싱마스터의 추측

싱마스터의 추측이란 1971년 이를 제안한 영국의 수학자 데이비드 싱마스터의 이름을 딴 수학의 결합수 이론의 추측이다.파스칼의 삼각형(숫자 1을 제외하고 무한히 여러 번 나타나는 것)에서 엔트리의 곱에 대해 유한 상한이 있다고 한다.파스칼의 삼각형에서 무한히 여러 번 나타나는 유일한 숫자가 1인 것은 분명한데, 다른 숫자 x는 삼각형의 첫 번째 x + 1 행 안에서만 나타날 수 있기 때문이다.

성명서

N(a)을 파스칼의 삼각형에 a > 1이 나타나는 횟수로 한다.큰 O 표기법에서는 다음과 같이 추측한다.

$[\displaystyle N(a)=O(1)]}$

알려진 바운드

Singmaster(1971)는 그것을 보여주었다.

$[\displaystyle N(a)=O(\log a)]}$

Abbot, Erdős, Hanson(1974)은 추정치를 다음과 같이 조정했다.

$[\displaystyle N(a)=O\왼쪽({\frac {\log a}{\log \log a}}}}\log \log a}}\오른쪽).}$

현재 가장 잘 알려진 (조건 없는) 바운드는

$[\displaystyle N(a)=O\왼쪽({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)}{3}}}오른쪽),}$

케인(2007년)의 덕택이다.Abbot, Erdős, Hanson은 Cramér의 연속된 premimes 사이의 갭에 대한 추측을 조건으로 다음과 같은 것을 언급한다.

$[\displaystyle N(a)=O\왼쪽(\log(a)^{2/3+\varepsilon }\오른쪽)}$

모든 > ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대해 holds

싱마스터(1975)는 디오판틴 방정식을 보여주었다.

${\displaystyle {n+1 \선택 k+1}={n \선택 k+2}}$

두 변수 n, k에 대해 무한히 많은 해답을 가지고 있다.최소 6개 이상의 다중성의 삼각형 항목이 무한히 많다는 것을 뒤따른다: 어떤 비음성 i의 경우, 파스칼의 삼각형에서 6개의 외형을 가진 숫자 a는 위의 두 가지 표현 중 하나에 의해 주어진다.

${\displaystyle n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1,}$

${\displaystyle k=F_{2i}F_{2i+3}-1,}$

여기서 F는_j j번째 피보나치 수(F₀ = 0, F = 1₁)라는 규약에 따라 색인화된다.위의 두 표현은 두 개의 외모를 찾는다. 다른 두 표현은 이 두 가지 외형에 대해 삼각형에서 대칭적으로 나타난다. 그리고 나머지 두 표현은 $){\$${\displaystyle }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{a}{}}$ - ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystystyle {$a$\compose a-1}$에 있다.$}$

기본 예

• 2는 한 번만 나타나며, 모든 큰 양의 정수는 두 번 이상 나타난다.
• 3, 4, 5명씩 두 번 나타나며, 무한히 많은 수가 정확히 두 번 나타난다.
• 모든 홀수 소수점이 두 번 나타난다.
• 6은 무한히 많은 숫자와 마찬가지로 세 번 나타난다.
• 모든$$ 형식 번호$({\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{p}}{}}$ 2$){\$\p \p 선택}$$prime > ${\displaystyle p>3}$ 4회;
• 무한히 많은 수가 정확하게 여섯 번 나타나는데, 여기에는 각각 다음이 포함된다.

${\displaystyle 120={120 \ 선택1}={120 \선택119}={16 \선택2}={16 \선택 14}={10 \선택3}={10 \선택7}}}}}}}$

${\displaystyle 210={displaystyle \1}={note \선택 \선택 \}={21 \선택 \선택 \19}={10 \선택 \4}={10 \선택 6}}}}}}}}$

${\displaystyle 1540={1540 \선택 1}={1540 \선택 1539}={56 \선택 2}={56 \선택 54}={22 \선택 3}={22 \선택 19}}}}}}$

${\displaystyle 7140={7140 \선택 1}={7140 \선택 7139}={120 \선택 2}={120 \선택 118}={36 \선택 3}={36 \선택 33}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 11628={filename28 \1}={filename28 \선택 \선택 \11627}={filename \선택 \}}{151}={19 \선택 \5}={19 \선택 14}}}}}$

${\displaystyle 24310={24310 \1}={24310 선택 \1}={24310 선택 \2309}={19}={17 선택 \8}={17 \선택 9}}}}}}$

싱마스터의 무한가족에서 다음 숫자와 6회 이상 발생한다고 알려진 다음으로 가장 작은 숫자는 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 612182743304701891431482520}$이며$,$ $다음$ 숫자는 a = $6121827433047091482520$이다$.$

${\displaystyle a={a \선택 \1}={a \선택 a-1}={a 선택 \complete \ 선택 39}={hostage \ 선택 65}={hostage \ 선택 \40}={n3}}}}}}}}$

• 8번 등장할 수 있는 가장 작은 숫자(실제로 8번 등장한다고 알려진 유일한 숫자)는 3003으로, 최소 6번 이상 다중성을 가진 싱마스터의 무한 수족 계열의 일원이기도 하다.

${\displaystyle 3003={3003 \선택 1}={78 \선택 2}={15 \선택 5}={14 \선택 6}={14 \선택 8}={15 \선택 10}={78 \선택 76}={3003 \선택 3002}}$

파스칼의 삼각형에 n이 나타나는 횟수는

∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,2, 2, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, ... (OEIS에서 연속 A003016)

애보트, 에르드스, 핸슨(1974년)에 의해 파스칼의 삼각형에서 두 번 이상 나타나는 x 이하의 정수 수는 O(x^1/2)이다.

파스칼의 삼각형에 (적어도) n번 나타나는 가장 작은 자연수(1 이상)는

2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, 3003, ...(OEIS의 경우 시퀀스 A062527)

파스칼의 삼각형에서 적어도 다섯 번 나타나는 숫자는

1,120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, 612182743304701891431482520, ...(OEIS에서 순서 A003015)

이 중 싱마스터의 무한가족은

1, 3003, 612182743304701891431482520, ...(OEIS의 시퀀스 A090162)

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어떤 숫자가 8번 이상 나타나는지, 3003번 외에 어떤 숫자가 그렇게 많이 나오는지 알 수 없다.추측된 유한한 상한이 8까지 작을 수 있지만 싱마스터는 10이나 12일 수도 있다고 생각했다.

정확히 다섯 번, 일곱 번 나타나는 숫자가 있는가?등식 N(a) = 5를 a에 대해 해결할 수 있는지 아무도 모르는 관련 순서(OEIS의 순서 A003015)에서 나타난다.7번 등장하는 숫자가 있는지 여부도 알 수 없다.

참고 항목

• 이항 계수

참조

• Singmaster, D. (1971), "Research Problems: How often does an integer occur as a binomial coefficient?", American Mathematical Monthly, 78 (4): 385–386, doi:10.2307/2316907, JSTOR 2316907, MR 1536288.

• Singmaster, D. (1975), "Repeated binomial coefficients and Fibonacci numbers" (PDF), Fibonacci Quarterly, 13 (4): 295–298, MR 0412095.

• Abbott, H. L.; Erdős, P.; Hanson, D. (1974), "On the number of times an integer occurs as a binomial coefficient", American Mathematical Monthly, 81 (3): 256–261, doi:10.2307/2319526, JSTOR 2319526, MR 0335283.

• Kane, Daniel M. (2007), "Improved bounds on the number of ways of expressing t as a binomial coefficient" (PDF), INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 7: #A53, MR 2373115.