이항 계수

이항 계수는 파스칼의 삼각형을 형성하도록 배열할 수 있으며, 여기서 각 항목은 바로 위의 두 개의 합이다.

최대 4제곱까지 이항 확장 시각화

수학에서 이항 계수는 이항 정리에서 계수로 발생하는 양의 정수입니다.일반적으로 이항계수는 n of $k 0$ 0의 $정수$ 쌍에 의해 ${\tbinom {n}{k}}.$ 되며 ${\tbinom {n}{k}}.$ (n ${\tbinom {n}{k}}.$ k $).\$ $display$ style { $tbinom {n}$ { $k}.$ } ${\tbinom {n}{k}}.$ + $n$ x)의 다항식 확장에서의 x항의 $계수$ 이며^k, 이 계수는 곱셈 공식으로 계산할 수 있다 $.$

{\binom {n}{k}=sn\times (n-1)\times \cdots \times (n-k+1)}{k\times (k-1)\times \cdots \times1}

요인 표기법을 사용하면 다음과 같이 간략하게 표현될 수 있습니다.

{binom {n}{k}}=flac {n!}{k!(n-k)!}}.

예를 들어, 1 + $x$ 의 4제곱은

{\displaystyle\signed\(1+x)^4}&= tbinom {4}{0}x^{0}+{\tbinom {4}x^{1}+{\tbinom {4}{2}x^{2}+{3}+{\tbinom {4}x{4}x^{3}+{\tbinom {4}x{4}x4}+1+6^4}x4}

및 이항 계수 ${\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6$ 2 ) ${\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6$ × ${\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6$ × ${\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6$ ${\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6$ ! ${\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6$ ! ${\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6$ ! 2 ! $=$ ${\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6$ { $display { tbinom$ { 4 } {2}} = $btfrac {4\times$ 3} { $2\times$ 1} = $btfrac {4!$ $}{2!2!}}=$ 6 ${\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6$ }은 x항의 $계수$ 이다².

숫자 ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}$ ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}$ 0 ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}$ ( ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}$ 1 ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}$ ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}$ ( $),$ ( n ) { $displaystyle {tbinom {n},$ {\ $tbinom {n},$ \ $ldots,$ {\ $tbinom {n}},$ $displaystyle$ n $=0,1$ }}의 ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}$ $n=0,1,2,\ldots$ $n=0,1,2,\ldots$ 된 $n=0,1,2,\ldots$ 에 $n=0,1,2,\ldots$ 배열이 표시됩니다 $.$

{n}{k}=binom {n-1}{k}+{\binom {n-1}{k-1}}.

이항 계수는 수학의 많은 영역, 특히 조합론에서 발생합니다.기호 ${\tbinom {n}{k}}$ ${\tbinom {n}{k}}$ k $)(\$ { $tbinom {n}{k})$ 는 ${\tbinom {n}{k}}$ 보통 " $n$ $choose$ k"로 읽힙니다.이는 $고정된n$ 요소 집합에서 k $요소$ 의 (순서 없는) 서브셋을 선택하는 ${\tbinom {n}{k}}$ 이 ${\tbinom {n}{k}}$ ${\tbinom {n}{k}}$ ( $n$ k ${\tbinom {n}{k}}$ 있기 때문입니다. $\{1,2,3,4\},$ 를 $들어$ , {1, 2, 3, ${\tbinom {4}{2}}=6$ $},$ $즉$ $\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{1,4\},\,\{2,3\},\,\{2,4\},$ { $\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{1,4\},\,\{2,3\},\,\{2,4\},$ $\{1,2,3,4\},$ $\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{1,4\},\,\{2,3\},\,\{2,4\},$ $},$ $\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{1,4\},\,\{2,3\},\,\{2,4\},$ { $\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{1,4\},\,\{2,3\},\,\{2,4\},$ , $\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{1,4\},\,\{2,3\},\,\{2,4\},$ 3 $\{1,2,3,4\},$ $\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{1,4\},\,\{2,3\},\,\{2,4\},$ {1, $\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{1,4\},\,\{2,3\},\,\{2,4\},$ { $\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{1,4\},\,\{2,3\},\,\{2,4\},$ $\{1,2,3,4\},$ $\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{1,4\},\,\{2,3\},\,\{2,4\},$ 에서 $\{1,2,3,4\},$ 2개의 요소를 선택하는 방법은 ( $)$ $\{1,2\},\,\{1,3\},\,\{1,4\},\,\{2,3\},\,\{2,4\},$ $6가지$ 입니다 ${\tbinom {4}{2}}=6$ $.$ $playstyle \{3,4\}.$ $}$

이항 계수는 임의의 $복소수$ z와 $정수$ k ≤ $0$ 에 대해 ( ${\tbinom {z}{k}}$ k ${\tbinom {z}{k}}$ ) { $displaystyle {tbinom {z}$ { $k}}$ 로 ${\tbinom {z}{k}}$ ${\tbinom {z}{k}}$ 일반화할 수 있으며, 이들의 성질은 이 보다 일반적인 형태로 계속 유지됩니다.

이력 및 표기법

안드레아스 폰 에팅스하우젠은 1826년에 ^[1]표기법 ${\tbinom {n}{k}}$ ( $nk)$ 을 ${\tbinom {n}{k}}$ 도입했다. 비록 그 숫자들이 수세기 전에 알려져 있었지만 말이다(파스칼의 삼각형 참조).이항계수에 대한 가장 초기의 상세한 논의는 고대 산스크리트어 문헌인 핑갈라의 찬다샤스트라에 대한 할라유다의 10세기 주석에서 볼 수 있다.이항 계수에 대한 두 번째 초기 설명은 Al-Karaji에 의해 제공됩니다.약 1150년, 인도의 수학자 바스카라차랴는 그의 책 Lālavatī에서 이항 계수를 설명했습니다.^[2]

대체 표기법으로는 C $(n,$ $k),$ $C k$ , $C k$ , $C k n$ , $C n k$ , C, C, $C$ 가_n,k $있습니다$ . $C$ 는 모두 조합 또는 선택지를 나타냅니다.대부분의 계산기는 C 표기법을 한 줄 표시로 나타낼 수 있기 때문에 C $표기법$ 의 변형을 사용합니다.이 형식에서 이항 계수는 P $(n,$ $k)$ 로 표기된 $n$ 의 k-변환과 쉽게 비교된다.

정의와 해석

k n	0	1	2	3	4	⋯
0	1	0	0	0	0	⋯
1	1	1	0	0	0	⋯
2	1	2	1	0	0	⋯
3	1	3	3	1	0	⋯
4	1	4	6	4	1	⋯
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋱
처음 몇 개의 이항 계수 파스칼의 왼쪽 삼각형에서

자연수(0 포함) n 및 k의 경우, 이항 계수 $($ ${\tbinom {n}{k}}$ )(\ $displaystyle$ { $tbinom {n}{k})$ 는 ${\tbinom {n}{k}}$ (1+ $X) n$ 의 확장 시 단항^k X의 계수로 정의할 수 있다.이항식에서도 동일한 계수가 발생합니다(k $n$ n인 $경우$ ).

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}x^{n-k}y^{k}

(표준)

(가환환의 모든 요소 x, y에 대해 유효)를 지정하면, 「변환 계수」라고 하는 이름이 됩니다.

이 숫자의 또 다른 발생은 조합론에서 k개의 객체가 n개의 객체 중에서 선택될 수 있는 방법(또는 n개의 요소 집합의 k개의 조합)을 제공하는 것이다.이 숫자를 쓴 첫번째 정의의 동등한 상대로, 독립적으로 어떤 공식을 아래의 계산을 수행해야 만약 각 전력의 n요소 의 한(1+X)n 일시적으로 나는(1n까지 달리기) 다음 k지수의 각 부분 집합의 확장 기여 Xk게 해 주는 지수, m이상인 계수를 'X이라고 볼 수 있o결과의 nomial은 그러한 서브셋의 수가 됩니다.이는 특히 ( ${\tbinom {n}{k}}$ k $)$ { $displaystyle {tbinom {n}$ { $k}}$ 이 ${\tbinom {n}{k}}$ ${\tbinom {n}{k}}$ 가) 자연수 n과 k에 대한 자연수임을 나타냅니다.이항계수(이항계수식에 의해 답이 주어지는 문제)에는 다른 많은 조합적 해석이 있다. 예를 들어, 합계가 k인 n비트(자릿수 0 또는 1)로 구성된 단어의 수는 ( ${\tbinom {n}{k}}$ k $)\displaystyle\tbinom {n}{$ k ${\tbinom {n}{k}}$ 에 의해 ${\tbinom {n}{k}}$ 주어지며, 반면 wr에 대한 방법은 다음과 같다. $k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ k $=$ $k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ $k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ + $k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ 2 + $k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ + $k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ _ { $n$ } + $k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ _ {2 $}$ + \ $cdots$ + $a$ _ { $n$ } (여기서_i 모든 a는 음이 아닌 정수)는 ( ${\tbinom {n+k-1}{n-1}}$ ${\tbinom {n+k-1}{n-1}}$ - ${\tbinom {n+k-1}{n-1}}$ n - ${\tbinom {n+k-1}{n-1}}$ \ $display$ $style$ { $tbinom { n$ + $k-1}$ { $n-1}$ )로 $k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ 쉽게 알 수 있습니다.

이항 계수 값 계산

실제로 이항 검정력을 확장하거나 k-결합을 계산하지 않고도 ( ${\tbinom {n}{k}}$ k ${\tbinom {n}{k}}$ ) \ $displaystyle {tbinom {n}{k}}$ 의 ${\tbinom {n}{k}}$ ${\tbinom {n}{k}}$ 값을 계산하는 방법은 여러 가지가 있다.

재귀 공식

한 가지 방법은 재귀적이고 순수하게 가법적인 공식을 사용한다.

{n}{k}=binom {n-1}{k-1}+{\binom {n-1}{k}}

모든

정수

n

,

(\displaystyle

n

,k)

에

n,k

대해 1

1\leq k\leq n-1,

1\leq k\leq n-1,

n -

1\leq k\leq n-1,

, {\

displaystyle 1

\

leq k

\

leq

n-1 ,

1\leq k\leq n-1,

} 。

초기값/최소값 포함

{binom {n} {0}}=binom {n}{n}=1

모든

n\geq 0.

n

n\geq 0.

