고차 도함수를 줄이기 위한 정리
윅의 정리 는 고차 도함수 를 조합론 문제로 줄이는 방법입니다.[1] 이탈리아 물리학자 지안 카를로 윅 의 이름을 따서 지어졌습니다.[2] 양자장 이론에서 생성 및 소멸 연산자 의 임의의 곱을 이러한 연산자 쌍의 곱의 합으로 줄이기 위해 광범위하게 사용됩니다. 이를 통해 그린의 함수 방법 을 사용할 수 있으며, 결과적으로 연구 중인 분야에서 파인만 다이어그램 을 사용할 수 있습니다. 확률 이론 에서 더 일반적인 아이디어는 Isserlis의 정리 입니다.
섭동 양자장 이론에서 윅의 정리는 다이슨 시리즈 에서 순서 가 매겨진 합을 정상 순서 항들의 합으로 빠르게 다시 쓰기 위해 사용됩니다. 점근적으로 자유로운 출입 상태의 한계에서 이 용어들은 파인만 다이어그램 에 해당합니다.
수축의 정의 두 연산자 A^ {\ displaystyle {\hat {A}} 및 ^ {\ displaystyle {\hat {B}}
A ^ ∙ B ^ ∙ ≡ A ^ B ^ − : A ^ B ^ : {\displaystyle {\hat {A}}^{\bullet}\,{\hat {B}}^{\bullet}\,{\hat {B}\,-{\mathopen {: }}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:}} 여기 ^ {\ displaystyle {\mathopen {: }}{\hat {O}}{\mathclose {:}} 연산자 {\ displaystyle {\hat {O}} 정상적 인 순서를 나타냅니다. 또는 수축은 A^ {\displaystyle {\hat }} ^ {\displaystyle {\hat }} A B ^ displaystyle overset {\sqcap} {{\hat A
A^ {\ displaystyle {\hat {A}} B ^ {\ displaystyle {\hat {B}} For N {\displaystyle N} a ^ i † {\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }} a ^ i {\displaystyle {\hat {a}}_{i}} ( i = 1 , 2 , 3 , … , N ) {\displaystyle (i=1,2,3,\ldots ,N)} 이들 ^ , a^ j ij {\displaystyle {\hat {a}}_{j}^{\dagger = delta δ displaystyle \delta
그러면 저희가.
a ^ i ∙ a ^ j ∙ = a ^ i a ^ j − : a ^ i a ^ j : = 0 {\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}_{j}^{\bullet }={\hat {a}_{i}\,{\hat {a}_{j}\,-{\mathopen {:}\,{\hat {a}_{i}\,{\hat {a}_{j}\,{\mathclose {:}\,=0} a ^ i † ∙ a ^ j † ∙ = a ^ i † a ^ j † − : a ^ i † a ^ j † : = 0 {\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}_{j}^{\dagger }\,-\,{\mathopen {: }}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}\,=0} a ^ i † ∙ a ^ j ∙ = a ^ i † a ^ j − : a ^ i † a ^ j : = 0 {\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}_{j}\,-{\mathopen {:}\,{\hat {a}_{i}^{\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}\,=0} a ^ i ∙ a ^ j † ∙ = a ^ i a ^ j † − : a ^ i a ^ j † : = δ i j {\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger}\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}_{j}^{\dagger }\,-{\mathopen {:}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}\,=\delta _{ij}} 여기서 i, j ,
이러한 관계는 정상 순서가 정의되는 방식 때문에 보손 연산자 또는 페르미온 연산자에 대해 성립합니다.
예 우리는 수축과 정규 순서화를 사용하여 생성과 소멸 연산자의 모든 곱을 정규 순서화 항의 합으로 표현할 수 있습니다. 이것이 윅 정리의 기초입니다. 정리를 완전히 말하기 전에 우리는 몇 가지 예를 살펴볼 것입니다.
^ {\displaystyle {\hat }}_{i}} ^ i displaystyle {\hat }} i}^{\ 같은 교환 관계 를 만족하는 보소닉 연산자라고 가정합니다.
