역분포

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확률 이론과 통계에서 역분포는 랜덤 변수의 역수 분포다. 역분포는 특히 이전 분포의 베이지안 맥락에서 발생하며 척도 모수에 대한 후방 분포에서 발생한다. 랜덤 변수의 대수에서 역분포는 비율 분포의 등급에 대한 특별한 경우로서, 분자 랜덤 변수가 퇴행 분포를 갖는 경우다.

원래 분포와의 관계

일반적으로 엄밀하게 양의 지지를 받는 임의변수 X의 확률분포를 고려할 때, 역수, Y = 1 / X의 분포를 찾을 수 있다. X의 분포가 밀도함수 f(x)와 누적분포함수 F(x)와 연속되어 있으면 역수 분포의 누적분포함수 G(y)가 된다. 에 주목함으로써 발견된다.

${\displaystyle G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\1}{y}\오른쪽)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}\오른쪽)=1-F\fr({1}{y\오른쪽).}$

Y의 밀도함수는 누적분포함수의 파생상품으로 확인된다.

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{1}{y^{2}}f\좌측\frac {1}{y}\우측).}$

예

역분포

역분포는 형태의 밀도함수를 가진다.^[1]

${\displaystyle f(x)\propto x^{-1}\properties {\text{ for }}0<a<x>,}$

여기서 $\propto {\displaystyle }$ $displaystyle \propto \!\,}$은(는) "비례적"을 의미한다. 이 경우 역분포는 형태라는 것을 따른다.

${\displaystyle g(y)\propto y^{-1}\req b^{1}{{\text{ for }}}0\leq b^{-1}<y<a^{-1}}$

다시 역분포다.

역등분포

역등분포

매개변수	$\displaystyle 0<a>,\quad a,b\in \mathb {R}}$
지원	${\displaystyle [b^{-1},a^{-1}}$
PDF	${\displaystyle y^{-2}{\frac {1}{b-a}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {b-y^{-1}{b-a}}$
평균	${\displaystyle {\frac {\ln(b)-\ln(a)}{b-a}}$
중앙값	${\displaystyle {\frac {2}{a+b}}$
분산	${\displaystyle {\frac {1}{a\cdot b}-\좌측값\frac {\ln(b)-\ln(a)}{b-a}\오른쪽)^{2}}$

원래 랜덤 변수 X가 구간(a,b)에 균일하게 분포하는 경우, 여기서 a>0은 역수 변수 Y = 1 / X는 범위(b⁻¹ ,a⁻¹)의 값을 취하는 역수분포를 가지며, 이 범위의 확률밀도함수는

${\displaystyle g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a},}$

그리고 다른 곳에서는 0이다.

같은 범위 내에서 역수의 누적분포함수는 다음과 같다.

${\displaystyle G(y)={\frac {b-y^{-1}{b-a}}.}$

예를 들어 X가 간격(0,1)에 균일하게 분포되어 있으면 Y = 1 / X는 밀도 $g{\displaystyle }$(${\displaystyle }$y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$${\displaystyle }$${\$ g$(y)=y^{-$${\displaystyle {}^{}}$$}},$${\displaystyle {}^{}}$ > 1${\displaystyle G$$(y)={1-y^{-1-1}$의 $누적분포함수{\displaystyle }$ G${\displaystyle (y\mathrm{})}$가 있다$.$$}$

역 t 분포

자유도가 k인 t 분포 랜덤 변수가 되도록 하자. 그러면 그 밀도함수는

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

Y = 1 / X의 밀도는

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

k = 1을 사용하면 X와 1 / X의 분포가 동일하다(X는 Cauchy 분포(0,1)). k > 1일 경우, 1 / X의 분포는 이원이다.^{[citation needed]}

역수 정규 분포

X가 표준 정규 분포 변수인 경우 역방향 또는 역방향 1/X(역방향 표준 정규 분포)의 분포는 무거운꼬리와 양방향 분포로$,$^[2] 모드는 ± ${\displaystyle \frac{\sqrt{1\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ 밀도$$

${\displaystyle f(x)={\frac {e^{-{\frac {1}{2x^{2}}}{{\sqrt{2\pi }}{2}}:{\sqrt{2\pi }}}}}}{\x^{2}}:}$

그리고 첫 번째와 더 높은 순서의 순간은 존재하지 않는다.^[2] 그러한 역분포와 비율분포에 대해서는 여전히 구간 확률을 정의할 수 있으며, 몬테카를로 시뮬레이션 또는 어떤 경우에는 기어리-힌클리 변환을 사용하여 계산할 수 있다.^[3]

