절댓값

수학에서, ${\displaystyle 실수}$ $x{\displaystyle }$ $displaystyle x}$의 절대값 또는 모듈러스$($modulus)는$$x ${\displaystyle x}$의 부호에 관계없이$$ 음이 아닌 값입니다.즉, $x$ ${\displaystyle x}$가 양수이면 x = ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$x = $x}$이고, x$${\$displaystyle x}$가 음수이면 ${\displaystyle x}$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$x = $-x}$이고(${\displaystyle 이}$ 경우 x ${\$$displaystyle x}$가 양수임$),$ 0$$= 0 {\$displaystyle$0$$=$0$입니다$.$ 예를 들어 3의 절대값은 3이고 -3의 절대값도 3입니다.어떤 숫자의 절대값은 0으로부터의 거리로 간주될 수 있습니다.

실수에 대한 절대값의 일반화는 매우 다양한 수학적 환경에서 발생합니다.예를 들어, 복소수, 쿼터니언, 순서링, 필드 및 벡터 공간에 대해서도 절대값이 정의됩니다.절대값은 다양한 수학적, 물리적 맥락에서 크기, 거리, 규범 개념과 밀접한 관련이 있습니다.

용어 및 표기법

1806년 장-로베르 아르간드는 프랑스어로 측정 단위를 의미하는 모듈, 특히 복소수 절대값을 의미하는 용어를 도입했고,^[1][2] 1866년 라틴어 등가 모듈러스로 영어에 차용했습니다.^[1]절대값이라는 용어는 적어도 1806년 프랑스어와^[3] 1857년 영어에서 이런 의미로 사용되었습니다.^[4]각 면에 세로 막대가 있는 표기 x는 1841년 칼 바이어슈트라스에 의해 소개되었습니다.^[5]절대값에 대한 다른 이름에는 숫자 값과^[1] 크기가 포함됩니다.^[1]프로그래밍 언어와 계산 소프트웨어 패키지에서, x의 절대값은 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다.abs(x), 혹은 비슷한 표현.

수직 막대 표기법은 다른 여러 수학적 맥락에서도 나타납니다. 예를 들어, 집합에 적용될 때는 집합의 카디널리티를 나타내고, 행렬에 적용될 때는 행렬식을 나타냅니다.수직 막대는 절대값의 개념이 정의된 대수적 대상에 대해서만 절대값을 나타냅니다. 특히 정규 분할 대수의 요소(예를 들어 실수, 복소수 또는 쿼터니언).밀접하게 관련되어 있지만 구별되는 표기법은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{n}$에서 벡터의 유클리드 노름 또는 정상에 수직 막대를 사용하는 것이지만$$첨자가 있는 이중 수직 막대(‖ ⋅ ‖ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \cdot \_{2})$ 및 ‖ ⋅ ‖ ∞ $displaystyle \cdot \_{\infty$각각)는 더 일반적이고 덜 모호한 표기입니다.

정의 및 속성

실수

임의의 실수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해$$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 절대값 또는 모듈러스는 수량의 각 면에 세로 막대가 있는$$${\displaystyle x}$ $displaystyle$ x$}$로 표시되며 다음과^[8] 같이 정의됩니다.

$따라서{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$의 절대값은 항상$$ 양수 또는 0이지만 음수는 아닙니다.$x$ ${\displaystyle x}$ 자체가 음수일 때( ${\displaystyle$ x$<0$}), 해당 절대값은 반드시 양수일 수 = - > 0 {\$displaystyle$ x =-$x>0$}).

분석기하학적 관점에서 실수의 절대값은 실수선을 따라 0으로부터 숫자의 거리이며, 더 일반적으로 두 실수의 차이(절대 차이)의 절대값은 그들 사이의 거리입니다.^[9]수학에서 추상적 거리 함수의 개념은 차이의 절대값을 일반화한 것으로 볼 수 있습니다(아래 "거리" 참조).

제곱근 기호는 고유한 양수 제곱근을 나타내므로 양수에 적용하면 다음과 같습니다.

