사용합니다.$aystyle \theta }$을(를) 회전각으로 지정합니다.사각형은 Frenet-Serret 방정식 ^{[74][76][77][80]}(1)에서 도출할 수 있으며, 보다 간단히 $사각형{\displaystyle {}_{}}$ d$)$의 로렌츠 변환에 의해 통상 회전 ^[81][82]좌표의 $사각형$ d_${(\nu)}$에서 구할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{배열}{cc}{\begin{정렬}d_{(0)}&, =(1,\ 0,\ 0,\ 0)\\d_{(1)}&, =(0,\ \cos\theta,\ \sin \theta ,\ 0)\\d_{(2)}&, =(0,\ -\sin\theta,\ \cos \theta ,\ 0)\\d_{(3)}&, =(0,\ 0,\ 0,\ 1)\end{정렬}}&{\begin{alignedat}{1}\mathbf{e}_{(0)}&^=\gamma \left(d_{(0)}+vd_{(2)}\right)&)=\gamma(1,\ -v\sin \theta.\ v\cos),\ 0\theta \\\mathbf {e} _{(1)}&\ =d_{(1)}&\ =(0,\cos \theta,\sin \theta,\0)\\mathbf {e} _{(2)&\ =\syn \left(d_{(2)}+vd_{0}\right,\cos \theta,\cos \theta,\theta\theta,\sin \theta,\theta,\theta,\theta,\sin \theta,\sin \theta,\$

(6c)

동일한 세계선상의 대응하는 비회전 페르미-워커 $사방체{\displaystyle {\mathbf{}}_f}$ (${\$ ) {\$displaystyle$ \$mathbf {f} _{(($eta)}})}는$$ 방정식 ^[83][84](2)의 페르미-워커 부분을 풀어서 구할 수 있다.또는 (6b)를 (3a)와 함께 사용할 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {mega }=\left[0,0,\display ^{2}p\right },\display \theta =\left {\boldsymbol {mbol },\theta =\light =\displaystymboldsymbol {2p},\right =\twalleft ^{{0},\t}p},\t},\t},\twalleft =,$

이제 (6c)와 함께 회전 각도$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Theta)$를 (3c)에 삽입할 수 있으며, 이에 따라 페르미-워커 테트라드는^[31][24] 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle{\begin{alignedat}{1}\mathbf{f}_{(0)}&^=\mathbf{e}_{(0)}&^=\gamma(1,\ -v\sin\theta,\ v\cos \theta,\ 0)\\\mathbf{f}_{(1)}&^=\mathbf{e}_{(1)}\cos-\mathbf{e}_{(2)}\sin \Theta 및 \Theta^=\left(-\gamma v\sin \Theta ,\ \cos\theta \cos \Theta +\gamma \sin\theta\sin \Theta ,\ \sin\theta\cos \Theta -\gam.남자 \cos \theta)신 \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf{f}_{(2)}&^=\mathbf{e}_{(1)}\sin \Theta +\mathbf{e}_{(2)}\cos\Theta 및^=\left(\gamma v\cos\theta\cos \Theta \sin,\ \cos\theta \sin \Theta -\gamma \Theta ,\ \sin\theta \sin \Theta +\gamma \cos\theta\cos \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf{f}_{(3)}&^=\mathbf{e}_{(3)}&^=(0,\ 0,\ 0,\ 1)\end{알.ignedat}}}$

다음에서 프레네-세레 테트라드는 변환을 공식화하기 위해 사용된다.변환(4b)에 (6c)를 삽입하고$$q {$displaystyle \mathbf {q}$에 대해 월드라인(6a)을 사용하면 좌표를^{[74][76][85][86][87][38]} 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {array} {c} {\displaystyle {array} 정렬됨T&=\gamma \left(\cos +\gamma yv\right)\X&=(x+h)\cos \theta \Y&=(x+h)\sin \theta +y\cos \theta \\z&\end{aligned}\beganu =\cos \t.\x&=cos \theta +Y\sin \theta -h\y&=\sin^{-1}\left(-X\sin \theta +Y\cos \theta \right)\z&=Z\end{array}}}$

(6d)

(${\displaystyle X}$ +${\displaystyle {}^{}h}$ )${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$+ ( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle Y}$ ) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}1}$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$2 ( \ $displaystyle ( X$ + $h$)^{2$}$ + ( \ $gamma$ Y )^2$}$ \ $leq$1/$p_{0$2$} 내$에서 유효합니다.

$\displaystyle ds^{2}=-\display ^{2}p_{0}^{0}-\display ^{0}p_{0}p_{0}d\display ^{2}y^{2}\right]d\display ^{2}p_{2\display ^{2}p_{2}p_{{{{{{{{\dy}\right}\d}+d}+dy}+d}$

회전 프레임의 중심에 있는 관찰자를 h ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ h$=0$으로 선택하면 방정식은 일반 회전 변환으로^[88][89][90] 감소합니다.

${\displaystyle {array} {c c} {\displaystyle {array} {\displayed}T&=t\X&=x\cos \theta -y\sin \theta \\Y&=x\sin \theta +y\cos \theta \\Z&=z\end{aligned}&{\begin{aligned}t&=T\x&=X\cos \theta +Y\sin \theta +Y=-X\sin \theta +Y\cos \z&=Z\end{aligned}&{\text{or}\quad {narged}T&=t\X+iY&=(x+iy)e^{i\theta}\\Z&=z\end{aligned}}\end{array}}$

(6e)

0< + < / 0 < \ $displaystyle$ 0 < \ $sqrt${ X^ { $2$} + 에서 유효합니다.$Y^{2}}<1/p_{0$ 및 메트릭

${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle =}$- [ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$- ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{\mathrm{}}^{}}$ ( ${\displaystyle x{}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle }$]${\displaystyle {}^{}}$ t${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$( - ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d}$x + ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \text{d}y}$ )$t$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$2${\displaystyle {}^{}}$+ $d$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ ( \ $displaystyle$ ds ^{2} = - \$left$ [ 1 - $p$_ { $0 }^2 \$ left$]$

마지막 방정식은 회전 원통 좌표(Born 좌표)^{[91][92][93][94][95]}로도 작성할 수 있습니다.

${\displaystyle {array} {c c c} {\displaystyle {array} {\displayed}T&=t&=r\cos(\phi+\theta)\\\\\Y&=r\sin(\phi +\theta)\Z&=z\end{aligned}&{\begin{aligned}t&=T\x&=r\cos(\Phi -\theta)\y&=r\sin(\Phi -\theta)\z&=Z\end{aligned}\rightarrow &{\signed}T&=t\R&=r\\\\Phi &=\phi +\theta \\Z&=z\end{aligned}&{\begin{aligned}t&=T\r&=R\phi &=Phi -\theta \\z&=Z\end{aligned}\end{array}}$

(6f)

0< < / \ $displaystyle$0 <$r$ <$1$ / $p$_ { $0$} which which which which 。

$\displaystyle ds^{2}=-\left(1-p_{0}^{2}r^{2}\오른쪽)dt^{2}+2p_{0}r^{2}dt\phi^{2}+dr^{2}\phi^{2}+dz^2}}$

프레임(6d, 6e, 6f)은 Ehrenfest 패러독스 및 Sagnac 효과 등 회전 플랫폼의 기하학적 구조를 설명하는 데 사용할 수 있습니다.

현수막

곡선 1 - > {\$displaystyle \kappa$_{$1}^{2}-\kappa$_{$2}>0$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ 3 $=$ {\$displaystyle \kappa$ _${3$}=$0}$은 공간 변환과^{[96][97][98][99][100][101][102]} 결합된 쌍곡선 운동을 생성한다.

