n번째 뿌리

수학에서 숫자 x의 n번째 루트는 숫자 r이며, 검정력 n으로 상승할 때 x를 산출한다.

${\displaystyle r^{n}=x,}$

여기서 n은 양의 정수인데, 때로는 근의 정도라고 한다.도 2의 근은 제곱근, 도 3의 근은 입방근이라고 한다.더 높은 수준의 뿌리는 네 번째 뿌리, 스무 번째 뿌리 등과 같이 서수적 숫자를 사용하여 언급된다.n번째 루트의 계산은 루트 추출이다.

예를 들어 3² = 9이기 때문에 3은 9의 제곱근이고 -3은 9의 제곱근(-3)² = 9이기 때문에 -3도 9의 제곱근이다.

복합수로 간주되는 0이 아닌 숫자는 실제 n번째 근원을 포함하여 n번째 다른 복잡 n번째 근을 가진다(최대 2번째).0ⁿ = 0이기 때문에 모든 양의 정수 n의 n번째 루트는 0이다.특히 n이 짝수이고 x가 양수라면 n번째 뿌리의 하나는 실재하고 양수이고, 하나는 음수이고, 나머지(n > 2)는 비실재 복합수이며, n이 짝수이고 x가 음수라면 n번째 뿌리는 실재하지 않는다.n이 홀수이고 x가 실재하면 한 n번째 뿌리는 실재하며 x와 같은 기호를 갖는 반면, 다른(n – 1) 뿌리는 실재하지 않는다.마지막으로 x가 진짜가 아니라면 n번째 뿌리는 하나도 진짜가 아니다.

실수의 뿌리는 대개 급진 기호나 라디ix $displaystyle {\sqrt {{~^{~}^{~}\!$$\!}}}$과$($와) x {\$displaystyle$ {\$sqrt{x}}}$이(가) 양이면 x의 양의 제곱근을 나타내며$$, 더 높은 루트의 경우$$n이 홀수이면$x$의 진짜 n번째 루트를 나타내고$$, n이 짝수면 플러스 n번째 루트를 나타낸다.다른 경우에는 기호가 모호한 것으로 일반적으로 사용되지 않는다.$x{\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$ 식에서 정수 n을 인덱스$,$ x를 래디칸드라고 한다.

복합 n번째 뿌리를 고려할 때, 원근이라고 하는 뿌리 중 하나를 원근 값으로 선택하는 것이 유용한 경우가 많다.일반적인 선택은 x의 주 n번째 루트를 n번째 루트로 선택하는 것이며, 가장 큰 실제 부분이 있고, 두 개(x real과 negative)가 있을 때(x real과 negative) 상상의 부분이 있는 것을 선택하는 것이다.이것은 n번째 루트를 x 실질과 양에 대해 실재하고 양적인 함수로 만들고, 실재와 음의 x 값을 제외하고 전체 복합면에서 연속적으로 한다.

이 선택에서 어려운 점은 음의 실수와 홀수 지수의 경우 주 n번째 루트가 진짜가 아니라는 것이다.For example, ${\displaystyle -8}$ has three cube roots, ${\displaystyle -2}$, ${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}$ and ${\displaystyle 1-i{\sqrt {3}}.}$ The real cube root is ${\displaystyle -2}$ and the principal cube root is ${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.$$}$

미해결된 뿌리, 특히 급진적 기호를 사용하는 뿌리를 서드^[1](surd) 또는 급진적 기호로 부르기도 한다.^[2]제곱근이든 입방근이든 상위근이든 간에 급진적인 것을 포함하는 어떤 표현도 급진적인 표현이라고 하며, 초월함수나 초월수를 포함하지 않으면 대수적 표현이라고 한다.

뿌리는 또한 지수의 특별한 경우로서 정의될 수 있다. 여기서 지수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}=x^{1/n}.}$

루트는 루트 테스트와 파워 시리즈의 수렴 반경을 결정하는 데 사용된다.1의 n번째 뿌리는 단결의 뿌리라고 불리며 숫자 이론, 방정식 이론, 푸리에 변환 등 수학의 다양한 영역에서 근본적인 역할을 한다.

