적분 선형 연산자

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2020년 4월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

일체형 이선형식은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ ^ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle$ X${\widehat${\$otimes }}{\epsilon }Y$의 연속 이중 공간에 속하는 이선형 기능이며, 국소 볼록 위상 벡터 공간(TV) X와 Y의 주입형 텐서 곱이다.적분 선형 연산자는 적분 이선형에서 표준적인 방법으로 발생하는 연속 선형 연산자를 말한다.

이 지도들은 핵 공간과 핵 지도 이론에 중요한 역할을 한다.

정의 - 주입 텐서 제품의 이중 형태로서 일체형 형태

Let X and Y be locally convex TVSs, let ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ denote the projective tensor product, ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ denote its completion, let ${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$ denote the injective tensor product, and ${\displaystyle X{\hat{\otimes }}_{}}$${\displaystyle {ϵ}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$은(는) 완성을 나타낸다$$.Suppose that ${\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\epsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$ denotes the TVS-embedding of ${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$ into its completion and let ${\displaystyle {}^t\mathrm{In}:{\left(X{\hat{\otimes }}_{ϵ}Y\right)}_b^{\mathrm{\prime }}\to {(X{\otimes }_{ϵ}Y}_{}^{}}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }}$ be its transpose, which is a vector space-isomorphism.이는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {ϵ}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$의 연속 이중 공간과 $동일$한 X$$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ ^ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X{\widehat{\otimes }_{\epsilon }Y$의 연속 이중 공간임을 식별한다.

Let ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\epsilon }Y}$ denote the identity map and ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\$$오른쪽)_{b}^{\prime }}}}$은(는) 연속 주사인 전치(transpose)를 나타낸다$$.Recall that ${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$ is canonically identified with ${\displaystyle B(X,Y)}$, the space of continuous bilinear maps on ${\displaystyle X\times Y}$. In this way, the continuous dual space of ${\displaystyle X\otimes _{\ep$$silon }Y}$ can be canonically identified as a vector subspace of ${\displaystyle B(X,Y)}$, denoted by ${\displaystyle J(X,Y)}$. The elements of ${\displaystyle J(X,Y)}$ are called integral (bilinear) forms on ${\displaystyle X\times Y}$. The following theorem justifies the word inte풀을 뜯다

적분 선형 지도

연속적인 선형 사상 κ:XY→′이 형태(), y)∈ XY×↦에 의해 정의된다 만약 연결된 쌍일차식 통합 쌍일차식,(κ))(y){\displaystyle(x, y)\in X\times Y\mapsto(\kappa))(y)}그것은 적분 지도 κ 따르.[3]{\displaystyle \kappa:X\to Y'}적분:X→ Y라고 불린다′{\displ.ays$tyle \kappa :X\to Y'}$은(는) 형식:^[3]

$\displaystyle x\in X\mapsto \kappa (x)=\int _{S\times T}\left\langle x',x\rigle y'\mathrm {d} \mu \!\왼쪽(x',y'\right)}$

각각$$$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$과 Y ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ Y$'}$의 약하게 닫히고 등거리 하위 집합 S와 T와 일부 양의 라돈 측정 $[\displaystyle \mu }$의 총 질량 ≤1.The above integral is the weak integral, so the equality holds if and only if for every ${\displaystyle y\in Y}$, ${\textstyle \left\langle \kappa (x),y\right\rangle =\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y',y$$\right\rangele \mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right$

Given a linear map ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$, one can define a canonical bilinear form ${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y'\right)}$, called the associated bilinear form on ${\displaystyle X\times Y'}$, by ${\displaystyle B_{\mathrm{\Lambda }}\left(x,y^{\prime }\right):=\left(y^{\prime }\circ \mathrm{\Lambda }\right)\left(x\right)}$${\displaystyle B_{\lambda }\왼쪽(x,y'\오른쪽):$$=\\좌(y'\circle \Lambda \우)\좌(x\우$ $연속{\displaystyle \mathrm{}}$ 지도${\displaystyle x}$: X → ${\displaystyle Y}${\$displaystyle \Lambda :X\to$ Y$}$는 연관된 이선형 형태일 경우 일체형이라고 한다$$.^[4]통합 지도 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Lambda :X\to$ Y$}$은(는) 형식이며$$, 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x$\in$ X$}$ 및$$ $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$′ ${\$ y$'\in$ Y$\text{'}\}:$

${\displaystyle \left\langle y',\Lambda(x)\right\times B'\langle x',x\right\langle \left\langle y')y'\right\langle \mathrmat {d} \mat \mus \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mus \\\\\\\\!\$

각각 $X{\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle$ X$'}$과 Y$\$ {\$displaystyle$ Y$''$의 ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$과$($와$$) 일부 양의 라돈 측정 $\mu {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ ${\displaystyle \mathrm{\mu }}$} ${\$$displaystyle \$$mu$ } 총 질량${\displaystyle }$$}$ ${\\\leq 1$

힐버트 공간과의 관계

다음 결과는 통합 지도가 힐버트 공간을 "요인"한다는 것을 보여준다.

