코틀러-슈타인 보조정리

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수학에서, 기능 분석 분야에서, 코틀러-스타인 거의 정형성 보조정리법은 수학자 Mischa Cotlar와 Elias Stein의 이름을 따서 명명되었다. 그것은 운영자가 거의 직교 조각으로 분해될 수 있을 때 힐버트 공간으로부터 다른 공간으로 작용하여 운영자의 표준에 대한 정보를 얻기 위해 사용될 수 있다. 이 보조마(자기 적응자와 상호 출퇴근 운영자를 위한)의 원본은 1955년^[1] 미샤 코틀라(Mischa Cotlar)에 의해 증명되었으며, 힐버트 변환이 푸리에 변환기를 사용하지 않고$$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$에서 연속 선형 연산자라는 결론을 내릴 수 있게 했다. 좀 더 일반적인 버전은 엘리아스 스타인에 의해 증명되었다.^[2]

코틀러-스타인 거의 정형성 보조정리

$E{\displaystyle }$, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E,\,F}$을(를) 두 개의 힐버트 공간이 되게 하라. 각 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ $T_{j},$$$${\displaystyle \mathrm{j}}$ ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\displaystyle$ $T_{j}$와 함께 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에서 F ${\$displaystyle $F}$까지의 경계 선형 연산자 $T{\displaystyle {}_{}}$ j ${\$displaystystyle T_${j}$를 고려하십시오$.$

데노테

${\displaystyle a_{jk}=\Vert T_{j}T_{k}^{\ast }\Vert ,\qquad b_{jk}=\Vert T_{j}^{}^{\ast }T_{k}\Vert .}$

연산자 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ :${\displaystyle {}_{}E}$→ F ${\디스플레이스타일 T_{j}:\;$$E\to F$ $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle j\geq$ 1$,}$은(는) 다음과 같이 거의 직교한다.

${\displaystyle A=\sup _{j}\sum _{k}{\sqrt {a_{jk}}}<\cupt,\qquad B=\sup _{j}\sum _{k}{\sqrt{b_{jk}}}}}}}}}}}}}}}$

Cotlar-Stein ${\displaystyle {보조정리}_{}}$에서는 T$$j {\$displaystyle$T_${j$}가 거의 직교인 경우$$, 시리즈 $\sum {\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ j$${\$displaystyle \sum$ \$sum_{j}$라고 명시되어 있다.T_${j}}$ 강한 연산자 토폴로지에서 수렴하는$$ 것.

${\displaystyle \Vert \sum _{j}T_{j}\vert \leq {\sqrt {AB}.}$

증명

R₁, ..., R이_n 한정된 경계 연산자의 집합이라면^[3],

${\displaystyle \displaystyle {\sum _{i,j} (R_{i}v,R_{j}v) \leq \left(\max _{i}\sum _{j}\ R_{i}^{*}R_{j}\ ^{1 \over 2}\right)\left(\max _{i}\sum _{j}\ R_{i}R_{j}^{*}\ ^{1 \over 2}\right)\ v\ ^{2}.}}$

보조정리법 가설 하에서는

${\displaystyle \sum _{i,j}(T_{i}v,T_{j}v) \leq AB\ v\ ^{2}.}}$

그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle \displaystyle {\\sum _{i=1}^{n}T_{i}v\ ^{2}\leq AB\ v\ ^{2}}}}}$

그리고 저것

${\displaystyle \displaystyle {\\sum _{i=m}^{n}T_{i}v\ ^{2}\leq \sum _{i,j\geq m}(T_{i}v,T_{j}v) .}}$

따라서 부분적인 합은

${\displaystyle \displaystyle {s_{n}=\sum _{i=1}^{n}T_{i}v}}}$

코시 서열을 짜다

따라서 총액은 명시된 불평등을 만족시키는 한계로 절대적으로 수렴된다.

상기의 불평등을 증명한다.

${\displaystyle \R=\sum a_{ij}R_{i}^{*}R_{j}}}}$

그렇게 하기 위해 ≤ 1을_ij 선택해서

${\displaystyle \displaystyle {(Rv,v)=(Rv,v) =\sum(R_{i}v,R_{j}v) .}}$

그러면

${\displaystyle \displaystyle {\ R\ ^{2m}=\ (R^{*}R)^{m}\ \leq \sum \ R_{i_{1}}^{*}R_{i_{2}}R_{i_{3}}^{*}R_{i_{4}}\cdots R_{i_{2m}}\ \leq \sum \left(\ R_{i_{1}}^{*}\ \ R_{i_{1}}^{*}R_{i_{2}}\ \ R_{i_{2}}R_{i_{3}}^{*}\ \cdots \ R_{i_{2m-1}}^{*}R_{i_{2m}}\ \ R_{i_{2m}}\ \right)^{1 \over 2}.}}$