$\displaystyle X=\left[{\frac}{a}\sinh(a\frac)\cosh(a\frac)\cosh(a\frac)\cisco n\fac,\fac 0\right]$

(7a)

어디에

${\displaystyle{\begin{배열}{ccc}{\begin{정렬}\kappa _{1}&, =\gamma a\\\kappa _{2}&, =na\end{정렬}}&{\begin{정렬}a&, ={\sqrt{\kappa_{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}}}\\n&, ={\frac{\kappa_{2}}{를}}=v\gamma ={\sqrt{\gamma ^{2}-1}}\\\eta&=a\tau \end{정렬}}&{\begin{정렬}v&, ={\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}}){\frac. {n}{\gamma}}\\\gamma 및^{\frac{\kappa _{1} {a}}=snapfrac {1}{\snaphrt {1-v^{2}}}=snaphrt {n^{2}+1}}\end{array}}$

(7b)

$여기$서$$v {\$displaystyle$ v$}$는 속도,$n{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ n$}$은 적정 속도, ${\$ {\$displaystyle \eta}$는 속도, ${\$ {\$displaystyle \gamma}$는 로렌츠 계수입니다.대응하는 Fredenet-Serret 테트라드는 다음과 같습니다.^[97][99]

$\displaystyle {displaystyle \cosh \eta , \n , \right ) \\mathbf {e} _{(1)\left (\sinh \eta , \cosh \eta , \\right ) _{\mathbf {e } &=\left ( \sinh \eta , \eta , \\cosh \eta , \eta ,\right )$

동일한 세계선상의 대응하는 비회전 페르미-워커 $사방체{\displaystyle {\mathbf{}}_f}$ (${\$ ) {\$displaystyle$ \$mathbf {f} _{(($eta)}})}는$$ 방정식 ^[102](2)의 페르미-워커 부분을 풀어서 구할 수 있다.(3a)에서 같은 결과가 나오는데, 이는 다음과 같다.

$\displaystyle \boldsymbol \left[0,0,na\right],\left \boldsymbol \right =na,\twright \Theta =\left \boldsymbol \mbol \na }$

(7a)와 함께 (3c)에 삽입할 수 있으며, 결과적으로 페르미-워커 4원자가 된다.

${\displaystyle{\begin{alignedat}{1}\mathbf{f}_{(0)}&^=\mathbf{e}_{(0)}&^=\left(\gamma\cosh \eta,\ \gamma \sinh \eta 0\right n,\ ,\)\\\mathbf{f}_{(1)}&^=\mathbf{e}_{(1)}\cos-\mathbf{e}_{(2)}\sin \Theta 및 \Theta^=\left(\sinh \eta \cos\Theta+n\cosh \eta \sin\Theta,\\cosh \eta \cos\Theta +n\sinh \eta\sin \Theta. ,\ \gamma \sin)Theta , \ 0 \ right ) \ \ \ mathbf { f } _ { (2) = \ mathbf { e } _ { (1) } \ sin \ Theta + \ mathbf { e } \ cos \ Theta & \ left ( \ sin \ eta \ sin \ sin \ ta - \ cos \ ta \ cos \ cos \ cos \ cos \ cos \ 、 \ ta \ ta \ cos \ ta \ ta \ ta \ ）$

적절한 좌표 또는 페르미 좌표는 (4b)에 e$({$$${$e} _{((eta$)})} 또는${\displaystyle {}_{}}f{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ $style)\$displaystyle \$mathbf$ {$f}$ _${($eta$)}})$를 $삽입$하여 이어집니다.

반관절 포물선

곡선 ${\displaystyle {\kappa \mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ - ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \kappa$_{$1}^{2}-\kappa$_{$2}=0$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ 3 $=$ {\$displaystyle \kappa$ _${3$}=$0}$은 반관상 포물선 또는 쿠스^{[103][104][105][106][107][108][109]} 운동을 생성한다.

${\displaystyle \text{X}\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle =}$ [ ${\displaystyle +}$ + 1 ${\displaystyle \frac{6}{}}$ ${\displaystyle a{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$3, ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 2}$ a ${\displaystyle \text{2}\frac{\mathrm{}}{}{}^{}}$2, 1 ${\displaystyle \frac{6}{}}$ ${\displaystyle a{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$3, $]$ { $displaystyle$ X = \$left$ [ \ $tau$ + { \ $frac${$1$} { $6$} $a$^ {$2$} \ $frac$^ { $3$} \ $frac${ 2 ^ 2 } \ $frac${ 2 ^ $2$} { 2 } } ^ 2 } { { { } { a } } { a } }

(8)

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle =}$ a$$ { $displaystyle \theta = a\display }$인 대응하는 Frenet-Serret 테트라드는 다음과 같다.^[104][106]

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{e}_{(0)}&, =\left(1+{\frac{1}{2}}\theta ^{2},\\theta ,\{\frac{1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf{e}_{(1)}&, =\left(\theta,\ 1,\ \theta ,\ 0\right)\\\mathbf{e}_{(2)}&, =\left(-{\frac{1}{2}}\theta ^{2},\-\theta,\ 1-{\frac{1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf{e}_{(3)}&, =\left(0,\ 0,\.0,\ 1\right)\end{aligned}}$

동일한 세계선상의 대응하는 비회전 페르미-워커 $사방체{\displaystyle {\mathbf{}}_f}$ (${\$ ) {\$displaystyle$ \$mathbf {f} _{(($eta)}})}는$$ 방정식 ^[109](2)의 페르미-워커 부분을 풀어서 구할 수 있다.(3a)에서 같은 결과가 나오는데, 이는 다음과 같다.

$\displaystyle \boldsymbol \left[0,0,a\right],\left \\boldsymbol \light =a,\context \Theta =\left \boldsymbol \light =a,\ta }$

이제 (8)와 함께 (3c)에 삽입하여 페르미-워커 테트라드를 생성할 수 있습니다(이 경우 $\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ $=$ {$displaystyle \Theta$ =\$theta$$$}).

${\displaystyle{\begin{alignedat}{1}\mathbf{f}_{(0)}&^=\mathbf{e}_{(0)}&^=\left(1+{\frac{1}{2}}\theta ^{2},\\theta ,\{\frac{1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf{f}_{(1)}&^=\mathbf{e}_{(1)}\cos-\mathbf{e}_{(2)}\sin \Theta 및 \Theta^=\left(\theta \cos \theta +{\frac{1}{2}}\theta ^{2}\sin \theta,\\cos\theta +\the.해 \sin \theta,)\theta\cos\theta +\left({\frac{1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\sin \theta ,\ 0\right)\\\mathbf{f}_{(2)}&^=\mathbf{e}_{(1)}\sin \Theta +\mathbf{e}_{(2)}\cos\Theta 및^=\left(\theta \sin \theta-{\frac{1}{2}}\theta ^{2}\cos\theta,\\sin\theta-\theta \cos \theta ,\\theta\sin \theta -\left({\frac{1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\cos \t.heta ,\0\right)\\mathbf {f}_{(3)}&\=\mathbf {e}_{(3)}&\=\left(0,\0,\0,\1\right)\end{alignedat}}}$

적절한 좌표 또는 페르미 좌표는 (4b)에 e$({$$${$e} _{((eta$)})} 또는${\displaystyle {}_{}}f{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ $style)\$displaystyle \$mathbf$ {$f}$ _${($eta$)}})$를 $삽입$하여 이어집니다.