[ a ^ i † , a ^ j † ] = 0 {\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i}^{\dagger }, {\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=0} [ a ^ i , a ^ j ] = 0 {\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i}, {\hat {a}}_{j}\right]=0} [ a ^ i , a ^ j † ] = δ i j {\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij} where i , j = 1 , … , N {\displaystyle i,j=1,\ldots ,N} [ A ^ , B ^ ] ≡ A ^ B ^ − B ^ A ^ {\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}} commutator , and δ i j {\displaystyle \delta _{ij}}
이러한 관계와 위의 수축 정의를 사용하여 ^ {\displaystyle {\ hat {a}}_{i} ^ i {\displaystyle a} i}^{\
예1 a ^ i a ^ j † = a ^ j † a ^ i + δ i j = a ^ j † a ^ i + a ^ i ∙ a ^ j † ∙ = : a ^ i a ^ j † : + a ^ i ∙ a ^ j † ∙ {\displaystyle {\hat {a}_{i}\,{\hat {a}_{j}^{\dagger }={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}_{i}+\delta_{ij}={\hat {a}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}_{i}+{\hat {a}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}_{j}^{\dagger}=\,{\mathopen {:}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {: }}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet } Note that we have not changed a ^ i a ^ j † {\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }} : a ^ i a ^ j † : + a ^ i ∙ a ^ j † ∙ {\displaystyle \,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\, {\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {: }}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }
예2 a ^ i a ^ j † a ^ k = ( a ^ j † a ^ i + δ i j ) a ^ k = a ^ j † a ^ i a ^ k + δ i j a ^ k = a ^ j † a ^ i a ^ k + a ^ i ∙ a ^ j † ∙ a ^ k = : a ^ i a ^ j † a ^ k : + : a ^ i ∙ a ^ j † ∙ a ^ k : {\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}= ({\hat {a}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta_{ij}) {\hat {a}}_{k}={\hat {a}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}_{i}\,{\hat {a}}_{k}+\delta_{ij}{\hat {a}_{k}={\hat {a}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}_{k}\,{\hat {a}_{k}+{\hat {a}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\hat {a}_{k}}=\,{\mathopen {:}\,{\hat {a}_{i}}\,{\hat {a}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}_{k}\,{\mathclose {: }}+{\mathclose {:}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}_{k}{\mathclose {:}} 예3 a ^ i a ^ j † a ^ k a ^ l † = ( a ^ j † a ^ i + δ i j ) ( a ^ l † a ^ k + δ k l ) {\displaystyle {\hat {a}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }= ({\hat {a}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}_{i}+\delta_{ij})({\hat {a}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}_{k}+\delta_{kl})} = a ^ j † a ^ i a ^ l † a ^ k + δ k l a ^ j † a ^ i + δ i j a ^ l † a ^ k + δ i j δ k l {\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}_{k}+\delta_{kl}{\hat {a}_{j}^{\delta}\,{\hat {ij}+\dagger _{\hat {a}}_{\l}^{\hat {a}_{k}+\delta_{ij}\delta_{kl}} = a ^ j † ( a ^ l † a ^ i + δ i l ) a ^ k + δ k l a ^ j † a ^ i + δ i j a ^ l † a ^ k + δ i j δ k l {\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }({\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{il}){\hat {a}_{kl}+\delta {\hat {a}}_{i}+\delta {\hat {ij}^{\l}\,{\hat {a}}_{ij}+\dagger {\l}^{\hat {a}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}} = a ^ j † a ^ l † a ^ i a ^ k + δ i l a ^ j † a ^ k + δ k l a ^ j † a ^ i + δ i j a ^ l † a ^ k + δ i j δ k l {\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}_{k}+\delta {\il}{\hat {a}}_{j}^{\delta}\,{\hat {a}}_{k}+\delta {\hat {a}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}_{i}+\dagger {\hat {a}}_{l}^{\delta}\hat {a}_{k}+\delta {ij}\hat {a}_{k}+\dagger {{ij}}\delta} = : a ^ i a ^ j † a ^ k a ^ l † : + : a ^ i ∙ a ^ j † a ^ k a ^ l † ∙ : + : a ^ i a ^ j † a ^ k ∙ a ^ l † ∙ : + : a ^ i ∙ a ^ j † ∙ a ^ k a ^ l † : + : a ^ i ∙ a ^ j † ∙ a ^ k ∙ ∙ a ^ l † ∙ ∙ : {\displaystyle =\,{\mathopen {: }}{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}_{k}\,{\hat {a}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {: }}+{\mathopen {:}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}_{l}^{\dagger \bullet }\,{\mathclose {: }}+{\mathopen {:}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet }\,{\hat {a}_{l}^{\dagger}\,{\mathclose {: }}+{\mathopen {:}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {: {}}+\,{\mathopen {: }}{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet \bullet }\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet }{\mathclose {:}} 마지막 줄에서는 서로 다른 수축을 나타내기 위해 서로 displaystyle ^{\ 보시다시피 ^ i a ^ j ^ ^ displaystyle {a}_{i}\,{\hat _{ dagger }\,{\hat {a}_{k}\,{\hat } 더욱 복잡한 제품에 대한 더욱 긴 계산입니다.