역사

n번째 뿌리를 뽑는 수술의 고어적 용어는 방사화다.^[3][4]

정의 및 표기법

숫자 x의 n번째 루트(n은 양의 정수)는 n번째 검정력이 x인 n real 또는 complex number r 중 하나이다.

${\displaystyle r^{n}=x.}$

모든 양의 실수 x는 주 n번째 루트라고 하는 하나의 양의 n번째 루트를 가지고 $있는데{\displaystyle \text{exception 25:}}$, 이 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$는 x n$${\$displaystyle${\$sqrt[{n}]{x}}}}$라고 쓰여 있다$.$ n이 2와 같은 경우 주 제곱근이라고 하며 n은 생략된다.n번째 루트는 지수를 x로^1/n 사용하여 나타낼 수도 있다.

n의 짝수 값에 대해서도 양수에는 음수 n번째 근이 있는 반면 음수에는 실제 n번째 근이 없다.n의 홀수 값에 대해 모든 음수 x는 실제 음수 n번째 루트를 갖는다.예를 들어 -2는 실제 5번째 루트를 가지지만${\displaystyle \sqrt[\mathrm{}]{}}$ 5${\displaystyle \text{exception 25:}}$=${\displaystyle \mathrm{}}$- 1${\displaystyle .148698354}$… ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-22}}=-1.148698354\ldots$}}}은$$(는) 실제 6번째 루트를 가지지 않는다.

0이 아닌 모든 숫자 x는, 진짜든 콤플렉스든, n개의 다른 복잡한 숫자 n번째 뿌리를 가지고 있다.(x가 진짜인 경우, 이 카운트는 실제 n번째 루트를 포함한다.)0의 유일한 복합 루트는 0이다.

거의 모든 숫자의 n번째 뿌리(n번째 힘을 제외한 모든 정수, 두 번째 n번째 힘의 인용구를 제외한 모든 이성)는 비합리적이다.예를 들어,

${\displaystyle {\sqrt{2}}=1.414213562\ldots }$

정수의 모든 n번째 뿌리는 대수적 숫자다.

surd라는 용어는 알-Khwarizmī (c. 825)으로 거슬러 올라간다. 그는 각각 합리적 숫자와 불합리한 숫자를 청각적 숫자로 지칭했다.이것은 나중에 비합리적인 숫자가 라틴어로 "서두스"(deaf" 또는 "mute"라는 뜻)로 번역되는 아랍어 "أصم" (asamm, "deaf" 또는 "dumb")로 이어졌다.Gerard of Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202), and then Robert Recorde (1551) all used the term to refer to unresolved irrational roots, that is, expressions of the form ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{i}},}$ in which ${\displaystyle n}$ and ${\displaystyle i}$ are integer numerals and the whole expression denotes an불합리한 ^[5]수2차 비합리적인 숫자, 즉 $i{\displaystyle \sqrt{},}${\$displaystyle${\$sqrt{i}}$ 형식의 비합리적인 숫자를 "2차적 서드"라고도 한다$$.

제곱근

숫자 x의 제곱근은 제곱할 때 x가 되는 숫자 r이다.

${\displaystyle r^{2}=x.}$

모든 양의 실수에는 두 개의 제곱근, 즉 한 개의 양수와 한 개의 음수가 있다.예를 들어, 25의 두 제곱근은 5와 -5이다.양의 제곱근은 주 제곱근이라고도 하며, 다음과 같은 과격한 기호로 표시된다.

${\displaystyle {\sqrt {25}=5.}$

모든 실수의 제곱은 음수가 아니기 때문에, 음수는 실제 제곱근을 가지고 있지 않다.그러나 모든 음의 실수에 대해 두 개의 상상의 제곱근이 있다.예를 들어 -25의 제곱근은 5i와 -5i이며 여기서 i는 제곱이 -1인 숫자를 나타낸다.