일반적인 경우

곡선 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}0}$ 0$$\ $displaystyle$ \$kappa$$$_ {$$$1$} \ $neq$$$0$$、 ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2$0$0 、 {\${\displaystyle {}_{}}$3$$ 0$0$ 0 \ $displaystyle$ \ $kappa _$ ${$3} \ $neq$0 produce$$ circular circular circular circular circular circular 、 균일한 원형 운동과 결합된 쌍곡선 운동을 생성합니다.세계선은 에 의해 주어진다^{[110][111][112][113][114][115][116]}.

$(*displaystyle X=\left[{\frac }{a}}\sinh(a\flac)}\cosh(a\flac)\cosh(a\flac)\frac {n}{p\flac}\sin(p\fright)\frac {n}\frac {n}\cos(p\fright)$

(9a)

어디에

${\displaystyle {array}{c}{\display{array}\kappa_{1}\displayrt {n^2}p^{2}+\displayrt {n^{2}\kappa_{1}&=displayfrac {1}\left(a^2+p^2}\displayright)}}\p&=snmrt {\frac {1}{2}\leftfrac\kappa _{1}^2}+\kappa _{2}+\kappa _{3}^2}+r\right)}=\capa p_{0}\\n&=capart {\frac {1}{r}\left[\kappa _{1}{r}\left[\kappa _{1}+\kappa _{2}+\kappa _{3}^2}+\kappa _{3}^{2}\right]-1\right)}}={frac{kappa_{1}^{2}-a^{2}}{p^{2}+a^{2}}}}=v\capa = paramrt {\frac {1}-1}\faramrt {\frac {2}\left[\kappa _{1}{r}\left [\kappa _{2}+\kappa _{3}^{2}+1\right]}}={frac{kappa_{1}^{2}+p^{2}가 아닙니다.}}{p^{2}+a^{2}}}}}}=paramfrac {1}{\paramrt {1-v^{2}}}=paramrt {n^2}+1}\r&=paramrt {left(\kappa _{1}-\kappa _{2}-\kappa _{2}-{3}^2}\kappa _{2}\kappa_{1}_kappa_kappa {{1}_k}_kappa}_{{1}_k}_k}{1}_k}}{{1}_k}}}}}{{{{1}}$

(9b)

$v{\displaystyle }${\$displaystyle$ v$}$를 접선 속도로,$n{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ n$}$을 적절한 접선 속도로,$$${\$ {\$displaystyle \eta}$를 궤도 반지름으로, ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 0 {\$displaystyle$$$p_$${$0}$을 좌표 각 속도로,$p{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ p$}$를 적절한 각 속도로 $지정$합니다.$$».$ystyle \theta }$는 회전각으로,$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle \gamma)$는 로렌츠 계수입니다.프레네-세레 테트라드는^[111][113]

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{e}_{(0)}&, =\left(\gamma\cosh \eta,\ \gamma \sinh\eta,\ -n\sin \theta,\ -n\cos \right \theta)\\\mathbf{e}_{(1)}&, ={\frac{1}{\kappa_{1}}}\left(\gamma a\sinh \eta,\ \gammaa\cosh \eta,\ -np\cos \theta,\ -np\sin \theta \right)\\\mathbf{e}_{(2)}&, =\left(-n\cosh \eta\eta,\ \gamm -n\sinh ,\.한\sin \theta,\cos \theta \right)\\mathbf {e}_{(3)}&=cosfrac {1}{\kappa _{1}\left(np\sinh \eta, np\cosh \eta, \cosh \theta, \cos \theta, \sin a\theta \theta\right)\mathbf {ea} 정렬됨$

${\displaystyle {\mathrm{동일}}_{}}$한 세계선상의 대응하는 비회전 페르미-워커 $테트라{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$f ( $)$ {\$displaystyle$ \$mathbf {f}$_{(\eta$)}}$는 다음과 같다.먼저 (9b)를 (3a)에 삽입하면 (9a)와 함께 (3b, 왼쪽)에 삽입할 수 있는 각속도를 얻을 수 있고, 마지막으로 (3b, 오른쪽)에 삽입하면 페르미-워커 테트라드가 생성됩니다.적절한 좌표 또는 페르미 좌표는 (4b)에 e$({$$\mathbf {e$$} _$${(($$eta$$)})}$ 또는${\displaystyle {}_{}}f{\displaystyle {\mathbf{}}_{(\{(}}$ $into)})$를 $삽입$하면 됩니다(결과 표현은 길이 때문에 여기에 표시되지 않습니다).

이력 공식의 개요

이전 #History 섹션에서 설명한 것 외에 Herglotz, Kottler 및 Möller의 기여가 더 자세히 설명되어 있습니다. 이들 저자는 평평한 시공간에서 가속 운동을 광범위하게 분류했기 때문입니다.

헤르고츠

Herglotz(1909)^{[H 5]}는 미터법이 다음과 같이 주장했다.

${\displaystyle ds^{2}=d\frac^{2}+{1}{A_{44}}(d\nu)^{2}}$

어디에

$({displaystyle {argent}d\nu &=A_{14}d\xi _{1}+A_{24}d\xi _{2}+A_{34}d\xi _{4}d\xi _{4}\d\d\xi ^{2}&=\sum{1}{3}d_i_i}a_i_i}a_i_i_i}$

는 $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}}$∂ ${\displaystyle \frac{}{}}$ 、 d ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ 0 { \ displaystyle \ $frac$ \ $flac }${ \ $flac$ \ $flac } d$\ $flac$^ { 2 =$0$}일 때 Born 강성 조건을 충족합니다.그는 Born 강체의 움직임은 일반적으로 점 중 하나의 움직임(클래스 A)에 의해 결정된다고 지적했다. 단, 3개의 곡선이 일정하여 나선(클래스 B)을 나타내는 세계선은 예외이다.후자의 경우, Herglotz는 일련의 움직임의 궤적에 해당하는 다음과 같은 좌표 변환을 제공했다.

(H1) ${\displaystyle x_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}{}_{}{i}_{}}$ +${\displaystyle \underset{1\mathrm{}}{\overset{}{}}}$ 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ a ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ , ${\displaystyle i}$ $=$,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4}$({$displaystyle x_{i$}=$a_{i}+\sum$ _${1}a_{ij}x_{j$}^{\prime $},$ \$qquad$ i$=1,2,3,$4$\},$

$여기$서 $(\$})와 $(\$는 적절한 시간의 $함수$이다$.$ $(\displaystyle \vartheta$에 대한 차이를 통해 $(\$})를$$ 일정하다고 $가정$하여 구했다.

(H2) ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ + ${\displaystyle q_{}}$i +${\displaystyle \underset{1\mathrm{}}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ p ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ $0$ ( { $displaystyle${ $frac _${ $i$}^{ \ $prime$} } { d \ $vartheta$} } } + $q$_ { i } + $\$ sum _$4$} p _ { ij } $x _$ { { j } =$$0$。$

여기서 $({$})는 S$({$ S$\text{'})$의 $원점{\displaystyle {}^{}}$ O$({$$displaystyle$ O$')$의 4속도를 나타내며$,{\displaystyle }$ $-p_{ij}$는 6벡터(즉, 2차, 2차, 2차, 2차 또는 6개의 bctor를 갖는 반대칭 4텐터)이다.O$주위$에 S의$$도시(\$displaystyle$ S$\text{'})$가 $있습니다{\displaystyle {}^{}}$. 다른 6개의 벡터와 마찬가지로, 두 개의 불변수가 있습니다.