0

.

{\

style

n

\geq

0

}

에 대해 지정합니다.

공식은 집합 ${1, 2$ , 3, $...,$ $n}$ 을 고려하고 (a) 모든 그룹에서 특정 집합 요소(예를 들어 "i")를 포함하는 k-요소 그룹을 개별적으로 계수하는 것으로부터 뒤따른다 (i"는 모든 그룹에서 한 자리를 채우도록 이미 선택되었기 때문에, 우리는 "i"를 포함하지 않는 $나머지$ n - $1$ 에서 $k-group$ 만을 $선택$ 하면 된다).는 n개의 요소의 가능한 모든 k 조합을 열거한 것입니다.또한 ( $1$ + $X)(n -1 1$ + $X)$ 의 X에 대한^k 기여도를 추적합니다.( $1$ + $X) n$ 에는 X $또는 -1$ X가 $0$ 이므로ⁿ⁺¹ k > $n$ $또는$ k < $0일$ 때 ( ${\tbinom {n}{k}}=0$ k ${\tbinom {n}{k}}=0$ $=$ (\ $displaystyle {n}{k$ }= $0)$ 으로 ${\tbinom {n}{k}}=0$ 정의를 확장할 수 있습니다.이 재귀적 공식은 파스칼의 삼각형을 만들 수 있으며, 이 삼각형은 0, 즉 사소한 계수가 있을 수 있는 공백으로 둘러싸여 있습니다.

곱셈 공식

개별 이항 계수를 계산하는 보다 효율적인 방법은 다음 공식에 의해 제공됩니다.

{\displaystyle {\binom {n}{k}}=frac {n^{\underline {k}}{k!}}=paramfrac {n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-1)}}}, {k-1)(k-2)\cdots1}=\param _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}},

여기서 첫 번째

n^{\underline {k}}

n^{\underline {k}}

k

n^{\underline {k}}

{\

displaystyle

n

^{\underline

{k

}}}

의 분자는

n^{\underline {k}}

하강 요인 검정력으로 표현된다.이 공식은 이항 계수의 조합적 해석을 위해 가장 이해하기 쉽습니다.분자는 n개의 개체 집합에서 k개의 개별 개체 순서를 선택하는 방법을 제공합니다.분모는 순서가 무시될 때 동일한 k-결합을 정의하는 구별되는 시퀀스의 수를 카운트합니다.

k와 $n$ - $k$ 에 대한 이항계수의 대칭성으로 인해 위의 제품의 상한을 $k$ 와 n - $k$ 중 작은 값으로 설정하여 계산을 최적화할 수 있다.

요인 공식

마지막으로, 계산상 부적절하지만, 흔히 증명과 도출에 사용되는 콤팩트 형식이 있어 익숙한 요인 함수를 반복적으로 사용한다.

{binom {n}{k}}=flac {n!}{k!,(n-k)!}}\text{for}\0\leq k\leq n,

여기서 n!은 n의 계수를 나타냅니다.이 공식은 분자와 분모에 (

n

- k

!)

를 곱한 위의 곱셈 공식에서 따랐습니다. 그 결과 분자와 분모에 공통되는 많은 인자를 포함합니다.공통 요인이 먼저 취소되지 않는 한(특히 요인 값이 매우 빠르게 증가하므로) 명시적 계산(k가 작고 n이 큰 경우)에는 덜 실용적입니다.공식은 곱셈 공식에서 덜 명확한 대칭을 나타낸다(정의에서이다).

{n} {k} = sublicbinom {n} {n-k} } \ text { for } \ 0 \ leq k \ leq n ,

(1)

더 효율적인 곱셈 계산 루틴으로 이어집니다.하강 요인 표기법을 사용하면

{binom {n} {k}}=cases}n^{\underline {k}/k!&{\text{if}}\leq {\frac {n}{2}}\n^{\언더라인 {n-k}}/(n-k)!&{\text{if}}\k>{\frac {n}{2}}\end{case}}.

일반화 및 이항 급수에 대한 연결

곱셈 공식은 n을 임의의 수α(음수, 실수, 복소수)로 대체하거나 모든 양의 정수가 반전되는 모든 교환환의 요소로 대체함으로써 이항 계수의 정의를 확장할^[3] 수 있도록 한다.

{\displaystyle\binom\alpha }{k}=parc frac {\underline {k}{k!}}=cdots(\alpha - 2)\cdots(\alpha - k + 1){k(k-1)(k-2)\cdots 1}\cdots(\text {\text {\in }\mathbb {N}(\text { 및 })\alpha}).

이 정의에서는 (변수 중 하나를 1로 설정한 상태에서) 이항식을 일반화하면 ( ${\tbinom {\alpha }{k}}$ k ${\tbinom {\alpha }{k}}$ ) \ $displaystyle {tbinom {k}$ 이항 ${\tbinom {\alpha }{k}}$ 계수를 호출할 수 있습니다.

(1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty}{\alpha \choose k}X^{k}.

(2)

이 공식은 X < 1의 모든 복소수α와 X에 유효하다.그것은 또한 X에서 형식 멱급수의 동일성으로 해석될 수 있으며, 여기서 그것은 실제로 상수 계수가 1인 임의의 멱급수의 정의로 작용할 수 있다; 요점은 이 정의로 모든 멱급수가 지수에 대해 기대하는 것을 유지한다는 것이다, 특히

{\displaystyle (1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta}\displays((1+X)^{\alpha })^{\displaystyle (1+X)^{\alpha } =(1+X)^{\alpha } } } }.

α가 음이 아닌 정수 n이면 k > $n$ 인 항은 모두 0이고 무한 급수는 유한합이 되어 이항식을 회복한다.그러나 음의 정수와 유리수를 포함한 α의 다른 값들의 경우, 급수는 정말로 무한하다.

파스칼 삼각형

파스칼 삼각형의 1000번째 행은 수직으로 배열되며 계수의 십진수 자릿수를 회색 스케일로 표현하여 오른쪽 정렬됩니다.이미지의 왼쪽 경계는 대략 이항 계수의 로그 그래프에 해당하며 로그 오목형 시퀀스를 형성함을 나타냅니다.

파스칼의 법칙은 중요한 반복 관계이다

{n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}

(3)

${\tbinom {n}{k}}$ 는 ( ${\tbinom {n}{k}}$ k $)$ { $displaystyle {tbinom {n}{k}}$ 이 ${\tbinom {n}{k}}$ (가) 모든 정수 n 0 0 및 모든 정수 k에 대한 자연수라는 ${\tbinom {n}{k}}$ 것을 수학적 귀납으로 증명할 수 있으며, 공식 (1)에서 즉시 알 수 없는 사실이다.파스칼 삼각형의 왼쪽과 오른쪽에는 항목(공백으로 표시)이 모두 0입니다.

파스칼의 법칙은 파스칼의 삼각형을 낳기도 합니다.

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

행 $번호$ n에는 k = $0, \dots,$ $n$ 에 $대한$ ${\tbinom {n}{k}}$ k ${\tbinom {n}{k}}$ { $tbinom$ { $n}{$ k})가 ${\tbinom {n}{k}}$ 포함됩니다.가장 바깥쪽 위치에 1s를 먼저 배치한 다음 각 내부 위치를 바로 위의 두 숫자의 합으로 채우는 방식으로 구성됩니다.이 방법을 사용하면 분수나 곱셈 없이 이항 계수를 빠르게 계산할 수 있습니다.예를 들어, 삼각형의 5번째 행을 보면, 그것을 빠르게 읽을 수 있다.

{\displaystyle(x+y)^{5}= 밑줄 {1}x^{5}+{\언더라인 {5}x^{4}y+{\언더라인 {10}x^{3}y^{2}+{\언더라인 {5}xy^{4}+{\언더라인 {1}}y^{5}}.}

조합과 통계

이항 계수는 특정 빈번한 계수 문제에 대해 준비된 공식을 제공하기 때문에 조합론에서 중요합니다.

n개의 요소 집합에서 k개의 요소를 선택하는 방법은 ${\tbinom {n}{k}}$ ( $)$ { $displaystyle {tbinom {n}{k}}$ 가지가 ${\tbinom {n}{k}}$ 있습니다.「조합」을 참조해 주세요.
반복이 허용되는 경우 n개의 요소 집합에서 k개의 요소를 선택하는 방법은 ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ ( ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ + ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ - ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ k ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ ) { $displaystyle$ { $tbinom {$ n ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ + $k-1}$ { $k}$ ) 있습니다 ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ .멀티셋을 참조해 주세요.
k개의 1과 n개의 0을 포함하는 ${\tbinom {n+k}{k}}$ ${\tbinom {n+k}{k}}$ + $){$ 이 ${\tbinom {n+k}{k}}$ 있습니다 ${\tbinom {n+k}{k}}$
$k개$ 의 1과 n개의 0으로 구성된 $($ 이 있으며 ${\tbinom {n+1}{k}}$ ^[4] 인접한 문자열은 없습니다.
카탈로니아 번호는 ${\tfrac {1}{n+1}}{\tbinom {2n}{n}}.$ + ${\tfrac {1}{n+1}}{\tbinom {2n}{n}}.$ 입니다 $.{$ $displaystyle$ { $tfrac {1}{n+1}{\tbinom {2n}{n}}.$ $}$
통계정보의 이항분포는 ${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$ ( ${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$ k ${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$ ${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$ k ( ${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$ ${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$ ) ${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$ - ${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.$ 입니다 $.{$ $displaystyle$ { $tbinom {n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ 입니다. $}$

다항식으로서의 이항 계수

음수가 아닌 정수 k에 대해 식 ${\textstyle {\binom {t}{k}}}$ ( ${\textstyle {\binom {t}{k}}}$ ) { $textstyle {binom {t}$ { $k}}$ 을 ${\textstyle {\binom {t}{k}}}$ (를) 단순화하고 $k$ !로 나눈 다항식으로 정의할 수 있습니다.

{\binom {t}{k}}=frac {t^{\underline {k}}{k!}}=paramfrac {t(t-1)(t-2)\cdots(t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1};

이것은 t에서 유리 계수를 갖는 다항식을 나타낸다.

따라서, 이러한 첫 번째 인수로 이항 계수를 정의하기 위해 실수 또는 복소수 t에서 평가할 수 있다.이러한 "일반화된 이항 계수"는 뉴턴의 일반화 이항 정리에 나타난다.