큐브 뿌리

숫자 x의 큐브 루트는 숫자 r이며 큐브는 x:

${\displaystyle r^{3}=x.}$

모든 실제 숫자 x는 정확히 하나의 실제 큐브 루트를 가지고 있으며, ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ 3 ${\${\$sqrt[{3}]{x$ 예를 들어,

${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}}]{8$}}}{${\displaystyle \text{exception 25:}}$$}}}=2$$}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}{\displaystyle \text{exception 25:}}$-${\displaystyle \text{exception 25:}}$8${\displaystyle }$3 = - 2.$${\$displaystyle${\$sqrt[{3$}]{-$8}}=-2.$$}$

모든 실수에는 두 개의 복잡한 큐브 뿌리가 추가된다.

ID 및 속성

$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ x$^{1/n}$에서와 같이 n번째 루트의 정도를 지수 형태로 표현하면 힘과 루트를 조작하기 쉬워진다$.$${\displaystyle a}$이(가) 음수가 아닌 실수인 경우

${\displaystyle {\sqrt[{n}}}{a^{m}}={1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}={\sqrt[{n}]{a}}}^{m}}}}}$

모든 비 음수에는 정확히 하나의 비 음수 실질 n번째 루트가 있으므로 비 음수 래디칸드 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$}$이(가) 포함된 surdds에 대한 작동 규칙은 실수 내에서 간단하다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}}$

음수 또는 복잡한 숫자의 n번째 뿌리를 취할 때 미묘함이 발생할 수 있다.예를 들어,

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$ but, rather, ${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$

${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ n${\displaystyle \text{exception 25:}}$= ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\${\$sqrt[{n}}}}}}}{b}}}}={\sqrt[{$n}]{ab}}}}}}}} 규칙이 음이 아닌 실제 방사선에 대해 엄격하게$$ 유지되기 때문에 위의 첫 번째 단계에서 불평등으로 이어진다.

간략화된 형태의 급진적 표현

비응시적 급진적 표현은 다음과^[6] 같은 경우 단순화된 형태라고 한다.

1. 지수보다 크거나 같은 힘으로 쓸 수 있는 라디칸드의 인자는 없다.
2. 과격한 표시 아래에는 분수가 없다.
3. 분모에는 급진파가 없다.

예를 들어, 과격한 표현 ${\displaystyle \sqrt{\frac{32}{}}}$5 {\$displaystyle$ {\sqrt ${\tfrac{32$}{5$}}}}$을(를) 단순화된 형태로$$ 작성하려면 다음과 같이 진행하면 된다.먼저 제곱근 표지판 아래에 있는 완벽한 정사각형을 찾아 제거하십시오.

${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}={\sqrt {16}{5}}={\sqrt {\tfrac{2}}}=4{\sqrt {\tfrac}{5}}}}}}}}{5}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

다음으로 급진적 기호 아래에는 다음과 같이 변화되는 분수가 있다.

${\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}={\frac {4{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}}}}}}}}$

마지막으로 다음과 같이 분모에서 과격파를 제거한다.

${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$

surds를 포함하는 분모가 있을 때, 표현을 단순화함으로써 분자와 분모를 모두 곱할 인자를 항상 찾을 수 있다.^[7][8]예를 들어, 두 큐브의 합을 인자화하여 사용하는 경우:

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}}={\prac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}:{a+b}}}}}}.}$

내포된 급진주의자와 관련된 급진적인 표현을 단순화하는 것은 상당히 어려울 수 있다.예를 들어 다음과 같은 것은 명백하지 않다.

${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt{2}}=1+{\sqrt{2}}:}$

위 내용은 다음을 통해 도출할 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$

r${\displaystyle }$= p /${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r=p/q}$을$($를) p 및 q coprime과 양의 정수로 한다.Then ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}}$ is rational if and only if both ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}$ and ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}}$ are integers, which means that both p and q are nth powers of some integer.

무한계열

급진적 또는 근원은 무한 계열로 표현될 수 있다.

${\displaystyle (1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{n=0}{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}x^{n}}}}}}}$

< ${\displaystyle x <$1}을(를$)$ 사용하여 이항렬에서 이항렬을 파생할 수 있다.