$디스플레이 스타일D&=p_{23}p_{14}+p_{31)p_{24}+p_{12}p_{34},\Delta &=p_{23}^2}+p_{2}+p_{12}+p_{2}+p_{14}^{2}+p_{14}+p_{2}+p_{24}^{34}^{24}^{}}^{24}}}}^{\\\\\Delta}^{24}}^{{24}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle x_{}^{}}$ j ${\$ {\$displaystyle x_{j}^{\prime}}$이 상수이고 ${\$${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \vartheta}$가 가변인 $경우{\displaystyle {}_{}^{}}$, (H1)에서 설명하는 모든 동작군은 그룹을 형성하고 등거리 곡선 계열에 해당하며, 따라서 S$$to {\$displaystyle$ S$\text{'}$와 견고하게 연결되어 있기 때문에 Born 강성을 만족시킵니다.운동 그룹(H2)은 임의의 상수 $값$인 ${\displaystyle q_{}}$i {\$displaystyle q_{i$$}$ $및$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle p_{ij$와 통합할 수 있습니다. 회전 운동의 경우 $불변량{\displaystyle }$D {\$displaystyle$ D$}$ 또는$$$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Delta$})가$$ 0인지 여부에 따라 4개의 그룹이 생성됩니다.이들 그룹은 로렌츠 변환($4의 회전$)이 R$$의 쌍곡선 운동(R 3의 \displaystyle R_${3$에 대응한다는 가정에 대한 이전 섹션에서 이미 Herglotz에 의해 도출된 로렌츠 변환의 4개의 단일 파라미터 그룹에 대응한다.후자는 19세기에 연구되었고 펠릭스 클라인에 의해 로크소드로믹, 타원, 쌍곡선, 포물선 운동으로 분류되었다.

코틀러

프리드리히 Kottler(1912년)[H6], 끊임 없는 curvatures의 같은 worldlines 4차원의, c고{\displaystyle c^{(\alpha)}}이 worldline의 사분 comoving로 다음과 같이Frenet–Serret 공식을 사용하여 파생하고 1R1,1R2,1R3{\displaystyle{\frac{1}{R_{1}}},\ Herglotz을 따라갔다.3개의 곡선으로서 {\$frac {1}$ {$R_{2}},\{frac$ ${1$} ${R_{3$}}}}

${\displaystyle {\frac {dc_{1}^{\alpha}}{ds}=\{\frac {dc_{2}^{(alpha)}}{ds}=\{\frac {dc_{3}^{{{\alpha}}}}}}{\frac {ds}=\frac {ds}}{{{{{{\frac}}}}}}}}}}}}}}{dsend}}}}}}}}}{ds}}}}.{\frac {c_{2}^{\alpha}}{R_{1}}{\-{c_{1}^{(alpha)}}{R_{1}}{{{\frac {c}{{\alpha}}}}}&*{\frac {c}{{{{\frac}}}{\frac {{{{\frc}}}}}{\frac {{{{\frac}}}}}}}{\frac}}{{{{{\frac}}}}}}}}}}}}}}$

(1)에 상당한다.코틀러는 테트라드가 그러한 세계선에 대한 기준 프레임으로 보일 수 있다고 지적했다.그리고 나서 그는 궤적에 대한 변형을 주었다.

$y$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$+${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ( (${\displaystyle 1^{}}$ ) ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 2 (${\displaystyle 2^{}}$ ) ${\displaystyle {}^{}{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ( ( ${\displaystyle 3^{}}$) ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$3 +${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle 4^{}}$( 4 )$$ 4 { $displaystyle$ \ $mathbf { y }$= \ $Gamma$^ { (1)$c _$ { 1 + \ $Gamma }$ { $2$}

(4a)와 합의하여코틀러는 또한 기저 벡터가 정상 공간에 고정되어 있기 때문에 어떤 회전도 공유하지 않는 사각형도 정의했다.이 케이스는 다음 두 가지 케이스로 더욱 구분되었습니다.접선(즉, 타임라이크) 테트라드 필드가 일정할 경우 공간상의 테트라드 $필드{\displaystyle {}_{}^{}}$ c ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}{)}_{}^{}}$ , c${\displaystyle {}_{3\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle h_{}^{}{)}_{}^{}}$ , ${\displaystyle {}_{4\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle h_{}^{}}$ $){$ $displaystyle {c_{2}^{(h), c_{3}^{(h), c_{4}^(h)}}$는 b ${\displaystyle {}_{}^{}{h\mathrm{}}_{}^{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ h${\displaystyle {}_{}^{}}$) , h ) , h , h ,${\displaystyle {}_{}^{}}$h , h , h , h , h ) , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , h , ho는 접선과 "확실히" 연결되어 있습니다.

${\displaystyle {mathbf {y} = \mathbf {x} + \eta _{0}^{(1) c_{1} + \eta _{0}^{(2) b_{2} + \eta _{3} + \eta _{0}^{(4)}$

$두$ 번째 경우는 ${\displaystyle {(}^{}}$ (${\displaystyle 1^{}}$ ) $=$ ${\displaystyle 0}$ ( \ $displaystyle${ { ^ { (1) $=$ 0$\}$ )으로 설정함으로써 정상 공간에서의 벡터 "변환"으로, 이는 Herglotz가 부여한 클래스 B에 해당한다고 코틀러는 지적했다(이것은 "Born's body of secondary").

${\displaystyle \mathbf{y}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x\mathbf{}}$+ ${\displaystyle {\eta \mathrm{}}_{}^{}}$0 (${\displaystyle {}_{}^{}}$2 ) ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$2 + ${\displaystyle {\eta \mathrm{}}_{}^{}}$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle 3_{}^{}}$) ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$3 + ${\displaystyle {\eta \mathrm{}}_{}^{}}$0 ($4$ ) ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 4$$\ $displaystyle$\ $mathbf${ $y$} = \ $mathbf${$x }$ + \ $eta _$ { 0$}^{$ ($2$ ) + \ }$b _$ { $0$^{ ($4 }$

그리고 Herglotz(코틀러가 "Born's body of first"라고 부르는)의 클래스(A)는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {mathbf {y} =\mathbf {x} +\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{4}}$

둘 다 공식(4b)에 해당한다.

---

(1914a)^{[H 6]}에서 코틀러는 변형이

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x}$+${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 1 ( ${\displaystyle 1^{}}$) ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 2 (${\displaystyle 2^{}}$ ) ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$2 +${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 3 ( ${\displaystyle 3^{}}$) ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$3 +${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 4 (${\displaystyle 4^{}}$ ) ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ { $displaystyle$ X =$x$+ \ $Gamma$^ { (1$)$ } $c_{1}$ $+$ \ $Gamma ^$ { $( 3$ )

describes 、 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$（ ${\displaystyle 1^{}}$） ${\displaystyle {}^{}}$ { $displaystyle$\ $Gamma$^ { (1) =$0$} 변환 시, 본체의 점의 연속하지 않은 좌표를 나타냅니다.

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle =x}$ +${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ( (${\displaystyle 2^{}}$ ) ${\displaystyle {}^{}{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 3 (${\displaystyle 3^{}}$ ) ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$3 +${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 4 (${\displaystyle 4^{}}$ ) ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$4 { $display$ X =$x$+ \ $Gamma$^ { (2$) c _$ {2$}$ + \ $Gamma$^ { (3$) c _$ ${$3$}$ + \ $Gamma$^ { 4$$} ,

에서는 본체 점의 동시 좌표를 설명합니다.이 공식들은 삽입함으로써 "일반화된 로렌츠 변환"이 된다.

