특성 다항식

선형대수학에서 제곱 행렬의 특성 다항식은 행렬 유사성 하에서는 불변하며 고유값을 근원으로 하는 다항식이다.계수 중 행렬의 결정인자와 추적을 가지고 있다.유한차원 벡터 공간의 내형성의 특성 다항식은 그 내형성의 행렬의 특성 다항식이다(즉, 특성 다항식은 기준의 선택에 좌우되지 않는다).결정론 방정식이라고도 하는 특성 방정식은 특성 다항식을 0과 동일시하여 얻은 방정식이다.^[1][2][3]null

스펙트럼 그래프 이론에서 그래프의 특성 다항식은 인접 행렬의 특성 다항식이다.^[4]null

동기

Given a square matrix ${\displaystyle A,}$ we want to find a polynomial whose zeros are the eigenvalues of ${\displaystyle A.}$ For a diagonal matrix ${\displaystyle A,}$ the characteristic polynomial can be defined by: if the diagonal entries are ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3$$}},\ldots,}$ 등의$$ 특성을 가진 다항식은 다음과 같다.

이것은 대각선 항목도 이 행렬의 고유값이기 때문에 작동한다.null

일반 매트릭스 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle A,}$의 경우 다음과 같이 진행할 수 있다.0이 아닌 벡터 $v{\displaystyle \mathbf{}}$, ${\displaystyle$ $\lambda }$ 스칼라 $\lambda {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$\mathbf {v},}$이(가) 있는 경우에만$$ $A{\displaystyle }${\$displaystystyle$ A$}$의 고유값이며$$, 다음과 같이 고유 벡터라고 한다$$.

또는 동등하게$여기$서 I ${\displaystyle I}$은(는) ID 행렬이다.$v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 0이 아니어야 하므로$$, 이는 매트릭스 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$- ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda I-A}$에 0이 아닌 커널이 있음을$$ 의미한다.따라서 이 행렬은 변환할 수 없으며, 따라서 결정 인수는 0이어야 한다.따라서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 고유값은 ${\displaystyle det(}$ ${\displaystyle \lambda }$ I${\displaystyle }$- A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \det(\lambda I-A)$의 루트로서, $\lambda {\displaystyle .}$ ${\displaysty \lambda .}$의 다항식이다.

형식 정의

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ 행렬$$ $A{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ A$.}$을(를) 고려하십시오.$$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle p_{A}(t$)로 표시된$A{\displaystyle }$, ${\$displaystyle p_{A}(t$)$의 특성 다항식은 다음에$$^[5] 의해 정의된 다항식이다.

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ID$$ 매트릭스를 나타낸다$$.null

일부 저자는 특성 다항식을 ${\displaystyle det}$(A ${\displaystyle -t}$ ${\displaystyle I}$ )${\displaystyle }$.${\displaystyle \det(A-tI$)로 정의한다$.$$}$ 이$$ 다항식$({\displaystyle }$ -${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle n^{}}$, ${\displaystyle(-1)^{n}}$ 기호에 의해 정의된 것과 $다르므로$ A ${\displaystyle$A}의 고유값을 루트로 갖는 것과 같은 속성에 대해서는 아무런 차이가 없다$.$ 그러나 위의 정의는 $항상{\displaystyle }$ 단항식 다항식을 제공하는 반면, 대안 정의는 n ${\}$이 경우에만 단항식이다.디스플레이 $스타일 n}$은(는) 짝수다.null

예

행렬의 특성 다항식을 계산하는 방법

다음의 결정요인을 계산한다.그리고${\displaystyle }$($t{\displaystyle }$ -${\displaystyle }$2${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm{t}}$- 1 (${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$+ 1${\displaystyle }$, ${\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\,}$의 특성$$ 다항식인 A${\displaystyle .}$ ${\displaystystyle A.$$}$

또 다른 예는 쌍곡각 φ의 쌍곡 함수를 사용한다.매트릭스 테이크

그것의 특징적인 다항식은

특성.

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ 행렬의$$$$ 특성 다항식 p ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle p_{A}(t)}$은 모닉(선행 $계수$는$$1 {\$displaystyle 1$이고 그 정도는 $n{\displaystyle .}$ ${\displaystystyle$ n$.}$이다.$$ $특성{\displaystyle }$ 다항식에 대한 가장 중요한 사실은 동기 단락에서 이미 언급되었다: A ${\displaystyle A}$의 고유값은 정확히$$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle A{}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle p_{A}(t)}($이것은 $또한{\displaystyle }$ A ,${\displaystyle A}$의 최소 다항식에 대한 것도 포함하지만, 그 정도가 그 이하일 수 있다.${\displaystyle n}$ $[\displaystyle n}$ $$.특성 다항식의 모든 계수는 행렬 항목의 다항식이다.In particular its constant coefficient ${\displaystyle p_{A}(0)}$ is ${\displaystyle \det(-A)=(-1)^{n}\det(A),}$ the coefficient of ${\displaystyle t^{n}}$ is one, and the coefficient of ${\displaystyle t^{n-1}}$ is tr(−A) = −tr(A), where tr(A) is the$A{\displaystyle }$. ${\displaystyle A.}$의 추적($$여기 제시된 부호는 이전 섹션에서 주어진 공식 정의에 해당하며,^[6] 대체 정의의 경우 각각 ${\displaystyle \det }$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \det(A)}$ 및 (1)^{n – 1} tr(A)가 된다.)^[7]null

$따라서{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ 행렬$$ $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle A,}$에 대해 특성 다항식이 다음과 같이 주어진다.