주요 루트 계산

뉴턴의 방법 사용

숫자 A의 n번째 루트는 뉴턴의 방법으로 계산할 수 있는데, 뉴턴의 방법은 초기₀ 추측 x로 시작한 다음 재발 관계를 이용하여 반복한다.

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}:{n-1}$

원하는 정밀도에 도달할 때까지계산 효율성의 경우, 반복 관계는 일반적으로 다시 작성된다.

${\displaystyle x_{k+1}={\frac {n-1}{n}\,x_{k}+{\frac {A}{n}\,{\frac {1}{x_{k}^{n-1}}}}.}$

이렇게 하면 하나의 지수를 가질 수 있으며, 각 항의 모든 첫 번째 요인에 대해 한 번 계산할 수 있다.

예를 들어 34의 다섯 번째 루트를 찾기 위해 n = 5, A = 34 및 x₀ = 2(초기 추측)를 연결한다.처음 5회 반복은 대략 다음과 같다.
x₀ = 2
x₁ = 2.025
x₂ = 2.02439 7...
x₃ = 2.02439 7458...
x₄ = 2.02439 74584 99885 04251 08172...
x₅ = 2.02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 21701 07311 8...
(모든 올바른 숫자가 표시됨)

근사 x는₄ 소수점 25자리까지 정확하고, x는₅ 51자리까지 좋다.

뉴턴의 방법은 n번째 루트에 대해 다양한 일반화된 지속 분수를 생성하도록 수정할 수 있다.예를 들어,

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.}$

십진수(기본값 10) 숫자의 주근수에 대한 자릿수별 계산

제곱근의 자릿수 계산을 기반으로 하여, 거기서 사용되는 공식 x ${\displaystyle (20}$ ${\displaystyle p}$ +${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$≤${\displaystyle c}$ ${\displaystyle$ x $(20p+x)\leq$ c$} 또는$${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 20}$ x ${\displaystyle pp}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle$ x$^{2}+20xp\leq$ c$}$을$($으)가 파스칼의 삼각형을 수반하는 패턴을 따르고 있음을 알 수 있다.For the nth root of a number ${\displaystyle P(n,i)}$ is defined as the value of element ${\displaystyle i}$ in row ${\displaystyle n}$ of Pascal's Triangle such that ${\displaystyle P(4,1)=4}$, we can rewrite the expression as ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{10}^{i}P(n,i)p^i{x}^{n-i}}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i$}x$^{n-i$ 편의상 이 $식$의 y ${\displaystyle$ y$}$을(를) 호출한다$.$이 보다 일반적인 표현으로 어떠한 양의 주근수도 다음과 같이 자릿수 단위로 계산할 수 있다.

원래 숫자를 십진법으로 쓰시오.숫자는 긴 분할 알고리즘과 유사하게 작성되며, 긴 분할에서와 마찬가지로 위의 선에 루트가 기록된다.이제 자릿수를 소수점부터 시작하여 왼쪽과 오른쪽으로 모두 이동하면서 취해진 루트에 해당하는 숫자의 그룹으로 구분하십시오.뿌리의 소수점은 라디칸드의 소수점보다 높을 것이다.루트의 한 자릿수는 원래 숫자의 각 숫자 그룹 위에 나타날 것이다.

가장 왼쪽의 숫자 그룹으로 시작하여 각 그룹에 대해 다음 절차를 수행하십시오.

