고정점 속성

수학적 객체 X는 X에서 그 자체로 적절하게 행동한 모든 매핑이 고정점을 갖는 경우에 고정점 속성을 가진다.이 용어는 모든 연속적인 매핑이 고정된 지점이 있는 위상학적 공간을 설명하기 위해 가장 일반적으로 사용된다.그러나 또 다른 용도는 순서 이론으로, P의 증가함수마다 고정점이 있으면 부분 순서가 정해진 집합 P가 고정점 특성을 갖는다고 한다.

정의

A를 콘크리트 범주 C에 있는 물체가 되게 하라.그러면 A는 모든 형태론(즉, 모든 기능) $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:$$A\to A}$에는 고정된 지점이 있다.

가장 일반적인 용도는 C = Top이 위상 공간의 범주일 때 입니다.그러면 위상학적 공간 X는 모든 연속 $지도{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle X}$→ X ${\displaystyle f:X\to X}$에 고정$$ 지점이 있으면 고정 지점 속성을 갖는다.

예

단골격

집합 범주에서 고정점 특성을 가진 객체는 정확히 단골격이다.

닫힌 간격

닫힌 간격 [0,1]에는 고정된 점 속성이 있다: f: [0,1] → [0,1]은 연속적인 매핑이다.f(0) = 0 또는 f(1) = 1이면, 우리의 매핑은 0 또는 1로 고정된 지점을 가진다.그렇지 않으면 f(0) > 0과 f(1) - 1 < 0이다.따라서 함수 g(x) = f(x) - x는 x = 0에서 양수, x = 1에서 음수인 연속적인 실제 값 함수다.중간값 정리에 의해 g(x₀) = 0으로 어느 정도₀ 점 x가 있는데, 즉 f(x₀) - x₀ = 0으로, x가₀ 고정점 x는 고정점이다.

열린 간격에는 고정점 속성이 없다.매핑 f(x) = x에는² 간격(0,1)에 고정된 점이 없다.

닫힌 디스크

닫힌 간격은 닫힌 디스크의 특수한 경우로서, 어떤 유한 차원에서도 브루워 고정점 정리(Brower 고정점 정리)에 의해 고정점 속성을 가진다.

위상

고정점 특성을 가진 공간 X의 수축 A도 고정점 특성을 가지고 있다.$r{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r:X\to A}$이(가) 수축이고$$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:$$A\to A}$은(는) 연속 함수로서, 그 $다음{\displaystyle }$ 구성 i${\displaystyle }$∘ f${\displaystyle r}$r :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle X}$ → X → 디스플레이 $스타일 i\circle r:X\to X}($여기서 $i{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaysty i:$$A\to X}$은(는) 고정점을 가지고 있다.That is, there is ${\displaystyle x\in A}$ such that ${\displaystyle f\circ r(x)=x}$. Since ${\displaystyle x\in A}$ we have that ${\displaystyle r(x)=x}$ and therefore ${\displaystyle f(x)=x.}$

위상학적 공간은 그 정체성 지도가 보편적인 경우에만 고정점 속성을 가진다.

일반적으로 고정점 속성을 가진 공간의 산물은 공간 중 하나가 닫힌 실제 간격이어도 고정점 속성을 갖지 못한다.

FPP는 위상학적 불변성 물질이다. 즉, 어떤 동형체에도 의해 보존된다.FPP는 또한 어떤 수축에도 의해 보존된다.

브루워 고정점 정리에 따르면 유클리드 공간의 모든 콤팩트하고 볼록한 부분집합에는 FPP가 있다.보다 일반적으로 쇼더-티코노프 고정점 정리에 따르면 국소 볼록한 위상 벡터 공간의 모든 콤팩트하고 볼록한 부분집합은 FPP를 가진다.콤팩트함만으로는 FPP를 의미하지 않으며 볼록함도 위상적 특성이 아니므로 FPP를 위상적으로 특성화하는 방법을 묻는 것이 타당하다.1932년 보르수크는 계약성과 함께 소형화가 FPP가 보유하기에 충분한 조건이 될 수 있는지를 물었다.문제는 FPP가 없는 소형 계약 가능 공간의 예를 발견한 키노시타에 의해 추측이 반증될 때까지 20년 동안 열려 있었다.^[1]

참조

• Samuel Eilenberg, Norman Steenrod (1952). Foundations of Algebraic Topology. Princeton University Press.
• Schröder, Bernd (2002). Ordered Sets. Birkhäuser Boston.