대칭 성분

전기공학에서 대칭성분법은 정상상태와 비정상상태 모두에서 불균형한 3상 전력계통의 분석을 단순화한다. N 페이저의 비대칭 집합은 복잡한 선형 변환을 통해 N 대칭적인 페이저 집합의 선형 조합으로 표현할 수 있다는 것이 기본 생각이다.^[1] 포테스큐의 정리(대칭성분)는 중첩 원리에 기초하기 때문에,^[2] 선형 전력계통에만 적용하거나, 비선형 전력계통의 선형 근사치에도 적용할 수 있다.

3상 시스템의 가장 일반적인 경우에서, 결과적인 "대칭" 요소는 직접(또는 양), 역(또는 음) 및 0(또는 호모폴라)으로 언급된다. 전력계통의 분석은 대칭적 요소의 영역에서 훨씬 더 간단하다. 왜냐하면 결과 방정식은 회로 자체가 균형을 이루면 상호적으로 선형적으로 독립적이기 때문이다.^{[citation needed]}

설명

1918년 Charles Legeyt Fortescuke는 N의 값을 위해 N의 불균형 페이저의 모든 집합(즉, 그러한 다상 신호)이 N의 균형 페이저의 대칭적인 집합의 합으로 표현될 수 있다는 것을 증명하는 논문을^[3] 발표했다. 단 하나의 주파수 성분만이 페이저로 표현된다.

1943년 에디스 클라크는 원본 Fortescuke 논문보다 계산이 크게 간소화된 3상 시스템에 대칭 요소 사용법을 부여하는 교재를 출판했다.^[4] 3상 시스템에서 한 세트의 페이저는 연구 대상 시스템과 동일한 위상 시퀀스(양수 순서; ABC라고 말한다)를 가지며, 두 번째 세트는 역상 시퀀스(음수 순서; ACB)를 가지며, 세 번째 세트에서는 페이저 A, B, C가 서로 위상(서열 0, 공통 모드 신호)을 갖는다. 본질적으로 이 방법은 세 가지 불균형 단계를 세 개의 독립된 선원으로 변환하여 비대칭 결함 분석을 더욱 추적 가능하게 한다.

발전기, 변압기 및 기타 장치(오버헤드 라인 및 케이블 포함)의 양극 시퀀스, 음극 시퀀스 및 영점 시퀀스 임피던스를 표시하도록 1선 다이어그램을 확장함으로써 접지 단락 단층 단층 단층 같은 불균형 조건의 분석이 크게 단순화된다. 이 기술은 또한 고차 단계 시스템으로 확장될 수 있다.

물리적으로 3상계에서는 전류의 양의 시퀀스 세트가 정상적인 회전장을 생성하며, 음의 시퀀스 세트는 반대 회전을 하는 필드를 생성하며, 영의 시퀀스 세트는 위상 권선 사이에서 진동하지만 회전하지 않는 필드를 생성한다. 이러한 영향은 시퀀스 필터로 물리적으로 감지할 수 있기 때문에, 수학적 도구는 음순 전압과 전류를 고장 상태의 신뢰할 수 있는 지표로 사용한 보호 계전기 설계의 기초가 되었다. 그러한 릴레이는 회로 차단기를 트립하거나 전기 시스템을 보호하기 위한 다른 조치를 취하는 데 사용될 수 있다.

분석 기법은 제너럴 일렉트릭(General Electric)과 웨스팅하우스(Westinghouse)의 엔지니어들에 의해 채택되고 진전되었으며, 제2차 세계 대전 이후 비대칭 단층 분석을 위해 수용된 방법이 되었다.

위 오른쪽 그림에서 보듯이 대칭 성분(양, 음, 영 시퀀스)의 세 세트가 더해져 다이어그램 하단에 표시된 것처럼 세 개의 불균형 페이즈 시스템을 만든다. 위상 간의 불균형은 벡터 집합 사이의 위상 이동과 크기 차이로 인해 발생한다. 별도의 시퀀스 벡터의 색상(빨간색, 파란색, 노란색)은 세 가지 상(예: A, B, C)에 해당한다는 점에 유의하십시오. 최종 그림에 도달하기 위해 각 위상의 벡터 합계를 계산한다. 이 결과 벡터는 특정 단계의 효과적인 페이저 표현이다. 이 과정을 반복하면 3상 각각에 대한 페이저가 생성된다.

3상 케이스

대칭 요소는 3상 전력 시스템의 분석에 가장 일반적으로 사용된다. 어느 지점에서 3상계통의 전압이나 전류는 전압이나 전류의 세 가지 성분이라고 하는 세 개의 페이저로 나타낼 수 있다.

이 글은 전압을 논하지만, 동일한 고려사항이 전류에도 적용된다. 완벽하게 균형 잡힌 3상 전원 시스템에서 전압 페이저 구성 요소는 크기가 동일하지만 120도 차이가 난다. 불균형 시스템에서는 전압 페이저 구성 요소의 크기와 위상이 다르다.