1. 왼쪽부터 시작하여 아직 사용되지 않은 가장 유의한(맨 왼쪽) 자릿수 그룹을 아래로 가져와서(모든 숫자를 사용한 경우, 그룹을 만드는 데 필요한 횟수를 "0"으로 적는다) 이전 단계(첫 번째 단계에서는, 나머지가 없을 것이다)의 나머지의 오른쪽에 적는다.즉, 나머지에 ${\displaystyle {10n}^{}}$ ${\$을 곱하고 다음$$ 그룹의 숫자를 더한다.이것은 현재 값 c가 될 것이다.
2. 다음과 같이 p와 x를 찾으십시오.
   • $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 소수점을 무시한 채 지금까지 발견된 루트의 일부로 두십시오($첫{\displaystyle }$ 번째 단계에서는 p${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p=0}).$
   • $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle y\leq c}$과 같은 최대 숫자 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 결정하십시오$.$
   • 숫자 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 루트의 다음 자리, 즉 방금 가져온 숫자 그룹 위에 놓으십시오.따라서 다음 p는 구 p 곱하기 10 플러스 x가 될 것이다.
3. $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에서 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$을(를) 빼서 새 나머지를 형성하십시오$$.
4. 나머지가 0이고 더 이상 가져올 자리가 없으면 알고리즘이 종료된 것이다.그렇지 않으면 1단계로 돌아가 다시 반복하십시오.

예

152.2756의 제곱근을 구하라.

  1  2. 3  4     /      \/  01 52.27 56

01100·1·00·12+101·2·01·11 ≤ 1<>100·1·00·22+101·2·01·21 x=101는 y)100·1·00·12+101·2·01·12=1+ 0=1시 52100·1·10·22+101·2·11·21 ≤ 52<>100·1·10·32+101·2·11·31)=20044.                y)100·1·10·22+101·2·11·21=4±40=440827100·1·120·32+101·2·121·31 ≤ 827번지<>100·1·120·42+101·2·121·41 x=30729는 y=100·1·120·32+101·2·121·31=9+720=7299856100·1·1230·42+101·2·1231·41 ≤ 9856<>100·1·1230·52+101·2·1231·51.       )=49856y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840 = 9856 00 00 알고리즘이 종료됨:정답은 12.34이다.

가장 가까운 100분의 4192의 세제곱근을 구하라.

   1   6.  1   2   4 3  /   \/  004 192.000 000 000

004 100·1·00·13+101·3·01·12+102·3·02·11 ≤ 4<100·1·00·23+101·3·01·22+102·3·02·21 x=1001는 y)100·1·00·13+101·3·01·12+102·3·02·11=1+0+ 0=1003 192100·1·10·63+101·3·11·62+102·3·1.2·61 ≤ 3192<>100·1·10·73+101·3·11·72+102·3·12·71 x)6003 096는 y)100·1·10·63+101·3·11·62+102·3·12·61=216+1,080+1800=3,096 096 000100·1·160·13+101·3·161·12+102·3·162·11 ≤ 96000<>100·1·160·23+101·3·161·22+102·3·162·21 x=1077 281.         y)100·1·160·13+101·3·161·12+102·3·162·11=1+480+76,800=77,281 018719년 000100·1·1610·23+101·3·1611·22+102·3·1612·21 ≤ 18719000<>100·1·1610·33+101·3·1611·32+102·3·1612·31)=2015 571년 928년 y)100·1·1610·23+101·3·1611·22+102·3·1612·21=8+19,320+15,552,600=15,571,928.  003 147072 000100·1·.16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000 < 100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·16122·51 x = 4 원하는 정밀도를 달성한다.4192의 세제곱근은 약 16.12이다.

로그 계산

양의 숫자의 주 n번째 루트는 로그로 계산할 수 있다.r을 x의 n번째 루트로 정의한 ${\displaystyle \mathrm{방정식},}$ $즉{\displaystyle {}^{}}$x = x , {\$displaystyle$ r^{n$}=x}$를 x 양성으로$$ 정의하고 따라서 그 주근 r도 양성으로 정의한 방정식에서 시작하여 양쪽의 로그(로그의 모든 기초가 된다)를 취하여 얻는다.

${\displaystyle n\log _{b}r=\log_{b}x\redit \redites{\text}}\redog \log _{b}x}{n}}.}$

root r은 안티로그를 복용함으로써 여기서 회복된다.

${\displaystyle r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.}$

(주: 이 공식은 b가 분할 결과에 곱한 것이 아니라 분할 결과의 힘으로 상승한 것을 나타낸다.)

x가 음이고 n이 홀수인 경우, 역시 음수인 진짜 r이 하나 있다.${\displaystyle 이것}$은 r${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle r$^{$n}=$x$,}$을(를) 얻기 위해 먼저 정의 방정식의 양쪽에 -1을 곱한 다음$$ r을 찾기 위해 전과 같이 진행하고 r = - r 을 사용하여 확인할 수 있다.

