가우스 이항 계수

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수학에서 가우스 이항계수(가우스 계수, 가우스 다항계수 또는 q-이항계수라고도 함)는 이항계수의 q-아날로그다.The Gaussian binomial coefficient, written as ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$ or ${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}}$, is a polynomial in q with integer coefficients, whose value when q is set to a prime power counts the number of subspaces of dimension k inq 원소가 있는 유한장 위에 차원 n의 벡터 공간.

정의

가우스 이항 계수는 다음과 같이 정의된다.^[1]

${\displaystyle {m \선택 r}_{q}={\frac {(1-q^{m-1})(1-q^{m-r+1})\cdots(1-q^{2})(1-q^{r}}}}}}}}}$

여기서 m과 r은 음이 아닌 정수다.r > m이면 0으로 평가한다.r = 0의 경우 분자와 분모가 모두 빈 제품이기 때문에 값은 1이다.

처음에는 공식이 합리적인 함수처럼 보이지만, 실제로는 다항식인데, 이는 분열이 Z[q]에서 정확하기 때문이다.

분자와 분모의 모든 인자는 1 - q로 나누어지며, 몫은 q-숫자:

${\displaystyle [k]_{q}=\sum _{0\leq i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{cases}{\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{for}}&q\neq 1\\k&{\text{for}}&q=1\end{cases}},}$

이러한 요인을 나누면 등가 공식이 주어진다.

${\displaystyle {m \선택 r}{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots[m-r+1]_{q}{q}{q}}}\cdots[r]_{q}}}}\leq m(r\leq m)}$

q 요인${\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$!${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$[ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ q${\displaystyle {}_{}}$ [ ${\displaystyle n}$ q [n$]_{q}!$$=[1]_{q}[2]_{q}\cdots[n]_{q$ 공식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {m \선택 r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{{[r]_{q}!\,[m-r]_{q}!}}}\quad(r\leq m).}$

q = 1 in${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{}}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$) ${\displaystyle q_{}}$ ${\$을(를) 대체하면 일반 이항계수$({\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{m}{}}$ r$){\$을(를) 얻을 수 있다$.$

가우스 이항계수는 $m{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle m\rightarrow \infit }$로 한정된 값을 가진다$.$

${\displaystyle {\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}={\frac {1}{[r]_{q}!\,(1-q)^{r}}}}$

예

${\displaystyle {0 \선택 0}_{q}={1 \선택 0}{q}=1}$

${\displaystyle {1 \선택{q}={\frac {1-q}{1-q}=1}$

${\displaystyle {2 \1}_{q}={\frac {1-q^{2}}:{1-q}=1+q}을(를) 선택하십시오.$

${\displaystyle {3 \1_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}=1+q+q^{2}}:$

${\displaystyle {3 \선택{{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2}){{1-q^{2}}{{1-q^}}}{1-q^}}}}=1+q+q+q^{2}}:$

${\displaystyle {4 \선택{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{2}){1+q^{2}}}{1+q^{2}=1+q+q^{2}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}}{4}}}$

${\displaystyle {6 \choose 3}_{q}={\frac {(1-q^{6})(1-q^{5})(1-q^{4})}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}}=(1+q^{2})(1+q^{3})(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4})=1+q+2q^{2}+3q^{3}+3q^{4}+3q^{5}+3q^{6}+2q^{7}+q^{8}+q^{9}}$

조합 설명

반전

가우스 이항계수에 대한 하나의 조합설명은 반전을 포함한다.

일반 이항계수$({\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{m}{}}$ r${\displaystyle }$) ${\${\$tbinom {m}{r}}}$은(는) m-요소 집합에서 선택한 r-결합수를 카운트한다$$.만약 어떤 사람이 m 원소를 길이 m 단어의 다른 문자 위치로 받아들인다면, 각 r 조합은 문자 1의 r 복사본(선택한 조합의 위치를 나타냄)과 m - r 문자 0(남은 위치의 경우)과 같은 두 개의 알파벳을 사용하여 길이 m 단어에 해당한다.

예를 들어$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{0}{}}$과 1을${\displaystyle \mathrm{사용}}$하는${\displaystyle }$( 4$$2 ) = 6 {\$displaystyle {4$\선택 2$}=6}$단어는$$ ${\displaystyle 0011,}$ ${\displaystyle 0101,}$ ${\displaystyle 0110,}$ ${\displaystyle 1001}$, ${\displaystyle 101,}$ ${\displaystyle 1100}${\$displaystyle 0011,$0101,$0101,1001$,101,$10,10$,1100$}$이다$.$

는 가우시안 이항 계수를 받기 위해(mr)q{\displaystyle{\tbinom{m}{r}}_{q}}, 각 단어는과 연결된 인자 qd, d는 숫자의 역전의 말씀, 어디서, 이 사건에서 서로 뒤바뀐 한켤레의 위치가 왼쪽의 쌍 보유하고 있는 편지 1와 오른쪽 위치를 차지하고 있다는 그 편지이다. 0.

