볼록 결합

수학 및 수학 최적화에서 함수의 볼록 결합은 비 콘벡스 함수에 적용되는 레전드르 변환의 일반화다. 레전드르-펜첼 변환, 펜첼 변환, 또는 펜첼 커플게이트(애드리엔 마리 레전드르, 베르너 펜첼 이후)로도 알려져 있다. 특히 라그랑고의 이중성을 광범위하게 일반화할 수 있도록 한다.

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 실제 위상 벡터 공간으로 하고 $X{\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$을(를) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 대한 이중 공간으로 한다$.$ 다음을 가리킨다.

$\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \angle :X^{*}\time X\times X\to \mathb {R}}}$

표준 듀얼 페어링은 (${\displaystyle x{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \left(x^{*},x\right)\mapsto x^{*}(x$)에 의해 정의된다$.$$}$

함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup }${ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathb {R} \cupty$ \cup \cuppy \+\}} $\$cupt \$cupt$} \cupt; 확장된 실수 라인에 대한 값을$$ 계산하면 볼록 결합이 함수다.

${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathb {R} \cup \cup \cup \{-\nothy,+\}}컵 \cupt \}}}$

$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ∗ ${\displaystyle {}^{}}$∗{\$displaystyle$ x$^{*}\in$ X$^{*}}}}$의 값은$$ 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle f^{*}\왼쪽(x^{*}\오른쪽):=\suppled\{\좌측\langle x^{*},x\right\f(x)~\colon ~x\in X\right\}$

또는, 동등하게, 최소치 측면에서:

${\displaystyle f^{*}\왼쪽(x^{*}\오른쪽):=-\inf \left\{f(x)-\left\langle x^{*},x\rigle ~\colon ~x\in X\right\}.}$

이 정의는 함수의 지지 하이퍼플레인의 측면에서 함수의 비문 부분의 볼록한 선체를 인코딩한 것으로 해석할 수 있다.^[1]

예

자세한 예는 선택된 볼록형 접합자의 § 표를 참조하십시오.

• 아핀 ${\displaystyle 함수}$ $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟩}$- b ${\displaystyle f(x)=\left\langle a,x\right\angle -b}$의 볼록 결합은

${\displaystyle f^{*}\왼쪽(x^{*}\오른쪽)={\put{case}b,&x^{*}=a\\\+\ft;&x^{**}neq a.\end{case}}}$

• 전원함수 ) = x p, < ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{p}$x$^{p},1<p<\inforty })$의 볼록 결합은 다음과 같다.

${\displaystyle f^{*}\왼쪽(x^{*}\오른쪽)={\frac {1}{1}{q}x^{1}{q}{1}{q<\inflt ,{\text{where}}}{\tfrac {1}{p}+{q}=1}.}$

• ${\displaystyle \mathrm{절대값}}$ 함수 $f{\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\$의 볼록 결합은 다음과 같다$$.

${\displaystyle f^{*}\왼쪽(x^{*}\오른쪽)={\put{put}0,&\put x^{*}\오른쪽 \leq 1\\\\puty,&\put x^{*}\put }\put \{*}\right >1.\end{case}}}$

• 지수함수 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$의 볼록 결합은 다음과 같다$$.

${\displaystyle f^{*}\왼쪽(x^{**}\오른쪽)={\n1}x^{*}\ln x^{*}-x^{*}}0\0,&x^{*=0\\\\\\ft;&x^{}}}}}<0.\end{case}}}$

지수함수의 볼록 결합과 레전드르 변환은 레전드르 변환이 양의 실수에 대해서만 정의되기 때문에 볼록 결합의 영역이 엄격히 더 크다는 점을 제외하고는 일치한다.

예상 부족액과의 연결(위험 시 평균값)

예를 들어 이 기사를 참조하십시오.

F는 랜덤 변수 X의 누적 분포 함수를 나타내도록 한다. 그런 다음(부품으로 통합)

${\displaystyle f(x):=\int _{-\infit _{-\x}F(u)\,du=\operatorname {E} \left[\max(0,x-X)\right]=x-\operatorname {E} \left[\min(X)\right]}$

볼록결합이 있다.