이는 위의 정의와 같으며 실수의 절대값에 대한 대체 정의로 사용될 수 있습니다.^[10]

절대값은 다음과 같은 네 가지 기본 속성(a, b는 실수)을 가지며, 이 개념을 다른 도메인으로 일반화하는 데 사용됩니다.

${\displaystyle a \geq 0}$	부정성
${\displaystyle a =0\iff a =0}$	양정형
${\displaystyle ab =\left a\right \left b\right }$	곱셈
${\displaystyle a+b \leq a + b}$	부가산성, 특히 삼각형 부등식

비음의성, 양의 정의성 및 곱셈성은 정의에서 쉽게 알 수 있습니다.하위 가산성이 성립하는지 확인하려면 먼저 ${\displaystyle a}$+ b = ${\displaystyle s}$(${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle$ a + b = s$(a$+ b$)},$ $여기$서 s${\displaystyle }$= ±$$1 {\$displaystyle$s =\$pm 1}$의$$부호를 사용하여 결과를 양수로 만듭니다.이제$$${\displaystyle -1}$ ⋅ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ $displaystyle -1\cdot$ x$\leq$ x $}$및 $+{\displaystyle 1}$ ⋅ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ x $displaystyle +1\cdot$ x$\leq$ x $}$이므로$$± 1 ${\displaystyle \pm 1}$ 중 s ${\displaystyle s}$의 값을 가지면$$모든 실수 $x${\$displaystyle x}$에 대해 $s$ ⋅ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ $displaystyle$s\$cdot$x\$leq$ x $}$를 갖습니다$.$ 결과적으로 ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle s}$ ⋅${\displaystyle a}$+${\displaystyle s}$ ⋅ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$원하는$ 대로 $displaystyle$a+$b =$s$\cdot a+s\cdot b\leq a$ + b $}$를 표시합니다$.$

몇 가지 유용한 추가 속성이 아래에 나와 있습니다.이것들은 정의의 즉각적인 결과이거나 위의 네 가지 기본 속성에 의해 암시됩니다.

${\displaystyle {\bigl}\left a\right {\bigr}= a }$	Idempotence (절대값의 절대값은 절대값)
${\displaystyle \left -a\right = a }$	짝수(그래프의 반사 대칭)
${\displaystyle a-b =0\iff a=b}$	구별할 수 없는 것의 동일성(긍정적-정의성과 동등함)
${\displaystyle a-b \leq a-c + c-b }$	삼각형 부등식(부가산도와 동치)
${\displaystyle \frac{}{}\frac{a}{}}$ b $=$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ $displaystyle \left {\frac {a}{b$ = {\$frac {a}{b}}\}($가 ${\displaystyle 0}$인 경우 $≠$ 0\$displaystyle b\neq 0$	나눗셈의 보존(곱셈에 해당)
${\displaystyle a-b \geq {\bigl}\left a\right -\left b\right {\bigr}}$	역삼각형 부등식(부가산도와 동일)

부등식과 관련된 다른 두 가지 유용한 속성은 다음과 같습니다.

${\displaystyle a \leq b\iff -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle b}$ ⟺ ${\displaystyle a\le }$ - ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a$ \$geq$ b$\iff$a\$leq$ $또는$ ≥ ${\displaystyle b}${\$displaystyle a\geq$ b$}$

이러한 관계는 절대적 가치를 포함하는 불평등을 해결하는 데 사용될 수 있습니다.예를 들어,

${\displaystyle x-3 \leq 9}$	${\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}$
	${\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}$

절대값은 임의의 실수 간의 절대적인 차이, 즉 실수의 표준 메트릭을 정의하는 데 사용됩니다.

복소수

복소수는 순서가 정해져 있지 않기 때문에 실수 절대값에 대해 맨 위에 주어진 정의를 복소수에 직접 적용할 수 없습니다.그러나 실수의 절대값을 0으로부터의 거리로 기하학적으로 해석하는 것은 일반화될 수 있습니다.복소수의 절대값은 원점에서 복소수 평면에 있는 해당 점의 유클리드 거리로 정의됩니다.이것은 임의의 복소수에 대하여 피타고라스 정리를 사용하여 계산될 수 있습니다.