제안:^[5]$u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to$ Y$}$이(가) Y Hausdorff와 함께 로컬 볼록한 TVS 사이의 통합 지도라고 가정해 보십시오.힐버트 공간 H와 두 ${\displaystyle 개}$의 연속 선형 매핑${\displaystyle \alpha }$ : X${\displaystyle }$→ H ${\displaystyle \alpha :X\to H}$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$: H${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \beta$:$u{\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta \alpha }$ ${\displaystyle u=\beta \circle \alpha }$과 같은 $H\to Y$$\}.$

게다가, 두 힐버트 공간 사이의 모든 필수 연산자는 핵이다.^[5]따라서 두 힐버트 공간 사이의 연속적인 선형 연산자는 그것이 통합된 경우에만 핵이다.

충분한 조건

모든 핵 지도는 필수적이다.^[4]중요한 부분적인 반전은 두 힐버트 공간 사이의 모든 필수적 운영자는 핵이라는 것이다.^[5]

A, B, C, D가 Hausdorff 로컬 볼록 TVS이고 $\alpha {\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha$:$A\to B}$ ,$$$\beta {\displaystyle }$: ${\displaystyle B}$→ C ${\displaystyle \beta$:$B\to C}$및 $\gamma {\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma$:$C\to D}$은(는) 모두 연속 선형 연산자다.$\beta {\displaystyle }$: ${\displaystyle B}$→ C ${\displaystyle \beta$:$B\to C}$은(는) 통합 연산자 $then{\displaystyle \beta \alpha }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma \circle \circa \alpha$:$A\to$ D$\}.$^[5]

$u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle u:X\to$ Y$}$이(가) 두 표준 공간 사이의 연속 선형 연산자인 경우 : ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }$→ Y ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{}}$ : Y${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ′ → X ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$:$Y'\to$ X$'}$은(는) 필수적이다.^[6]

$u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$이(가) 로컬 볼록 TV 사이의 연속 선형 지도라고 가정해$$ 보십시오.$u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle {}^{}}$$:X\to Y}$이(가) 통합된 경우 ${\displaystyle {}^{}}$ : Y b${\displaystyle {}_{}^{}}$→ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$$Y_{b}^{\premy}^{b}^{\premy$^[4] 이제 전치 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle Y_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$→ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$$Y_{b}^{\premy}\to X_{b}^{\premy}}}$ 연속 선형 지도 $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to$ Y$}$가 일체형이다$$.${\displaystyle {그러면}_{}}$ ${\displaystyle u}$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle u:X\to$ Y$}$에서 표준주사 ${\displaystyle {\mathrm{In}}_{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$$X\to X"}($x에서 x ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle x\mapsto }$ 값으로$$ 정의됨) 및 ${\displaystyle {\mathrm{In}}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$$Y\to Y'}$은($예{\displaystyle }$: X ${\displaystyle$ X$}$ 및 $Y$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$이(가) 바레인이 되거나$$ 메트리징 가능한 TVS 내장형이다.^[4]

특성.

A, B, C, D가 Hausdorff 로컬 볼록 TV이며 B와 D가 완성되었다고 가정하자.$\alpha {\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle \alpha$:$A\to B}$ ,$$$\beta {\displaystyle }$: ${\displaystyle B}$→ C ${\displaystyle \beta$:$B\to C}$및 $\gamma {\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma$:$C\to D}$은(는) 구성 $composition{\displaystyle \beta \alpha }$= A${\displaystyle }$→ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma \circa \circl \alpha$:$A\to D}$는 핵이다.^[5]따라서 특히 X가 무한 차원 프리쳇 공간이라면 연속적인 선형추출 $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ X ${\displaystyle u:X\to$ X$}$은(는) 일체형 연산자가 될 수 없다$$.

참고 항목

• 보조 표준 공간
• 최종 위상
• 주입 텐서 제품
• 원자력 사업자
• 핵공간
• 투영 텐서 제품
• 위상 텐서 제품

참조

참고 문헌 목록

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외부 링크

• ncatlab의 핵 공간