2차장

대수적 숫자 이론에서 2차 장은 이성적 숫자인 $Q$ 에 대한 2도의 대수적 숫자 필드다.

이러한 모든 2차 장은 일부 $Q ((d)$ 이며 여기서 $d$ 는 $0$ 과 $1$ 이 다른 (유일하게 정의되는) 제곱이 없는 정수다. $d$ > $0$ 일 경우 해당 2차장을 실제 2차장이라고 $하며$ , d < $0$ 일 경우 상상의 2차장 또는 복합 2차장이라고 하며, 이는 실수의 필드의 하위장인지 여부에 해당한다.

처음에는 이항 2차 형태 이론의 일부로서 2차 장은 매우 심도 있게 연구되어 왔다.아직 해결되지 않은 문제들이 남아 있다.학급 번호 문제는 특히 중요하다.

정수 링

판별

0이 아닌 제곱의 자유 정수 d의 경우, d가 1모듈로 4에 합치할 경우 2차 필드 K=Q(dd)의 판별은 d이고, 다른 경우 4d이다.예를 들어 d가 -1이면 K는 가우스 이성계의 영역이고 판별은 -4이다.이렇게 구별되는 이유는 K의 정수 고리가 생성되기 때문이다.첫 번째 경우에는 ½(1++d)이지만 두 번째 경우에는 byd.

이차적 분야의 판별 집합은 정확히 근본 판별 집합이다.

이상으로의 주요 요소화

임의의 소수 p는 2차장 K의 정수 O의_K 링에서 이상적인 pO를_K 발생시킨다.갈루아 확장에서 주요한 이상을 분열시킨다는 일반적인 이론과 일치하여, 이것은 아마도^[1]

p는 불활성이다.: (p)는 최고의 이상이다.; 지수 링은 p 요소가² 있는 유한장이다: O_K/pO_K_p² = F
p 갈라지다: (p)는 O의_K 두 가지 뚜렷한 주요 이상(prime idea)의 산물이다.; 지수 링은 O_K/pO_K = F × F 제품이다_p_p.
p가 ramised하다.: (p)는_K O의 프라임 이상(prime idea)의 제곱이다.; 그 몫의 반지는 0이 아닌 원소를 포함하고 있다.

세 번째 경우는 p가 차별 D를 나누는 경우에만 발생한다.첫 번째와 두 번째 경우는 크로네커 기호(D/p)가 각각 -1과 +1일 때 발생한다.예를 들어, p가 D를 나누지 않는 홀수 프라임인 경우, D가 제곱 모듈로 p에 합치되는 경우에만 p가 분할된다.처음 두 경우는 p가 프리마임을 통과할 때 똑같이 발생할 수 있는 어떤 의미에 있다. 체보타레프 밀도 정리를 참조하라.^[2]

2차상호주의 법칙은 2차적 영역에서 prime p의 분열행동이 p modulo D에만 의존한다는 것을 내포하고 있는데, 여기서 D는 그 분야를 판별하는 것이다.

클래스 그룹

2차 필드 익스텐션의 클래스 그룹을 결정하는 것은 클래스 그룹의 미세성 때문에 민코프스키의 바운드와 크로네커 기호를 사용하여 이루어질 수 있다.^[3]2차 필드 $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ = $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ ( $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ ) ${\displaystyle K=\mathb {Q}({\sqrt {d})$ 에는 구별이 있음 $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$

\Delta _{K}={\begin}d&{\text}{}d\equiv 1{\pmod{4},\4d&{\text}{}}}d\equiv 2,3{\pmod{4};\case{case}}}}}}}}}

그래서^[4] 민코프스키행은

M_{K}={\begin{case}{\frac {2}{\pi }}{\delta }}{\cext{{{\d}}}{\delta }}}}}{\frac{1}{1}{{d}d}d}0.\end{case}}

그 후, 이상적인 클래스 그룹은 표준이 $M_{K}$ $M_{K}$ ${\$ 보다 작은 프라임 이상에 의해 생성된다 $M_{K}$ $p\in \mathbb {Z}$ 은 $p\in \mathbb {Z}$ $|p|<M_{k}.$ $p\in \mathbb {Z}$ Z ${\$ {Z $} prime$ 에 대한 이상(p $p\in \mathbb {Z}$ ) $(p)$ p\in { $Z$ $}$ prime에 대한 $(p)$ 분해(p $){\$ displaystyp p <M_ ${k}}}}$ 을 $|p|<M_{k}.$ ^[1]^{page 72}(를) $|p|<M_{k}.$ 된다.