${\displaystyle f^{*}(p)=\int _{0}^{p}F^{-1}(q)\,dq=(p-1)F^{-1}(p)+\operatorname {E} \left[\min(F^{-1}(p),X)\right]=pF^{-1}(p)-\operatorname {E} \left[\max(0,F^{-1}(p)-X)\right].}$

주문

특정한 해석은 변화를 가져온다.

${\displaystyle f^{\text{inc}(x):=\arg \sup _{t}t\cdot x-\int _{0}^{1}\max\{t-f(u),0\}\,du,}$

이는 초기 함수 f의 비감소적 재배열이며, 특히 ƒ 비감소화에 대한 f ${\displaystyle {\text{inc}}^{}}$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle$ f$^{\text{inc}=f}.$

특성.

닫힌 볼록함수의 볼록결합은 다시 닫힌 볼록함수가 된다. 다면체 볼록함수(다면체 비문이 있는 볼록함수)의 볼록결합은 다시 다면체 볼록함수다.

오더 리버스

모든 $x{\displaystyle }$. ${\displaystyle x.}$에 $대해{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)\leq$ $g$$(x)}$인 경우에만$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle$ x$.}$을(를) 선언하십시오.$$ 그러면 볼록-대조화는 ${\displaystyle \mathrm{순서반환}}$으로, 정의상 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ g ${\displaystyle f\leq g}$이면 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ g${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ f$^{*}\geq$ g$^{*}.$$}$

함수 계열$({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\alpha }_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 경우, 우월성이 상호 교환될 수 있다는 사실에서 다음과$$ 같이 나타난다.

${\displaystyle \left(\inf _}f_{\f_{\f_{\board }\right)^{*}}*****(x^{*}),}$

그리고 최대-최소 불평등으로부터

$\\displaystyle \left(\sup _{\f_{\f_{\buff}}\req \inf _{\f_{\buff }^{}*})(x^{*})}$

비콘쥬게이트

함수의 볼록 결합은 항상 하위 반연속이다. 비콘주게이트 $∗{\$볼록스 결합의 볼록 결합)도 닫힌 볼록 선체로, 즉 $f{\displaystyle {}^{}f}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ f$^{*}\leq$ f$.}$ 적절한 기능에 $대해서$는 ${\displaystystyle f,}$

F)f∗ ∗{\displaystyle f=f^{**}}만일 f{\displaystyle f}과 하위 반연속, Fenchel–Moreau 정리에 의해 볼록다.

펜첼의 부등식

어떤 함수 f, 그것의 볼록 켤레 fFor, Fenchel의 부등식(또한 Fenchel–으로 알려져 있다.젊은 불평등)∈ X{\displaystyle Xx\in}및 p∈ 모든 x에 X(}{\displaystylep\in X^{*}:보유하고 있다.

${\displaystyle\left\langle p,x\right\rangle\leq f())+f^{*}(p).}$

그 증거는 볼록 켤레의 정의와는:f∗(p)=저녁밥을 먹다)오후{⟨ p,)~⟩ − f()~)}≥ ⟨ p,)− f()). ⟩{\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{\tilde{)}}\left\{\langle p,{\tilde{)}}\rangle -f({\tilde{x}})\right\}\langle p,x\rangle -f())\geq 따른다.}

볼록도

두 기능은 f0{\displaystyle f_{0}}와 f1{\displaystyle f_{1}}, 숫자 0≤λ ≤ 1{\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}은 볼록성 연관이 있다.

${\displaystyle \left(1-\putda )f_{0}+\putda f_{1}\오른쪽)^{*}\leq (1-\buffda )f_{0}^{*}+\buffda f_{1}^{*}}}$

holds. $∗{\$ 연산은$$ 볼록 매핑 그 자체다.

미니멀 콘볼루션

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 최소 콘볼루션(또는 epi-sum)은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \left(f\operatorname {\Box }g\right)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\mid y\in \mathb {R}^{n}\rig\}.}$

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,f_{}}$ ${\$을(를) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}$에서 적절하고, 볼록하며, 낮은 세미콘틴 함수를 사용하십시오$$.$}$ 그러면$$ 극소수 경련이 볼록하고 하한 반정맥(그러나 반드시 적절한 것은 아님)^[2]이 되어 만족한다.

