이상 클래스 그룹

수 이론에서 대수적 숫자 필드 $K$ 의 이상 클래스 그룹(또는 클래스 그룹)은 J $/ P$ 의_K 몫 $그룹$ 이며_K, $여기$ 서_K $J$ 는 K의 정수 링의 분수 이상 그룹이고, $P$ 는_K 주요 이상들의 하위 그룹이다.클래스 그룹은 $K$ 의 정수 링에서 고유한 요소화가 실패하는 정도를 측정하는 척도다.유한한 집단의 순서를 $K$ 의 등급 번호라고 한다.

그 이론은 디데킨드 영역과 그들의 분수 영역에까지 확장되며, 여기에 대한 승수 특성은 클래스 그룹의 구조와 밀접하게 연관된다.예를 들어, 디데킨드 도메인의 클래스 그룹은 링이 고유한 요인화 도메인인 경우에만 사소한 것이다.

이상적인 계급 그룹의 역사와 기원

이상적인 계급 집단(또는 오히려, 효과적으로 이상적인 계급 집단이었던 것)은 이상에 대한 생각이 공식화되기 얼마 전에 연구되었다.이러한 집단은 이차적 형태 이론에 등장하였다: 이차적분적분형식의 경우, 칼 프리드리히 가우스의 최종 형태와 같은 것에 넣었을 때, 형식의 특정 동등성 등급에 대한 구성법이 정의되었다.이것은 당시 인정된 바와 같이 유한한 아벨 그룹을 주었다.

후에 에른스트 쿠메르는 사이클로토믹 분야의 이론을 위해 일하고 있었다.단결의 뿌리를 이용한 인수화에 의해 페르마의 마지막 정리 일반 사례에서 증명서를 완성하지 못한 것은 매우 타당한 이유 때문이었음을 (아마도 여러 사람에 의해) 깨달았었다: 독특한 요소화의 실패, 즉 산술의 근본적인 정리가 단결의 뿌리에 의해 생성된 고리에 붙는 것이 주요한 산부인과였다.cle. 쿠메르의 작품에서 처음으로 요소화의 방해에 대한 연구가 나왔다.우리는 이제 이것을 이상적인 계급 집단의 한 부분으로 인식한다: 사실 쿠머는 페르마 문제에 대한 표준 공격 방법의 실패의 이유로서, 어떤 프라임 숫자 p에 대해서도, 단결의 p-뿌리 분야에 대해, 그 그룹의 p-torion을 분리했다(정규 프라임 참조).

어느 정도 후에 리차드 데데킨드는 이상에 대한 개념을 공식화했는데, 쿠머는 다른 방식으로 일을 해 왔다.이 시점에서 기존의 예는 통일될 수 있다.대수적 정수의 링이 항상 프라임으로 고유한 인수화를 가지는 것은 아니지만(주요 이상 도메인이 될 필요는 없기 때문에), 모든 적절한 이상(즉, 모든 대수적 정수의 링은 데데킨드 도메인)의 산물로서 고유한 인수화를 인정하는 속성을 가지고 있다는 것이 밝혀졌다.이상 클래스 그룹의 크기는 주요 이상 영역인 링의 편차에 대한 척도로 간주될 수 있다. 링은 사소한 이상 클래스 그룹을 가진 경우에만 주요 영역이다.

정의

R이 통합된 영역인 경우, (a)I = (b)J. (여기서 표기법 (a)는 a의 모든 배수로 구성된 R의 주요 이상을 의미한다)의 주요 이상을 의미하는 R의 nonzero 원소 a와 b가 존재할 때마다 I ~ J에 의한 R의 비제로 분수 이상에 대해 관계를 정의한다.이것이 동등성 관계임을 쉽게 알 수 있다.등가 등급은 R의 이상적인 등급이라고 불린다.이상 등급은 곱할 수 있다: [I]가 이상 I의 등가 등급을 나타내면, 곱셈 [I][J] = [IJ]는 잘 정의되고 상통한다.주요 이상은 이상적인 계급[R]을 형성하며, 이는 이 곱셈의 정체성 요소 역할을 한다.따라서 클래스 [I]는 이상 J가 있는 경우에만 역 [J]를 가지므로 IJ가 주된 이상이다.일반적으로 그러한 J는 존재하지 않을 수 있으며, 결과적으로 R의 이상적인 등급 집합은 단조일 수 있다.

그러나, 만약 R이 대수적 수 분야에서의 대수적 정수의 고리라면, 또는 보다 일반적으로 데데킨드 도메인이라면, 위에서 정의한 곱셈은 분수 이상 등급의 집합을 R의 이상 등급 그룹인 아벨리아 그룹으로 바꾼다.역원소 존재의 집단 속성은 드데킨드 도메인에서 모든 0이 아닌 이상(R 제외)이 프라임 이상의 산물이라는 사실로부터 쉽게 따라온다.