$여기$서$$x {\$displaystyle$x$$} $및{\displaystyle }$y {\$displaystyle y}$는 실수이고 z ${\displaystyle z}$의 절대값 또는 모듈러스는 ${\displaystyle z}$ $displaystyle z}$로 표시되며 다음과^[11] 같이 정의됩니다. $x$ ${\displaystyle x}$ 및 y ${\displaystyle y}$를 추가한 피타고라스는 여기서$$${\displaystyle \mathrm{Re}}$⁡${\displaystyle (}$${\displaystyle z)}$ = x ${\displaystyle \operatorname {Re}(z$)=$x}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ⁡${\displaystyle (z)}$ = y ${\displaystyle \operatorname {Im}(z$)=$y}$는$각각$ z ${\displaystyle z}$의 실제 부분과 가상 부분을 나타냅니다.가상 $당{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이(가) 0이면 실수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 절대값 정의와 일치합니다$.$

복소수 $z$ ${\displaystyle z}$를 극형으로 $z$ = ${\displaystyle {rei}^{}}$ θ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$z = $re^{i\theta}}$로 표현하면 절대값은 ${\displaystyle z}$ =$r$입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$z = r$.}$

임의의 복소수 $z$ ${\displaystyle z}$와 ${\displaystyle 그}$ 복소수 켤레 $z$ ¯ = x -${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\bar {$z}}= $x-iy}$의$$곱은 항상 음수가 아닌 실수$({\displaystyle {x2}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle \left(x^{2}$ + $y^{2}\right)}$이므로$,$ 복소수 $z$ ${\displaystyle z}$의 절대값은 z ⋅ z ¯의 제곱근${\displaystyle ,}$${\displaystyle }$따라서 $z$의 절대 제곱 또는 제곱 모듈러스 ${\displaystyle$ z$}$라고 하는$$ ${\displaystyle z\cdot {\overline {z$$\}\}:$

이것은 실수에 대한 대체 정의를 일반화합니다$:$ $x$ = $x$ ⋅ $\sqrt{x}$ ${\textstyle$x = {\$sqrt {x\cdot x}}.$

복소수 절대값은 실제 절대값에 대해 위에 제시된 4가지 기본 속성을 공유합니다.아이덴티티 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 2^{}}$ $displaystyle$z$^{2$}= $z^{2}}$는 종종 그 자체로 유용한 곱셈의 특수한 경우입니다.

절대값함수

실제 절대값 함수는 어디에서나 연속적입니다.x = 0을 제외한 모든 곳에서 구별할 수 있습니다.구간(- ∞, 0)에서는 단조롭게 감소하고 구간 [0, + ∞]에서는 단조롭게 증가합니다.실수와 그 반대는 절대값이 같기 때문에 짝수 함수이므로 뒤집을 수 없습니다.실제 절대값 함수는 부분 선형 볼록 함수입니다.

실수와 복소수 모두에서 절대값 함수는 idempotential(임의 절대값이 자신임을 의미함)입니다.

부호 함수와의 관계

실수의 절대값 함수는 부호에 관계없이 값을 반환하는 반면 부호(또는 부호) 함수는 값에 관계없이 숫자의 부호를 반환합니다.다음 방정식은 이 두 함수 사이의 관계를 보여줍니다.

${\displaystyle x = x\operator name {sgn}(x),}$

아니면

${\displaystyle x \operatorname {sgn}(x)=x,}$

x ≠ 0의 경우,

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{x}}={\frac {x}}}}$

최대 및 최소 함수와의 관계

를${\displaystyle }$t ∈ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyles,t\in \mathbb {R}}$이라고 합니다$.$

${\displaystyle t-s =-2\min(s,t)+s+t}$

그리고.

${\displaystyle t-s = 2\max(s,t)-s-t.}$

도함수

실수 절대값 함수는 모든 x ≠ 0에 대한 도함수를 갖지만 x = 0에서는 미분할 수 없습니다.x ≠ 0에 대한 도함수는 단계 함수에 의해 제공됩니다.