${\displaystyle \left(f_{1}\operatorname {\Box } \cdots \operatorname {\Box }f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}}.}$

두 가지 기능의 극히 작은 경련은 기하학적 해석을 가지고 있다. 두 가지 기능의 최소 경골의 (강경) 경골은 그 기능의 (강경) 경골의 민코스키 합이다.^[3]

인수 최대화

함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 다를 수 있는 경우, 그 파생상품은 볼록 결합 계산에서 최대화 인자이다.

${\$$=\arg \sup _{x^{*}}{\langle$ x$,x^{*}\langle }-f^{*}\$왼쪽($x^{*}\오른쪽$$)$ 및

${\displaystyle f^{*}\premy }\left(x^{*}\right)=x\left(x^{*}\right):=\arg \sup _{x}{\langle x,x^{*}\angle }-f(x);}$

언제

${\displaystyle x=\bla f^{*}\왼쪽(\bla f(x)\오른쪽),}$

${\displaystyle x^{*}=\displayla f\left(\displayla f^{*}}\reft(\follow)(x^{*}\right)\right),}$

게다가

${\displaystyle f^{\premy \premy \premy \premy \premy \premy \premy }\premy \premy \premy \premy \premy}\premy$

${\displaystyle f^{*}\premy \premy \premy \premy \premy \premy \premy }\premy \premy \premy \premyprime(x^{*}\right)=1.}$

크기 조정 속성

일부 > ${\displaystyle \gamma$ >0$,}$${\displaystyle (x}$) = ${\displaystyle \alpha }$+ ${\displaystyle \beta }$ x +${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle \lambda }$ x +${\displaystyle \Delta )}$ ${\$$lambda x+\da$ \da \delta \da \da \da \riga \rigriga \riga \riga \riga $\ri$

${\displaystyle g^{*}\왼쪽(x^{*}\오른쪽)=-\cHB-\property {x^{*}-\property \cdot f^{*}\frac {x^}-\precda }{*-}}\putda \precda \cda \put \ieca \ieca \cda \iot \iot \iot }}$

선형 변환 아래의 동작

$A{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$을(를) 경계 선형 연산자로 한다$$. $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$의 볼록 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대해

$왼쪽(Af\오른쪽)^{*}=f^{*}}A^{*}}}$

어디에

${\displaystyle (Af)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 사전 이미지이며, $A{\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$는 $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle A$의 부선 연산자다$.$$}$^[4]

닫힌 볼록 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 직교 선형 $변환$의 지정된$$ 집합 G ${\displaystyle$ G$}$에 대해 대칭이다.

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle A}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(Ax)=f(x)}$ 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ 모든 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A\in G}$에 대해

볼록 $결합{\displaystyle {}^{}}$ f$∗{\$ f$^{*}}$이($가{\displaystyle }$) G$.$ {\$displaystyle$ G$.}$에 대해$$ 대칭인 경우에만 해당

선택된 볼록 결합체 표

다음 표에는 몇 가지 유용한 특성뿐만 아니라 많은 공통 기능에 대한 Legendre 변환이 나와 있다.^[5]