특성.

R의 모든 이상이 주체가 되는 경우에만 이상적인 계급 집단은 사소한 것이다(즉, 하나의 요소만 가지고 있다).이러한 의미에서 이상적인 클래스 그룹은 R이 주요 이상 도메인에서 얼마나 떨어져 있고, 따라서 고유한 주요 요소화(Dedekind 도메인은 주 이상 도메인인 경우에만 고유한 요인화 도메인이다.)를 만족하는 것으로부터 측정한다.

이상 클래스(R 클래스 번호)의 수는 일반적으로 무한할 수 있다.사실, 모든 아벨 그룹들은 어떤 데데킨드 도메인의 이상적인 계급 그룹과 이형성적이다.^[1]그러나 R이 사실 대수적 정수의 고리라면 등급 번호는 항상 유한하다.이것은 고전 대수 숫자 이론의 주요 결과 중 하나이다.

클래스 그룹의 계산은 일반적으로 어렵다; 그것은 민코프스키의 바운드(bound)를 사용하여 작은 판별의 대수적 수 분야에서 정수 링에 대해 손으로 할 수 있다.이 결과는 링에 따라 바운드(bound)를 주어 모든 이상적인 클래스가 바운드보다 작은 이상적인 규범을 포함하고 있다.일반적으로 바운드는 큰 판별력이 있는 분야에 대해 계산을 실용화하기에 충분히 날카롭지는 않지만, 컴퓨터는 업무에 잘 적합하다.

정수 R의 링에서 해당 클래스 그룹까지의 매핑은 functorial이며, K(R₀)가 R에 할당되는 functor로 대수 K-이론 제목 아래 요약될 수 있다. 더 정확히 말하면 K(R₀) = ZXC(R), 여기서 C(R)는 클래스 그룹이다.정수의 고리와 관련하여 더 높은 K 그룹을 사용하고 산술적으로 해석할 수도 있다.

단위 그룹과의 관계

이상적인 계급 집단은 드데킨드 도메인에서 얼마나 많은 이상이 요소처럼 행동하느냐는 질문에 대한 답의 일부를 제공한다고 위에서 언급되었다.답변의 다른 부분은 주요 이상에서 발전기로의 통로는 단위의 사용이 필요하기 때문에 디데킨드 영역의 단위들의 곱셈 그룹에 의해 제공된다(그리고 이것이 부분적 이상 개념을 도입하는 나머지 이유이기도 하다).

모든 원소를 원소(수축) 이상에 보내 R의^× 0이 아닌 모든 분수 이상 집합에 대한 지도를 정의한다.이것은 집단동형주의다. 그것의 알맹이는 R의 단위집단이고, 그것의 코커넬은 R의 이상적인 계급집단이다.이러한 집단이 사소한 것이 되지 못하는 것은 지도가 이형화되지 못한 것의 척도인 즉, 고리원소, 즉 숫자처럼 행동하는 이상이다.

이상적인 클래스 그룹의 예

링 Z, Z[Ω], Z[i], 여기서 Ω은 1의 큐브 루트이고 나는 1의 네 번째 루트(즉 -1의 제곱근)이며, 모든 것이 주 이상 도메인(사실상 모든 유클리드 도메인)이며, 따라서 클래스 1은 사소한 이상 클래스 그룹을 가지고 있다.
k가 필드인 경우, 다항 링 k[X₁₂, X, X₃, ...]는 통합 도메인이다.그것은 셀 수 없이 많은 이상적인 계층을 가지고 있다.

2차 필드의 클래스 번호

d가 1이 아닌 제곱이 없는 정수(분수 구별의 산물)인 경우 Q(분수)는 Q의 2차 확장이다.d < 0인 경우, d = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163의 d의 정확한 값에 대해 Q(제곱)의 대수적 정수의 R 링의 등급 번호는 1과 같다.이 결과는 1967년 해롤드 스타크가 나중에 증거를 제시하기 전까지는 히그너의 증거를 믿지 않았지만 가우스에 의해 처음 추측되고 커트 히그너에 의해 증명되었다. (스타크-히그너 정리 참조)이것은 유명한 학급 번호 문제의 특별한 경우다.

반면에 d > 0이라면, 클래스 1의 Q(√d) 필드가 무한히 많은지는 알 수 없다.계산 결과는 그러한 분야가 매우 많다는 것을 보여준다.그러나 1등급의 숫자 필드가 무한히 많은지조차 알 수 없다.^[2]^[3]

d < 0의 경우 Q((d)의 이상적인 클래스 그룹은 Q(√d)의 판별과 동일한 통합 이항 2차 판별의 클래스 그룹에 이형성이다.d > 0의 경우, 적분 이항 2차 형태의 클래스 그룹이 Q의 좁은 클래스 그룹과 이항형이기 때문에 이상적인 클래스 그룹은 크기의 절반일 수 있다.^[4]

실제 2차 정수 링의 경우 클래스 번호가 OEIS A003649로 지정되고, 가상의 경우 OEIS A000924로 지정된다.