외부 대수 언어를 사용하여 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ 행렬$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 특성 다항식을 다음과 같이 표현할 수 있다$$.

여기서 $\mathrm{tr}$ $$ ($\bigwedge \stackrel{}{}$ $\stackrel{}{k}$ $\stackrel{}{}$) ${\$$\right$$)$는 치수$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}$ $k$)가 있는$$ $A{\displaystyle }$, ${\$$displaystyle A}$의 외부 전원에 $대한{\displaystyle }$ k ${\displaystystystyle$ $k}$의 추적이다$$$.$$}$ 이 추적은$$ 크기가 k. {\$displaystyle$ k$.}$인 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 모든 주 미성년자의 합으로 계산할 수 있다. 재귀성 Faddeev-LeVerrier 알고리즘은 이러한 계수를 더 효율적으로 계산한다.null

계수 필드의 특성이 $0{\displaystyle \mathrm{},}$ ${\displaystyle$ 0$,}$인 경우, 이러한$$ 각 추적은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\times k}$ 행렬의$$ 단일 결정 인자로 대안으로 계산할 수 있다.

Cayley-Hamilton 정리에서는 특성 다항식에서 $t{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle t}$을(를$)$ A {\$displaystyle A}$로 대체하는 것(결과적인 힘을 매트릭스 강도로 상호 교환하고, $c{\displaystyle }$${\displaystyle$ $c}$을(를$$) ID 매트릭스의 0을 $산출$한다고 명시한다.비공식적으로 말하면, 모든 행렬은 그 자체의 특성 방정식을 만족시킨다.이 문장은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 최소 다항식이 $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle A$의 특성 다항식을 나눈다고$$ 말하는 것과 같다$.$$}$

유사한 두 행렬은 동일한 특성 다항식을 가진다.그러나 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다: 동일한 특성 다항식을 가진 두 행렬이 유사할 필요는 없다.null

행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$A}과$($와) 전치 부위는 동일한 특성 다항식을 갖는다.${\displaystyle A}$은(는) 특성 다항식을 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$보다 선형 인자로 완전히 인수할 수 있는 경우에만 삼각 행렬과 유사하다$$($$특성 다항식 대신 최소 다항식도 마찬가지다).이 경우 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 요르단 정규 형태의 행렬과 유사하다$$.null

두 행렬로 구성된 제품의 특성 다항식

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) ${\displaystyle 두}$ 제곱 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\times n}$ 행렬인$$ 경우 A ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$과 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle BA}$의 특성 다항식이 일치한다$$.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 비송음적인 경우$$ ${\displaystyle A}$ B ${\displaystyle AB}$과(와) ${\displaystyle B}$ A ${\displaystyle BA}$이(가) 유사하다는 사실에 따라 이 결과가 나타난다.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 모두 단수인$$ 경우, 원하는 $ID$는 t$${\$displaystyle t$}의 다항식과$$ 행렬의 계수 사이의 동일하다.따라서 이러한 동일성을 입증하기 위해서는 모든 계수의 공간의 비어 있지 않은 오픈 서브셋(일반적인 위상에 대해 또는 보다 일반적으로 자리스키 위상에 대해)에서 검증된다는 것을 입증하기에 충분하다.비노래 행렬이 모든 행렬의 공간의 개방된 부분집합을 형성하기 때문에, 이것은 그 결과를 증명한다.null

More generally, if ${\displaystyle A}$ is a matrix of order ${\displaystyle m\times n}$ and ${\displaystyle B}$ is a matrix of order ${\displaystyle n\times m,}$ then ${\displaystyle AB}$ is ${\displaystyle m\times m}$ and ${\displaystyle BA}$ is ${\displaystyle n\$N$}개$의 $행렬$을 곱한 다음

이를 증명하기 위해, 필요한 $경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및$$ $B{\displaystyle .}$ ${\displaystyle B.}$을(를) 교환하여 > m ${\displaystyle n}을($를) 가정할 수 있다.$$ Then, by bordering ${\displaystyle A}$ on the bottom by ${\displaystyle n-m}$ rows of zeros, and ${\displaystyle B}$ on the right, by, ${\displaystyle n-m}$ columns of zeros, one gets two ${\displaystyle n\times n}$ matrices ${\displaystyle A^{\prime }}$ and ${\displa$$ystyle B^{\prime }}$ such that ${\displaystyle B^{\prime }A^{\prime }=BA}$ and ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$ is equal to ${\displaystyle AB}$ bordered by ${\displaystyle n-m}$ rows and columns of zeros.$결과$는 정사각형 행렬의 경우 A${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$′ $′{\$ A$^{\prime$ }{\$b^{\prime }}}$와 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$. ${\displaystyle AB$의 특성 다항식을 비교함으로써 나타난다$.$$}$