${\displaystyle g(x)}$	${\displaystyle \demname {dom}(g)}$	${\displaystyle g^{*}(x^{*})}$	${\displaystyle \demname {dom}(g^{*})$
${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(ax)}($$여기$서 ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\neq$ 0$\})$	$(\displaystyle X}$	${\displaystyle f^{*}\왼쪽 사진\frac {x^{*}}{a}\오른쪽)}$	${\displaystyle X^{*}}$
${\displaystyle f(x+b)}$	$(\displaystyle X}$	${\displaystyle f^{*}(x^{*})-\langle b,x^{*}\angle }$	${\displaystyle X^{*}}$
${\displaystyle a}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle af(x)($여기서 > 0 ${\displaystyle a>0$	$(\displaystyle X}$	${\displaystyle af^{*}\왼쪽 사진\frac {x^{*}{a}\오른쪽)}$	${\displaystyle X^{*}}$
$\displaystyle \property x+\property \cdot f(\cdot f)(\data x+\property )}$	$(\displaystyle X}$	${\displaystyle -\frac {x^{*}-\frac {x^{*-}-\frac \cdot f^{*}\frac {x^{*-}-{\frac }{\cday \da }\recapit(\cappropa >0)}$	${\displaystyle X^{*}}$
${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\${ x$^{p}{p}}($여기서 > 1 ${\displaystyle p>1$	${\displaystyle \mathb {R} }$	${\displaystyle \frac{x^{}}{}}$q ${\$여기서 ${\displaystyle \frac{\mathrm{1p}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\mathrm{1q}}{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle{1$}{$p}+{\frac{1}{q}=1$	${\displaystyle \mathb {R} }$
${\displaystyle \frac{-}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\$여기서 <1> $displaystyle 0<p<1$	${\displaystyle \mathb {R} _{+}}$	${\displaystyle \frac{-}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\ast }^{}{}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ q ${\$여기서 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{p}{}}$+ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle {\p}+{p$}+{\$frac{$1}{$q}=$1})$$q.	${\displaystyle \mathb {R} _{-}$
${\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \mathb {R} }$	${\displaystyle -{\sqrt {1-(x^{*})^{2}}:$	${\displaystyle [-1,1]}$
$[\displaystyle -\log(x)}$	${\displaystyle \mathb {R} _{+}}$	${\displaystyle -(1+\logex^{*})}$	${\displaystyle \mathb {R} _{-}}$
${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \mathb {R} }$	${\displaystyle {\case}x^{*}\log(x^{*})-x^{*}{{\cext{{}}}}}**}\\0&{\text{}}}}}}}}}}*=0\nd{case}}}}}}}}$	${\displaystyle \mathb {R} _{+}}$
${\displaystyle \log \left(1+e^{x}\오른쪽)}$	${\displaystyle \mathb {R} }$	${\displaystyle {\case}x^{*}\log(x^{*})+(1-x^{*}\log(1-x^{*})&{\text{0}{}{{x^{}}}{x^{*}}=0,1\case}}}}}}$	${\displaystyle [0,1]}$
${\displaystyle -\log \left(1-e^{x}\오른쪽)}$	${\displaystyle \mathb {R} _{-}}$	${\displaystyle {\case}x^{*}\log(x^{*})-(1+x^{*}\log(1+x^{*})-{\text{}{}}{{}}}}{}x^{}}}}}}}}{}x^{}\0&amp;{\text{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle \mathb {R} _{+}}$

참고 항목

• 이중 문제
• 펜첼의 이중성 정리
• 레전드르 변환
• 상품에 대한 젊은이의 불평등

참조

• Arnol'd, Vladimir Igorevich (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-96890-3. MR 0997295.
• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.
• Rockafellar, R. Tyrell (1970). Convex Analysis. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4. MR 0274683.

추가 읽기

• Touchette, Hugo (2014-10-16). "Legendre-Fenchel transforms in a nutshell" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2017-04-07. Retrieved 2017-01-09.

• Touchette, Hugo (2006-11-21). "Elements of convex analysis" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2015-05-26. Retrieved 2008-03-26.

• "Legendre and Legendre-Fenchel transforms in a step-by-step explanation". Retrieved 2013-05-18.

• Ellerman, 데이비드 패터슨(1995-03-21)." 제12장:병렬 덧셈, Series-Parallel 표현의 상대적 양면성, 수학".지적 Trespassing 생활로:Essays철학, 도덕에서는 수학(PDF).그 세속적인 철학:철학과 경제학의 교차로에서 공부합니다.G-기준, 정보 및 다원적 대상 시리즈(교육을 설명했다.).Rowman&리틀 필드 Publishers, Inc.pp. 237–268.아이 에스비엔 0-8476-7932-2.그 2016-03-05에 원래에서Archived(PDF)..[1](271쪽)2019-08-09 Retrieved.

• Ellerman, David Patterson (May 2004) [1995-03-21]. "Introduction to Series-Parallel Duality" (PDF). University of California at Riverside. CiteSeerX 10.1.1.90.3666. Archived from the original on 2019-08-10. Retrieved 2019-08-09. [2](24쪽)