기하학적 구성성

고대 그리스 수학자들은 나침반과 직선자를 사용하여 단위의 보조선이 주어졌을 때 주어진 길이의 제곱근과 같은 길이를 구성하는 방법을 알고 있었다.1837년에 피에르 원젤은 n이 2의 힘이 아니라면 주어진 길이의 n번째 루트를 만들 수 없다는 것을 증명했다.^[9]

복합뿌리

0을 제외한 모든 복합수에는 n번째 근이 다르다.

제곱근

복잡한 숫자의 두 제곱근은 항상 서로의 부정이다.예를 들어 -4의 제곱근은 2i와 -2i이며, i의 제곱근은 2i와 -2i이다.

${\displaystyle {\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\propert {\text{and}\propert -{\tfrac {1}{\sqrt{2}}(1+i)}$

복잡한 숫자를 극형으로 표현하면 반경의 제곱근을 취하여 각도를 절반으로 줄임으로써 제곱근을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt{i\theta}}=\pm {\sqrt{r}\cdot e^{i\theta /2}.}$

복잡한 숫자의 주된 루트는 예를 들어 다양한 방법으로 선택될 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta}}={\sqr}\cdot e^{i\theta /2}}$

조건 0 ≤ π < 2 π인 양의 실제 축을 따라 복잡한 평면에서 분기 컷을 도입하거나, - < < ≤ π인 음의 실제 축을 따라 컷을 도입한다.

첫 번째(마지막) 분기를 사용하여 주 $제곱근{\displaystyle \sqrt{}}$ z ${\$ 맵$$ $z{\displaystyle }$ ${\\$을(를) 음이 아닌 가상(실제) 부분이 있는 하프 평면에$$ 절단하십시오.마지막 분기 컷은 Matlab이나 Scilab과 같은 수학 소프트웨어에서 전제된다.

통합의 뿌리

숫자 1은 복잡한 평면에서 n번째 다른 n번째 뿌리를 가지고 있다, 즉

${\displaystyle 1,\\\omega,\\omega ^{2},\\dots,\\omega ^{n1},}$

, where

${\displaystyle \e^{\frac {2\pi i}{n}}}=\cos \lefts\frac\frac {2\pi }{n}\right)+i\sin \reftpy \2\pi }{n}\rig)}$

이러한 뿌리는 $/n$의 배수인 각도로 복잡한 평면에서 단위 원을 중심으로 균일하게 간격을 두고 있다$.$ 예를 들어 통합의 제곱근은 1과 $-1$이고, 통합의 네 번째 뿌리는 $1$과 i, i ${\$$displaystyle$ i$\},$ $-1$,$}$이다$.$

n번째 뿌리

모든 콤플렉스 수는 콤플렉스 평면에 서로 다른 n번째 뿌리를 가지고 있다.이것들은

${\displaystyle \eta \eta \eta \omega,\eta \eta \eta ^{2},\;\ldots,\;\eta \omega ^{n-1},}$

여기서 η은 단일 n번째 근이며, 1, Ω, Ω², ...Ω은ⁿ⁻¹ 단결의 n번째 근이다.예를 들어, 2의 4번째 뿌리는

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\message i{\sqrt[{4}]{2}},\message -{\text{and}}\i}\sqrt[{4}]{2},\displaysty {\text{\sqrt[{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

극성 형태에서, 하나의 n번째 뿌리는 공식에 의해 발견될 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}={\sqrt[{n}]{r}\cdot e^{i\theta /n}.}$