그러므로

${\displaystyle \displaystyle {\ R\ ^{2m}\leq n\cdot \max \ R_{i}\ \left(\max _{i}\sum _{j}\ R_{i}^{*}R_{j}\ ^{1 \over 2}\right)^{2m}\left(\max _{i}\sum _{j}\ R_{i}R_{j}^{*}\ ^{1 \over 2}\right)^{2m-1}.}}$

2m 뿌리를 뽑고 m을 ∞게 하는 것,

${\displaystyle \displaystyle {\ R\ \leq \left(\max _{i}\sum _{j}\ R_{i}^{*}R_{j}\ ^{1 \over 2}\right)\left(\max _{i}\sum _{j}\ R_{i}R_{j}^{*}\ ^{1 \over 2}\right),}}$

그것은 바로 불평등을 암시한다.

일반화

코틀러-슈타인 보조정리기는 통합으로 대체된 총합으로 일반화되었다.^[4][5] X를 국소적으로 콤팩트한 공간으로 하고 X에서 보렐 측정치를 μ로 한다. T(x)를 강한 연산자 위상에서 균일하게 경계되고 연속적인 E에서 F까지의 경계 연산자로 X의 지도가 되게 한다. 만약

${\displaystyle \displaystyle {A=\sup _{x}\int _{X}\ T(x)^{*}T(y)\ ^{1 \over 2}\,d\mu (y),\,\,\,B=\sup _{x}\int _{X}\ T(y)T(x)^{*}\ ^{1 \over 2}\,d\mu (y),}}$

유한하다. 그러면 T(x)v 함수는 E의 각 v에 대해 통합할 수 있다.

${\displaystyle \\int_{X}T(x)v\,d\mu(x)\\leq {\sqrt{AB}\cdot \v\}}}}$

그 결과는 이전 증명에서 통합에 의한 합계를 대체하거나 통합에 근사치를 하기 위해 리만 합계를 사용하여 증명할 수 있다.

예

다음은 직교 연산자 계열의 예다. 이니파이트 차원 행렬 고려

${\displaystyle T=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&\vdots \\\\0&1&\vdots \\\\cdots &\cdots &\end{array}\rigin}\right]}$

그리고 또한

${\displaystyle\qquad T_{1}[{\begin{배열}{cccc}1&, 0&, 0&, \vdots \\0&, 0&, 0&, \vdots \\0&, 0&, 0&, \vdots \\\cdots, \cdots, \cdots & & &, \ddots \end{배열}}\right],\qquad T_{2}=\left는 경우에는{\begin{배열}{cccc}0&, 0&, 0&, \vdots \\0&, 1&, 0&, \vdots \\0&, 0&, 0&, \vdots \\\cdots, \cdots & &, \cdots&.앰프, \ddots}\right \end{배열}],\qquad T_{3}=\left는 경우에는{\begin{배열}{cccc}0&, 0&, 0&, \vdots \\0&, 0&, 0&, \vdots\\0&0&1&\vdots \\cdots &\cdots &\cdots \end{array}\right],\qquad \cdots .}$

그런 다음 각$j$에 대해$$$$${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \underset{}{T}}$ j${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$1 ${\$$displaystyle$ $\$${\displaystyle \underset{}{Vert\mathbb{}}}$ T_${j}\Vert=1$$\}\{\backslash$displaystyle \sum _{j\in \mathb{{{N}}}{j}}} 시리즈는 균일한 연산자 토폴로지에 수렴되지$$ 않는다.

Yet, since ${\displaystyle \Vert T_{j}T_{k}^{\ast }\Vert =0}$ and ${\displaystyle \Vert T_{j}^{\ast }T_{k}\Vert =0}$ for ${\displaystyle j\neq k}$, the Cotlar–Stein almost orthogonality lemma tells us that

${\displaystyle T=\sum _{j\in \mathb {N} }T_{j}}$

강력한 연산자 토폴로지에서 수렴되며 1로 경계된다.

메모들

참조

• Cotlar, Mischa (1955), "A combinatorial inequality and its application to L² spaces", Math. Cuyana, 1: 41–55
• Hörmander, Lars (1994), Analysis of Partial Differential Operators III: Pseudodifferential Operators (2nd ed.), Springer-Verlag, pp. 165–166, ISBN 978-3-540-49937-4
• Knapp, Anthony W.; Stein, Elias (1971), "Intertwining operators for semisimple Lie groups", Ann. Math., 93: 489–579
• Stein, Elias (1993), Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, ISBN 0-691-03216-5