전압 페이저 구성 요소를 일련의 대칭 구성 요소로 분해하면 시스템을 분석하는 것은 물론 불균형을 시각화하는 데 도움이 된다. 3개의 전압 성분이 페이저(복잡한 숫자)로 표현되는 경우, 3상 성분이 벡터의 성분인 복합 벡터를 형성할 수 있다. 3상 전압 구성 요소에 대한 벡터는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {v} _{abc}={\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{c}\end{bmatrix}}}}}}$

벡터를 세 개의 대칭 성분으로 분해하면

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{a,0}\\V_{b,0}\\V_{c,0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,1}\\V_{b,1}\\V_{c,1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,2}\\V_{b,2}\\V_{c,2}\end{bmatrix}}}$

여기서 첨자 0, 1, 2는 각각 0, 양, 음의 시퀀스 성분을 가리킨다. 시퀀스 구성 요소는 위상 각도에 의해서만 달라지는데, 위상 각도는 대칭이며, ${\displaystyle 따라서}$ 2 3㎛ ${\${\$frac${2$}{3}}\pi }$ 라디안$$ 또는 120°

A행렬

페이저 회전 연산자 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) 정의하십시오$.$ 페이저 벡터를 곱하면 시계 반대 방향으로 120도 회전:

${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{3}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ e$^{{\frac {2}{3$}\pi $i$

$\alpha {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha ^{3}=1$}을$($를)${\displaystyle {}^{}{\alpha \mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ =$$α 2 {\$displaystyle$ \$alpha ^{-$1}=\$alpha$ $^\{$2}}.

0 시퀀스 구성 요소는 크기가 동일하고 서로 위상이며, 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 0_{}}$= V ${\displaystyle b_{}}$, 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$

그리고 다른 시퀀스 구성 요소는 동일한 크기를 가지지만 위상 각도는 120°씩 다르다. 원래의 불균형한 전압 페이저 세트에 양 또는 abc 위상 시퀀스가 있는 경우:

${\$$V_{1}&\equiv V_{a,1}=\알파 V_{b,1}=\알파 ^{2}V_{c,1}\ended$

${\$$V_{2}&\equiv V_{a,2}=\alpha ^{$2}$V_{b,2}=\alpha V_{c,$2}\$ended$

라는 뜻

${\displaystyle \begin{array}{r}{V}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{r}{b}_{}\end{array}}$, ${\displaystyle \begin{array}{r}{1}_{}\end{array}}$= ${\displaystyle \begin{array}{r}{}^{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{r}{2\mathrm{}}^{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{r}{}^{}{}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{r}{1\mathrm{}}_{}\end{array}}$ ${\$2}$V_{1}\ended$

${\$$V_{c,1}=\알파 V_{1}\end{arged$

${\displaystyle \begin{array}{r}{V}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{r}{b}_{}\end{array}}$, ${\displaystyle \begin{array}{r}{2}_{}\end{array}}$= ${\displaystyle \begin{array}{r}\alpha \end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{r}{V\mathrm{}}_{}\end{array}}$ 2 ${\$$alpha V_{2}\end}}},$

${\$$V_{c,2}=\알파 ^{2}V_{2}\end{aigned}}}}$.

그러므로,

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {v} _{abc}&={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{0}\\V_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{1}\\\alpha ^{2}V_{1}\\\alpha V_{1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{2}\\\alpha V_{2}\\\alpha ^{2}V_{2}\end{bmatrix}}\\&, ={\begin{bmatrix}1&, 1&, 1\\1&, \alpha ^{2}&, \alpha \\1&, \alpha&\alpha ^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}\\&, ={\textbf{A}}\math.남자 친구{v}_{012}\end{정렬}}}$

어디에

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}},{\textbf {A}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$

대신에 원래의 불균형한 전압 페이저 세트가 음 또는 acb 위상 시퀀스를 갖는 경우, 다음과 같은 매트릭스를 유사하게 도출할 수 있다.

${\displaystyle {\textbf{A}_{acb}={\begin{bmatrix}1&1\\\1&\n\alpha ^{2}\1&\alpha ^{bmatrix}}}}}}}$

분해

시퀀스 성분은 분석 방정식에서 도출된다.

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\textbf {A}^{-1}\mathbf {v} _{abc}}}$

어디에

${\displaystyle {\textbf{A}^{1}={\frac {1}{3}{\begin{bmatrix}1&1\\\1\\\alpha ^{2}\nalpha ^{2}&\nalpha \end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\alpha \alpha \alpha.$

위의 두 방정식은 세 개의 페이저의 비대칭 집합에 해당하는 대칭 성분을 도출하는 방법을 알려준다.

• 시퀀스 0은 원래 페이저의 3분의 1의 합이다.
• 시퀀스 1은 시계 반대 방향으로 0°, 120°, 240° 회전한 원래 페이저의 3분의 1 합이다.
• 시퀀스 2는 원래 3개의 페이저를 시계 반대 방향으로 0°, 240°, 120° 회전시킨 합계의 1/3이다.

시각적으로, 원래 구성요소가 대칭인 경우, 시퀀스 0과 2는 각각 0을 합한 삼각형을 형성하고 시퀀스 1 구성요소는 직선으로 합친다.