여기서 r은 뿌리를 취할 숫자의 크기(계수, 절대값이라고도 함)이다. 숫자를 a+bi로 쓸 수 있다면 ${\displaystyle \sqrt{{r\mathrm{}}^{}}}$= 2 +${\displaystyle \sqrt{{}^{}{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$}$}}}}$. Also, ${\displaystyle \theta }$ is the angle formed as one pivots on the origin counterclockwise from the positive horizontal axis to a ray going from the origin to the number; it has the properties that ${\displaystyle \cos \theta =a/r,}$ ${\displaystyle \sin \theta =b/r,}$ and $$${\displaystyle \tan \theta =b/a.$$}$

따라서 복잡한 평면에서 n번째 뿌리를 찾는 것은 두 단계로 나눌 수 있다.첫째, 모든 n번째 뿌리의 크기는 원래 수의 n번째 뿌리다.둘째, 양의 수평축과 원점에서 n번째 뿌리의 하나까지의 광선 사이의 각도는 ${\displaystyle \theta }$/ n ${\displaystyle \theta /n}$이며$,$ 여기서 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$은 루트를 취하고 있는 숫자에 대해 동일한 방법으로 정의된 각이다.더욱이, n번째 뿌리의 모든 n번째 뿌리는 서로 균등하게 간격을 두고 있다.

n이 짝수인 경우, 짝수인 복합수의 n번째 루트는 가법역쌍으로 나타나므로, 숫자 r이₁ n번째 루트의 하나라면 r₂ = –r이₁ 다른 루트다.왜냐하면 후자의 계수 –1을 n번째 검정력으로 올리면 1: (–r₁)ⁿ = (–1) ⁿ× r = r이₁ⁿ₁ⁿ 되기 때문이다.

제곱근과 마찬가지로 위의 공식은 전체 복잡한 평면에 걸쳐 연속적인 함수를 정의하지 않고, 대신 θ / n이 불연속적인 지점에 가지 절단을 가진다.

다항식 해결

한때 모든 다항식 방정식은 대수적으로 풀릴 수 있을 것이라고 추측되었다(즉, 다항식의 모든 뿌리는 한정된 수의 급진성과 기본적인 운영의 관점에서 표현될 수 있을 것이라고 추측되었다).그러나 이는 3도 다항식(큐빅스)과 4도 다항식(쿼트릭스)에 대해서는 사실이지만, 아벨-루피니 정리(1824년)는 그 정도가 5도 이상일 때는 일반적으로 사실이 아님을 보여준다.예를 들어, 방정식의 해법

${\displaystyle x^{5}=x+1}$

활성산소 단위로 표현할 수 없다. (cf. 5중방정식)

비완벽 n번째 검정력 x에 대한 비합리성 증명

$x{\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$이(가) 합리적이라고$$ 가정하십시오.즉, a와 b는 공통 인자가 없는 ${\displaystyle \frac{\mathrm{정수인}}{}}$ b ${\${\$frac{a}{b$분수로 줄일 수 있다.

즉, $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$ ${\$을$($를) 의미한다.

Since x is an integer, ${\displaystyle a^{n}}$and ${\displaystyle b^{n}}$must share a common factor if ${\displaystyle b\neq 1}$. This means that if ${\displaystyle b\neq 1}$, ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$ is not in simplest form.따라서 b는 1과 같아야 한다.

${\displaystyle {1n}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ 1$^{n}=1}$ 및 ${\displaystyle \frac{\mathrm{n<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; 1^\{n\}=1\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/93f80fba3de21e4d0bae42b0e9bbc88f3abbdcdc"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:6.642ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="417">}}{}}$ ${\displaystyle 1}$= n ${\displaystyle {\frac{n}{1}:{n},$n ${\displaystyle b^{}\frac{{}^{}}{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$

즉, $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ 따라서$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$= ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a$$이$는 x ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$이(가) 정수임을$$ 의미한다.x는 완벽한 n번째 힘이 아니기 때문에 이것은 불가능하다.따라서 $x{\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$은(는) 비합리적이다.

참고 항목

• N번째 루트 알고리즘
• 이동 n번째 루트 알고리즘
• 과격 기호
• 대수적 수
• 기하 평균
• 내포 래디컬
• 두 뿌리 열두 번째
• 슈퍼루트

참조

외부 링크

무료 사전인 Wiktionary에서 검색해 보십시오.

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