$\displaystyle \Gamma ^{(3)}=X',\quad \Gamma ^{(4)}=Y',\quad \Gamma ^{(2)=Z',\quad \Gamma ^{(1)}=ic(T'-\tau)$

따라서

${\displaystyle X-x=ic(T'-\tau)c_{1}+Z'c_{2}+X'c_{3}+Y'c_{4}}$

(4b)와 일치한다.그는 '적절한 좌표'와 '적절한 프레임'(독일어:Igenkoordinaten, Eigensystem). 시간 축이 월드 라인의 각 접선과 일치하는 시스템에 사용됩니다.그는 또한 세계선이 정의되는 두 번째 종류의 Born rogid body를 보여주었습니다.

${\displaystyle \mathfrak{X}}$ ${\displaystyle =x}$ +${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ( (${\displaystyle {}^{}{2}^{}}$ ) ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$+${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 3 ( ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$) c 3${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle 4^{}}$ ( ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$4 { $displaystyle${ $mathfrak${$$X} =$x$+ \ $Delta$^ { (2)$c _ {2}$+ \ $Delta$^ { $4 }$ , {$4$}

는 적절한 프레임을 정의하는데 특히 적합합니다.이 공식을 사용하여 쌍곡선 운동(자유낙하)과 균일한 원형 운동을 위한 적절한 프레임을 정의했습니다.

쌍곡선 운동	균일한 원운동
1914b	1914a	1921
${\displaystyle \scriptstyle{\begin{행렬}{\begin{행렬}c_{1}^{ᆨ}=0,&, &, c_{1}^{ᆩ}=0,&,&c_{1}^{ᆪ}={\frac{1}{나는}}\sinh u,&, &, c_{1}^{ᆫ}=\cosh u,\\c_{2}^{ᆬ}=0,&, &, c_{2}^{ᆭ}=0,&,&c_{2}^{ᆮ}={\frac{1}{나는}}\cosh u,&,&c_{2}^{ᆯ}=-\sinh u,\\c_{3}^{ᆰ}=1,&, &, c_{3}^{ᆱ}=0,&,&c_{3}^{ᆲ}=0,&.앰프,&c_{3}^{(4)}=0,\\c_{4}^{(1)}=0,&, &, c_{4}^{(2)}=1,&, &, c_{4}^{(3)}=0,&.&c_{4}^{(4)}=0,\end{\boldsymbol {downarrow}}\X=x+\Delta^{(2)}c_{3}+\Delta^{4}\boldsymbolY&=y_{0}+{\mathfrak {Y}}'\Z&=left(b+{\mathfrak {Z}}\right)\cosh(b+{\mathfrak {Z}}'\left(b+{\mathfrak {Z}}\right})\sin(좌우측방향 정렬)\\{\boldsymbol {downarrow }}\{\mathfrak {X}}'&=X_{0}-x_{0}+q_{x}T\{\mathfrak {Y}}'&=Y_{0}-y_{0}+q_{y}T\b+{\mathfrak {Z}}'&=sqrt {left(Z_{0}+q_{x})T\right)^{2}-c^{2}T^{2}}\c{\mathfrak {T}}'&=b\operatorname {artanh}{Frac {cT}{Z_{0}+q_{x}T}}\end{aligned}\\left(X=X_{0}+q_{x}T,\Y=Y_{0}+q_{y}T,\Z=Z_{0}+q_{x}오른쪽)\\{\boldsymbol {downarrow }}\dS^{2}=(d{\mathfrak {X}})^{2}+(d{\mathfrak {Z}})^{2}+(d{\mathfrak {Z})^{2}\left({\frac {b+{\mathb})})}}}}}}{{FRAK}}}}}}}}}}}}{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	$\displaystyle \scriptstyle {\script}{\script}{{\script}{{\cisco{1}^{h}}=-{\frac {a\mega\sin\mega t}}}}=-{\frac {a^2}\cos\cos\c}{cript}{c}{cript}{{{{{{c}}}}}}}}}}}{t1}}}}}{criptic {criptic {c}}}}}{a\c}}_{3}^{(h)}=-{\frac {1-{\frac {a^{2}\opha ^{2}}}{c^{2}}}},\frac {1-{\frac {a^2}\opha ^{c}}}},\frac {1-{\frac {a^{2}}, {c}}}}, {c}}}}, {\frac {\frac {\frac {\frac {{c}}}}}, {c}, {c}}, {c}}}},}c_{2}^{(h)}+\Gamma ^{(3)}^{(h)}+\Gamma ^{(4)}c_{(4)}}\boldsymbol {downarrow}}}\{\{\begin{aligned}X=&a\cos\cos \Omega-{(FRACA){{{(h)}{(FRACA)Theta ' {\sqrt {1-{\frac {a^{2}\obe ^{2}}}{c^{2}}}}}}:\sin \obe t+R\cos \obe t\\\Y=&a\sin \omega t+{\frac {a\omega (T-t)+\Theta ' {\csigrt {1-{\frac {a^{2}\ofec {c^{2}}}}}}}:\cos \omega t+R'\sin \Omega t\Z=&z_{0}+Z'\icT=&ic+{\frac {(T-\tau}+{fraca}}{fraca}}}{fraca}}{fraca}}}{c}}}}}}}Theta ' {\sqrt {1-{\frac {a^{2}\opega ^{2}}}:{c^{2}}}}}:\end{aligned}}\end{matrix}}}$	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}X&=(a+x')\cos \mega t-{\frac {a^2}\mega ^{2}}}}:\sin \mega t\Y&=(a+x')\sin \ofega t+{\frac {y'}{\frac {1-{\frac {a^{2}\obega ^{2}}}}}:\cos \ope t\Z&=b+z'\\\\cosT&=t+{\frac {\frac {a\Omega}{c^{2}}}}는 y'}{\sqrt{1-{\frac{{2a^}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}\\&, t'=t{\sqrt{1-{\frac{{2a^}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}\end{정렬}}\\{\boldsymbol{\downarrow}}\\{\begin{정렬}ds^{2}=&, dx^{\prime 2}+dy^{\prime 2}+dz^{\prime 2}-2{\frac{\omega는 y의}{\sqrt{1-{\frac{{2a^}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}dx'dt+2{\frac{\omega)의}{\sqrt{1-{\frac{{2a^}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}dy'dt\&+\leftc^{2}+(a+x')^{2}\opha^{2}+{\frac {y^{\prime2}\opha^{2}{1-{\frac {a^{2}\opha^{2}}{c^{2}}}}{\end}}{end}}}}{\frac{{\frac}}}}}}}}{{{\frac}}}}}}}}}}\frac{{{{\prac}}}}}}}}}}}$

(1916a)에서 코틀러는 세 가지 곡선에 기초한 가속도-상대 운동에 대한 일반적인 메트릭을 제공했다.

${\displaystyle{\begin{정렬}dS^{2}=&, d\xi ^{\prime 2}+d\eta ^{\prime 2}+d\zeta ^{\prime 2}-2c\ d\tau 'd\xi '\cdot \eta 'i{2}+2c\d\tau 'd\eta '\cdot \left(\xi 'i/R_{2}-\zeta{3}'i/R_ \right)+c\ d\tau'd\zeta'\cdot \eta 'i{3}\\&, -c^{2}d\tau ^{\prime 2}\left는 경우에는 \left(1-\xi '/R_{1}\right)^{2}+\eta ^{\prime 2}{2}^{2}+\eta ^{\prime}/R_{3.}^{2}+\left(\xi '/R_{2}-\zeta '/R_{3}\right)^{2}\right]\end{aligned}})$

(1916b)에서 그는 다음과 같은 형식을 취했다.