운 좋게도 윅의 정리는 지름길을 제공합니다.
정리문 생성 및 소멸 연산자 ^ F ^ displaystyle {\hat A}{\hat B}}{\ C}}{\hat D}}{\hat E}{\f}\dots}
A ^ B ^ C ^ D ^ E ^ F ^ … = : A ^ B ^ C ^ D ^ E ^ F ^ … : + ∑ 독신자들 : A ^ ∙ B ^ ∙ C ^ D ^ E ^ F ^ … : + ∑ 복식의 : A ^ ∙ B ^ ∙ ∙ C ^ ∙ ∙ D ^ ∙ E ^ F ^ … : + … {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}\ldots & = {\mathopen {: {}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}\ldots {\mathclose {: }}\\&\quad +\sum _{\text{singles}}{\mathopen {: }}{\hat {A}}^{\bullet }}{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}{\f}\dots {\mathclose {: }}\\&\quad +\sum _{\text{doubles}}{\mathopen {: }}{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}^{\bullet }{\hat {D}}^{\bullet }{\hat {E}}{\hat {F}\dots {\mathclose {: }}\\&\quad +\ldots \end{aligned}} 즉, 생성 및 소멸 연산자의 문자열은 연산자 쌍들 사이의 모든 단일 수축, 모든 이중 수축 등 후의 정규 수축, 모든 완전 수축의 문자열의 정규 정렬된 곱으로 다시 기록될 수 있습니다.
위의 예들에 그 정리를 적용하면 최종 표현식에 도달하는 훨씬 빠른 방법을 제공합니다.
경고 : 오른쪽에 여러 수축을 포함하는 용어로 조작자가 페르미온인 경우 주의해야 합니다. 이 경우 적절한 마이너스 부호는 다음 규칙에 따라 도입되어야 합니다. (2개의 페르미온 연산자의 순서가 바뀔 때마다 마이너스 부호 도입) 연산자를 재배열하여 계약 조건이 문자열에 인접하도록 합니다. 그런 다음 수축을 적용할 수 있습니다(Wick의 논문의 "Rule C" 참조).
예제:
생성 및 소멸 연산자 f^i † {\displaystyle {\f}_{i}^{\dagger } 및 f^i {\displaystyle {\f}_{i}}인 두 페르미온(N 2 {\ 2 })
f ^ 1 f ^ 2 f ^ 1 † f ^ 2 † = : f ^ 1 f ^ 2 f ^ 1 † f ^ 2 † : − f ^ 1 ∙ f ^ 1 † ∙ : f ^ 2 f ^ 2 † : + f ^ 1 ∙ f ^ 2 † ∙ : f ^ 2 f ^ 1 † : + f ^ 2 ∙ f ^ 1 † ∙ : f ^ 1 f ^ 2 † : − f ^ 2 ∙ f ^ 2 † ∙ : f ^ 1 f ^ 1 † : − f ^ 1 ∙ ∙ f ^ 1 † ∙ ∙ f ^ 2 ∙ f ^ 2 † ∙ + f ^ 1 ∙ ∙ f ^ 2 † ∙ ∙ f ^ 2 ∙ f ^ 1 † ∙ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}_{1}\,{\hat {f}_{2}\,{\hat {f}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}_{2}^{\dagger }\,={}&\,{\mathopen {: }}{\hat {f}_{1}\,{\hat {f}_{2}\,{\hat {f}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {: }}\[5pt]&-\,{\hat {f}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {: }}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {: }}+\,{\hat {f}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {: }}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {: }}+\,{\hat {f}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {: }}{\hat {f}_{1}\,{\hat {f}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}-{\hat {f}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}_{2}^{\dagger}\,\,{\mathopen {: }}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {: }}\[5pt]&-{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}_{2}^{\dagger}\,+{\hat {f}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\end{aligned}}} 두 개의 생성 연산자와 두 개의 소멸 연산자의 수축이 있는 용어는 그들의 수축이 사라지기 때문에 포함되지 않습니다.