각 k에 대해 $다항식($ t ${\tbinom {t}{k}}$ ) { $tbinom {t}{$ k ${\tbinom {t}{k}}$ }}}은p( $0$ ) $=$ p(1) = θ $=$ $p$ ( $k -$ 1) = $0$ 및 $p (k)$ = $1$ 을 $만족$ 하는 고유도 k $다항식$ p $(t)$ 로 특징지을 수 있다.

이 계수는 첫 번째 종류의 스털링 수로 표시할 수 있습니다.

{binom {t}{k}=\sum _{i=0}^{k}s(k,i){\frac {t^{i}}{k!}}.

( ${\tbinom {t}{k}}$ ) { $style {tbinom {t}$ { $k}}$ 의 ${\tbinom {t}{k}}$ ${\tbinom {t}{k}}$ 도함수는 로그 미분법으로 계산할 수 있습니다.

{\frac {d} {\mathrm {d} {\binom {t} {k}} = sum _ {i=0} {k-1} {\frac {1} {t-i}}.

$0$ 는 0 $({displaystyle$ 0 $}$ ~ $t-1$ - $({displaystyle t-1$ 정수에서 평가할 때 문제를 일으킬 수 있지만, 아래의 식별 정보를 사용하여 다음과 같이 미분을 계산할 수 있습니다.

{\frac {mathrm {d} {\mathrm {d} {\binom {t} {k} = \sum _ {i=0} {{k-1} {k-i} {\frac {(-1) {k-i}} {\binom {t} {i} {i} {i}.

다항식 공간의 기초로서의 이항 계수

특성 0의 모든 필드(즉, 유리수를 포함하는 모든 필드)에서, 최대 d의 각 다항식 p(t)는 이항 계수의 선형 조합 ${\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}}$ k $= 0$ d ${\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}}$ ( ${\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}}$ ) ${\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}}$ { $textstyle \sum$ _ {k $}^{d}a_{k}{\binom$ { $t}}}$ 로 고유하게 ${\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}}$ 표현될 수 있다.계수_k a는 시퀀스 p(0), p(1), ..., p(k)의 k번째 차이입니다.명시적으로^[5]

a_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}p(i)

(4)

정수 다항식

각 다항식 ${\tbinom {t}{k}}$ ${\tbinom {t}{k}}$ k $){$ k ${\tbinom {t}{k}}$ })은 정수 값입니다. 모든 정수 $입력$ t{ $displaystyle$ t $t$ 에 정수 값이 있습니다. (이를 증명하는 한 가지 방법은 파스칼의 항등식을 사용하여 k에 유도하는 것입니다.)따라서 이항 계수 다항식의 모든 정수 선형 조합도 정수 값입니다.반대로 (4)는 모든 정수값 다항식이 이러한 이항 계수 다항식의 정수 선형 조합임을 보여준다.보다 일반적으로 특성 0 필드 K의 하위 링 R에 대해, K[t]의 다항식은 이항 계수 다항식의 R-선형 조합인 경우에만 모든 정수의 값을 취한다.

예

정수값 다항식 $3t(3t + 1)$ / $2$ 는 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

{{displaystyle 9gbinom {t} {t}} + 6gbinom {t} {1}} + 0gbinom {t} {0}.}

이항 계수와 관련된 동일성

요인 공식을 사용하면 인근의 이항 계수를 쉽게 연결할 수 있습니다.예를 들어 k가 양의 정수이고 n이 임의의 경우

{binom {n} {k}} = param frac {n} {k} {\binom {n-1} {k-1}

(5)

그리고 조금만 더 하면

{n-1}{k}-{\binom {n-1}{k-1}=blac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.

우리는 또한

{n-1}{k}=paramfrac {n-k}{\binom {n}{k}}.

또한 다음 사항이 유용할 수 있습니다.

{n}{h}}{\binom {n-h}{k}=binom {n-k}{h}}=binom {n}{h+k}{h}}{\binom {h+k}}{h}}.

상수 n에 대해 다음과 같은 반복이 있습니다.

{binom {n} {k} = snfrac {n-k+1} {k} {\binom {n} {k-1}

요약하자면, 우리는

{binom {n} {n-k} = snfrac {n-k+1} {k} = snfrac {n} {n-k} {\binom {n-1} {k} = snfrac {n} {k} {n-k} = snfrapsnfrac {n-1

이항 계수의 합

공식

_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}

（ ∗ ( ）

파스칼 삼각형의 n번째 행에 있는 원소는 항상 2의 n제곱을 더한다고 합니다.이것은 x = 1과 y = 1을 설정하여 이항 정리(정리)에서 구한다.이 공식은 또한 자연 조합 해석을 가지고 있다: 왼쪽은 k = 0, 1, …, n 크기의 {1, …, n}의 서브셋의 수를 합하여 총 서브셋 수를 나타낸다.(즉, 왼쪽은 {1, …, n}의 전원 세트를 카운트합니다).단, 이들 서브셋은 각 요소 1, …, n을 순차적으로 선택하거나 제외하여 생성할 수도 있습니다.n개의 독립된 바이너리 선택지(비트 문자열)는 총 $2^{n}$ 의 $2^{n}$ \ $style$ 2 $^{n}$ 개의 $2^{n}$ $2^{n}$ 를 허용합니다.왼쪽과 오른쪽은 동일한 부분 집합 집합을 세는 두 가지 방법이기 때문에 같습니다.

공식

\displaystyle \sum _{k=0}^{n}kbinom {n}{k}=n2^{n-1}

(6)

그리고.

\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}{\binom {n}{k}=(n+n^{2})2^{n-2}

x에 $대한$ 미분(후자의 제곱) 후 x = $y$ = $1$ 을 $대입$ 한 후 이항 정리를 따른다.

모든 복소수 값 m과 n, 그리고 음이 아닌 정수 k에 대해 유지되는 Chu-Vandermonde 항등식은

_{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}=binom {n}{k}}

(7)

( $1$ + $x)(m 1 + n - m x$ ) $=$ ( $1 + n$ x)의 팽창에서 x $x^{k}$ ({ $displaystyle$ x $^{k})$ 의 $x^{k}$ 계수를 식 (2)를 이용하여 조사하면 알 수 있다.m = $1$ 이면 $방정식$ (7)은 방정식(3)으로 줄어든다.특수한 $경우$ n = $2m,$ $k$ = $m$ 에서 (1)을 사용하면 팽창(7)은 (오른쪽 파스칼 삼각형에서 볼 수 있음)이 된다.

{\displaystyle {array}{c}1\qquad 1\qquad 2\qquad 1\{\color {blue}1\qquad 3\qquad 3\qquad 1\1\qquad 4\qquad 4\qquad 4\qquad 1\1\qquad 5\qquad 5\qquad 10\qquad 1\qquad 1\quad

파스칼의 삼각형, 0행에서 7행까지. m =

3

에

대한

방정식 8은 3행과 6행에

1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}=20.

2 +

1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}=20.

2 +

1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}=20.

+

1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}=20.

1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}=20.

1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}=20.

으로 나타나

.

{\

displaystyle

1

^{2}

+

3^{2}

+

1^{2

}

=

}

\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{2}=binbinom {2m}{m}

(8)

여기서 오른쪽 항은 중심 이항 계수입니다.

0 $j$ j $k$ k $n$ n을 $만족$ 하는 정수 j, k 및 n에 적용되는 또 다른 형태의 Chu-Vandermonde 항등식은 다음과 같다.

{\displaystyle _{m=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}=binom {n+1}{k+1}}.}.

(9)

증명은 비슷하지만 음의 정수 지수가 있는 이항 계열 확장(2)을 사용합니다.j = $k일$ $때$ , 공식 (9)은 하키 스틱의 동일성을 나타낸다.

\sum _{m=k}^{n}{\binom {m}{k}}=binom {n+1}{k+1}

및 그 친척

\sum _{r=0}^{m}{\binom {n+r}{r}=binom {n+m+1}{m}}.

F(n)는 n번째 피보나치 수를 나타냅니다.그리고나서

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\lfloor n/2\loor}{\binom {n-k}{k}}=F(n+1)}}.

이는 (3)을 사용한 유도 또는 Zeckendorf의 표현으로 증명할 수 있습니다.조합 증명은 다음과 같습니다.

다항식의 합계

$0\leq t<s,$ t < $,$ {\ $displaystyle 0\leq$ t $<s$ ,} 시리즈 $0\leq t<s,$ 멀티검출이 이항계수의 합계에 대해 다음과 같은 동일성을 갖는 정수 s 및 t의 경우:

({displaystyle {binom {n} {t+s} + {\binom {n} {t+2s}} + \ldots = sum _ {j=0} {{s-1} \ left ( 2 \ cos { frac { pi j} { s} \ s ）^{n}\cos {frac {pi (n-2t) j}.}

$작은$ s의 경우, 이러한 시리즈는 특히 좋은 형태를 가지고 있습니다.^[6]예를 들어 다음과 같습니다.

{binom {n} {n} {3} + {\binom {n} {6}} + \cdots = scsfrac {1} {3}} + 2 \ cos {frac {n\pi } {3} \ right

{binom {n} {n} {4} + {\binom {n} {7} + \cdots = scsfrac {1} {3} + 2\cos {frac {(n-2)\pi } {3} {} \ right

{binom {n} {n} {5} + {\binom {n} {8} + \cdots = scsfrac {1} {3} + 2\cos {frac {(n-4)\pi } {3} \ right

{\binom {n} {n} {4} + {\binom {n} {8} + \cdots = scdfrac {1} {2}\left (2^{n-1} + 2^{n} {n} {n2}\cos {frac {n\pi} {4}\right

{\binom {n} {5} + {\binom {n} {9} + \cdots = slft (2^ {n-1} + 2^{n} {n} {2}} \ sin {frac {n\pi} {4} \ right

{\binom {n} {n} {6} + {\binom {n} + \cdots = scsfrac {1} {2}\left(2^{n-1}-2^{n}{2}}\cos {frac {n\pi}{4}}\right

{\binom {n} {n} {7} + {\binom {n} + \cdots = specfrac {1} {2} \ left ( 2 ^ { n - 1 } - 2 ^ { n } { n } { n } \ sin { 4 } \ right

부분 합계

부분 합계에 대한 닫힌 공식은 없지만

\sum _{j=0}^{k}{\binom {n}{j}}

이항 ^[7]계수의 경우 (3)과 유도를 사용하여 k = $0, \dots, n$ - $1$ 에 대해 $다음$ 과 같이 나타낼 수 있다.