$({displaystyle {ds^{2}=dy^{2}+dz^{2}+2g_{14}dy\dit+2g_{24}dz\dit+g_{44}(dit)^{2}})$

${\displaystyle {\mathrm{g}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{g}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ g ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ g ${\displaystyle {44}_{}}$ ${$$style$ ${g_{24} g_{34} g_{44}}$는 t$${$displaystyle$ t$\}$에서 제외됩니다.${\displaystyle \frac{{}_{}}{}},{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{gi}}_{}}{}}$ 4${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}{}_{}}}$ g ${\displaystyle \frac{k_{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}\frac{\mathrm{}}{}}$k ${\displaystyle \frac{4_{}}{\mathrm{}}\mathrm{partial}}$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$0 {$display g _$ { $i4}$ {\ $display$x $}$ { $frac$ } 。${\displaystyle \frac{k_{}}{}-\partial \frac{\mathrm{}}{}\frac{g_{}}{}\frac{{\mathrm{k}}_{}}{}4\frac{{}_{}}{\mathrm{}}\frac{{}_{}}{}\frac{i_{}}{}\frac{{}_{}}{}\text{const.}}$${\displaystyle {\frac g_{i4}}-{\frac {\frac g_{k4}}{\frac x_{i}}= 텍스트 {const}.$$\}\}$ $g$ ${\displaystyle${g$$$}}$ $xyz$의$$$선형$입니다.

뮐러

뮐러(1952)^[7]는 다음과 같은 수송 방정식을 정의했다.

${{displaystyle {de_{i}}{d\fl}}={left(e_{l}{\dot {U}}_{l}\right}U_{i}-{\dot {U}}_{i}\left(i_{l}U_{l}\right)}{c^{2}}}}}:$

(2, 회전하지 않음)에 의한 페르미-워커 운송에 합의한다.순간적인 관성 프레임으로 로렌츠 변환은 그에 의해 주어졌습니다.

${\displaystyle x_{i}=f_{i}(\display)+x_{k}^{\prime}\alpha _{ki}(\display)}$

(4a)와 합의하여${\displaystyle x^{}}$ i $=$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ l ${\$ {\$displaystyle$ x$^{i$}=$x\_{\displaystyle {}_{}^{}}$${l}^{\prime$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}^{}}$ 4 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0}${\$displaystyle x_{4}^{\$prime}=$0$$},$ ${\displaystyle t}$ $=$= $display$ {\$displaystyle$t=\display $\}$로 설정함으로써 "강체 기준 프레임의 생생한 아날로그"로 변환했다.

$\displaystyle X_{i}=f_{i}(t)+x^{\prime \kappa }\alpha _{\kappa i}(\displaystyle)}$

페르미 좌표(4b)와 일치하여

${\displaystyle ds^{2}=dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa}x^{\kappa}}}}{c^{2}\right]^{2}}$

회전하지 않고 페르미 미터법(4c)과 일치한다.그는 쌍곡선 운동과 균일한 원운동의 페르미-워커 사각형과 페르미 프레임을 얻었다(쌍곡선 운동에 대한 일부 공식은 1943년에 그에 의해 이미 도출되었다).

쌍곡선 운동		균일한 원운동
1943	1952	1952
${\displaystyle {\scriptstyle} {\scriptstyle {\criptfrac {1} {g}} \ {\criptrt {(1+gX)^2} - g^{2}T^{2}}-1\right\}\y&=Y\\z&=Z\t&=frac {1}{2g}\ln {frac {1+gX+g}T}{1+gX-gT}\end{aligned}\{\boldsymbol {downarrow}}\\ds^{2}=dy^{2}+dz^{2}-(1+gx)^{2}dt^{2}\end{aligned}}}}}}$	$\scriptstyle \scriptstyle \criptstyle \\alpha _{ik}=\left({\begin{ 매트릭스}U_{4}/ic&0&iU_{1}/c\0&1&0&0&0&0&1&0&0\\\\\left;U_{1}/ic&0&U_{4}/ic\end{matrix}\right)\\\U_{i}=\left(c\sinh {g\frac }{c},\0,\ig\cosh {g\frac }{c}}\오른쪽)\\{\boldsymbol {downarrow }}\X_{i}=\mathbf {f}_{i}+x^{\prime \kappa}\alpha _{\kappa i}\{\boldsymbol {downarrow }}}\{\{\gin{g}}{c}}}}{gin{c}}}}{c}}}}{f}{f}}}}{f}}{f}}{f}}}}}}}{frc}Y&=y\Z&=z\\T&=boldsymbol {downarrow } = bladsymbol {c} {downarrow } = bladsymbol {c} {g} {g} {sinh \ frac {gt} {c} + x frac {c} {c} {c} {c} {c} \end {c} {c}$	${\displaystyle \scriptstyle{\begin{행렬}\alpha _{ik}=\left({\begin{행렬}\cos, -i{\frac{u\gamma}{c}}\sin\beta \\\cos\beta 및 \cos \sin\beta -\gamma \sin \alpha \alpha,\sin \alpha \sin\beta +\gamma \cos \alpha \cos \beta\beta 및 \sin \cos\beta +\gamma \sin \alpha,\sin \alpha \cos\beta -\gamma \cos \alpha \sin\beta&0& \alpha. &0&, 나는{\frac{u\gama }{c}\cos \cos \0&1&0\i440frac {u\c}\sin \alpha &-i440frac {u\clac }{c}\cos \alpha & 0&\clash {u}\right)\{\alpha =\Omega \displicate \displicate },\{\displicate \alpha =\Omega \displicate ^{2}\disples } 。\end{filename}}$