증명 보손 생성 및 소멸 연산자에 대한 정리를 증명하기 위해 유도를 사용합니다. N 2 {\
A ^ B ^ = : A ^ B ^ : + ( A ^ B ^ − : A ^ B ^ : ) = : A ^ B ^ : + A ^ ∙ B ^ ∙ {\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}={\mathopen {: }}{\hat {A}}{\hat {B}}{\mathclose {:}+({\hat {A}\,{\hat {B}\,-{\mathopen {: }}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:})={\mathopen {: {}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\mathclose {: }}+{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet }} 일반적으로 0이 아닌 유일한 수축은 왼쪽의 소멸 연산자와 오른쪽의 생성 연산자 사이입니다. N-1 {\displaystyle N-1} B ^ C ^ D ^ E ^ F ^ {\displaystyle {\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\f}\dots and consider the effect of adding an N th operator A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} B ^ C ^ D ^ E ^ F ^ … {\displaystyle {\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots } A ^ B ^ C ^ D ^ E ^ F ^ … {\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}\ldots} . N-1 {\displaystyle N-1}
A ^ B ^ C ^ D ^ E ^ F ^ … = A ^ : B ^ C ^ D ^ E ^ F ^ … : + A ^ ∑ 독신자들 : B ^ ∙ C ^ ∙ D ^ E ^ F ^ … : + A ^ ∑ 복식의 : B ^ ∙ C ^ ∙ ∙ D ^ ∙ ∙ E ^ ∙ F ^ … : + A ^ … {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\f}\ldots & = {\hat {A}{\mathopen {: {}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}\ldots {\mathclose {: }}\\&\quad +{\hat {A}\sum _{\text{single}}{\mathopen {: {}}{\hat {B}}^{\bullet}{\cullet}^{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}\dots {\mathclose {: }}\\&\quad +{\hat {A}\sum _{\text{double}}{\mathopen {: }}{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}^{\bullet \bullet }{\d}^{\hat {E}}^{\bullet }{\f}\dots {\mathclose {: }}\\&\quad +{\hat {A}}\ldots \end{aligned}} {\ displaystyle {\hat }} A^ {\ displaystyle {\hat {A}} A^ B ^ ^ D ^ E ^ F ^ {\ displaystyle {\hat {A} mathopen {: }}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}\ldots {\mathclose {:}} A displaystyle hat {A}} A ^ B ^ ^ F ^ displaystyle {\a}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}\dots} . 따라서 ^ {\ displaystyle {\hat }} 따라서 A^ {\ displaystyle {\hat {A}} ^ B ^ C ^ D ^ ^ F ^ {\displaystyle {\a}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}{F}\dots} 성립 .
이제 ^ {\ displaystyle {\hat {A}} A^ {\ displaystyle {\hat {A}} A^ {\ displaystyle {\hat {A}} X^ {\ displaystyle {\hat {X}}). A ^ X ^ ^ {}}{\hat {A}}{\hat {X}}{\mathclose {: }}+{\ A}}^{\bullet}{\hat {X}}^{\bullet}} 이렇게 하면 모든 조건이 정상적으로 주문됩니다. 곱을 통해A^ {\ displaystyle {\hat {A}} A^ {\ displaystyle {\hat { ( . A^ {\ displaystyle {\hat {A}} 윅 ^ {\displaystyle {\hat }{\hat }}{\hat }}{\hat }}{\hat }}{\hat F}\ldots} .
우리는 베이스 케이스와 귀납 단계를 증명했으므로 정리는 참입니다. 적절한 마이너스 부호를 도입함으로써 증명은 페르미온 생성 및 소멸 연산자로 확장될 수 있습니다. 필드에 적용되는 정리는 본질적으로 동일한 방법으로 증명됩니다.[3]
윅의 정리는 필드에 적용됩니다. 양자장 이론에서 나타나는 상관 함수는 장 연산자에 대한 수축으로 표현될 수 있습니다.
C ( x 1 , x 2 ) = ⟨ 0 ∣ T ϕ i ( x 1 ) ϕ i ( x 2 ) ∣ 0 ⟩ = ⟨ 0 ∣ ϕ i ( x 1 ) ϕ i ( x 2 ) ¯ ∣ 0 ⟩ = i Δ F ( x 1 − x 2 ) = i ∫ d 4 k ( 2 π ) 4 e − i k ( x 1 − x 2 ) ( k 2 − m 2 ) + i ϵ , {\displaystyle {\mathcal {C}}(x_{1},x_{2})=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})\mid 0\right\rangle =\langle 0\mid {\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}\mid 0\rangle =i\Delta _{F}(x_{1}-x_{2})=i\int {{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{-ik(x_{1}-x_{2})}}{(k^{2}-m^{2})+i\epsilon }}},} 여기서 연산자 x displaystyle {\offline {\phi_{ 진공 상태 소멸 이 TAB {\ mathcal { AB {\mathclose {:}} . 이것 AB ¯ {\ overline { AB {\ {\mathcal 대한 C-숫자임 을 유의하십시오.
결국 우리는 윅의 정리에 도달합니다.
시간 순서 자유 필드 문자열의 T-곱은 다음과 같은 방식으로 표현될 수 있습니다.