_{j=0}^k}(-1)^{j}{\binom {n}{j}={k}{\binom {n-1}{k}}

특별한^[8] 경우를 제외하고는

_{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=0

n > 0 의 경우.이 후자의 결과는 또한 ^[9]n보다 작은 차이의 다항식 P(x)에 대해,

\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(j)=0.}

(2) k 회를 미분하여 x = -1 을 설정하면 $P(x)=x(x-1)\cdots (x-k+1)$ P $P(x)=x(x-1)\cdots (x-k+1)$ ( $P(x)=x(x-1)\cdots (x-k+1)$ ) $=$ x $P(x)=x(x-1)\cdots (x-k+1)$ ( $P(x)=x(x-1)\cdots (x-k+1)$ - 1) $P(x)=x(x-1)\cdots (x-k+1)$ ( $x$ - $P(x)=x(x-1)\cdots (x-k+1)$ + 1 $)\display$ P( $x)=x(x-1)\cdots$ ( $x-k+$ 1 $P(x)=x(x-1)\cdots (x-k+1)$ 에 $P(x)=x(x-1)\cdots (x-k+1)$ 이 값이 산출되며, 이 값은 0 µk < n일 때 일반적인 경우에 따라 달라집니다.

P(x)가 n보다 작거나 같은 정도일 때,

_{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}P(n-j)=n!a_{n}

(10)

$a_{n}$ 서 n $(\$ 은 $a_{n}$ P(x)의 n도 계수입니다.

일반적으로 (10)의 경우,

_{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}P(m+(n-j)d)=d^{n}n!a_{n}

여기서 m과 d는 복소수입니다.그 후 (10)을 $P(x)$ x $)$ $P(x)$ $Q(x):=P(m+dx)$ x) : $=$ $Q(x):=P(m+dx)$ + $Q(x):=P(m+dx)$ x $)$ 에 $Q(x)$ 즉시 $Q(x)$ 하고 $Q(x)$ Q $($ x) {displaystyle P $(x$ P $Q(x):=P(m+dx)$ (m $+dx$ )} {displaystyle $Q(x):=P(m+dx)$ Q(x)} {displaystyle Q( $x)}$ 의 $Q(x)$ 차수가 n 이하임을 관찰한다.

${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ k - ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ k ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ j ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ 1 ( ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ + ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ ) ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ ( x ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ - ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ ) { { $textstyle$ { $frac$ { ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ k - $1$ \ $sum$ _ { j ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ = $0$ }^{ \ $infty$ } { \ $frac {$ 1 $}$ { \ $binom { j$ + $x$ } { $k$ } $}}}=syslogfrac$ {1 $}{\binom$ { $x-1}{k-1$ 은(는) k÷ 2에 대해 수렴됩니다.이 공식은 독일 탱크 문제의 분석에 사용됩니다. ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ 값은 k ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ - ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ j ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ M ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ ( ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ + ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ k ) ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ ( ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ - ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ ) - ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ ( ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ + ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ k - ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ ) ( { $k$ - 1 ) ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ （ { k ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ } \ $sum _$ { j ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ = 0 $}^{ M$ } { \ $frac$ { $1$ } { \ $binom { j$ + x + x x + x ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ } { k } { k } { k } { k } { k ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ } { k } ) $from1$ k 。 $}}=M$ 에 유도하여 증명하는 ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ frac ${1}{\binom {x-1}{$ k-1 $}}-{\frac {1}{\binom$ {M $+x}{$ k-1 ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ }}}.

조합 증명과 동일성

이항 계수와 관련된 많은 동일성은 조합 평균에 의해 입증될 수 있다.예를 들어 음이 아닌 ${n}\geq {q}$ n ${n}\geq {q}$ { $displaystyle {n}\geq {q$ 의 경우 ID는 다음과 같습니다.

\displaystyle _{k=q}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {k}{q}=2^{n-q}{\binom {n}{q}}}

(q = 1)은 다음과 같이 이중 계수 증명을 제공할 수 있다.왼쪽은 최소 q개의 요소가 있는 [n] = {1, 2, …, n}의 하위 집합을 선택하고 선택한 요소 중에서 q개의 요소를 표시하는 방법을 카운트합니다.오른쪽도 마찬가지입니다.마킹할 q 요소 세트를 선택하는 방법은 ( $n$ q ${\tbinom {n}{q}}$ ) { $tbinom$ {n} ${q}}$ $2^{n-q}$ ${\tbinom {n}{q}}$ [n]의 나머지 요소 중 어느 것이 서브셋에 속하는지 선택하는 방법은 $2^{n-q}$ - $2^{n-q}$ { $displaystyle$ 2 $^{n-q}$ 개입니다 $2^{n-q}$ .

파스칼의 정체성 속에서

{displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}

양쪽 모두 [n]의 k-소수 부분 집합의 수를 계산합니다. 오른쪽에 있는 두 개의 항은 요소를 포함하는 항과 포함하지 않는 항으로 그룹화합니다.

항등식(8)에도 조합증명이 있다.아이덴티티는

\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}=binbinom {2n}{n}}.

빈 정사각형이 $(표시$ 스타일 $2n)$ 씩 $2n$ 일렬로 $2n$ 되어 있고 그 중 n개를 표시(선택)한다고 가정합니다.( $)$ ( $style)$ ( $tbinom {2n}{n})$ 방법이 ${\tbinom {2n}{n}}$ 있습니다 ${\tbinom {2n}{n}}$ 한편, 나머지 n개의 정사각형에서 첫 번째 n과 $n-k$ - $n-k$ k(\ $displaystyle n-k)$ 정사각형 $n-k$ 중에서 k개의 정사각형을 선택하여 n개의 정사각형을 선택할 수 있습니다.0 ~ n의 임의의 k가 동작합니다.이것으로 알 수 있다.

\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n}{n-k}=binom {2n}{n}}}.}

(1)을 신청하면 결과가 나옵니다.

F $(0) = F$ (1) $= 1$ 이 $되도록$ 지수화된 피보나치 숫자의 순서를 $F(i$ )로 나타내면, 동일성

_{k=0}^{\left\lfloor {frac {n}{2}\right\loor}{\binom {n-k}{k}=F(n)

에는 다음과 같은 조합 ^[10]증거가 있습니다.유도를 통해 F

(n)

가 n ×

1

정사각형

조각

이 2 ×

1

및

1

×

1

타일로

덮일

수 있는 방법을 계산한다는

것

을 알 수 있다.한편, 이러한 타일이 2 ×

1 타일

중

정확히

k개를 사용하는 경우,

1

× 1

타일

중

n

- 2k를

사용

하므로

n -

k

타일

합계

가 사용됩니다.이러한 타일을 주문하는 방법은

{\tbinom {n-k}{k}}

(

{\tbinom {n-k}{k}}

{\tbinom {n-k}{k}}

{\tbinom {n-k}{k}}

)

{\tbinom {n-k}{k}}

{

style {tbinom {n-k}

{

k}}

가지가

{\tbinom {n-k}{k}}

있습니다.따라서 k의

가능

한 모든 값에 대해 이 계수를 합하면 동일성이 부여됩니다.

계수 행의 합계

모든 k에 대한 k-결합의 수, ${\textstyle \sum _{0\leq {k}\leq {n}}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$ ${\textstyle \sum _{0\leq {k}\leq {n}}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$ ${\textstyle \sum _{0\leq {k}\leq {n}}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$ ${\textstyle \sum _{0\leq {k}\leq {n}}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$ ( ${\textstyle \sum _{0\leq {k}\leq {n}}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$ k ) ${\textstyle \sum _{0\leq {k}\leq {n}}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$ ${\textstyle \sum _{0\leq {k}\leq {n}}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$ n { $textstyle \sum _$ ${0\leq$ {k $}\leq$ {n} ${\binom {$ n}} $= 2^{n$ 은 이항계수의 n번째 행(0에서 제외)의 합계이다.이러한 조합은 0 ~ $2^{n}-1$ n - $({displaystyle$ 2 $^{n}-1$ 까지 카운트되는 베이스2 번호 세트의 1 자리수로 열거됩니다.여기서 각 자리 위치는 n 세트의 항목입니다.

딕슨의 항등식

딕슨의 신원은

\displaystyle \sum _{k=-a}^{k}{2a \choose k+a}^3}=black{(3a)!}{(a!)^{3}}}}

더 일반적으로 말하면

_{k=-a}^{k}(-1)^{a+b\choose a+k}{b+c\choose b+k}{c+a\choose c+k}=slac {(a+b+c)!}{a!,b!,c!},

여기서 a, b, c는 음수가 아닌 정수입니다.

연속 아이덴티티

특정 삼각 적분에는 이항 계수로 표시할 수 있는 값이 있습니다. $m,n\in \mathbb {N} ,$ 의 m $m,n\in \mathbb {N} ,$ $m,n\in \mathbb {N} ,$ $m,n\in \mathbb {N} ,$ $,$ {\ $displaystyle m,n\in \mathbb$ { $N},}$ 의 경우

\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(2m-n)\cos ^{n}(x)\dx=cosfrac {2^{n-1}}{\binom {n}{m}}}

\int _{-\pi }^{n}(x)\sin^{n}(x)\dx=sin{cases}(-1)^{m+(n+1)/2}{\frac {2pi }{2^{n-1}{\binom {m}{n}{n}{n}{n}{\text}{\text}\text}{n}\text}\text}\text}\text

\int _{-\pi }^{n}\cos(2m-n)\sin^{n}(x)\dx=sin{cases}(-1)^{m+(n/2)}{\frac {2^{n-1}{\binom {n}{n}{n}{\text},\text}{n},\cases

이것들은 삼각함수를 복잡한 지수로 변환하기 위해 오일러의 공식을 사용하고, 이항 정리를 사용하여 확장하고, 항별로 적분을 함으로써 증명될 수 있다.

일치

n이 소수이면

{n-1}{k}\equiv(-1)^{k}\mod n

0\leq k\leq n-1.