${\displaystyle {\frac {d\left x\right }{dx}}={\frac {x}{x}}={\begin{case}-1&x<0\1&x>0.\end{case}}$

실수 절대값 함수는 도함수가 존재하지 않는 전역 최소값을 달성하는 연속 함수의 예입니다.

x = 0에서 x의 하위 차분은 구간 [-1, 1]입니다.

복소수 절대값 함수는 모든 곳에서 연속적이지만 코시-리만 방정식을 위반하기 때문에 어디에서도 복소수 미분이 가능합니다.^[12]

x에 대한 x의 이계도함수는 존재하지 않는 0을 제외한 모든 곳에서 0입니다.일반화된 함수로서, 2차 도함수는 디랙 델타 함수의 두 배로 취해질 수 있습니다.

유도체

실수 절댓값 함수의 항미분(무정적분)은

${\displaystyle \int \left x\right dx={\frac {x\left x\right}{2}}+C,}$

여기서 C는 임의의 적분 상수입니다.복잡한 원시함수는 복소 미분 가능한(동형) 함수에만 존재할 수 있지만 복소 절대값 함수는 존재하지 않기 때문에 이는 복소 원시함수가 아닙니다.

구성도함수

다음 두 가지 공식은 연쇄법칙의 특수한 경우입니다.

${\displaystyle {d \overdx}f( x))={x \over x}(f'( x))}$

절대값이 함수 내부에 있을 경우, 그리고

${\displaystyle {d \overdx} f(x) = {f(x) \over f(x) }f'(x)}$

다른 함수가 절대값 안에 있을 경우.첫 번째 경우, 도함수는 첫 번째 경우 $x$ = $0$ ${\textstyle$x=$0}$에서 항상 불연속적이고, 두 $번째$ 경우 f ($x$ ) = $0$ ${\textstyle$ f$(x$)=$0}$입니다.곱 규칙을 통해 더 많은 미분을 찾을 수 있지만, 미분이 상위 함수의 첫 번째 항으로 단순화할 수 없는 경우(예: 다항식, 로그 및 지수 함수의 경우 항상 그렇지는 않음), 다음 방정식은 모든 차수의 미분에 대해 참입니다.

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(\left\vert x\right\vert )={x \over x}({d^{n} \over dx^{n}f(x))})$

그리고.

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n} f(x) = {f(x) \over f(x)} {d^{n} \over dx^{n} f(x)}$

∈${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ n$in \mathbb$ {N$}}$에 대해 입력합니다$.$

거리

절대값은 거리의 개념과 밀접한 관련이 있습니다.위에서 언급한 바와 같이 실수 또는 복소수의 절대값은 실수선을 따라 그 수에서 원점까지의 거리, 실수의 경우 또는 복소수의 경우 복소수 평면의 거리이며, 더 일반적으로 두 실수 또는 복소수의 차이의 절대값은 그들 사이의 거리입니다.

두 점 사이의 표준 유클리드 거리

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})}$

그리고.

${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots,b_{n})}$

유클리드 n-공간은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}}$

${\displaystyle {이}_{}}$는$$절대값의 대체 $정의$에 따라 1 {\$displaystyle$ ${\displaystyle {a\_\mathrm{}}_{}}$${$$1$}} 및 b 1 {\displaystyle b_${1}$ real$$, 즉 1-스페이스에서 일반화된 것으로 볼 수 있습니다.

${\displaystyle a_{1}-b_{1} = {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}} = {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},}$

그리고 $a$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$+ i ${\displaystyle a_{}}$ 2 ${\displaystyle$a = $a_{1}$ + $ia_{2}}$ 및 $b$ = b ${\displaystyle 1_{}}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b_{}}$ 2 ${\displaystyle$b = $b_{1}$ + $ib_{2}}$의 복소수, 즉 2-공간에서,

${\displaystyle a-b}$	${\displaystyle = (a_{1}+ia_{2})--(b_{1}+ib_{2}) }$
	${\displaystyle = (a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2}) }$
	${\displaystyle = {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}}$

위는 실수와 복소수에 대한 "절대값" 거리가 각각 1차원 및 2차원 유클리드 공간으로 간주한 결과로 상속되는 표준 유클리드 거리와 일치함을 보여줍니다.