사이클로토믹장의 2차적 하위장

원시 사이클로토믹 필드의 2차적 하위 필드

2차장 건설의 고전적인 예는 원시적 단결의 p-th 뿌리에 의해 생성되는 사이클로토믹장 내부의 고유한 2차장(the cyclotomic field)을, p는 프라임 숫자 > 2를 갖는 것이다.고유성은 갈루아 이론의 결과로서 Q를 넘는 갈루아 그룹에는 고유한 지수 2의 하위 그룹이 존재한다.가우스 시대에서 설명했듯이 2차장 판별은 p = 4n + 1의 경우 p, p = 4n + 3의 경우 -p이다.이것은 충분한 래미화 이론에서도 예측할 수 있다.사실 p는 사이클로토믹 분야에서 충돌하는 유일한 프라임이기 때문에 p는 2차적 필드 판별을 나눌 수 있는 유일한 프라임이다.그것은 각각의 경우에 '다른' 차별 -4p와 4p를 배제한다.

기타 사이클로토믹장

만약 다른 사이클로토믹 필드를 택한다면, 그들은 2-토션의 2-토션의 갈루아 그룹을 가지고 있고, 그래서 적어도 3개의 2-토션의 필드를 포함한다.일반적으로 필드 판별 D의 2차 장은 통일의 D-th 뿌리의 사이클로토믹 필드의 하위 필드로 얻을 수 있다.이는 이차장의 도체가 그 변별력의 절대값이라는 사실을 나타내며, 도체 차별식의 특수한 경우다.

작은 판별의 2차 수 필드 순서

다음 표는 2차 영역에 대한 소량 판별 순서를 보여준다.대수적 수장의 최대 순서는 정수의 링이고, 최대 순서의 판별은 밭의 판별이다.최대값이 아닌 순서의 판별은 최대값 순서에 근거하여 최대값이 아닌 순서의 기초를 나타내는 행렬의 결정인자의 제곱에 의한 해당 최대값 순서의 판별의 산물이다.이러한 모든 판별은 대수적 숫자 필드 § Definition의 판별 공식에 의해 정의될 수 있다.

실제 2차 정수 링의 경우 고유 인자화의 실패를 측정하는 이상적인 등급 번호가 OEIS A003649에 제시되며, 가상의 경우 OEIS A000924에 제시된다.

주문	판별	클래스 번호	단위	평.
Z[118-5]	−20	2	±1	이상적인 클래스(1), (2, 1+1x-5)
Z[(1+198-19)/2]	−19	1	±1	유클리드 영역이 아닌 주 이상 영역
Z[2√−1]	−16	1	±1	최대값이 아닌 순서
Z[(1+164-15)/2]	−15	2	±1	이상적인 클래스(1), (2, (1+164-15)/2)
Z[162-3]	−12	1	±1	최대값이 아닌 순서
Z[(1+164-11)/2]	−11	1	±1	유클리드 주
Z[118-2]	−8	1	±1	유클리드 주
Z[(1+164-7)/2]	−7	1	±1	클라인 정수
Z[118-1]	−4	1	±1, 순서 4의 ±i 주기	가우스 정수
Z[(1+164-3)/2]	−3	1	±1, (±1±√−3)/2	아이젠슈타인 정수
Z[1998-21]	-84	4		클래스 그룹 비순환(C₂×C₂)
Z[(1+1605)/2]	5	1	±(1+1605)/2(ⁿ보통 -1ⁿ)
Z[√2]	8	1	±(1+1122) ⁿ(표준 -1ⁿ)
Z[√3]	12	1	±(2+3항)ⁿ (보통 1)
Z[(1+13)/2]	13	1	±(3+13)/2) ⁿ(표준 -1ⁿ)
Z[(1+17)/2]	17	1	±(4+17)(ⁿ보통 -1ⁿ)
Z[√5]	20	2	±(√5+2) ⁿ(표준 -1ⁿ)	최대값이 아닌 순서

이러한 사례 중 일부는 Artin, 대수(2차 개정), §13.8에 열거되어 있다.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b Stevenhagen. "Number Rings" (PDF). p. 36.
^ 새뮤얼 1972년 페이지 76f
^ Stein, William. "Algebraic Number Theory, A Computational Approach" (PDF). pp. 77–86.
^ Conrad, Keith. "CLASS GROUP CALCULATIONS" (PDF).{{cite web}}: CS1 maint : url-status (링크)

참조

Buell, Duncan (1989), Binary quadratic forms: classical theory and modern computations, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97037-1 6장.
Samuel, Pierre (1972), Algebraic Theory of Numbers (Hardcover ed.), Paris / Boston: Hermann / Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-901-66506-5
- Samuel, Pierre (2008), Algebraic Theory of Numbers (Paperback ed.), Dover, ISBN 978-0-486-46666-8
Stewart, I. N.; Tall, D. O. (1979), Algebraic number theory, Chapman and Hall, ISBN 0-412-13840-9 3.1장.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Quadratic Field". MathWorld.
"Quadratic field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[:0-1] Stevenhagen. "Number Rings" (PDF). p. 36.

[2] 새뮤얼 1972년 페이지 76f

[3] Stein, William. "Algebraic Number Theory, A Computational Approach" (PDF). pp. 77–86.

[4] Conrad, Keith. "CLASS GROUP CALCULATIONS" (PDF).{{cite web}}: CS1 maint : url-status (링크)

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