-

.\displaystyle

0

\leq

k

\leq n-1.

보다

0\leq k\leq n-1.

일반적으로 n이 임의의 숫자이고 k가 1과 k 사이의 모든 숫자가 n과 동일할 경우 이 값은 그대로입니다.

사실, 우리는

{n-1}{k}={(n-1)(n-k)\cdots(n-k)\cdots(n-k)\cdots k}=\cdots_{i\over i}{n-i \equiv \eiv_{i=1}^{k}{-i{-k}{-i}{-i\modi\cdiscdotsu}{k}^{k}{n-1}{k}{k}{k}{n-}{k}}}}}{n-

n $(\displaystyle$ n $)$ 이 $n$ 양의 정수이고 $p$ (\ $displaystyle$ p $)$ 가 $p$ 소수인 $경우$ ^[11]

\displaystyle \sum _{j=1}^{\lfloor _{p}{n}\lloor}{\binom {n-1}{p^{j}-1}\equiv \nu _{p}(n)\mod p,}

(11)

여기서 $\nu _{p}(n)$ p ( $\nu _{p}(n)$ $){displaystyle \nu$ _ ${p}(n)}$ 는 $\nu _{p}(n)$ $정수$ n의 p-adic 순서 또는 p-adic 평가이며, n을 $나누는$ 소수 p의 최대 거듭제곱의 지수이다.방정식(11)은 보다 기본적인 사실에서 비롯된다.j $(\displaystyle$ j $)$ 가 $j$ 양의 정수일 $경우$

{n-1}{p^{j}-1}\equiv {case}1\mod p&{\text{j} n\0\mod p&{\text{if}}}\p^{j}\mid n.\end {case}

함수 생성

일반 생성 함수

$고정$ n의 경우 시퀀스 ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots$ ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots$ 0 ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots$ ( ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots$ 1 ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots$ ( ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots$ ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots$ $...{$ $displaystyle {tbinom {n}{0},$ {\ $tbinom {n}{2},\ldots})$ 의 ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots$ 일반 생성 함수는 다음과 같습니다.

\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}{n \choose k}x^{k}=(1+x)^{n}}.

$고정$ k의 경우 시퀀스 ${\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,$ 0 ${\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,$ ${\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,$ ${\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,$ ( ${\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,$ k ${\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,$ ${\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,$ ${\displaystyle {tbinom {0}{k},$ {\ $tbinom {1}{k},$ {\ $tbinom$ {2 $}{k$ },\ $ldots}$ 의 ${\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,$ 일반 생성 함수는 다음과 같습니다.

\sum _{n=0}^{\infty}{n \choose k}y^{n}=syslogfrac {y^{k}{(1-y)^{k+1}}}.

이항 계수의 이변량 생성 함수는 다음과 같습니다.

{\displaystyle \sum _{n=0}^{n}{n\sum _{k=0}^{n}{n\choose k}x^{k}y^{n}=black {1}{1-y-xy}}}}}.

이항 계수의 대칭 이변량 생성 함수는 다음과 같습니다.

\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}\sum _{k=0}^{\infty}{n+k \choose k}x^{k}y^{n}=subfrac {1}{1-x-y}}}.}

이는 $x\to xy$ x $x\to xy$ $x\to xy$ y {\ $displaystyle x\to$ xy $x\to xy$ 이후의 이전 생성 함수와 동일합니다.

지수 생성 함수

이항 계수의 대칭 지수 이변량 생성 함수는 다음과 같습니다.

\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}\sum _{k=0}^{\infty}{n+k \choose k}{\frac {x^{k}y^{n}}{(n+k)!}}=e^{x+y}}

나눗셈 속성

1852년 Kummer는 m과 n이 음이 아닌 정수이고 p가 소수인 경우 p 나누기 ${\tbinom {m+n}{m}}$ ${\tbinom {m+n}{m}}$ ${\tbinom {m+n}{m}}$ m $)$ 의 최대 제곱(\ $displaystyle {tbinom {m+n}{m})$ 은 ${\tbinom {m+n}{m}}$ p가 된다는^c 것을 증명했습니다.여기서 c는 m과 n을 기저 p에 더했을 때의 반송파 수입니다.마찬가지로 ( ${\tbinom {n}{k}}$ k $)$ 의 소수 p in ({ $displaystyle {tbinom {n}{k}})$ 의 ${\tbinom {n}{k}}$ 지수는 k/p의^j 소수 부분이 n/p의^j 소수 부분보다 크도록 음이 아닌 정수 j의 수와 같다.이를 통해 ( ${\tbinom {n}{k}}$ k ${\tbinom {n}{k}}$ ) { $displaystyle {tbinom {n}$ { $k}}$ 은 ${\tbinom {n}{k}}$ (는) n/gcd(n,k)로 나눌 수 있음을 ${\tbinom {n}{k}}$ 추론할 수 있습니다.따라서 p는 $모든 r$ 양의 정수 r 및 s에 $대해$ ( ${\tbinom {p^{r}}{s}}$ ${\tbinom {p^{r}}{s}}$ s ${\tbinom {p^{r}}{s}}$ { $tbinom$ { $p^{r$ }}{ $s})$ 를 ${\tbinom {p^{r}}{s}}$ ${\tbinom {p^{r}}{s}}$ 나눕니다 $.$ 단, p의 고승수에는 해당되지 않습니다.예를 들어 ${\tbinom {9}{6}}$ 는 ${\tbinom {9}{6}}$ 되지 않습니다 $({$ tbinom {9 $}{6$

David Singmaster(1974)의 다소 놀라운 결과는 모든 정수가 거의 모든 이항 계수를 나눈다는 것입니다.보다 정확하게는 정수 d를 고정하고 f(N)는 n < N으로 이항계수 ${\tbinom {n}{k}}$ ${\tbinom {n}{k}}$ ${\tbinom {n}{k}}$ k $)$ 의 수(\displaystyle\tbinom ${$ n ${\tbinom {n}{k}}$ }{k})를 나타내며 d는 n ${\tbinom {n}{k}}$ < ${\tbinom {n}{k}}$ k ${\tbinom {n}{k}}$ ） \ $displaystyle\tbinom{n}$ {k $}$ ${\tbinom {n}{k}}$

\displaystyle \lim _{N\to\infty}{\frac {f(N)}{N(N+1)/2}}=1.}

n < N인 이항계수 ${\tbinom {n}{k}}$ ${\tbinom {n}{k}}$ k ${\tbinom {n}{k}}$ ) {\ $displaystyle {tbinom {n}$ {k $}})$ 의 ${\tbinom {n}{k}}$ 수는 N(N + 1) / 2이므로 d로 나눌 수 있는 이항계수의 밀도가 1이 된다는 것을 의미한다.

이항 계수에는 연속 정수의 최소 공배수와 관련된 약수 특성이 있습니다.예를 ^[12]들어 다음과 같습니다.

${\binom {n+k}{k}}$ ( ${\binom {n+k}{k}}$ + ${\binom {n+k}{k}}$ )({ $displaystyle {n+k}{k})$ {\ ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}$ { $n,$ ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}$ + ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}$ 1, ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}$ + ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}$ }) n ${$ { $n$ 을 ${\binom {n+k}{k}}$ ${\binom {n+k}{k}}$ 를) ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}$ 분할합니다.

${\binom {n+k}{k}}$ ${\binom {n+k}{k}}$ + ${\binom {n+k}{k}}$ ) { $displaystyle$ { $binom {n$ + $k$ } { k ${\binom {n+k}{k}}$ $}$ 는 lcm ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ ( ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ , n + ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ , ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ , ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ + ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ ) ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ $（$ k ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ ) , ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ ( ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ ) ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ 、 ... ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ , ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ k ) ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$ \ $operatorname$ { lcm } ( n , n , n + $1$ \ $ldots$ )의 ${\binom {n+k}{k}}$ 배수입니다 $.$ ${\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$

또 다른 사실: $모든$ 중간 이항 계수가 다음과 같은 경우에만 정수 n ≤ $2가$ 소수이다.

\displaystyle {\binom {n} {1}, {\binom {n} {2}, \ldots, {\binom {n} {n-1}}

는 n으로 나눌 수 있습니다.

증명: p가 소수일 경우 p는 나눗셈

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

(

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

k )

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

p

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

(

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

-

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

)

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

(

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

-

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

+ 1

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

)

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

( k

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

- 1 ) {\

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

( \

displaystyle

{ \

binom

{

p }

=

snapfrac

{ p \ cdot ( p -

1

) \

cdots

(

p

- k + 1) } {

k

\

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

{\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

}

${\tbinom {p}{k}}$ ${\tbinom {p}{k}}$ ) ${\tbinom {p}{k}}$ { $displaystyle {tbinom {p}$ { $k}}$ 은 ${\tbinom {p}{k}}$ 자연수이고 p는 분자를 나누지만 분모는 나누지 않기 때문입니다.n이 합성인 경우 p를 n의 최소 소수 인자로 하고 k = $n / p$ 로 $한다$ . $다음$ 으로 0 $< p$ < n $및$

{\binom {n}{p}}=sn(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)}{p!}}=snfrac {k(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)}{(p-1)!}}\not \equiv 04pmod {n}

그렇지 않으면 $분자$ k $(n$ - 1 $)(n$ - 2) $θ (n$ $-$ p + 1 $)$ 는 n = $k \times p$ 로 나누어져야 하며, 이는 ( $n$ - 1 $)θ(n$ $- p$ + $1$ )가 p로 나누어질 때만 해당될 수 있다.그러나 n은 p로 나눌 수 있으므로 p는 n $- 1$ , n - $2$ , $\dots, n$ - $p$ + $1$ 을 $나누지$ 않습니다. p는 소수이기 때문에 p는 $(n$ - 1 $)(n$ - 2)δ $(n$ - p+ 1)를 나누지 않으므로 분자는 n으로 나눌 수 없습니다.

$\nu _{p}(n)$ p ( $\nu _{p}(n)$ $){displaystyle \nu$ _ ${p}(n)}$ 를 $\nu _{p}(n)$ 양의 $정수$ n의 p-adic 가치로 하고, n을 $나누는$ $소수$ p의 최대 거듭제곱의 지수라고 하자.그럼.