두 실수 또는 복소수의 차이의 절대값의 성질은 다음과 같이 거리 함수의 더 일반적인 개념에 동기를 부여하는 것으로 볼 수 있습니다: 비음의성, 구별할 수 없는 동일성, 대칭성, 그리고 위에 주어진 삼각형 부등식.

집합 X X X 위의 실수 함수는 다음 네 개의 공리를 만족하는 경우 X 위의 메트릭(또는 거리 함수)이라고 합니다.^[15]

${\displaystyle d(a,b)\geq0}$	부정성
${\displaystyle d(a,b)=0\iffa=b}$	식별 불가능한 것의 정체성
${\displaystyle d(a,b)=d(b,a)}$	대칭성
${\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}$	삼각 부등식

일반화

순서링

위의 실수에 대해 주어진 절대값의 정의는 순서가 매겨진 모든 링으로 확장될 수 있습니다.즉, a가 순서링 R의 원소라면 a로 표시되는 a의 절대값은 다음과 같이 정의됩니다.^[16]

${\displaystyle a =\left\{\begin{array}{rl}}a,&{\text{if}}a\geq 0\-a,&{\text{if}}a<0입니다.\end{array}}\right.}$

여기서 -a는 a의 덧셈 역수이고, 0은 덧셈 항등식이며, <과 ≥는 링의 순서에 대해 일반적인 의미를 갖습니다.

필드

실수에 대한 절대값의 네 가지 기본 속성은 다음과 같이 절대값의 개념을 임의의 필드로 일반화하는 데 사용될 수 있습니다.

필드 F의 실수 함수 v는 다음 네 개의 공리를 만족하는 경우 절대값(모듈러스, 크기, 값 또는 평가)^[17]이라고 합니다.

${\displaystyle v(a)\geq 0}$	부정성
${\displaystyle v(a)=0\iffa=\mathbf {0}}$	양정형
${\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)}$	곱셈
${\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}$	부가산도 또는 삼각형 부등식

여기서 0은 F의 덧셈 항등식을 나타냅니다.v(1) = 1, 여기서 1은 F의 곱셈 동일성을 나타내는 양의-정의성과 곱셈성을 따릅니다.위에서 정의한 실수 절대값과 복소수 절대값은 임의의 필드에 대한 절대값의 예입니다.

만약 v가 F의 절대값이라면, d(a, b) = v(a - b)로 정의된 F × F의 함수 d는 메트릭이고 다음은 동치입니다.

• d는 F의 모든 x, y, z에 대하여$$ 초계량 부등식 $d{\displaystyle }$( x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle max}$( d${\displaystyle }$( ${\displaystyle x,}$ z${\displaystyle ),}$ d${\displaystyle }$($,$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle d (x,$y$)\leq \max (d (x, z))}$를 만족합니다.
• $\{v$ ($\sum$ $\underset{}{\overset{}{k}}$ $=$ $\underset{}{\overset{}{}}$ $\underset{}{\overset{}{}}$ 1$$)$$: $n$ ∈ N $\}$ ${\textstyle \left\{v\left(\su$는 R로 경계지어집니다.
• ${\displaystyle v}$ (${\displaystyle \sum }$ $=$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$${\displaystyle$ v$\l$ ({\$textstyle \sum$k$=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1$$\}$${\displaystyle ,}$ n $\in$ {\$in \mathbb {N}}.$
• ${\displaystyle }$모든 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a\in F}$에 대해 ${\displaystyle v}$(${\displaystyle a}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ⇒ v${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle a}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$v$(a)\leq 1\rightarrow$v$(1+a)\leq$ 1$\}$입니다$.$
• ${\displaystyle }$$v$ (${\displaystyle }$a${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ )${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle max}${ ${\displaystyle v}$( a${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle v}$( b )${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle v$$($$a$+ $b)\leq \max\{v(a),$ v$(b)$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ a$,b\in F}.$

위 조건들 중 임의의 (따라서 모든) 조건을 만족하는 절대값은 비-아르키메데아라고 하며, 그렇지 않으면 아르키메데아라고 합니다.^[18]

벡터공간

다시 실수에 대한 절대값의 기본적인 특성은 약간의 수정을 통해 임의의 벡터 공간으로 개념을 일반화할 수 있습니다.