위의 예와 함께 0인버전, ${\displaystyle 0011}${\$displaystyle$ $0011$ 1인버전, ${\displaystyle 0101}${\$displaystyle$0101$\},$ 2인버전, ${\displaystyle 0110}$${\displaystyle 0110},$ ${\displaystyle \mathrm{1001인버전}},$ 3인버전, $1010인버전$ 4인버전이 있는 단어가 있다$.$, ${\displaystyle 1100}$ ${\displaystyle 1100}$.이것은 또한 초기 위치에서 1초의 좌회전 횟수다.

이것들은${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{}}_{}}$) ${\displaystyle q_{}}$= 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle q}$+ 2 ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ 3 +${\displaystyle {}^{}{q\mathrm{}}^{}}$ 4 ${\$4$\선택{}_{q}=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}$의 계수에 해당한다$.$

또 다른 방법은 각 단어를 직사각형 그리드를 가로지르는 높이 r 및 너비 m - r의 경로와 연관시켜 왼쪽 하단 모서리에서 오른쪽 상단 모서리로 이동하는 것이다.경로는 0마다 한 걸음씩 오른쪽으로 가고, 1개마다 한 걸음씩 올라간다.뒤집기는 스텝의 방향을 전환한다(오른쪽+위쪽이 위로, 반대쪽이 위로, 반대쪽이 위로), 따라서 뒤집기의 수는 경로 아래의 면적과 같다.

공은 쓰레기통에 넣는다.

$B{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle (n}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle B(n,m,r)}$을(를) $m{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $r}$ 구분할$$ 수 없는 볼을 m ${\displaystyle m$$}$ 구별할$$ 수 없는 빈에 던지는 방법의 개수로$$ 두십시오. 여기서 각 빈에는 최대 $n개$의 $볼$이 포함될 수 있습니다$.$가우스 이항계수는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle (n}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle B (n,m,r)}$의 특성을 나타내는 데 사용될 수 있다$.$ 실제로,

${\displaystyle B(n,m,r)=[q^{r}]{n+m \선택 m}_{q}.}$

여기서 [${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [q^{r}]P}$는 다항식 ${\displaystyle q$$^{r}}$의 $q{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$의 계수를 나타낸다$$($$아래 응용 프로그램 섹션 참조).

특성.

반사

일반 이항계수와 마찬가지로 가우스 이항계수는 중심대칭이다. 즉,${\displaystyle }반사{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$→ ${\displaystyle m}$ -$$r {\$displaystyle r\오른쪽 화살표$ m-r$\}:$

${\displaystyle {m \선택 r}_{q}={m \선택 m-r}_{q}.}$

특히.

${\displaystyle {m \선택 0}_{q}={m \선택 m}=1\}$

${\displaystyle {m \선택{q}={m \선택 m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}=1+q+\cdots +q^{m-1}\m-1}\geq1\,.}$

q = 1에서 한계

q = 1에서 가우스 이항계수의 평가는 다음과 같다.

${\displaystyle \lim _{q\to 1}{m \선택 r}={m \선택 r}}$

즉, 계수의 합은 해당 이항 값을 제공한다.

파스칼 정체성의 아날로그

가우스 이항계수에 대한 파스칼의 정체성의 아날로그는 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle {m \선택 r}_{q}=q^{r}{m-1 \선택 r}_{q}+{m-1 \선택 r-1}_{q}}}}$

그리고

${\displaystyle {m \선택 r}_{q}={m-1 \선택 r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \선택 r-1}_{q}.}$

$q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q=1$ 이 두 가지 모두 일반적인 이항체 ID를 제공한다.$우리$는 m${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle m\to \infit },$두 방정식이 모두 유효함을 알 수 있다.

첫 번째 Pascal 아날로그는 초기 값을 사용하여 가우스 이항계수(m )를 반복적으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle {m \선택 m}_{q}={m \선택 0}{q}=1}$

또한 가우스 이항계수가 실제로 다항식(q)임을 보여준다.

두 번째 Pascal 아날로그는 첫 번째에서 대체 $r{\displaystyle }$→ ${\displaystyle m}$- ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$과($와{\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{반사}}$r → m$$- r {\$displaystyle r\rightarrow m-r}$ 아래에 있는 가우스 이항계수의 불변성을 사용한다$.$

아날로그의 증거

두 아날로그는${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {m\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{}}_{}}$) ${\displaystyle q_{}}$ ${\$의 정의에서 다음과 같은 것을 먼저 파악함으로써 증명할 수 있다.

${\displaystyle {\binom {m}{r}_{q}={\frac {1-q^{m-r}{1-q^{m-r}}{\binom {m-1}{r}_{q}[1]}$

${\displaystyle {\binom {m}{r}_{q}={\frac {1-q^{m}{1-q^{r}}{\binom {m-1}{r-1}}{q}[2]}$

${\displaystyle {\frac{1-q^{r}{1-q^{m-r}}{\binom {m-1}{r}}={\binom {m-1}{r-1}{r-1}{q}[3]}$

로서

${\displaystyle{\frac{1-q^{m-r}{1-q^{m-r}}={\frac{1-q^{r}{r}-q^{m-r}}}{1-q^{1-r}}}={1-q^{1-r}}}}{1-q^{m-r}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

[1]은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\binom {m}{r}{q}=q^{r}{{r}}{\binom {m-1}{r}+{1-q^{r}}{1-q^{m-r}}{\binom {m-1}{r}_{q}}}}}}}}}}}}}{{{{{q}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

[3]을(를) 대체하면 첫 번째 아날로그가 된다.