\displaystyle \nu _{p}(n)=p\sum _{j=1}^{\lfloor _{p}{n}\left\{\binom {n}{p^{j}}}{\frac {p^{j-1}}{n}}}\right}

$\{x\}$ $\{x\}$ $\{x\}$ { $displaystyle$ \ { x \ $\{x\}$ } denotes $\{x\}$ 、 x { $displaystyle$ x $}$ 의 $소수$ 부분을 나타냅니다.

한계 및 점근 공식

${\tbinom {n}{k}}$ k ${\tbinom {n}{k}}$ )의 ${\tbinom {n}{k}}$ 다음 경계는 1 $µk µn$ 이 되도록 n과 $k$ 의 모든 값에 대해 $유지됩니다.$

{\displaystyle {n^{k}}{k^{k}}\leq {n\choose k}\leq {frac {n^{k}}{k!}} <\leftflac\frac {n\cdot e}{k}\right)^{k}}.

첫 번째 불평등은 ...라는 사실에서 비롯된다.

{displaystyle {n\choose k}=syslogfrac {n}{k}\cdot {frac {n-1}{k-1}\cdots {frac {n-(k-1)}{1}

그리고 이 제품의

각

은

k

{\textstyle \geq {\frac {n}{k}}}

두 번째

부등식

을 나타내려면 유사한 인수를 사용할 수 있다

{\textstyle \geq {\frac {n}{k}}}

최종 엄밀한 부등식은 e

{\textstyle e^{k}>k^{k}/k!}

>

{\textstyle e^{k}>k^{k}/k!}

/

{\textstyle e^{k}>k^{k}/k!}

!\textstyle

e

^{k}

>

k^{k}/k

에 해당하며, 이는 RHS가 지수

{\textstyle e^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }k^{j}/j!}

e

{\textstyle e^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }k^{j}/j!}

{\textstyle e^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }k^{j}/j!}

j

=

0

{\textstyle e^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }k^{j}/j!}

k

{\textstyle e^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }k^{j}/j!}

/

{\textstyle e^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }k^{j}/j!}

j

{\textstyle e^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }k^{j}/j!}

! {

textstyle

e

^{k =\sum

{

j0}^{\infty}/k}

의 항이므로

명확하다.

나눗셈 특성으로부터 우리는 추론할 수 있다

(\displaystyle {\frac {lcm}(n-k,\ldots,n)}{(n-k)\cdot \operatorname {lcm},\ldots,{\binom {k}}}{k}}}}\leq {binom {k}{k}}}\lefrac frac} {lac} {lac} {lac} {lac}

두 가지 평등이 모두 ^[12]달성될 수 있습니다.

정보 이론에서는,^[13]^{: 353} 다음의 한계가 도움이 됩니다.

{1}{n+1}2^{nH(k/n)}\leq {n\choose k}\leq 2^{nH(k/n)

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

서

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

H (

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

p )

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

-

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

2

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

(

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

)

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

- (

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

-

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

)

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

2

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

(

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

-

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

){

displaystyle

H ( p ) = -

p

\

log _

{2}

(

p )는 이진

엔트로피

H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)

함수입니다.한층 더 조여질 수 있다

{\sqrt {8k(n-k)}2^{nH(k/n)}\leq {n\choose k}{\pi k(n-k)}}2^{nH(k/n)

모든

1\leq k\leq n-1

k

1\leq k\leq n-1

n

1\leq k\leq n-1

-

1\leq k\leq n-1

{

displaystyle

1 \

leq

k \

leq

n -

1\leq k\leq n-1

1

1\leq k\leq n-1

^[13]^{: 666}}에 대해 지정합니다.

$n$ 과 k 모두 큼

스털링의 근사치는 n $k$ {\ $displaystyle$ n $,k}$ 둘 $n,k$ 다 무한대 경향이 $있을$ 때 유효하다.

({displaystyle {n \choose k}\sim {n\over 2\pi k(n-k)}}\cdot {n^{n}\over k^{k}(n-k)^{n-k}

스털링 공식의 부등식 형태도 계수를 제한하기 때문에, 위의 점근 근사치에 대한 약간의 변형은 정확한 경계를 제공한다.특히 n

\displaystyle

n이

n

충분히 클

경우

,

{displaystyle {2n \choose n}\sim {frac {2^{2n}}}{\simrt {n\pi }}}

{\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}

(

{\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}

{\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}

) )

{\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}

2

{\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}

-

{\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}

(

{\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}

\

displaystyle \ displaystyle

{

2

n } { 2

{\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}

n \

choose

n } \

geq

2 ^ { 2 n -

{\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}

1 ） ,,,

and

、 m

22

및

n 1

1 ^[why?]、

{{displaystyle {n}{mn \choose n}\geq {frac {m^{m(n-1)+1}}{(m-1)^{(m-1)(n-1)}}}}.}

n이 크고 k가 n에서 선형인 경우 이항 계수 ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ k $)$ 다양한 정밀 점근 추정치가 $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ 한다( n $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ 예를 ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ / 2 $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ - $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ ( $n$ 2 / $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ 3 ) $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ { $display n/2-k =$ o $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ ( n^{ $2/3}).$

{binom {n} {\frac {n} {\frac {n} {-d^{2}/(2n)}\sim {\frac {2^{n}} {\pi }} e^{-d^{2}/(2n)

여기서 d = n - ^[14]2k입니다.

$n$ 은 k보다 $훨씬$ 크다

n이 $크고$ k가 o $(n)$ 이면( $즉,$ $k$ / $n$ → 0이면),

(\displaystyle {binom {n} {k}}\sim \leftflac {ne} {k}\오른쪽)^{k}\cdot (2\pi k)^{-1/2}\cdot \exp \leftflac {k^{2}}{2n}}(1+o(1)\right)}

여기

서 o는 little ^[15]o 표기법입니다.

이항 계수의 합계

이항 계수의 합계에 대한 단순하고 대략적인 상한을 이항 정리를 사용하여 구할 수 있습니다.

\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{leq \choose i}{k}{i}\cdot 1^{k-i}\leq (1+n)^{k}

보다 정확한 경계는 다음과 같다.

(\displaystyle {frac {1}{\fracrt {8n\varepsilon (1-\varepsilon)}\cdot 2^{H(\varepsilon)}\leq \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\leq 2^{H(\varepsilon(\varepsilon)}cdot)}cdot, ncdot, cdot,

\varepsilon \doteq k/n\leq 1/2

/

\varepsilon \doteq k/n\leq 1/2

1 /

\varepsilon \doteq k/n\leq 1/2

\

displaystyle

\

varepsilon

\

doteq k/n

\

leq

1

/2

^[16] 의

n>k\geq 1

n>k\geq 1

n>k\geq 1

{\

1 {

displaystyle n

> k\

geq

1 에 유효합니다

n>k\geq 1

.

일반화 이항 계수

감마 함수에 대한 무한곱 공식은 또한 이항 계수에 대한 식을 제공합니다.

{{displaystyle (-1)^{k}{z \choose k}={-z+k-1 \choose k}}={\Gamma(-z)}}{\frac {1}{\frac {\frac left(-1+{\frac {1}}{\frac {1+1}}^{-z}^{-right}}^{{-}}}}}{-z}{-}}}}{-z}}{-}}}{-}}}}{-z}}}}}}}}{-}}

점근 공식을 만들어 내고

{\displaystyle {z \choose k}\약 {frac {(-1)^{k}{\Gamma(-z)k^{z+1}}\qquad {z+k\choose k}=sqquad {z+k}{\Gamma(z+1)}}\left(1+{kz}}{kz}{k}}{k}}}}}}}}}}}}}}}{\

k

k\to \infty

"\displaystyle

k

\to\infty

로

k\to \infty

됩니다.

이 점근적 행동은 근사치에 포함되어 있다.

{displaystyle {z+k \choose k}\약 {e^{z(H_{k}-\gamma}}}{\Gamma(z+1)}}

(

H_{k}

서 H k

(\

는

H_{k}

k번째 고조파 수이고

\gamma

\

displaystyle \gamma}

는

\gamma

오일러-마셰로니 상수입니다.)

또한 점근식은

({displaystyle {frac {z+k \choose j} {k \choose j} \ to \left(1-{\frac {j} {k} \right} {text{and}} \cisco {j\choose j-k} \choose j-k} {k} {k} \text {k} } } ） zzz 、 、 、 、 right 。

k

k\to \infty

{

style

k

\to\infty}

j/k\to x

j

j/k\to x

j/k\to x

{

style

j

/k\to

x}가

j/k\to x

복소수

x {\

style

x

x

일 때

k\to \infty

true를 유지합니다.

일반화

다인종으로의 일반화

이항 계수는 숫자로 정의된 다항 계수로 일반화할 수 있습니다.

{n \choose k_{1},k_{2},\ldots,k_{r}}=syslogfrac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}}

어디에

\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n.}

이항 계수는 (x+y)ⁿ의 계수를 나타내지만 다항 계수는 다항식의 계수를 나타냅니다.

(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{r}^{n}

r = 2일 경우 이항 계수는 다음과 같습니다.

{n \choose k_{1},n-k_{1}={n \choose k_{1}={n \choose k_{2}}={n \choose k_{2}}.

다항식 계수의 조합적 해석은 각각 정확히 k개의_i 요소를 포함하는 r개의 (구별 가능한) 용기에 대한 n개의 구별 가능한 요소의 분포입니다. 여기서 i는 용기의 지수입니다.

다항 계수는 이항 계수의 특성과 유사한 특성이 많습니다(예: 반복 관계).

{n \choose k_{1},k_{2},\ldots,k_{r}={n-1 \choose k_{1}-1,k_{r}+{n-1\choose k_{1}-1,\ldots,k_{1},\ldots +{1},\ldots +{1},{n-1},\ldots,\dots,\{1},\dots,\dots,\{1},\dotsoose k_{n},\{1},{1},{1

및 대칭:

{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots,k_{r}={n\choose k_{1},k_{\dots,k_{r}}}}:

( $(\sigma _{i})$ i ) $(\sigma _{i})$ { $displaystyle$ ( \ $display$ style _ { i $(\sigma _{i})$ } )는 $(\sigma _{i})$ (1, 2, …, r)의 치환입니다.

테일러 급수

제1종 스털링 번호를 사용하여 임의로 선택한 $z_{0}$ $z_{0}$ 0 $(\$ 0 $z_{0}$ })을 중심으로 시리즈 확장을 수행합니다.