A의^k 특성 다항식

$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 고유값인 경우$$, 고유벡터 $v{\displaystyle \mathbf{}}$, ${\displaystyle \mathbf {v},}$이(가) 있는 정사각 행렬 $A$${\$ $\lambda$ $^{k}}}$의 $고유값$인 것이 ${\displaystyle {분명}^{}}$하다.

승수도 일치함을 나타낼 수 있으며, 이는 x ${\displaystyle k^{}}$ ${\$을$($^[8]를) 대신하는 모든 다항식으로 일반화된다.

That is, the algebraic multiplicity of ${\displaystyle \lambda }$ in ${\displaystyle f(A)}$ equals the sum of algebraic multiplicities of ${\displaystyle \lambda '}$ in ${\displaystyle A}$ over ${\displaystyle \lambda '}$ such that ${\displaystyle f(\lambda ')=\lambda .}$특히 ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sum \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ) ${\$$=\textstyle \sum \i=1}^{n}f(\lambda _{i})$ 및$$ ${\displaystyle \det }$ det${\displaystyle (f}$ (A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \prod \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}(}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$. ${\$$=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).$$}$ 여기서$$ ${\displaystyle \mathrm{다항식}}$ $f{\displaystyle (}$ t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle f(t)=t^{3}+1, 예$를 들어$$, $매트릭스{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle A}$에서 $f{\displaystyle }$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ 1${\displaystyf f(A)=$로 단순하게$$ 평가된다.$A^{3}+1.$$}$

이 정리는 어떤 분야나 역률의 행렬과 다항식에도 적용된다.^[9]그러나 행렬이 복잡한 숫자와 같이 대수적으로 닫힌 필드를 초과하지 않는 한, ${\displaystyle p_{}}$ $A{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle p_{A}(t)}$이(가) 선형 인자에 대한 인자화를 가지고$$ 있다는 가정이 항상 참인 것은 아니다.null

세속함수와 세속 방정식

세속 함수

세속적 함수라는 용어는 현재 특성 다항식(일부 문헌에서는 세속적 함수라는 용어가 여전히 사용된다.이 용어는 라그랑주의 진동 이론에 따르면 행성 궤도의 세속적 섭동(일세기, 즉 연간 운동과 비교했을 때 느림)을 계산하기 위해 특성 다항식을 사용했다는 사실에서 유래한다.null

세속 방정식

세속 방정식은 여러 가지 의미를 가질 수 있다.null

• 선형 대수학에서는 특성 방정식을 대신하여 사용되기도 한다.
• 천문학에서 그것은 짧은 기간의 불평등이 허용된 후에도 남아있는 행성의 운동에서 불평등의 크기에 대한 대수적 또는 수치적 표현이다.^[10]

• 전자의 에너지와 그 파동함수와 관련된 분자 궤도 계산에서도 특성 방정식 대신 사용된다.

일반적인 연관성 알헤브라를 위해

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ 필드의 항목이 있는$$ $매트릭스{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}F}$) ${\displaystyle A_{n}(F)}$의 특성 다항식에 대한 위의 $정의$는 F ${\displaystyle F}$이(가) 단지 정류 링일 때 사례에 대한 변경 없이 일반화된다$$.가리발디(2004)는 $필드{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$에 걸쳐 임의 유한차원(연관적이지만 반드시 역행하는 것은 아님) 대수의 요소에 대한 특성 다항식을 정의하고 이러한$$ 일반성에서 특성 다항식의 표준 특성을 증명한다.null

참고 항목

• 특성 방정식(동음이의)
• 최소 다항식(선형 대수)
• 텐서 불변제
• 동반행렬
• Faddeev-LeVerrier 알고리즘
• 케일리-해밀턴 정리
• 새뮤얼슨-베르코위츠 알고리즘

참조

• T.S. 블라이스 & E.F.로버트슨(1998) 기본 선형 대수, 페이지 149, 스프링거 ISBN 3-540-76122-5.
• 존 B. 프랄리 & 레이먼드 A.Beauregard (1990) Linear 대수 2판, p 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8.
• Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", American Mathematical Monthly, 111 (9): 761–778, arXiv:math/0203276, doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048
• 베르너 그루브(1974) 선형대수학 제4판, 페이지 120–5, 스프링어, ISBN 0-387-90110-8.
• Paul C. Shields (1980) 초등 선형 대수 제3판, 페이지 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1.
• Gilbert String (1988) 선형 대수 및 그것의 응용 프로그램 제3판, p 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3.