단, 일반적인 정규 분포 $다음$에${\displaystyle }$B = N${\displaystyle (\mu }$ ,${\displaystyle }$μ , ${\displaystyle \mu }$ ,$$ ) {\$displaystyle$ B$=N$(\$mu ,\sigma )$에 대해$$이동된 상호 함수 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle (p}$- $){\$$displaystyle$ 1/($p-B$$)}$의 보다 일반적인 경우, 평균 $및{\displaystyle }$ $분산$ 통계량이 주 값 의미에 존재한다$.$$$ 평균 $[\displaystyle \mu }$은(는) 실제 값이다$$. 변환된 랜덤 변수의 평균(수리적 변환된 정규 분포)은 실제로 스케일링된 Dawson의 함수:^[4]

${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}F\frac{(}{}p\frac{}{}}$ - ${\displaystyle \frac{\mu }{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sigma }{}}$) ${\${\$sqrt {2}}:{\sigma }{\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\오른쪽$

이와는 대조적으로, $시프트{\displaystyle p}$ - μ$${\$displaystyle$p-\$mu$}이(가) 순수하게 복잡하다면$$ 평균은 존재하고 스케일링된 Faddeeva 함수로서, 정확한 표현식은 상상 부분의 ${\displaystyle \mathrm{부호}}$인 임 ${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$ -${\displaystyle \mu }$) ${\displaysty \operatorname {Im}(p-\mu$)에 따라 달라진다$.$ 두 경우 모두 평균의 단순한 함수다.^[5] 따라서 $p{\displaystyle }$ -${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle p-\mu }$이(가) 진짜인 경우 기본 값 의미에서는 분산을 고려해야 하고, $p{\displaystyle }$ -${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle p-\mu }$의 가상 부분이 0이$$ 아닌 경우 분산을 고려해야 한다. 이러한 평균과 분산은 비율의 선형화로 반복되지 않기 때문에 정확하다는 점에 유의하십시오. 서로 다른 극 p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ p ${\$및 p$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개의 쌍을 가진 두 비율의 정확한 공분산도 이와 유사하게 이용할$$ 수 있다.^[6] 시프트 여부와 관계없이 복잡한 정규 변수 $B{\displaystyle }$ ${\$디스플레이 $스타일 B}$의 역행의 경우는 다른 특성을 나타낸다$.$^[4]

역 지수 분포

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 속도 매개 변수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를$)$ 갖는 지수 분포 랜덤 변수인$$ $경우{\displaystyle }$ Y${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle X}$ ${\displaysty Y=1/X}$은(는) 다음과 같은 누적 분포 함수를 가진다$$. ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {\lambda }^{}}$/ y ${\$ y> 0 ${\displaystyle y>0$ 이$$ 랜덤 변수의 기대값은 존재하지 않는다는 점에 유의하십시오. 상호 지수 분포는 사라지는 무선 통신 시스템의 분석에 사용된다.

역코치 분포

X가 Cauchy 분포(μ, μ) 랜덤 변수인 경우, 1 / X는 Cauchy (μ / C, μ / C ) 랜덤 변수인 경우 C = μ + μs이다²².

역 F 분포

X가 F(ν₁, ν₂ ) 분포 랜덤 변수인 경우, 1 / X는 F(ν₂, ν₁ ) 랜덤 변수다.

이항 분포의 역수

이 분포에 대한 폐쇄형 형태는 알려져 있지 않다. 평균에 대한 점근법 근사치가 알려져 있다.^[7]

${\displaystyle E[(1+X)^{a}]=O(((np)^{-a})+o(n^{-a})}$

여기서 E[]는 기대 연산자, X는 랜덤 변수, O()와 o()는 크고 작은 O 순서 함수, n은 표본 크기, p는 성공 확률, a는 양수 또는 음수, 정수 또는 분수일 수 있는 변수다.

삼각형 분포의 역수

하한 a, 상한 b 및 모드 c를 갖는 삼각 분포의 경우, 여기서 < b와 c c b b는 다음과 같이 역수의 평균을 구한다.

${\displaystyle \mu ={\frac {2\좌측\frac {a}{c}\우측){a-c}{a-c}{b\}{b\우측)}{b-c}{b-b}}{b-b}}{b-b}}}}{a-b}}}}}}}}}}}}}}{a-b-b-b}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 에 의한 분산

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}-\mu ^{2}}$.

역수의 두 모멘트는 삼각형이 0을 넘지 않을 때, 즉 a, b, c가 모두 양수이거나 모두 음수일 때에만 정의된다.

기타 역분포

다른 역분포에는 다음이 포함된다.

역치 제곱 분포

역추분포

역위사트 분포

역행렬 감마 분포

적용들

역분포는 척도 모수에 대한 베이지안 추론에서 이전 분포로 널리 사용된다.

참고 항목

• 조화 평균
• 비율 분포
• 자가복제분포

참조