{\displaystyle\displaystyle{z\choose k}=syslogfrac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k,i}&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0}^{i}\sum _{j=i}{z_{0}\choose j-i}{\frac {s_{k+i}{k_i}{k}{k}{k+i}{k}{i}{k+i!}}\&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}^j-i}{j \choose i}{\frac {s_{k,j}{k}{k!}}.\end {aligned}}

$n$ = $1/2인$ 이항 계수

이항 계수의 정의는 n{\ $displaystyle$ n $}$ 이 $n$ $k$ 하고k {\ $displaystyle$ k $}$ 가 $k$ 정수인 $n$ 로 확장할 수 있습니다.

특히 음이 아닌 $정수$ k $(\displaystyle$ k $k$ 에 대해 다음 ID가 유지됩니다.

{{displaystyle {1/2} \choose {k}=param2k} \choose {k} {\frac {(-1)^{k+1}} {2^{2k}(2k-1)}}}.}

이는 뉴턴 이항 시리즈를 사용하여 1 ${\sqrt {1+x}}$ + ${\sqrt {1+x}}$ { $sqrt {1+x})$ 를 ${\sqrt {1+x}}$ 멱급수 시리즈로 ${\sqrt {1+x}}$ 하면 표시됩니다.

{1+x}=\sum _{k\geq 0}{\binom {1/2} {k}x^{k}.

이항 계수의 곱

두 이항 계수의 곱을 이항 계수의 선형 조합으로 표시할 수 있습니다.

{displaystyle {z \choose m}{z \choose n}=\sum _{k=0}^{m+n-k \choose k,m-k}{z \choose m+n-k}

여기서 연결 계수는 다항 계수입니다.라벨 부착 조합 객체의 관점에서 연결 계수는 첫 번째 k개의 라벨이 식별되거나 무게 $m +$ n - $k$ 의 새로운 라벨 부착 조합 객체를 얻기 위해 함께 접착된 체중 m과 n의 라벨 부착 조합 객체 쌍에 m + $n$ - $k$ 라벨을 $할당$ 하는 방법의 수를 나타낸다(즉, sepa).라벨을 접착된 부분, 첫 번째 개체의 접착되지 않은 부분 및 두 번째 개체의 접착되지 않은 부분에 적용할 세 부분으로 등급을 매깁니다.)이와 관련하여 이항 계수는 지수 생성 급수에 대한 계수이며 하강 인자는 일반 생성 급수에 대한 계수입니다.

파스칼 삼각형의 n번째 행에 있는 모든 이항 계수의 곱은 다음 공식으로 나타납니다.

\displaystyle _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}=\display_{k=1}^{n}k^{2k-n-1}.}

부분분수분해

역수의 부분 분수 분해는 다음과 같이 주어진다.

{{displaystyle {frac {1}{z \choose n}=\sum _{i=0}^{n-1-i}{n\choose i}{\frac {n-i}{z-i}},\qquad {{frac {1}{z+n\choose n}=1-i}^{n-1-i}^1-i}^{n-1}{n-1}{i}^{i}{i}{n-1}{i}{i}{1-i}{i}}{i}}{displaysty}}

뉴턴의 이항 급수

아이작 뉴턴 경의 이름을 딴 뉴턴의 이항 급수는 이항 정리를 무한 급수로 일반화한 것입니다.

(1+z)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty}{\alpha \choose n}z^{n}=1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots

항등식은 양쪽이 미분방정식 (1 $+ z$ ) $f'(z$ ) = $α f ($ z)를 만족함을 보여줌으로써 얻을 수 있다.

이 시리즈의 컨버전스 반경은 1입니다.또 다른 표현은

{{(1-z)^{\alpha +1}}=\sum _{n=0}^{\infty}{n+\alpha \choose n}z^{n

여기서 정체성은

{n \choose k}=param1)^{k}{k-n-1 \choose k

적용됩니다.

다중 집합(상승) 이항 계수

이항 계수는 지정된 집합에서 지정된 크기의 부분 집합을 카운트합니다.관련된 조합 문제는 소정의 크기의 멀티셋을 소정의 집합에서 추출한 요소로 카운트하는 것이다.즉, 같은 요소를 반복적으로 선택할 수 있는 소정의 집합에서 특정 수의 요소를 선택하는 방법의 수를 카운트하는 것이다.결과값을 ^[17]멀티세트계수라고 부릅니다.n개의 요소 집합에서 k개의 항목을 "멀티초즈"(즉, 치환으로 선택)하는 방법은 ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)}$ ( ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)}$ k ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)}$ ) ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)}$ \ $textstyle \left(\!\!)$ 로 표시됩니다 ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)}$ ${\binom {n}{k}}\!$ $\!\right$

이 기사에서 n의 주요 표현과의 모호성 및 혼동을 피하기 위해
f = $n$ $= r$ + ( $k$ $- 1$ ) 및 $r$ $= f$ - ( $k$ $- 1$ )로 $합니다$ .

다중 집합 계수는 규칙에 따라 이항 계수로 표시할 수 있습니다.

\displaystyle \binom {f} {k} = \left(\!\)!{\binom {r}{k}}\!\!\right)= sublicbinom {r+k-1}{k}.}

One possible alternative characterization of this identity is as follows: We may define the falling factorial as

(f)_{k}=(f-k+1)\cdots (f-3)\cdot (f-2)\cdot (f-1)\cdot f,

and the corresponding rising factorial as

\displaystyle r^{(k)}=,r^{\overline {k}=,r\cdot (r+1)\cdot (r+2)\cdot (r+3)\cdots (r+k-1);}

so, for example,

{{displaystyle 17\cdot 19\cdot 20\cdot 21=(21)_{5}=21^{\언더라인 {5}=17^{(5)}}.

Then the binomial coefficients may be written as

{\displaystyle {\binom {f}{k}}=param frac {(f)_{k}}{k!}}=paramfrac {(f-k+1)\cdots (f-2)\cdot (f-1)\cdot f}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots k}},

while the corresponding multiset coefficient is defined by replacing the falling with the rising factorial:

\displaystyle \left(\!)!{\binom {r}{k}}\!\!\right)=param frac {r^{(k)}}{k!}}=paramfrac {r\cdot(r+1)\cdot(r+2)\cdots(r+k-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots k}.}

음의 정수에 대한 일반화 n

음수 및 분수 n에 대해 확장된 이항 계수C(n, k)이며, 단순 이항으로 표시됩니다.파스칼의 삼각형이 회전하고 다른 항이 부정되는 것을 관찰할 수 있다.케이스 = -1은 Grandi의 시리즈를 나타냅니다.

임의의 n에 대해서

{\binom {-n} {k}}&=syslogfrac {-n\cdot -(n+1)\syslog -(n+k-2)\cdot -(n+k-1)}{k!}\&=cdot1)^{k}\;{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdots (n+k-1)}{k!}\&=param1}^{k}{\binom {n+k-1}{k}\&=param1}^{k}\left(\!\!){\binom {n}{k}}\!\!\right)\;\end { aligned}

특히, 음의 정수 n에서 평가된 이항 계수는 부호화된 다중 집합 계수에 의해 주어진다.특수한 $n=-1$ n $=$ - $n=-1$ { $displaystyle$ n=- $1$ 의 경우, 이 값은 $(-1)^{k}={\binom {-1}{k}}=\left(\!\!{\binom {-k}{k}}\!\!\right).$ (- $(-1)^{k}={\binom {-1}{k}}=\left(\!\!{\binom {-k}{k}}\!\!\right).$ $(-1)^{k}={\binom {-1}{k}}=\left(\!\!{\binom {-k}{k}}\!\!\right).$ $(-1)^{k}={\binom {-1}{k}}=\left(\!\!{\binom {-k}{k}}\!\!\right).$ (- $(-1)^{k}={\binom {-1}{k}}=\left(\!\!{\binom {-k}{k}}\!\!\right).$ ) $=$ (- $k$ ) . $(-1)^{k}={\binom {-1}{k}}=\left(\!\!{\binom {-k}{k}}\!\!\right).$ {\ $displaystyle$ (- $1)^{k}=\left (\!)$ 로 감소합니다 $(-1)^{k}={\binom {-1}{k}}=\left(\!\!{\binom {-k}{k}}\!\!\right).$ ${\binom {-k}{k}}\!$ $\!\right)$ $}$

예를 들어, n = -4이고 k = 7이면 r = 4이고 f = 10입니다.

({displaystyle {\binom {-4}{7}}&=binfrac {-10\cdot -8\cdot -7\cdot -6\cdot -4}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 6\cdot 7}\cdot 1\frac {-10\cdot -8\cdot -7}){\binom {-7}{7}}\!\!\오른쪽)\left(\!\!{\binom {4}{7}}\!\!\right)=binom {-1}{7}{\binom {10}{7}}.\end { aligned}}

2개의 실제 또는 복잡한 가치 있는 인수

이항 계수는 감마 함수 또는 베타 함수를 사용하여 두 개의 실제 또는 복잡한 값 인수로 일반화된다.

{displaystyle {x\choose y}=black {Gamma(x+1)}{\감마(y+1)\Gamma(x-y+1)}=sq frac {1}{(x+1)\mathrm {B}(y+1,x-y+1)}.}

이 정의는 $\Gamma$ \ $displaystyle$ \ $Gamma$ 에서 다음 추가 속성을 상속합니다.

{x \choose y}={\sin(x\pi)}{-y-1 \choose -x-1}=syn(x-y)\pi}}{\sin(x\pi)}}{y-x-1 \choose y

게다가.

{x \choose y}\cdot {y \choose x}=syn(x-y)\pi}{(x-y)\pi }.

