스틱벨베르거의 정리

수학에서 스틱벨버거의 정리는 대수적 수 이론의 결과로서, 사이클로토믹 분야의 클래스 그룹의 갈루아 모듈 구조에 관한 정보를 어느 정도 제공한다.일반적인 결과가 루드비히 스틱벨베르거(1890년) 때문인데, 특별한 경우는 에른스트 쿠메르(1847년)가 처음 입증했다.^[1]

Stickelberger 요소와 Stickelberger 이상

렛 K는_m m 사이클로토믹 필드, 즉 단결의 m번째 뿌리를 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$여기서 m ≥ 2는 정수)에 붙임으로써 얻은 합리적인 수의 확장을 의미한다.G가_m 이형화된 $Q$ ${\$의 Galois 확장자로 정수 modulo m의 곱셈 그룹$($${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ /m ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(})한다$.$^×스틱벨버거 요소(레벨 m 또는 K_m)는 그룹 링 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$}[G_m]의 요소이며, 스틱벨버거 이상(레벨 m 또는 K_m)은 그룹 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서_m 이상적이다.그것들은 다음과 같이 정의된다.ζ은_m 단결의 원초적인 m번째 뿌리를 나타내도록 하자.(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ /${\displaystyle \mathbb{}}$ Z$${\$displaystyle \mathb {Z}$^×)에서_m G로 이형성(isomorphism)은 관계에서 정의한 σ에_a a를 전송하여 주어진다.

${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{\zeta }_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle m_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$m}=\$zeta _{m}^{a$

레벨 m의 Stickelberger 요소는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \theta (K_{m}}={\frac {1}{m}}}{\underset{(a,m)=1}{a=1}^{m}a\cdot \sigma _{a}^{a}}}@mathb {Q}[G_{m}]].}$

I(K_m)로 표시된 레벨 m의 스틱버거 이상은 적분 계수를 갖는 integral(K_m)의 적분 배수의 집합이다.

${\displaystyle I(K_{m}}=\theta(K_{m})\mathb {Z}[G_{m}]\cap \mathb {Z}[G_{m}]]}$

보다 일반적으로, $F$가 Q$${\$displaystyle \mathb {Q}}$을(를) 초과하는 갈루아 그룹이 G로_F 표시된$$ 아벨레 숫자 필드라면, F의 Stickelberger 요소와 F의 Stickelberger 이상을 정의할 수 있다.Kronecker-Weber 정리에는 F가 K에_m 포함되는 정수 m이 있다.최소 그러한 m(이것은 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$Q}}$에 대한 F의 (마지막 부분) 컨덕터를 수정하십시오.$$제한에 의해 주어지는 자연집단 동형성_m G → G가_F 있다. 즉, σ G가_m F로_m 표기된 그것의 이미지는 제한이다_F.F의 Stickelberger 요소는 다음으로 정의된다.

${\displaystyle \theta(F)={\frac {1}{m}{{m}}{\sum _{a=1}^{m}a\cdot \matrm {res} _{m}_\matcdmartmatteb {Q}[G_{F}].}$

I(F)로 표시된 F의 스틱벨버거 이상은 K의_m 경우와 같이 정의된다.

$\displaystyle I(F)=\theta(F)\mathb {Z}[G_{F}]\cap \mathb {Z}[G_{F}]}$

F = K인_m 특별한 경우 스틱벨버거 이상 I(K)는_m (a - σ_a)^[2]ger(K)에_m 의해 $생성되며,$ Z ${\$ /m ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 따라 달라진다$.$ 이는 일반 F에는 해당되지 않는다.

예

만약 F가 컨덕터 m의 완전히 실제적인 분야라면^[3],

${\displaystyle \theta(F)={\frac {\varphi(m)}{2[F:\mathb {Q} ]}}\}\sum _{\sigma \in G_{F}\sigma ,}$

여기서 φ은 오일러 토티엔트 함수이고 [$F{\displaystyle \mathbb{}}$ : Q ${\$은 Q ${\$에 대한 F의 수준이다$.$

정리명세서

스틱벨베르거의 정리^[4]
F를 아벨의 숫자장이 되게 하라.그러자, 판니힐의 스틱벨버거 이상은 F학급 그룹을 이룬다.

θ(F) 자체는 전멸자가 될 필요는 없지만, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$}$의 어떤 배수도 [G_F]라는 점에 유의하십시오.

명시적으로 정리하면 α ∈ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$}$ [G_F]가 그런 경우라고 되어 있다.

${\displaystyle \알파 \theta(F)=\sum _{F}a_{\sigma \in G_{F}}\sigma \in \mathb {Z}[G_{F}]}}$

만약 J가 F의 일부분 이상이라면,

${\displaystyle \prod_{\sigma \in G_{F}\sigma \왼쪽(J^{a_{\sigma }\오른쪽)}$

가장 중요한 이상이다.

참고 항목

• 그로스-코블리츠 공식
• 허브랜드-리벳 정리
• 테인의 정리

메모들

참조

• Cohen, Henri (2007). Number Theory – Volume I: Tools and Diophantine Equations. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 239. Springer-Verlag. pp. 150–170. ISBN 978-0-387-49922-2. Zbl 1119.11001.
• 보아스 에레즈, 다르스텔룽겐 폰 그루펜, 데르 대수첸 자흘렌테오리의: 에인위룽
• Fröhlich, A. (1977). "Stickelberger without Gauss sums". In Fröhlich, A. (ed.). Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975. Academic Press. pp. 589–607. ISBN 0-12-268960-7. Zbl 0376.12002.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 84 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-2103-4. ISBN 978-1-4419-3094-1. MR 1070716.
• Kummer, Ernst (1847), "Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1847 (35): 327–367, doi:10.1515/crll.1847.35.327
• Stickelberger, Ludwig (1890), "Ueber eine Verallgemeinerung der Kreistheilung", Mathematische Annalen, 37 (3): 321–367, doi:10.1007/bf01721360, JFM 22.0100.01, MR 1510649
• Washington, Lawrence (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, MR 1421575

외부 링크

• PlanetMath 페이지