유사한 프로세스, 사용:

${\displaystyle {{\frac{1-q^{m}{1-q^{r}}}=q^{m-r}+{\frac{1-q^{1-r}{1-q^{r}}}}}}}}}}}}}$

대신 두 번째 아날로그를 제공한다.

q 이항 정리

q 이항계수에 대한 이항정리 아날로그가 있다.

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{n}q^{n(k-1)/2}{n \선택 k}{q}t^{k}}.}$

통상적인 이항 정리처럼 이 공식은 수많은 일반화와 확장을 가지고 있다; 그러한 것 중 하나는 음력에 대한 뉴턴의 일반화된 이항 정리(generated 이항 정리)에 해당하는 것이다.

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{n+k-1 \선택 k}{q}t^{k}.}$

제한 $n{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infit }$에서 이러한 공식은 산출된다$.$

${\displaystyle \prod_{k=0}^{\inflt}}(1+q^^{k^{k-1)=\sum _{k=0}^{k^{k^{k-1)/2}}:{{[k]_{q}!},(1-q)^{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$.

$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t=q}$을(를) 설정하면 각각 고유 부품과 임의 부품에 대한 생성 기능이 제공된다$$.

중심 q 이항식 아이덴티티

일반적인 이항계수로는 다음과 같은 것이 있다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n}{\binom {n}^{2}={\binom {2n}{n}}}}}}}}$

q-이항 계수의 경우 아날로그는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{2}}:{\binom {n}{k}}^{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}_{q}}}}}}}}}}$

적용들

가우스 이항 계수는 대칭 다항식의 계산과 칸막이 이론에서 발생한다.q^r in 계수

${\displaystyle {n+m \선택 m}_{q}}}$

각각 n보다 작거나 같은 m 이하의 부품을 가진 r의 파티션 수입니다.마찬가지로, 각각 m보다 작거나 같은 부분이 n개 이하인 r의 파티션 수입니다.

가우스 이항계수는 유한한 분야에 걸쳐 정의된 투영공간의 열거 이론에서도 중요한 역할을 한다.특히 q 원소가 있는 모든 유한 필드 F에_q 대해 가우스 이항계수

${\displaystyle {n \선택 k}_{q}}}$

F_q(그라스만어)를 통한 n차원 벡터 공간의 k-차원 벡터 서브스페이스 수를 계산한다.q에서 다항식으로 확장되면, 그라스만인의 잘 알려진 분해로 슈베르트 세포로 배출된다.예를 들어 가우스 이항 계수

${\displaystyle {n \선택{{q}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}$

(F_q)ⁿ에 있는 1차원 서브스페이스 수입니다(관련 투영 공간의 점 수).더욱이, q가 1(존중 -1)일 때, 가우스 이항계수는 해당 복합체(존중적으로 실제) 그라스만인의 오일러 특성을 산출한다.

F의_qⁿ k차원 아핀 서브스페이스 수는 다음과 같다.

${\displaystyle q^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$- k${\displaystyle {}^{}{}_{}}$( n ${\displaystyle {\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}_{}}$) ${\displaystyle q_{}}$ ${\$

이것은 그 정체성에 대한 또 다른 해석을 가능하게 한다.

${\displaystyle {m \선택 r}_{q}={m-1 \선택 r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \선택 r-1}_{q}}$

하이퍼플레인 고정으로 (m - 1)차원 투영 공간의 (r - 1)차원 서브스페이스를 계산하고, 하이퍼플레인에 포함된 서브스페이스를 계산한 다음, 하이퍼플레인에 포함되지 않은 서브스페이스를 계산하는 경우, 이러한 후자의 서브스페이스를 얻어진 공간의 (r - 1)차원 아핀 서브스페이스와 (r - 1)차원 아핀 서브스페이스와 경쟁적으로 대응한다.d 이 고정 하이퍼 평면을 무한대의 하이퍼 평면으로 처리함으로써.

양자 그룹에 대한 응용에서 공통적으로 사용되는 규약에서는 약간 다른 정의가 사용된다; 양자 이항계수는 다음과 같다.

${\displaystyle {q{}^{}}^{}}$ k ${\displaystyle {2{}^{}}^{}}$- n ${\displaystyle k^{}{}_{}}$( ${\displaystyle {\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$)$$${\displaystyle q_{{}^{}}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}_{}}$ ${\$\선택 $k}_{q^{2}}.$

이 버전의 양자 이항계수는 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 및$$ $q{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$의 교환 시 대칭이다$.$

참조

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