Herglotz와 Kottler의 일정한 곡선 세계선

일반적인 경우	균일한 회전	현수막	반관절 포물선	쌍곡선 운동
헤르글로츠 (1909)
록소드로믹	타원형의	쌍곡선의	포물선	쌍곡선의 ${\displaystyle \scriptstyle (\alpha = 0)}$
$\scriptstyle \begin{matrix}D\neq 0\\p_{21}=1\p_{34}=-p_{43)=i\q_{i}=[0,0,0]\end{neq}}$	${\displaystyle\scriptstyle\begin{matrix}D=0,\Delta>0\p_{21}=1\\q_{i}=[0,0,\cript i]\end{cli}$	$\scriptstyle \begin{matrix}D=0,\Delta <0\p_{34}=-p_{43)=i\\\q_{i}=[\alpha,0,0]\end{i}}$	${\displaystyle \scriptstyle \begin{matrix}D=0,\Delta =0\p_{31}=1\p_{13}=-p_{14}=i\q_{i}=[0,\criptsi]\{end}$
로렌츠 변환
$\scriptstyle \scriptstyle \sys {aligned}x+iy&=(x'+iy')e^{-i\sysda \varteta }\t-z&=(x'-i')e^{-z')\vta\ta\ta&ta\ta\t}$	$\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle x+iy&=(x'+iy')e^{i\vartheta}\x-iy&=(x'-iy')e^{-i\vartheta}\z&=z'\t&='+\disples\vartheta\end{aligned}}}$	$(\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle {argent { aligned }x&=(t'-z')e^{\t-z}\t+z&=(t'+z')e^{-\vartheta }\end {\aligned})$	$\scriptstyle \scriptstyle \scriptstyle {\frac {1}{2}\script \x&=x'+\vartheta x'+\frac {1}{2}\scriptstyle \z&=z'+\frac {1}{2} ^2}$	$\scriptstyle \scriptstyle \sys {aligned}x&=y'\t-z&=(t'-z')e^{-\vartheta }\end{aligned}$
궤적(시간)
$\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle \script{aligned}x+iy&=(x_{0}-iy_{0})e^{-i\scriptda u}\z&=scriptrt {z_{0}+iy_{0}^2^2}}\u&=\lg {frac {\frac {z_{0}^{2}+t^{2}}-t}{z_{0}}\end{aligned}}$	$\displaystyle \scriptstyle {t}x+iy&=(x_{0}+iy_{0}) e^{x_iy&=(x_{0}-iy_{0}) e^{-iscriptfrac {t}{t}\z={0}}} 정렬$	${\displaystyle \scriptstyle {\display{aligned}x&=x_{0}+alpha \lg {frac {\displayrt {z_{0}+t^{2}}-t}{z_{0}\y=y_{0}\z&=discriptrt {z_{0}+t^2}}}\end {aligned}}$	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}\flac \vartheta ^{2}\y&=y_{0}+\flash \vartheta \\z&=z_{0}+x_{0}}\vartheta +{\frac {1}{6}}\contrac \vartheta ^{3}\\t-z&=\contrac \end{aligned}}}$	${\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle \x&=x_{0}\y&=y_{0}\z&=scriptrt {z_{0}^2}+t^{2}}}\end {aligned}}$
코틀러(1912, 1914)
초구 곡선	균일 회전	현수막	입방 곡선	쌍곡선 운동
곡선
${\displaystyle\scriptstyle\leftfrac {1}{R_{1}\right)^{2}&=scriptfrac {a^{2}\scriptda ^{4}+b^{2}{\left(b^{2}-a^{2}\flac{2}\right)^2}\\flac {1}{R_{2}\right)^2}&={flac {a^{2}\flac {2}\flac {2}\fright}{2}\frac {{2}\frak{2}\frak{2}\fright}{{2}\f}}}}}}{{{\fright}}}}}}}}}}}}}}{{{{{\f}}}}}}}}}}\오른쪽)}}\\frac {1}{R_{3}}\오른쪽)^{2}&=-{\frac {a^{2}\frac{4}+b^{2}}}\end {aligned}}$	${\displaystyle \scriptstyle {1}\frac {R_{1}\오른쪽)^{2}&=flac {a^{2}\flac {4}{\left(1-a^{2}\flac{2}\right)^2}\\flac {R}{2}{2}}{}{}{}{}}{}{}}}}{}}}} {right}$	${\displaystyle \scriptstyle {\displaystyle {1}\frac {1}\right)^{2}&=b^{2}{\left(b^2}-\alpha ^{2}\right)^2}\left\frac {RAC1}{R_{1}\frac{1}\right}^{2}{{}{{}}}{\frac{{}}}\frcrcright}}{{{{}}}}}}}\frac{frac}}}}}}}}}{$	${\displaystyle \scriptstyle{\begin{정렬}({\frac{1}{R_{1}}}\right)^{2}&, ={\frac{\alpha ^{2}}{\left(\alpha ^{2}+2x_{0}일 경우 ^{(1)}\right)^{2}}}\\\left({\frac{1}{R_{2}}}\right)^{2}&, =-{\frac{\alpha ^{2}}{\left(\alpha ^{2}+2x_{0}일 경우 ^{(1)}\right)^{2}}}=-\left({\frac{1}{R_{1}}}\right)^ᆷ\\\left({\frac{1}{R_{3}}}\right)^{2}&, =0\end{정렬했다.}}}$	${\displaystyle \scriptstyle {1}\frac {1}\right)^{2}&=frac {1}{b^{2}\\left\frac {1}{2}\right)^2}&=0\left({\frac {1}\right}{3}{}{}}}}{}}}}{{}}}}}} {right}$
${\displaystyle {S4}_{}}$의$$궤적 \$displaystyle \scriptstyle S_{4}$
$\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle \scriptstyle \cos \scos \left(u-u_{0}\오른쪽)\\x^{(2)}&=a\sin \sin\left(u-u_{0}\오른쪽)\\x^{(3)}&=b\cos iu\\x^{(4)}&=b\sin iu\end {aligned}}$	$\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle \scriptstyle \cos \scos \left(u-u_{0}\오른쪽)\\x^{(2)}&=a\sin \sin\left(u-u_{0}\오른쪽)\\x^{(3)}&=x_{0}^{(3)}\x^{(4)}&=syslog\end{aligned}}$	${{displaystyle\scriptstyle\x{aligned}x^{(1)+\alpha u\x^{(2)}\x^{(3)}&=b\cos iu\x^{(4)=b\sin iu{end}} 정렬$	${\displaystyle \scriptstyle {syslog {aligned}x^{(1)+{\frac {1}{2}\x^{(2)\x_{0}{(2)\x^{(3)+{1}^0}{1}^{{1}}{{1}}{1}{1}}{{}}}}{}}}}{\x}}}{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}{{{{\x}}}}}}}}}}}\x}}}}}}}}}}}}$	$\scriptstyle \scriptstyle \sys {aligned}x^{(1)\x^{(2)}&=x_{0}^{(2)\x^{(3)}&=b\cos iu\x^{(4)}&=b\sin iu\end {aligned}}$
궤적(시간)
$\scriptstyle \scriptstyle \syslogda \left(u-u_{0}\오른쪽)\\y&=a\sin \sin \left(u-u_{0}\right)\z&=secrt {b^{2}+c^{2}t^{2}}\u&=\ln {-frac {-ct+{\c^{2}t^{2}}}{b}}}\endrated$	$\displaystyle \scriptstyle \cisco {aligned}x&=a\cos \mega _{z}\left(t-t_{0}\오른쪽)\\y&=a\sin \mega _{z}\left(t-t_{0}\right)\z&=z_{0}\end{aligned}}$	${\displaystyle \scriptstyle {b^{2}+c^{2}t^{2}}}{b}}\y&=y_{0}\z&=c^{2}{\aligned}{frac {-ct+}+alpha \ln {b^{b^{2}}}}}{b}}}}}:\y&=y_y_y_y_{0}\z&=y_c^{b^{b^{b^{b^{b^{b^{b}\c^{t{b}{b}$	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}\y&=y_{0}\z&=z_{0}+x_{0}}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3}\ct&=z_{0}+x_{0}}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3}+\alpha u\&=z+\alpha u\end {aligned}}$	${\displaystyle \scriptstyle {narged}x&=x_{0}\y&=y_{0}\z&=c^{2}t^{2}}\end{aligned}}$

레퍼런스

참고 문헌

교재

• 1911년 초판, 1913년 제2판, 1919년 제3판von Laue, M. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (fourth edition of "Das Relativitätsprinzip" ed.). Vieweg..
• Pauli, W. (1921). "Die Relativitätstheorie". Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften. Vol. 5. Leipzig, B.G. Teubner. pp. 539–776. 2013년 신판: 에디터:도메니코 줄리아니, 스프링거, 2013 ISBN 3642583555.
• Møller, C. (1955) [1952]. The theory of relativity. Oxford Clarendon Press.
• Synge, J.L. (1960). Relativity: the general theory. North-Holland.
• Misner, C. W., Thorne, K. S., and Wheeler, J. A (1973). Gravitation. Freeman. ISBN 978-0716703440.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Rindler, W. (1977). Essential Relativity. Springer. ISBN 978-3540079705.
• Johns, O. (2005). Analytical Mechanics for Relativity and Quantum Mechanics. Oxford Graduate Texts. OUP Oxford. ISBN 978-0198567264.
• Koks, D. (2006). Explorations in Mathematical Physics. Springer. ISBN 978-0387309439.
• T. Padmanabhan (2010). Gravitation: Foundations and Frontiers. Cambridge University Press. ISBN 978-1139485395.
• Kopeikin, S., Efroimsky, M., Kaplan, G. (2011). Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System. John Wiley & Sons. ISBN 978-3527408566.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Gourgoulhon, E. (2013). Special Relativity in General Frames: From Particles to Astrophysics. Springer. ISBN 978-3642372766.