비경쟁 클래스 그룹의 예

2차 정수 링 R = Z[√-5]는 Q(√-5)의 정수 링이다.그것은 독특한 요소화를 가지고 있지 않다; 사실 R의 클래스 그룹은 순서 2의 순환이다.과연 이상.

J = (2, 1 + √−5)

다음과 같은 모순으로 증명될 수 있는 주체가 아니다. $R$ has a norm function $N(a+b{\sqrt {-5}})=a^{2}+5b^{2}$ , which satisfies $N(uv)=N(u)N(v)$ , and $N(u)=1$ if and only if $u$ is a unit in ${\displ$ $aystyle R}$ . First of all, $J\neq R$ , because the quotient ring of $R$ modulo the ideal $(1+{\sqrt {-5}})$ is isomorphic to $\mathbf {Z} /6\mathbf {Z}$ , so that the quotient ring of $R$ modulo $J$ $J$ 은 $J$ (는) $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$ / $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$ $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$ {\ $displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$ 에 대해 이형이다 $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$ J가 R의 요소 x에 의해 생성되었다면 x는 2와 1 + √-5를 모두 나눈다. $N(x)$ N $N(x)$ ) $N(x)$ 이(가) $N(2)=4$ = $N(2)=4$ ${\displaystyle$ N $(2)=4}$ 과 $N(2)=4$ $N(1+{\sqrt {-5}})=6$ + $N(1+{\sqrt {-5}})=6$ - $N(1+{\sqrt {-5}})=6$ = 6 ${\displaysty$ N $(1+{\sqrt{-5})=6$ 둘 다 분할되므로 $N(x)$ N(x)은 2로 분할된다. $N(x)=1$ $N(x)=1$ ) $N(x)=1$ = $N(x)=1$ $N(x)=1$ 이면 $N(x)=1$ $x$ $x$ 이(가) 단위이고 $x$ , $J=R$ = $J=R$ $J=R$ 이 $J=R$ 가) 모순이다. $N(x)$ Diophantine 방정식 $b^{2}+5c^{2}=2$ $b^{2}+5c^{2}=2$ + 5 $b^{2}+5c^{2}=2$ $b^{2}+5c^{2}=2$ = 2 ${\displaystyle b^{2}+5c^{2$ }는 R이 정규 2의 요소가 없기 때문에 N $N(x)$ ( $N(x)$ ) $N(x)$ 도 2가 될 수 없다 $N(x)$ . $}}=2}$ 은(는) 솔루션 모듈로 5가 없기 때문에 정수로 된 솔루션이 없다 $b^{2}+5c^{2}=2$ .

또 하나는 주체가² 되는 J = (2)를 계산하기 때문에 이상적인 등급 그룹의 J 등급은 순서 2를 갖는다.다른 이상적인 수업은 없다는 것을 보여주는 것은 더 많은 노력을 필요로 한다.

이 J가 주체가 아니라는 사실은 또한 요소 6이 비확정적 요소에 대해 두 가지 분명한 요소를 가지고 있다는 사실과 관련이 있다.

6 = 2 × 3 = (1 + √−5) × (1 − √−5).

클래스 필드 이론에 대한 연결

계급장 이론은 주어진 대수적 수장의 모든 아벨리아적 확장을 분류하려는 대수적 수 이론의 한 분야로, 아벨리아적 갈루아 집단을 가진 갈루아 확장을 의미한다.숫자 필드의 힐버트 클래스 필드에서 특히 아름다운 예가 발견되는데, 이는 그러한 필드의 최대 미라벨 확장이라고 정의할 수 있다.숫자 필드 K의 Hilbert 클래스 필드 L은 고유하며 다음과 같은 속성을 가지고 있다.

K의 정수 링의 모든 이상은 L에서 주체가 된다. 즉, 내가 K의 일체적 이상이라면 I의 이미지는 L에서 주 이상이다.
L은 K의 이상적인 계급 집단으로 갈루아 집단이 이형화된 K를 확장한 것이다.

어느 재산도 특별히 증명하기가 쉽지 않다.

참고 항목

참조

Claborn, Luther (1966), "Every abelian group is a class group", Pacific Journal of Mathematics, 18: 219–222, doi:10.2140/pjm.1966.18.219, archived from the original on 2011-06-07
Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1993), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43834-6, MR 1215934
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

[1] 클라본 1966

[2] 노이키르흐 1999년

[3] 가우스 1700

[4] 프롤리히 & 테일러 1993, 정리 58

[1]

[2]

[3]

[4]

Search