T ∏ k = 1 m ϕ ( x k ) = : T ∏ ϕ i ( x k ) : + ∑ α , β ϕ ( x α ) ϕ ( x β ) ¯ : T ∏ k ≠ α , β ϕ i ( x k ) : + {\displaystyle {\mathcal {T}}\prod _{k=1}^{m}\phi(x_{k})={\mathopen {:}}{\mathcal {T}\prod \phi _{i}(x_{k}){\mathclose {: }}+\sum _{\alpha,\beta}{\overline {\phi(x_{\alpha})\phi(x_{\beta})}}{\mathopen {:}{\mathcal {T}}\prod _{k\n ot =\alpha,\beta }\phi_{i}(x_{k}){\mathclose {: }}+{}} + ∑ ( α , β ) , ( γ , δ ) ϕ ( x α ) ϕ ( x β ) ¯ ϕ ( x γ ) ϕ ( x δ ) ¯ : T ∏ k ≠ α , β , γ , δ ϕ i ( x k ) : + ⋯ . {\displaystyle {\mathcal {}}+\sum _{(\alpha,\beta),(\gamma,\delta )}{\overline {\phi(x_{\gamma })}\;{\overline {\phi(x_{\gamma })\phi(x_{\delta })}}{\mathopen {:}{\mathcal {T}}\prod _{k\n ot =\alpha,\beta,\gamma,\delta }\phi_{i}(x_{k}){\mathclose {: }}+\cdots.} 이 정리를 S 행렬 요소에 적용하면 진공 상태 에 작용하는 정규 순서 항이 합에 null 기여한다는 것을 발견합니다. 우리는 m 이 균등하고 완전히 계약된 조건만 남아 있다고 결론지었습니다.
F m i ( x ) = ⟨ 0 ∣ T ϕ i ( x 1 ) ϕ i ( x 2 ) ∣ 0 ⟩ = ∑ p a i r s ϕ ( x 1 ) ϕ ( x 2 ) ¯ ⋯ ϕ ( x m − 1 ) ϕ ( x m ¯ ) {\displaystyle F_{m}^{i}(x)=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})\mid 0\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairs} }{\overline {\phi (x_{1})\phi (x_{2})}}\cdots {\overline {\phi (x_{m-1})\phi (x_{m}}})} G p ( n ) = ⟨ 0 ∣ T : v i ( y 1 ) : ⋯ : v i ( y n ) : ϕ i ( x 1 ) ⋯ ϕ i ( x p ) ∣ 0 ⟩ {\displaystyle G_{p}^{(n)}=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}{\mathopen {: }}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}\dots {\mathopen {: }}v_{i}(y_{n}){\mathclose {:}}\phi _{i}(x_{1})\cdots \phi _{i}(x_{p})\mid 0\right\rangle } 여기서 p 는 교호작용 필드의 수(또는 이와 동등하게 상호작용하는 입자의 수)이고 n 은 전개 순서(또는 교호작용의 정점의 수)입니다. 예를 들어 v gy 4 }}v_{i}(y_{1}){\mathclose {: }}={\mathopen {:}}\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1}){\mathclose {: }}}
이는 가우스 분포 의 모멘트 에 대한 통계에서 해당하는 Isserlis의 정리 와 유사합니다.
이 논의는 필드의 진공 기대 값(VEV)에 적합한 일반적인 정규 순서 정의의 관점에서 진행됩니다. (Wick의 정리는 n개 필드 의 VEV를 두 필드의 VEV로 표현하는 방법으로 제공됩니다.)[4] 정규 순서에 대한 다른 가능한 정의가 있으며 윅의 정리는 상관없이 유효합니다. 그러나 Wick의 정리는 사용되는 정상적인 순서의 정의를 원하는 기대 값의 유형에 맞게 변경하는 경우에만 계산을 단순화합니다. 그것은 우리가 항상 정상적인 주문 제품의 기대 값이 0이기를 원한다는 것입니다. 예를 들어 열장 이론 에서 다른 유형의 기대 값, 밀도 행렬 위의 열 추적은 정상 순서 에 대한 다른 정의를 필요로 합니다.[5]
참고 항목 참고문헌 더보기 
![\left[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1fc75e90cf5f42ac82275fe44799338f16010a8)
![\left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413c3d406b53f76f4122cd70a421f8f977fdb67c)
![\left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781ad0826ab6680145c94e8ca49f1683a9ecbbce)
![\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6fe3a2bc5ffe474018b7ac9b049ce1f87c9bbdf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,={}&\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\[5pt]&-\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}-{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\[5pt]&-{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,+{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86de3afbbb2eee81acf29190448febd7e4946a00)