저널 기사

• Bel, L. (1994). "Born's group and Generalized isometries". In J. Diaz, M. Lorente (ed.). Relativity in General. Atlantica Séguier Frontières. p. 47. arXiv:1103.2509. Bibcode:2011arXiv1103.2509B. ISBN 978-2863321683.
• Bini, D., & Jantzen, R. T. (2003). "Circular holonomy, clock effects and gravitoelectromagnetism: Still going around in circles after all these years". In R. Ruffini and C. Sigismondi (ed.). Proceedings of the Ninth ICRA Network Workshop on Fermi and Astrophysics. Nuovo Cimento B. Vol. 117. pp. 983–1008. arXiv:gr-qc/0202085. Bibcode:2002NCimB.117..983B.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Bini, D., & Jantzen, R. T. (2004). "Inertial forces: the special relativistic assessment" (PDF). Relativity in Rotating Frames. Springer. pp. 221–239. doi:10.1007/978-94-017-0528-8_13. ISBN 978-90-481-6514-8.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Bini, D., Cherubini, C., Geralico, A., & Jantzen, R. T. (2008). "Physical frames along circular orbits in stationary axisymmetric spacetimes". General Relativity and Gravitation. 40 (5): 985–1012. arXiv:1408.4598. Bibcode:2008GReGr..40..985B. doi:10.1007/s10714-007-0587-z. S2CID 118540815.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Formiga, J. B., & Romero, C. (2006). "On the differential geometry of time-like curves in Minkowski spacetime". American Journal of Physics. 74 (11): 1012–1016. arXiv:gr-qc/0601002. Bibcode:2006AmJPh..74.1012F. doi:10.1119/1.2232644. S2CID 18892394.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Giulini, Domenico (2008). "The Rich Structure of Minkowski Space". Minkowski Spacetime: A Hundred Years Later. Fundamental Theories of Physics. Vol. 165. Springer. p. 83. arXiv:0802.4345. Bibcode:2008arXiv0802.4345G. ISBN 978-90-481-3474-8.
• Hehl, F. W., Lemke, J., & Mielke, E. W. (1991). "Two lectures on fermions and gravity. Inertial properties of a massive Fermion". Geometry and theoretical physics. Springer. pp. 56–140. doi:10.1007/978-3-642-76353-3_3. ISBN 978-3-642-76355-7.{{cite book}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Irvine, W. M. (1964). "Electrodynamics in a rotating system of reference". Physica. 30 (6): 1160–1170. Bibcode:1964Phy....30.1160I. doi:10.1016/0031-8914(64)90106-5.
• Iyer, B. R., & Vishveshwara, C. V. (1993). "Frenet-Serret description of gyroscopic precession". Physical Review D. 48 (12): 5706–5720. arXiv:gr-qc/9310019. Bibcode:1993PhRvD..48.5706I. doi:10.1103/PhysRevD.48.5706. PMID 10016237.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Kajari, E., Buser, M., Feiler, C., & Schleich, W. P. (2009). "Rotation in relativity and the propagation of light". Proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi". Course CLXVIII (Atom Optics and Space Physics): 45–148. arXiv:0905.0765. doi:10.3254/978-1-58603-990-5-45. S2CID 119187725.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Letaw, J. R. (1981). "Stationary world lines and the vacuum excitation of noninertial detectors". Physical Review D. 23 (8): 1709–1714. Bibcode:1981PhRvD..23.1709L. doi:10.1103/PhysRevD.23.1709.
• Letaw, J. R., & Pfautsch, J. D. (1982). "The stationary coordinate systems in flat spacetime". Journal of Mathematical Physics. 23 (3): 425–431. Bibcode:1982JMP....23..425L. doi:10.1063/1.525364.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Maluf, J. W., & Faria, F. F. (2008). "On the construction of Fermi‐Walker transported frames". Annalen der Physik. 17 (5): 326–335. arXiv:0804.2502. Bibcode:2008AnP...520..326M. doi:10.1002/andp.200810289. S2CID 14389237.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Marzlin, K. P. (1994). "The physical meaning of Fermi coordinates". General Relativity and Gravitation. 26 (6): 619–636. arXiv:gr-qc/9402010. Bibcode:1994GReGr..26..619M. CiteSeerX 10.1.1.340.7264. doi:10.1007/BF02108003. S2CID 17918026.
• Mashhoon, B. (1990). "The hypothesis of locality in relativistic physics". Physics Letters A. 145 (4): 147–153. Bibcode:1990PhLA..145..147M. doi:10.1016/0375-9601(90)90670-J.
• Mashhoon, B., & Muench, U. (2002). "Length measurement in accelerated systems". Annalen der Physik. 11 (7): 532–547. arXiv:gr-qc/0206082. Bibcode:2002AnP...514..532M. CiteSeerX 10.1.1.339.5650. doi:10.1002/1521-3889(200208)11:7<532::AID-ANDP532>3.0.CO;2-3.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Mashhoon, B. (2004) [2004]. "The hypothesis of locality and its limitations". Relativity in Rotating Frames. Springer. pp. 43–55. arXiv:gr-qc/0303029. doi:10.1007/978-94-017-0528-8_5. ISBN 978-90-481-6514-8. S2CID 9502229.
• Møller, C. (1943). "On homogeneous gravitational fields in the general theory of relativity and the clock paradox". Dan. Mat. Fys. Medd. 8: 3–25.
• Ni, W. T., & Zimmermann, M. (1978). "Inertial and gravitational effects in the proper reference frame of an accelerated, rotating observer". Physical Review D. 17 (6): 1473–1476. Bibcode:1978PhRvD..17.1473N. doi:10.1103/PhysRevD.17.1473.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Nikolić, H. (2000). "Relativistic contraction and related effects in noninertial frames". Physical Review A. 61 (3): 032109. arXiv:gr-qc/9904078. Bibcode:2000PhRvA..61c2109N. doi:10.1103/PhysRevA.61.032109. S2CID 5783649.
• Pauri, M., & Vallisneri, M. (2000). "Märzke-Wheeler coordinates for accelerated observers in special relativity". Foundations of Physics Letters. 13 (5): 401–425. arXiv:gr-qc/0006095. Bibcode:2000gr.qc.....6095P. doi:10.1023/A:1007861914639. S2CID 15097773.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Romain, J. E. (1963). "Time measurements in accelerated frames of reference". Reviews of Modern Physics. 35 (2): 376–388. Bibcode:1963RvMP...35..376R. doi:10.1103/RevModPhys.35.376.
• Synge, J. L. (1966). "Timelike helices in flat space-time". Proceedings of the Royal Irish Academy, Section A. 65: 27–42. JSTOR 20488646.
• Voytik, V. V. (2011). "The general form-invariance principle". Gravitation and Cosmology. 17 (3): 218–223. arXiv:1105.6044. Bibcode:2011GrCo...17..218V. doi:10.1134/S0202289311030108. S2CID 119281266.

과거 자료

외부 링크

• 물리 FAQ: 특수상대성 가속
• Eric Gourgoulon (2010):가속 관찰자 관점에서 본 특수 상대성 이론