필드 F 위의 벡터 공간 V 위의 ‖ · ‖의 실수 함수는 절대값이라고 불리지만, 다음 공리를 만족시키는 경우 더 일반적으로는 표준입니다.

F에 있는 모든 사람과 V에 있는 v, u에 대해,

${\displaystyle \mathbf {v} \geq 0}$	부정성
${\displaystyle \\mathbf {v} \=0\iff \mathbf {v} =0}$	양정형
${\displaystyle \a\mathbf {v} \=\left a\right \left \mathbf {v} \right\}$	긍정적인 동질성 또는 긍정적인 확장성
${\displaystyle \ \mathbf {v} +\mathbf {u} \ \leq \ \mathbf {v} \ +\ \mathbf {u} \ }$	부가산도 또는 삼각형 부등식

벡터의 표준은 길이 또는 크기라고도 불립니다.

유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 경우$,$ 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\ = {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

는 유클리드 노름이라고 불리는 노름입니다.실수 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을 1차원 벡터 공간 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$로 간주할 때$,$ 절대값은 노름이며, 임의의 p에 대한 p-norm (L^p 공간 참조)입니다.실제로 절대값은 R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$의 "유일한" 노름이며$,$ 이는 모든 노름 ‖에 ${\displaystyle {}^{}}$ R$$1 {\$displaystyle$ \$mathbb${R} ^{$1},$‖x ‖ = ‖1 ‖ ⋅ x.

복소수 절대값은 내부 곱 공간에서 노름의 특별한 경우이며, 복소수 평면이 유클리드 평면 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$로 식별될 때 유클리드 노름과 동일합니다$.$

조성대수

모든 합성 대수 A는 그 컨쥬게이션(conjugation)이라 불리는 해 x → x*를 갖습니다.원소 x의 A와 그 결합체 x*의 곱은 N(x) = x x*로 표기되며 x의 놈이라고 불립니다.

실수 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $복소수{\displaystyle \mathbb{}}$ C$${\$displaystyle \mathbb {C$ $쿼터니언{\displaystyle \mathbb{}}$ H$${\$displaystyle \mathbb {H}}$은 모두 정 이차 형식으로 주어진 규범을 갖는 구성 대수입니다$$.이러한 나눗셈 대수의 절대값은 구성 대수 표준의 제곱근에 의해 주어집니다.

일반적으로 구성 대수의 표준은 확정적이지 않고 귀무 벡터를 갖는 2차 형식일 수 있습니다.그러나 나눗셈 대수의 경우와 마찬가지로 원소 x가 0이 아닌 노름을 가질 때 x는 x*/N(x)에 의해 주어진 곱셈 역을 갖습니다.

참고 항목

• 최소 절대값

메모들

참고문헌

• Bartle; Sherbert; real analysis에 대한 소개(제4판), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6
• 나힌, 폴 J.;상상의 이야기; 프린스턴 대학 출판부; (하드커버, 1998)ISBN 0-691-02795-1.
• 맥 레인, 손더스, 개릿 버크호프, 대수학, 미국수학사회, 1999ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008.ISBN 978-0-07-148754-2.
• O'Connor, J.J. 그리고 로버트슨, E.F.; "장 로버트 아간드.
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp. 259–263, "절대적 가치", Academy Press (1997) ISBN 0-12-622760-8

외부 링크

• "Absolute value". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
• PlanetMath의 절대값.
• Weisstein, Eric W. "Absolute Value". MathWorld.