직감

The phasors ${\displaystyle \scriptstyle V_{(ab)}=V_{(a)}-V_{(b)};\;V_{(bc)}=V_{(b)}-V_{(c)};\;V_{(ca)}=V_{(c)}-V_{(a)}}$ form a closed triangle (e.g., outer voltages or line to line voltages). 위상의 동기 및 역 성분을 찾으려면 외부 삼각형의 어느 한 쪽을 택하고 선택한 측면을 베이스로 공유하는 두 개의 가능한 정삼각형을 그린다. 이 두 정삼각형은 동기계와 역계를 나타낸다.

페이저 V가 완벽하게 동기화된 시스템이었다면, 베이스라인에 있지 않은 바깥쪽 삼각형의 정점은 동기식 시스템을 나타내는 정삼각형의 해당 정점과 같은 위치에 있을 것이다. 역 성분의 양은 이 위치로부터의 편차를 의미할 것이다. 편차는 역상 성분의 정확히 3배이다.

동기 구성요소는 "역방향 삼각형"으로부터의 편차의 3배와 같은 방식이다. 이러한 구성 요소의 방향은 관련 단계에 적합하다. 이것은 선택된 측면에 상관없이 3상 모두에 효과가 있다는 것은 직관적으로 보이지 않지만 그것이 이 그림의 아름다움이다. 그래픽은 나폴레옹의 '정리'에서 나온 것으로, 오래된 참고 문헌에 가끔 등장하는 그래픽 계산 기법과 일치한다.^[5]

다상 케이스

위의 변환 매트릭스가 이산 푸리에 변환이라는 것을 알 수 있으며, 따라서 어떤 다상 시스템에 대해서도 대칭 성분을 계산할 수 있다.

3상 전력계통 대칭요소에 대한 고조파 기여

고조파들은 종종 비선형 하중의 결과로 전력 시스템에서 발생한다. 각 고조파 순서는 서로 다른 시퀀스 성분에 기여한다. 순서 ${\displaystyle \mathrm{3n}}$+ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \scriptstyle 3n+1}$의 기본 및 고조파는 양의 시퀀스 구성 요소에 기여할 것이다$$. 순서 ${\displaystyle \mathrm{3n}}$ -${\displaystyle 1}$ ${\$의 고조파는 음수 시퀀스에 기여한다$$. 순서 ${\displaystyle \mathrm{3n}}$ ${\$의 고조파는 영 시퀀스에 기여한다$$.

위의 규칙은 각 단계의 위상 값(또는 왜곡)이 정확히 동일한 경우에만 적용 가능하다는 점에 유의하십시오. 또한 전원 시스템에서는 고조파도 일반적이지 않다는 점에 유의하십시오.

전원 시스템에서 영점 시퀀스 구성 요소의 결과

0 순서는 크기와 위상이 동일한 불균형 페이저의 성분을 나타낸다. 그것들이 위상에 있기 때문에, n-위상 네트워크를 통해 흐르는 제로 시퀀스 전류는 개별 제로 시퀀스 전류 구성 요소의 크기보다 n배 더 클 것이다. 정상 작동 조건에서 이 합계는 무시할 수 있을 정도로 작다. 그러나 번개와 같은 큰 영점 시퀀스 이벤트 동안 이 0이 아닌 전류 합은 개별 위상 도체보다 중립 도체를 통과하는 전류를 더 크게 유도할 수 있다. 중성 도체는 일반적으로 개별 위상 도체보다 크지 않고 이러한 도체보다 작은 경우가 많기 때문에, 0 시퀀스 구성 요소가 크면 중성 도체의 과열과 화재로 이어질 수 있다.

큰 0 시퀀스 전류를 방지하는 한 가지 방법은 0 시퀀스 전류의 개방 회로로 나타나는 델타 연결을 사용하는 것이다. 이러한 이유로, 대부분의 전송과 많은 서브 전송은 델타를 이용하여 구현된다. "오래된 작업" 분배 시스템은 낮은 변환 비용으로 라인의 용량을 증가시키기 위해 때때로 "웨이업"(델타에서 와이로 변환)되었지만, 더 높은 중앙역 보호 계전기 비용을 희생하여 델타를 사용하여 많은 분배도 구현된다.

참고 항목

• 대칭
• Dqo 변환
• 알파-베타 변환

참조

메모들

참고 문헌 목록

• J. Lewis Blackburn Brackburn Brackburn Components for Power Systems Engineering, Marcel Dekker, 뉴욕(1993) ISBN 0-8247-8767-6
• 윌리엄 D. 스티븐슨 주니어 Power System Analysis 제3판, McGraw-Hill, 뉴욕(1975)의 요소. ISBN 0-07-061285-4
• 2005년 5월 12일 검색된 대칭 요소의 초기 개발에 대한 IEEE의 역사 기사.
• Westinghouse Corporation, Applied Protection Relaying, 1976년 Westinghouse Corporation, ISBN 없음, Library of Congress 카드 번호 76-8060 - 전자기계 보호 릴레이에 대한 표준 참조