그 결과 나온 함수는 거의 연구되지 않았으며, 최초의 그래프는 (Fowler 1996)에 나타나 있다. $특히$ 많은 이항식별이 실패한다 ${\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n}{n-m}}}$ ( ${\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n}{n-m}}}$ m ) ${\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n}{n-m}}}$ ( ${\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n}{n-m}}}$ - ${\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n}{n-m}}}$ ) ${\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n}{n-m}}}$ ( $n -$ m ) ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ = ( - ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ $) n$ ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ ( - n ${\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n}{n-m}}}$ - m ) ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ $bin$ ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ - ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ n - ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ m ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ ) ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ \ ${$ - $n$ } { - $n$ { - $-n$ ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ so $-n$ $}$ $-n$ \ $neq$ ( $neq$ )이 동작은 매우 복잡하고 다양한 8진수(즉, x축과 y축과 $(x\displaystyle$ y $=x$ ) $y=x$ 에 대해)에서 현저하게 다릅니다. 음의 x에 대한 동작은 음의 정수 값에 특이점을 가지며 양의 영역과 음의 영역의 체커보드를 가집니다.

in the octant $0\leq y\leq x$ it is a smoothly interpolated form of the usual binomial, with a ridge ("Pascal's ridge").
in the octant $0\leq x\leq y$ and in the quadrant $x\geq 0,y\leq 0$ the function is close to zero.
in the quadrant $x\leq 0,y\geq 0$ the function is alternatingly very large positive and negative on the parallelograms with vertices $(-n,m+1),(-n,m),(-n-1,m-1),(-n-1,m)$
in the octant $0>x>y$ the behavior is again alternatingly very large positive and negative, but on a square grid.
in the octant $-1>y>x+1$ it is close to zero, except for near the singularities.

Generalization to q-series

The binomial coefficient has a q-analog generalization known as the Gaussian binomial coefficient.

Generalization to infinite cardinals

The definition of the binomial coefficient can be generalized to infinite cardinals by defining:

{\alpha  \choose \beta }=\left \left\{B\subseteq A:\left B\right =\beta \right\}\right

where A is some set with cardinality $\alpha$ . One can show that the generalized binomial coefficient is well-defined, in the sense that no matter what set we choose to represent the cardinal number $\alpha$ , ${\textstyle {\alpha \choose \beta }}$ will remain the same. For finite cardinals, this definition coincides with the standard definition of the binomial coefficient.

Assuming the Axiom of Choice, one can show that ${\textstyle {\alpha \choose \alpha }=2^{\alpha }}$ for any infinite cardinal $\alpha$ .

In programming languages

The notation ${\textstyle {n \choose k}}$ is convenient in handwriting but inconvenient for typewriters and computer terminals. Many programming languages do not offer a standard subroutine for computing the binomial coefficient, but for example both the APL programming language and the (related) J programming language use the exclamation mark: k ! n. The binomial coefficient is implemented in SciPy as scipy.special.comb.^[18]

Naive implementations of the factorial formula, such as the following snippet in Python:

from math import factorial def binomial_coefficient(n: int, k: int) -> int:     return factorial(n) // (factorial(k) * factorial(n - k))

are very slow and are useless for calculating factorials of very high numbers (in languages such as C or Java they suffer from overflow errors because of this reason). A direct implementation of the multiplicative formula works well:

def binomial_coefficient(n: int, k: int) -> int:     if k < 0 or k > n:         return 0     if k == 0 or k == n:         return 1     k = min(k, n - k) # Take advantage of symmetry     c = 1     for i in range(k):         c = c * (n - i) / (i + 1)     return c

(In Python, range(k) produces a list from 0 to k−1.)

Pascal's rule provides a recursive definition which can also be implemented in Python, although it is less efficient:

def binomial_coefficient(n: int, k: int) -> int:     if k < 0 or k > n:         return 0     if k > n - k: # Take advantage of symmetry         k = n - k     if k == 0 or n <= 1:         return 1     return binomial_coefficient(n - 1, k) + binomial_coefficient(n - 1, k - 1)

The example mentioned above can be also written in functional style. The following Scheme example uses the recursive definition

{n \choose k+1}={\frac {n-k}{k+1}}{n \choose k}

Rational arithmetic can be easily avoided using integer division

{n \choose k+1}=\left[(n-k){n \choose k}\right]\div (k+1)

The following implementation uses all these ideas

(define (binomial n k) ;; Helper function to compute C(n,k) via forward recursion   (define (binomial-iter n k i prev)     (if (>= i k)       prev      (binomial-iter n k (+ i 1) (/ (* (- n i) prev) (+ i 1))))) ;; Use symmetry property C(n,k)=C(n, n-k)   (if (< k (- n k))     (binomial-iter n k 0 1)     (binomial-iter n (- n k) 0 1)))

When computing ${\textstyle {n \choose k+1}=\left[(n-k){n \choose k}\right]\div (k+1)}$ in a language with fixed-length integers, the multiplication by $(n-k)$ may overflow even when the result would fit. The overflow can be avoided by dividing first and fixing the result using the remainder:

{n \choose k+1}=\left[{\frac {\binom {n}{k}}{(k+1)}}\right](n-k)+{\left[{n \choose k}\ \mathrm {mod} \ (k+1)\right](n-k) \over (k+1)}

Implementation in the C language:

#include <limits.h>  unsigned long binomial(unsigned long n, unsigned long k) {   unsigned long c = 1, i;    if (k > n-k) // take advantage of symmetry     k = n-k;    for (i = 1; i <= k; i++, n--) {     if (c/i >= ULONG_MAX/n) // return 0 on potential overflow       return 0;      c = c / i * n + c % i * n / i; // split c * n / i into (c / i * i + c % i) * n / i   }    return c; }

Another way to compute the binomial coefficient when using large numbers is to recognize that

{n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (k+1)\,\Gamma (n-k+1)}}=\exp(\ln \Gamma (n+1)-\ln \Gamma (k+1)-\ln \Gamma (n-k+1)),

where $\ln \Gamma (n)$ denotes the natural logarithm of the gamma function at $n$ . It is a special function that is easily computed and is standard in some programming languages such as using log_gamma in Maxima, LogGamma in Mathematica, gammaln in MATLAB and Python's SciPy module, lngamma in PARI/GP or lgamma in C, R,^[19] and Julia. Roundoff error may cause the returned value to not be an integer.

Notes

^ Higham (1998)
^ Lilavati Section 6, Chapter 4 (see Knuth (1997)).
^ See (Graham, Knuth & Patashnik 1994), which also defines ${\tbinom {n}{k}}=0$ for $k<0$ . Alternative generalizations, such as to two real or complex valued arguments using the Gamma function assign nonzero values to ${\tbinom {n}{k}}$ for $k<0$ , but this causes most binomial coefficient identities to fail, and thus is not widely used by the majority of definitions. One such choice of nonzero values leads to the aesthetically pleasing "Pascal windmill" in Hilton, Holton and Pedersen, Mathematical reflections: in a room with many mirrors, Springer, 1997, but causes even Pascal's identity to fail (at the origin).
^ Muir, Thomas (1902). "Note on Selected Combinations". Proceedings of the Royal Society of Edinburgh.
^ This can be seen as a discrete analog of Taylor's theorem. It is closely related to Newton's polynomial. Alternating sums of this form may be expressed as the Nörlund–Rice integral.
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^ Boardman, Michael (2004), "The Egg-Drop Numbers", Mathematics Magazine, 77 (5): 368–372, doi:10.2307/3219201, JSTOR 3219201, MR 1573776, it is well known that there is no closed form (that is, direct formula) for the partial sum of binomial coefficients.
^ see induction developed in eq (7) p. 1389 in Aupetit, Michael (2009), "Nearly homogeneous multi-partitioning with a deterministic generator", Neurocomputing, 72 (7–9): 1379–1389, doi:10.1016/j.neucom.2008.12.024, ISSN 0925-2312.
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References

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External links

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[1] Higham (1998)

[2] Lilavati Section 6, Chapter 4 (see Knuth (1997)).

[3] See (Graham, Knuth & Patashnik 1994), which also defines ${\tbinom {n}{k}}=0$ for $k<0$ . Alternative generalizations, such as to two real or complex valued arguments using the Gamma function assign nonzero values to ${\tbinom {n}{k}}$ for $k<0$ , but this causes most binomial coefficient identities to fail, and thus is not widely used by the majority of definitions. One such choice of nonzero values leads to the aesthetically pleasing "Pascal windmill" in Hilton, Holton and Pedersen, Mathematical reflections: in a room with many mirrors, Springer, 1997, but causes even Pascal's identity to fail (at the origin).

[4] Muir, Thomas (1902). "Note on Selected Combinations". Proceedings of the Royal Society of Edinburgh.

[5] This can be seen as a discrete analog of Taylor's theorem. It is closely related to Newton's polynomial. Alternating sums of this form may be expressed as the Nörlund–Rice integral.

[6] Gradshteyn & Ryzhik (2014, pp. 3–4).

[7] Boardman, Michael (2004), "The Egg-Drop Numbers", Mathematics Magazine, 77 (5): 368–372, doi:10.2307/3219201, JSTOR 3219201, MR 1573776, it is well known that there is no closed form (that is, direct formula) for the partial sum of binomial coefficients.

[8] see induction developed in eq (7) p. 1389 in Aupetit, Michael (2009), "Nearly homogeneous multi-partitioning with a deterministic generator", Neurocomputing, 72 (7–9): 1379–1389, doi:10.1016/j.neucom.2008.12.024, ISSN 0925-2312.

[9] Ruiz, Sebastian (1996). "An Algebraic Identity Leading to Wilson's Theorem". The Mathematical Gazette. 80 (489): 579–582. arXiv:math/0406086. doi:10.2307/3618534. JSTOR 3618534.

[10] Benjamin & Quinn 2003, pp. 4−5

[DT2022-11] Castro, Dario T. (2022), "p-Adic order of positive integers via binomial coefficients" (PDF), Integers, 22: A61

[Farhi2007-12] Farhi, Bakir (2007). "Nontrivial lower bounds for the least common multiple of some finite sequence of integers". Journal of Number Theory. 125 (2): 393–411. arXiv:0803.0290. doi:10.1016/j.jnt.2006.10.017. S2CID 115167580.

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[15] Spencer, Joel; Florescu, Laura (2014). Asymptopia. Student mathematical library. Vol. 71. AMS. p. 59. ISBN 978-1-4704-0904-3. OCLC 865574788.

[16] see e.g. Ash (1990, p. 121) or Flum & Grohe (2006, p. 427).

[17] Munarini, Emanuele (2011), "Riordan matrices and sums of harmonic numbers" (PDF), Applicable Analysis and Discrete Mathematics, 5 (2): 176–200, doi:10.2298/AADM110609014M, MR 2867317.

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0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
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6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

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